Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIII1168 : : Lösungen zu den Aufgabenalso einige kTsonne. Tatsächlich ist das doppelte T-Verhältnis(zwei Träger!), also 10% heute typisch.14.4.14. Goethes LeuchtsteineSchwerspat = Bleiglanz = Galenit = PbS (Dichte 7 600 kg/m 3 ). Das ist der erste historisch nachweisbare Beleg für dieTatsache, daß selbst schwaches blaues Licht irgendwie mehrEnergie enthält als starkes rotes (falls nicht schon babylonischeMaurer wußten, daß Bier in grünen Flaschen in derSonne eher verdirbt als in braunen). Goethes zweiter Effektheißt heute "Ausleuchten": Auch niederfrequente Photonenkönnen Elektronen aus "Traps" befreien, wenn auch nichtüber die ganze verbotene Zone heben (vgl. Abschn. 14.4).14.6.1. DiffusionDie Annahmen, die man bei der Behandlung von Kettenmolekülenmit frei drehbaren Gliedern macht, sind genaudieselben, die der Diffusionstheorie zugrundeliegen (vgl.z. B. Aufgabe 5.2.22). Man ersetze einfach "Länge desKettengliedes a" durch "freie Weglänge /" und "Anzahlder Gliedern" durch "Anzahl der freien Weglängen vtll".Die Funktion P(r) dV wird dann zur Wahrscheinlichkeit,daß ein Teilchen von r = 0 aus in der Zeit t im VolumendV um r landet, oder P(r) ist als Teilchenzahldichteaufzufassen, die sich entwickelt, wenn viele Teilchen allevon r = 0 wegdiffundieren. Durch Umdeutung vona und n schreibt sich P als P(r) dV = Bt-312 e-Ar 2 /t mit A= 3l(2vl) und B= Jr- 2 1 3 27 I (8v 3 l 3 ). Daß dies eineLösung der Diffusionsgleichung P = D AP ist, siehtman sofort durch Ausführung der Differentiationen:F=(Ar 2 lt-~)Br 5 1 2 e-~r 2 / 1 , AP = Prr + 2Prlr =(4Ar21t-6)ABt-512 e-Ar/t. Es muß also D = li(4A) =vll3 sein, wie wir schon wissen (Abschn. 5.4.6). Bei t = 0wird b = oo, also zieht sich die Gauß-Kurve auf einen unendlichhohen b-Berg bei r = 0 zusammen. Der Faktorb3 rv t-312 beschreibt die Abnahme der Höhe des Berges,der dadurch bei seinem Auseinanderlaufen stets das gleicheVolumen behält.14.6.2. Escargots gratinesDie "mittlere freie Weglänge" der Schnecke sei l, ihreMarschgeschwindigkeit auf einer solchen Strecke v. Es bestehekeinerlei Zusammenhang zwischen den Richtungen dereinzelnen Wegstrecken l. Dann ergibt sich für das mittlereVerschiebungsquadrat nach der Zeit t, also nach N = tv I lfreien Weglängen, der Wert Ax2 = N/ 2 = lvt. Die Schnekkenhaben sich über die ganze Fläche verbreitet, wenn~größer geworden ist als der mittlere Abstand a zwischenden Ausbreitungszentren. Mit a = 50 km, l = 20m,v = 2 mm/s folgt für diese Zeitspanne t = a 2 I ( lv) ~6 · I 0 10 s ~ 2 000 Jahre. Damit sollte es, abgesehen von ökologischenGesichtspunkten, überall in Deutschland Weinbergschneckengeben, aber immer noch mit merklicher Konzentrationum die Klöster ( ~ ~ 35 km).14.6.3. Random walkWenn zwischen Wirtshaus und Wohnhaus freies Feld liegt,handelt es sich um ein zweidimensionales Diffusionsproblem.Bei der Schrittlänge l = 0,8 mundder Schrittfrequenzv = 1 s~st das mittlere Verschiebungsquadrat in der Zeit twieder Ax2 = vtz2. Es geht aber nicht nur darum, die Streckea zurückzulegen, was im Mittel die Zeit t = a 2 I ( vP) erfordert,sondern dabei das Haus zu treffen, d. h. in einen Winkelbereichb I a zu kommen, wofür die Wahrscheinlichkeitb I (21ra) ist. Also dauert der Heimweg im Mittel t =2Iralb·a 2 1(vz2)=2Jra 3 l(bvz2), bei a=150m, b=25malso t ~ 14 d, was schon vorgekommen sein soll.14.7.1. Perfekter LeiterWenn in einem normalen Leiter () unendlich würde, müßtejedes E-Feld zusammenbrechen. Das folgt z. B. aus Poisson-und Kontinuitätsgleichung: div (JE = -Q, eeo div E =Q, also i! = -eeoal(), Q = Qo e-t/r mit r = eeol(). Für Egilt dieselbe Abhängigkeit. Bei () = oo brechen jede Raumladungund jedes E-Feld sofort zusammen. Mit E verschwindetauch rot E, also gilt im perfekten Leiter iJ = 0. Jedes B­Feld, das vor dem Übergang bestand, bliebe eingefroren,selbst wenn man es außerhalb des Leiters abschaltet. Mankann sich vorstellen, daß der leiseste Versuch einer B-Änderunginnen sofort einE induzierte, das irrfolgerot H = (JE dasB-Feld wiederherstellte. Beim Supraleiter wird umgekehrtdrinnen B = 0, selbst wenn man draußen ein Feld aufrechterhältoder einschaltet. Dies zeigt, daß die Maxwell-Gleichungenin ihrer üblichen Form im Supraleiter nicht gelten.14.7 .2. Meißner-Ochsenfeld-Effekt(a) Während des Überganges zur Supraleitung induziert daszusammenbrechende B-Feld ein E-Ringfeld (rotE= -B),das die Elektronen gemäß mv = -eE beschleunigt. DieStromdichte ändert sich also wie)= nev = -ne 2 m- 1 E,d.h. rot)= -ne2m-1rot E = ne2m-1 B = ne 2m-1p, 0 H. Daandererseits rot H = j, rot ii = ), folgt. . ne2 .rot rotj = -Aj = -p, 0 j. (L. 4)mIm ebenen Fall (x von der Wand eines hinreichend dickenDrahtes nach innen gerechnet) heißt das)" = -ne2m-1 p,r),also)= )o e-x/d mit d = Jml(ne2 p, 0 ). Dieselbe Ortsabhängigkeitgilt auch für j selbst. Mit n = 1023 cm-3 folgtd = 700A.(b) Um zu zeigen, daß mv- eA = 0, multipliziere mandies mit ne Im und bilde zweimal die Rotation. Man erhältgenau (L. 4). Streng genommen muß man, um diesen Schlußauch umkehren zu können, zeigen, daß j divergenzfrei istUedes Vektorfeld ist Summe einer rot und eines grad, unddiv grad = 0). div j = 0 folgt aber daraus, daß sich nirgendsLadung anhäufen darf. Während jeder Änderung von A ist,wenn kein übliches elektrisches Feld -grad rpvorliegt,E = -Ä., also werden die Elektronen beschleunigt wiemv = -eE = eÄ.. Der Wert mv - eA ändert sich alsonicht, wenn keine anderen Kräfte im Spiel sind. Der Normalleiterim statischen B-Feld hat j = 0 (kein Strom) undA =J 0,auch der perfekte Leiter würde also mv - eA =J 0 behalten.Beim Übergang zum Supraleiter sind offenbar andere Kräfteim Spiel, eben die Cooper-Bindungskräfte.