Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1082 , Lösungen zu den Aufgabenfolgt v = vo ev'ax, y'a = ik für die Welle, y'a = r0 1 für Debye-Hückel.Bei Kugelsymmetrie wird 11v = Vrr + 2vrlr =av gelöst durch V= vo evar Ir (Verifikation durch Einsetzen).Die Amplitude der Kugelwelle geht wie eikr Ir, dieGegenionenkonzentration um ein Ion des anderen Vorzeichenswie e-.Jlir Ir. Im zylindrischen Fall/1v = Vrr + vrlrgibt es keine so einfache Lösung, auch hier unterscheidensich aber die beiden Fälle nur durch ein i im Exponenten.6.4.9. ElektrophoreseWenn man in der Schicht ein Feld E erzeugt, so daß eineStromdichte j = (JE fließt, wird in der Schicht eine Leistungsdichteq =jE= (JE 2 als Wärme freigesetzt. Diesekonstante Quelldichte bedingt nach der Wärmeleitungsgleichungin der Schicht ein Temperaturprofil, so daßq = AT". Wenn nur an der Grenze mit dem Kühlblock einWärmestrom abgeführt wird, also ein Temperaturgradient besteht,dagegen nicht an der anderen Seite der Schicht, wo siean Luft grenzt, ergibt sich ein Profil in Form einer HalbparabelT = To + ! T" x 2 = To + ! qx 2 I}, (x: Abstand vonder an Luft grenzenden Geloberfläche). Wenn der Kühlblockalle Joule-Wärme abführen kann, ist das Gel, wo esan Luft grenzt, um 11T = !qd2 I A wärmer als der Kühlblock.Wegen dieser d 2 -Abhängigkeit macht man das Gelso dünn wie möglich. Typische Werte sind E;:::; 5 000 V/rn,(J;:::; 1 n-1 m- 1, ),;:::;0,3 wm-1 K- 1, also q;:::;2 · 107 wm-3 ,11T;:::; 3 · 10 7 d 2 (d in Meter). Kühlt man beiderseits, erhältman eine um die Gelmitte symmetrische Parabel als T­Profil. Die Differenz zwischen maximaler (hier in der Mitte)und minimaler Temperatur ist dann nur ~ so groß wiebei einseitiger Kühlung. Abgesehen von der Gefahr des"Schmorens" haben dicke Gelschichten den Nachteil, daßdie Banden, in denen eine bestimmte Substanz konzentriertist, in den verschiedenen Tiefen der Gelschicht verschiedeneBeweglichkeit haben. Es ist also eine um so schärfere Auflösungund Trennung möglich, je dünner die Schicht ist. DieBeweglichkeit eines Moleküls ist aus mehreren Gründentemperaturabhängig: (1) Der Ladungszustand des Molekülsfolgt einer Boltzmann-Verteilung mit der Abtrennarbeitder Ladung (hier meist Protonen) im Exponenten. Für vieleionisierbare Molekülteile wie COOH- oder NHz-Gruppen istdiese Abtrenn- bzw. Anlagerungsarbeit so groß, daß dieseGruppen bei mittlerem pH praktisch alle entweder geladenoder neutral sind. Interessant für die Trennung ist aber oftgerade der pH-Bereich, wo das nicht der Fall ist, bzw.sind solche Gruppen, deren Ladungszustand in der Schwebeist. Ihr Ionisierungsgrad kann sich bei einigen Grad Temperaturunterschiedleicht um einen Faktor 2 ändern. Dazu mußdie Abtrennarbeit in der durchaus üblichen Größenordnungvon knapp 1 e V liegen. (2) Außer vom Ladungszustanddes Moleküls hängt die Beweglichkeit von der Ausdehnungder Gegenionenwolke ab, die sich um die geladenen Gruppenversammelt, also von der Debye-Hückel-Länge. Diese istebenfalls T-abhängig, wenn auch viel schwächer, nämlichr"" T 1 1 2 • Im einzelnen sind die T-Abhängigkeiten der Beweglichkeitenoft sehr kompliziert.6.5.1. KondensationskeimeWassermoleküle mit ihrem hohen Dipolmoment lagern sichum die Ionen und wenden ihnen, soweit wie möglich, ihreentgegengesetzt geladenen Seiten zu. So entsteht ein Aggregat,das von außen mit der gleichen Polarität geladen erscheintwie das Ion und das daher weitere Dipolmolekülebinden kann. Quantitativ führt die Kontinuumsbetrachtungweiter. Man schreibe die Energieanteile eines Tröpfchensvom Radius r auf: Volumenenergie Wv = - ~ 1rr 3 Q}, (}, spezifischeKondensationsenergie in J/g, negativ verglichenmit der Energie im Dampfzustand); OberflächenenergieWOb = 47rr 2 (J ((J Oberflächenspannung); Coulomb-EnergieWel = Q 2 I ( 4m:or) ( Aufladung Q; W positiv als Abstoßungsenergie).Um zu entscheiden, ob und wie sich mehr Wassermolekülean das Tröpfchen anlagern, muß man versuchsweisedie Masse öm anlagern, die den Tropfenradius um Örwachsen läßt (om = 47rQr 2 or) und den spezifischen Energiezuwachsdabei ausrechnen:oW Iom = oW lor · 1l(47rQr 2 )= -}, + 2(J I (Qr) - Q 2 I (167r 2 t:oQr 4 ).Ohne Ladung erhält man eine Hyperbel, die bei kleinem rsehr hoch geht: Das Wachsen sehr kleiner Tropfen bringt einensehr viel geringeren Energiegewinn als normalerweise,ist also nur bei riesiger Übersättigung möglich. Schon beiQ = e dage en erhält man eine Kurve mit einem Maximumbei r =3e2 I ( 81r2 t:o(J) ;:::; 8 Ä und einer Höhe von 170 J/ g,d. h. einer Reduktion der Kondensationswärme um höchstensetwa 10%. Diese Hürde wird schon bei geringfügigerÜbersättigung überwunden. In der Wilson-Kammer erzeugtman solche Übersättigungen durch adiabatische Entspannung.Die Niederschlagsbildung wird durch künstliche Ionenbildungangeregt: Einstreuen leicht photochemisch ionisierbarerSalze wie Silberjodid, direkte Luftionisierung durchStrahlung, besonders y-Strahlung und sehr schnelle Elektronen.6.5.2. Akku-GewichtIdealerweise wird ein Molekül Pb02 oder Pb durch Übergangeiner Elementarladung in PbS04 verwandelt (entladen). InWirklichkeit ist nur etwa! davon ausnutzbar. I kg Bleiplatte(Mittel zwischen Pb und Pb0 2) hat 4,3 mol, d. h. 2,6 . 1024Moleküle, erlaubt also idealerweise den Übergang von4,1 · 105 C ;:::; 110 A h, realerweise nur von 35 A h. Mit derZellenspannung von 2,02 V und fast dem gleichen Gewichtan Säure kommt man auf 30-40 Wh/kg.6.5.3. AnlasserBei einem 30kW (40 PS)-Motormuß der Anlasser etwa 3 kWaufbringen. Der 12 V-Batterie werden dabei 250A entnommen(Verlustfreiheit vorausgesetzt). Damit im Kabel höchstensRI = 0,5 V Spannungsabfall erfolgen, darf sein WiderstandR höchstens 4 · 10- 3 Q sein. Dies erfordert bei 2mLänge einen Kupferquerschnitt A = QliR ~ 16mm2. Ineinem Kabel von 1 mm 2 Leiterquerschnitt und 2m Längewürden bei 250 A nicht weniger als 8,5 V abfallen. Auch