Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 18: Lösungen 120318.1.8. FeldlinienIn einem Potentialfeid kann man die Feldstärke, hier i:, alsGradient einer Potentialfunktion ip(x, y) darstellen: i: =(x,y) = (f(x,y),g(x,y)) = -(qJx,(/Jy)· (Index: Partielle Ableitung.)Wenn eine solche Funktion existiert, spielt die Reihenfolgeder Ableitungen nach x und y keine Rolle: Es muß(/Jxy = (/Jyx sein (Cauchy-Riemann-Dgl.), was hier bedeutetjy = gx und im linearen System zweiter Ordnung mit derMatrix ( ~ ! ) einfach b = c. Die Matrix muß symmetrischsein. Nach Aufgabe 16.1.4 sind die Eigenvektorendann orthogonal, die Eigenwerte ~ (a + d) ±~V (a - d) 2 + 4b2 immer reell. Das Potential (/1 ist leichtzu finden: qJ = -(~ax 2 + bxy + ~dy 2 ). Die Koordinatendrehung,die A diagonalisiert, bringt (/1 auf die Form(/1 = - ~ (.~. 1 x2 + A2y2). Niveaulinien sind Ellipsen- bzw.Hyperbelscharen, je nachdem, ob die Eigenwerte gleicheoder verschiedene Vorzeichen haben. Damit ein System dritterOrdnung ein Potential hat, muß rot x = 0 sein (vgl. Aufgabe6.1.4). Mitx = (u, v, w) bedeutet das Wy = Vz, Uz = Wx,Vx = uy. Auch die 3 · 3-Matrix muß symmetrisch sein, dieEigenwerte sind reell, die Eigenvektoren orthogonal.18.1.9. GrenzzyklusNatürlich ist dies nur eine hinterlistige Verkleidung vonr = r- (b- ccosrp)r2, ip = alr2, wie man mühsam feststellt.Einen Fixpunkt gibt es nicht, denn ip wird nie 0.r = 0 liefert den Grenzzyklus r = l I ~b- c cos (/1 ), der mitder Winkelgeschwindigkeit ip = alr durchlaufen wird.Das sieht aus wie der Flächensatz, das zweite Kepler-Gesetz,und tatsächlich gibt r( rp) mit b = 1lp, c = elp die Polarformder Kepler-Ellipse. Bezeichnen wir das Grenzzyklus-r( (/1) alsr 0 (rp) und nehmen eine kleine Abweichung Q(rp) davon an,dann gilt r=ro+i!=ro+Q-(rÖ+2roQ)(b-ccosrp),also (! = -Q: Die Abweichung klingt mit Q = Qo e- 1 ab,die Bahn ist stabil. Natürlich ist damit nichts über die Stabilitätdes Sonnensystems gesagt, denn der Grenzzyklus wurdeauf ganz mechanik-widrige Weise erzwungen, wie schon dieunsinnigen Einheiten zeigen.18.1.10. Linearer GrenzzyklusWir schreiben die n Systemgleichungen für die n Komponentenvektoriell: i: = Ax + b. Es soll i: = 0, alsoAx = -b sein. Bei b =/= 0 und einer Determinante lA I =/= 0gibt es genau eine Lösung, d. h. genau einen Fixpunkt(Berechnung nach der Kramer-Regel). b = 0 und lAI =/= 0läßt nur die "triviale" Lösung x = 0 zu; dort ist der einzigeFixpunkt. Den Fall lAI = 0 studieren wir für n = 2:ax + by = -c, dax + dby = -e führt zum Widerspruch,außer bei e = dc. In diesem Fall ist jeder Punkt der Geradeny = -(ax + c)lb eine Lösung von i: = 0. Aber es gilt jay = dx, also y = dx + f (j = Yo- dxo). In die erste Gleichungeingesetzt: x = (a + bd)x + c + bf = Ax + B mitder Lösung x = (x0 + BIA) eAt- BIA. Bei A > 0 geht dasgegen Unendlich, bei A < 0 gegen -BIA. Die Anfangsbedingungenselektieren also nur höchstens einen Punkt derGeraden als Fixpunkt. Grenzzyklen gibt es in linearen Systemennicht.18.1.11. PendelBewegungsgleichung mli:i. + mg sin a = 0. Der Phasenraumhat die Koordinaten a und a. Der Energiesatz liefert Wkin= ~ mz2a 2 = Wpor = mgl( cos IY.- cos ao), vom Vollausschlagao an gerechnet, also a = vfii!l..Jcos a - cos ao. Beim kopfstehendenPendel ao = 1r folgt a = vfiill..jl + cos a =vfiillcos(al2). Diesecos-Linie trennt die geschlossenenTrajektorien ohne Überschlag von den offenen mit Überschlag.Nur ganz innen (für kleine a0 ) liegen die Ellipsendes linearen Schwingers.18.1.12. ElektronenstoßDer Energiesatz liefert die geschlossene Lösung v =e I ..j2m3om,/1 Ir - 1 I ro. Bei r = ro, vo = 0 beginnt eine zunächstgeringe Beschleunigung; nahe dem Proton kommt esauf die Anfangswerte kaum noch an; dazwischen liegt einWendepunkt bei r = 3rol4 (Nullsetzen der zweiten Ableitung).Über die Grenzkurve v = e I ..j2Jrmeor für ro = ookommt keiner hinaus, der mit vo = 0 beginnt.18.1.13. AbsturzDies ist nicht mehr geschlossen, sondern nur noch durch Iterationlösbar: mv = mg- !AQo e-h/Hv 2 . Wir wissen aber:Nach kurzer Zeit mündet v(h) in die stationäre Kurvev, 1 "' e-h/(ZH) ein, die sich aus der Gleichheit von Schwerkraftund Luftwiderstand ergibt. Diese Einstellzeit folgt annäherndaus gt = Vsr. ist also in der Höhe länger.18.1.14. MeteoritOberhalb von etwa 80 km ist die Luft so dünn, daß abgesehenvon der leichteng-Änderungdie liegende Parabel des freienFalles herauskommt. Um 80km geht sie in die e-Kurve derstationären Geschwindigkeit über. Diese Höhe sinkt, die Endgeschwindigkeitsteigt mit zunehmender flächenbezogenerMasse des Körpers.18.1.15. StabilitätsbedingungGraphisch: Ein Fixpunkt von x +-- f(x) ist ein Schnittpunktder Kurve y =f(x) mit der Geraden y = x. Die Spinne,die von x zur Kurve steigt und dann waagerecht zur Geradengeht, um das neue x zu finden usw., landet schließlich imFixpunkt, falls die Kurve die Gerade dort von oben kommendschneidet, aber nicht steiler als 45° (vgl. Aufgabe3.3.27). Analytisch: In der Nähe des Punktes x, mitXs = f(xs) schreiben wir x = x, + u und linearisierenXs + ut+! =f(xs + u1) =f(x,) + f'(x,)u1, also Ut+I = Au1mit A = f'(x,). Danach ist u 1 = A 1 uo. Dies geht gegen 0oder gegen oo, die Abweichung von x, verschwindet alsooder wächst unbegrenzt, je nachdem, ob lf'(xs)l § 1.18.2.1. Ein IntegralEs s_ei 1,: = I ~in 211 x dx. Der Integrand sin 2 n-I x sin x ~r~i~t,partteil mtegnert, - sm 2 "- 1 x cos x - (2n - 1) I sm " 2x cos 2 x dx. Mit den Grenzen 0, 1r 12 verschwindet der ersteTerm. Im zweiten setzt man cos 2 x = 1 - sin 2 x, womit