Lösungen zu den Aufgaben - Springer

"Kapitel 15: Lösungen 1175bekannten Massen von 1r und f.1 schließen, daß der Fehlbetragm . v stec k t. D ann mu ··ßt e sem . mJlv!l = mvVv, 2.mllvJl 1 2 +!mvv; = 0, was nur mit vll = Vv = 0 lösbar wäre: beideProduktteilchen müßten ebenfalls ruhen.15.2.15. Antiproton-ErzeugungDa zwei Protonenmassen neu zu erzeugen sind, sollte manzunächst glauben, daß für das stoßende Proton eine Energievon 2mHc 2 = 1,88 Ge V genüge. Dann wären alle Teilchennach der Reaktion in Ruhe (nur Ruhmassen!). Das ist abernicht möglich, denn der Impuls des stoßenden Teilchenskann nicht einfach verschwinden. Allerdings kommt manam billigsten weg, wenn die vier Teilchen nach der Reaktionalle relativ zueinander ruhen (aber nicht relativ zum Labor!).Gesamtenergie und Impuls der beiden Protonen vor der Reaktionseien Wund p, jedes der vier Protonen nach dem Stoßhabe W' und p'.Impulssatz: p = 4p' ,Energiesatz: W = 4 W 1oder V m~c4 + c2p 2 + m0c 2= 4Jm~c4 + c2p2l16,woraus mit leichter Rechnung folgt p 2 = 48moc 2 , alsoW = 8moc2, und für die kinetische Energie des stoßendenProtonsWkin = W- 2moc 2 = 6moc2 = 5,63 Ge V.15.2.16. Masse-Energie-ÄquivalenzDer Strahlungsdruck bei Emission oder Absorption einerIntensität I ist p =I I c (Abschn. 12.1.2). Auf die Fläche Awirkt die Kraft F = pA = JAic. In der Zeit At werden dieEnergie W = JA At und der Impuls P = F At = JA At I c =W I c übertragen. Die Raketenmasse M kommt dadurch aufdie Geschwindigkeit v = PIM = W I(Mc). In der Laufzeitllc verschiebt sich so die Rakete um x = vllc =Wli(Mc 2 ) nach "vom". Austausch der Laser muß den gleichenRuck nach "hinten" bringen, sonst ist der Schwerpunktsatzverletzt. Das ist der Fall, wenn der angeregte Laser um f.1massereicherist als der unangeregte. Dann bedeutet der Austauschpraktisch Verschiebung der Masse f.1 um l nach "vom",worauf die Rakete mit einer Verschiebung um f.-tliM nach"hinten" reagiert. Beide Rucke müssen gleich groß sein:f.-tliM = Wli(Mc 2 ), also f.1 = Wlc 2 .15.2.17. Photon-Ruhmasse?Wir nennen die Grenzgeschwindigkeit der Relativitätstheorieco und untersuchen, ob und wie weit die Photonengeschwindigkeitkleiner sein kann als co. Das Photon hat die EnergieW=hciJ..=Jp2 c~+m~c6=Jh 2 cöfJ..2 +m~c6 und diePhasengeschwindigkeit c = co J 1 + m~c~J.. 2 I h2 . mo ist dieangebliche Ruhmasse des Photons, p = hl J.. sein Impuls. cist größer als c0, aber die beobachtbare Photonengeschwindigkeit,die Gruppengeschwindigkeit v, ist kleiner:v = c- J..dcld}, = col J1 + m~cÖ}, 2 lh 2;::::: co(1- !m6c6J.. 2 lh 2 ) = co(1 -!m~lm 2 ),wo m = W lc2 = hi(J..c) die kinetische Masse des Photonsist. Bei einer relativen Verzögerung vonAvlc < 1 msl1 OOOJahre = 3 · 10~ 14 zwischen dem Rotunddem Blausignal von der Doppelstemverfinsterungschätzt man mo < m Av I c ;::::: 10~ 42 kg als Grenze für dieRuhmasse. Lange Radiowellen geben ein 1010mal kleineresm, aber die Meßgenauigkeit für die Laufzeit ist nicht so groß.Immerhin kann man so die obere Grenze bis auf 10~ 46 kgschieben. Die Reichweite eines ruhmassebehafteten Teilchensist nach Yukawa r = hl(moc). Mit mo;::::: 10~ 46 kg erhältman für r etwa den Abstand Erde-Sonne. Wenn es nureine Sorte Photonen mit dieser Ruhmasse mo gibt, deren kinetischeMasse und Frequenz verschieden groß sein können,weil ihre Geschwindigkeit sich in verschiedenem Grade conähert, gilt das Coulomb-Gesetz bis zur Sonne. Dieses Gesetzmit seinem r~ 1 -Abfall ohne Abschirmfaktor beruht nämlichdarauf, daß für jede Entfernung hinreichend langwelligevirtuelle Photonen zum Austausch verfügbar sein sollen(Abschn. 13.4.5). Schlimmstenfalls ist das in Sonnenentfernungnicht mehr der Fall, weil dann die Photonenruhmasseerreicht ist und kein größeres ). existiert. - Meßtechnisch mußder hier betrachtete Laufzeitunterschied sauber von dem getrenntwerden, der auf der Dispersion des interstellaren Plasmasberuht (Aufgabe 17.3.3). Bei Lichtwellen ist dieser Störeffektsehr klein, bei Radiowellen erheblich.15.2.18. Wird Andy es überleben?Bob hält, von seinem Bezugssystem aus betrachtet, das Schiffimmer parallel zu Andy, der mit v angeflogen kommt. DasSchiff hebt sich mit u senkrecht zu Andys Flugrichtung diesementgegen. Da Andy Lorentz-verkürzt ist, geht bei exaktemManövrieren alles gut. Für Andy müssen wir sauber unterscheidenzwischen dem, was er sieht, und dem, was ernach entsprechender Rückdatierung in seinem Bezugssystemals gleichzeitige Ereignisse betrachtet. Was er sieht,ist niederschmetternd: Er sieht das Schiff zunächst vor undetwas unter sich, mit dem Bug höher als dem Heck, d. h.für den geplanten Einfang gerade falschherum gekippt.Licht, das ihn vom Heck erreicht, ist nämlich früher emittiertworden als Licht, das ihn gleichzeitig vom Bug erreicht, undzwar um die Zeit Llc (L: Schiffslänge). Dementsprechendsieht Andy das Heck um ullc weiter unten als den Bug,d. h. das Schiff scheint um den Winkel ul c "falschherum"gekippt. Etwas später, wenn er genau über der Schiffswandist, scheint diese sich ihm aus dem gleichen Grund entgegenzuwölben.Diese Effekte verschwinden durch richtige Rückdatierung,sind also nur "optische Täuschungen". Es bleibtaber die Relativität der Gleichzeitigkeit. Wenn Andy nachrechts fliegt, ist seine Jetzt-Achse gegenüber Bob's um amit tan a = v I c nach links gekippt. Im gleichen Moment(für Andy), wo der Bug noch um y unter ihm ist (senkrechtzur Flugrichtung gemessen), ist das Heck nicht, wie Bobmeint, ebenfalls um y unter ihm, sondern nur um