Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1012 Lösungen zu den Aufgabensie nur wenig mehr als 3RI 4 bis zum Ufer zu schwimmen,was weniger ist als ! seiner Laufstrecke 1rR . . Es gibt nochmehrere mögliche Strategien für das Mädchen, aber dieseist die einfachste und übersichtlichste.Abb. L. 2. Die Schleppkurve oder Traktrix und ihre Evolute,die Kettenlinie (Evolute: Geometrischer Ort aller Krümmungsmittelpunkte).Rotation der Traktrix um die x-Achseerzeugt die Pseudosphäre (konstante negative Gauß-Krümmung),Rotation der Kettenlinie das Catenoid (konstantemittlere Krümmung)das eingeschlossene Volumen ~ 1ra3 , wie bei der Halbkugel,obwohl die Pseudosphäre bis ins Unendliche reicht. JedesDreieck auf ihr, d. h. je drei Punkte mit den kürzesten Verbindungslinienauf dieser Fläche, hat eine Winkelsumme< 180°, auf der Kugel > 180°. Die Abweichung von deneuklidischen 180° wächst mit der Fläche D des Dreiecks:1r - ( a + ß + y) = D I a 2 (bei der Kugel gilt links das umgekehrteVorzeichen). Die Pseudosphäre, diskutiert 1863 vonBeltrami, war das erste konkrete Beispiel für eine hyperbolischenichteuklidische Geometrie (Lobatschewski-Geometrie).Dieses Posaunenpaar kommt also vielleicht der räumlichenGesamtstruktur der Welt so nahe, wie man das bei derReduktion um eine Dimension verlangen kann - falls unserRaum hyperbolisch gekrümmt ist. - Sie sagen, mein Hundgehorcht nicht? Irrtum: Wir zeichnen das Lobatschewski­Universum.1.2.6. Un problema quadrato per teste quadrateDie vier Leute bilden immer ein Quadrat, das rotiert und dabeiimmer kleiner wird. Jede Seite wird begrenzt von einerPerson, die senkrecht dazu, und einer, die in der jeweiligenRichtung dieser Seite geht. Jede Seite verkürzt sich also mit6 km/h, d. h., das Quadrat ist nach 10' auf einen Punkt geschrumpft.Der kompliziert aussehende Spiralbogen, den jederbeschreibt, ist also genau 1 km lang. Bei drei Leuten hatjede Dreiecksseite einen Endpunkt, der sich in ihrer Richtung,und einen, der sich unter 60° zu ihr bewegt, also mitder Komponente v cos 60° = v 12 ebenfalls zu ihremSchrumpfen beiträgt. Das Zusammentreffen erfolgt alsoschon nach 6' 40" oder 667 m Marsch. Bei sechs Leuten erhältman 20' und 2km, bei fünf 14' 28" und 1,447 km, allgemeind I ( 1 + cos a), a = ( n - 2) 180° In.1.2.7. Satyr und NympheR sei der Radius des Sees. Auf einem Kreis, dessen Radiusetwas kleiner als Rl 4 ist, kann das Mädchen den Mannjederzeitüberrunden, d. h. mit größerer Winkelgeschwindigkeitschwimmen als er läuft, sich also immer in eine Position bringen,die der seinen diametral gegenüberliegt. Von dort aus hat1.2.8. Ans Ende der WeltWir zählen die x-Koordinate von A ab und führen die Anfangslänge41 des Bandes, die Geschwindigkeit vo des EndesB und die Geschwindigkeit v des Helden relativ zumBand ein. Das Ende B ist zur Zeit t bei L = 41 + vot.Wenn der Held bei x ist, bewegt sich das Band dort, wo erist, mit voxl L relativ zu A. Dazu kommt seine Geschwindigkeitrelativ zum Band. Er bewegt sich also insgesamt miti = v + voxl L = v + voxl (41 + vot). Man löst diese Differentialgleichungam besten durch "Variation der Konstanten".Eleganterer Lösungsweg: Man stelle sich vor, manschwebe anfangs sehr hoch, etwa Ho= lOOkm über demBand mit der Anfangslänge 41 = l km, so daß man auf jedenPunkt des Bandes praktisch senkrecht hinunterschaut,und steige mit w = voHol 41 = 1 km/s senkrecht hoch.Wenn man nicht weiß, daß man sich vom Band entfernt,hält man seine Länge für konstant, und zwar winkelmäßigao = 411Ho = 0,01 rad. Der Mann scheint dann immer langsamer,nämlich mit einer Winkelgeschwindigkeitw = vi H = vi(Ho + wt) über das Band zu kriechen. Erbefindet sich winkelmäßig zur Zeit t bei a =J~wdt = (vl w)ln(l + (wt /Ho)), d. h. er legt die Bandlängein t = (Ho l w)(ewrxo/v - 1) = (41 l vo) (evo fv - 1) zurück.Im Beispiel muß er keine Viertelstunde, wie wenndas Band ruhte, sondern fast einen Monat gehen. Anwendungaufs Weltall: 41l vo = 2 · 10 10 Jahre, vol v = 2, alsot = 1,5 · lO ll Jahre. Selbst zu Fuß kommt man "bis ansEnde der Welt", allerdings erst in etwa 109·107 Jahren.Natürlich hat das expandierende Weltall keinen Rand. Dieangegebenen Zeiten würden etwa auch für seine Umkreisunggelten.1.2.9. Hemmt Wind immer?Die Geschwindigkeit des Flugzeugs gegen den Boden istbeim Hinflug v + w, die Flugzeit dl(v + w), beim Rückflugv - w, Flugzeit dl (v- w). Daß der Gewinn den Verlustnicht ausgleichen kann, sieht man schon am Fall w = v,wo sich die Hinflugzeit halbiert, die Rückflugzeit aberunendlich lang würde. Allgemein ist die GesamtflugzeitT = 2dvl(v 2 - w 2 ), z. B. bei w = vl 2: T = ~2d l v.1.2.10. Michelsou im FlußBeide Schwimmer bewegen sich mit v relativ zum Wasser.Damit der Querschwimmer überhaupt genau gegenüberankommt, muß w < v sein, und er muß seine Körperachseunter einem Winkel rp zur Uferlinie stellen, so daßcos rp = -w l v ist. Die Querkomponente seiner Geschwindigkeitist v sin rp, also braucht er hin und zurückt1 = 2bl vsin rp = 2blvJ1 - w 2 1v 2 . Der andere Schwimmerbraucht nach Aufgabe 1.2.9 t2 = 2bvl (v 2 - w2 ) =2bl v(1 - w 2 lv 2 ) . Der erste Schwimmer braucht also um