Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1034 : Lösungen zu den AufgabenWE: Winkelgeschwindigkeit der Erde). Bei wR = 100 rnlsfolgt wRwE >::; 10~ 2 m s~ 2 . Gegen ein evtl. Kippmomentder Schwerkraft bei nichtzentraler Lagerung könnte diesesMoment nichts ausrichten, aber bei sorgfältiger Lagerungüberwindet es leicht die Reibung. ~ In einer Kurve vomRadius r kompensieren einander die Momente der Zentrifugalkraftauf den Kreisel. Es bleibt die zusätzliche Coriolis­Kraft infolge der Rotation um eine Achse, die durch denKrümmungsmittelpunkt der Kurve und (bei horizontalerBahn) den Erdmittelpunkt geht. w = v Ir ist i. allg. vielgrößer als WE; damit der Kompaß nicht in Richtung dieserRotationsachse mißweist, macht man sein Trägheitsmomentso groß, daß er solchen meist relativ kurzzeitigen Momentennicht erheblich nachgibt. Bei der Fahrt auf einemGroßkreis ergibt sich eine Mißweisungskomponente in Richtungder Achse dieses Großkreises. Bei Schiffsgeschwindigkeitenist dieser Einfluß gering. Für ein Flugzeug, das mit460 rnls ostwestlich längs des Äquators fliegt, ist keine Rotationvorhanden, denn es steht immer am gleichen Punkt desraumfesten Bezugssystems. Sein Kreiselkompaß ist im indifferentenGleichgewicht. Bei westöstlichem Flug verdoppeltsich die Richtkraft ohne Richtungsänderung, der Kompaßspricht stärker ohne Mißweisung an. Bei nichtäquatorialemFlug sind Korrekturen anzubringen. Fester Kurs, d. h. festerWinkel zum Meridian, bedeutet Abweichung vom Großkreis(Loxodrome). Hier überlagert sich die Mißweisung der Großkreisfahrtmit dem kleineren Effekt der "Kurve", d. h. derAbweichung vom Großkreis.2.4.9. GeschoßdrallOhne diese Kreiselwirkung der Drallstabilisierung würdedie Geschoßachse unter dem heftigen Luftwiderstand wildzu schwanken beginnen. Wenn das Geschoß sich durchden Lauf schrauben muß, dreht es sich beim Vorwärtsschiebenum dx um einen Winkel d1p, so daß rd~p =d.xtan cx. Entsprechend ist seine Winkelgeschwindigkeitw = vtancxlr. Die Gesamtenergie (Translation+ Rotation)ist ~mv 2 + ~Jw 2 . Der Zylinder hat J = Ql J27rr 3 dr =~1rlr'1-=~mr, also folgt f.1= m(l+~tan 2 cx). Fürvo = 1500ms~ 1 (entsprechend einem Brennwert von6 000 J/g mit mpuJver >::; mGeschoß und über 50% Energieverlust)folgt bei 2r = 76 mm eine Rotationsfrequenz von2300Hz. Das 5 kg-Geschoß mit J = 4 · 10~ 3 kg m2 hatden Drehimpuls L = 60 J s. Der Luftwiderstand übt auf dasum ß gegen die Bahn geneigte Geschoß (das ja seine Ein-stellung beibehalten möchte) ein Drehmoment von etwasin ßDQL v2lrl >::; 100 sin ß aus. Das führt zu einer Präzessionmit wp = D I (L sin ß) >::; 1 s~ 1: Präzessionsperiode einigeSekunden. Diese Periode ist nicht klein gegen die Gesamtflugzeit,manchmal sogar größer. Die Geschoßachse zeigtalso überwiegend auf die Seite der Bahnebene, wohin siezuerst ausweicht. Bei Rechtsdrall ist das die rechte. Derschräge "Fahrtwind" schiebt daher das Geschoß nach rechts(viel mehr als die Coriolis-Kraft).2.4.10. SonnensystemIn einer Kugel gleichförmiger Dichte ist OJ unabhängig von r.Das folgt aus der Parabelform des Potentials (Abb. 1.50,genauer begründet Abschn. 6.1.4 und Aufgabe 6.1.6).Nimmt die Dichte nach außen ab, tut es auch w. In derSpiralgalaxie mit massivem Kern gelten angenähert die Kepler-Gesetze,speziell das dritte: w 2 r = GM I r 2 , alsow = y' GM I r 3. Wenn ein Bereich vom ursprünglichenRadius Ro sich verdichtet, rotiert er in seinem eigenenBezugssystem, das mit w ums Zentrum der Galaxie läuft,mit w' = Ro dOJ I dr und hat einen Drehimpuls L >::;MRÖw' >::; MRÖ dwldr ~ M 2 Q0 1 dwldr, den er auch behält.Für eine Spiralgalaxie schätzen wir dw I dr ~10~ 35 m-1 s-1 (aus M ~ 1040 kg, r ~ 1020 m). Wenn dieVerdichtung durch Anlaufen. der Kernfusion zum Stern gewordenist, hat sie den Radius R,. Das Verhältnis von Zentrifugalkraftzu Gravitation ist dann wy Rj/ (GM) ~(dwldr) 2 MI(R1QÖG). Einsetzen der Zahlenwerte liefertfür die Sonne ein Verhältnis um 10. Tatsächlich hat dieSonne ja auch den größten Teil ihres Drehimpulses insPlanetensystem gesteckt ~ wie, das ist noch nicht ganz geklärt.Der Schweredruck im Sterninnern ist p ~ M 2 1 R 4(Aufgabe 5 .2.6), die Dichte Q ~ MI R3 , also die TemperaturT ~ p I(! ~ MIR. Danach sollte, wenn T im Zentrum allerSterne gleich ist, auch MIR und damit das VerhältnisZentrifugalkraft/Gravitation gleich sein. In Wirklichkeit istR ~ W' 6 , und daher sinkt bei sehr schweren Sternen,die auch sehr hell und heiß sind (oben links in der Hauptreihedes Hertzsprung-Russel-Diagramms), dies Verhältnisunter 1. Sie konnten sich ohne Abspaltung eines Planetensystemsbilden, rotieren dafür aber, wie der Doppler-Effektin ihren Spektren zeigt, auch sehr viel schneller als dieSonne. Jedenfalls läßt sich auf dieser Basis ein ziemlichkonsistentes Bild von der Entstehung des Sonnensystemszeichnen, wenn es auch nicht das einzig mögliche ist.3.1.1. Seemannsgarn?Die Kompressibilität des Wassers ist 5 · 10~ 6 cm 2 1N =5 · 10~ 5 bar- 1 . In lOkm Tiefe herrschen 1 OOObar. Das Wasserist dort also um 5 % dichter. Die mittlere Dichte der Materialieneines Schiffes müßte genau zwischen 1,02 (Seewasseran der Oberfläche) und 1,07 g/cm3 liegen, damit esschweben bliebe. Gewöhnlich bleibt Luft im Wrack. Siekomprimiert sich viel stärker, also nimmt die Sinktendenzmit zunehmender Tiefe zu.3.1.2. AufstiegBeim Aufstieg aus 10 km Tiefe dehnt sich das Wasser aus.Die dazu nötige Energie wird seinem Wärmevorrat entzogenund kann ihm bei schnellem (adiabatischem) Aufstieg nicht