Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 16: Lösungen 1193stungsabfall bemerkbar, und ein Resonanzhohlraum kann alsSteuerorgan einer Uhr dienen.16.4.5. PotentialeInnerhalb der Schwelle wird k imaginär, also fällt die Wellenfunktionab wie 1/1 = 1/Jo e-Kx im ebenen bzw.I/J = l/f 0 r- 1 e-nim kugelsymmetrischen Fall. Das Quadrat davon gibt dieDurchtrittswahrscheinlichkeit eines Teilchens. Wenn diesesTeilchen das Quant eines Kraftfeldes ist, verhält sich das Potentialdieses Feldes entsprechend: cp,...., r-1 e-n ist das Potentialum eine Punktquelle von Feldquanten. Für Feldquantenmit einer bestimmten Ruhmasse m (Pionen der Kernkraft)ist als Potentialschwelle die Erzeugungsenergie U = mc 2 anzusetzen,also hat K den Wert ..;2mUj1i ~ mc/1i (Yukawa­Potential). Ein solches Potential erhält man auch für eineZentralladung, deren Feld durch freie Gegenladungen abgeschirmtwird (Debye-Hückel-Potential, Abschn. 6.4.6). Beider chemischen Bindung, die durch Elektronenaustausch vermitteltwird, kommen ähnliche Potentiale vor. Bei Feldquantenohne Ruhmasse tritt keine Schwelle U von bestimmterendlicher Größe auf. Dann bleibt nur das 1/r-Potential derCoulomb-Kraft.16.4.6. Chemische BindungWenn der H-Operator bekannt ist, kennt man im Prinzip auchseine Eigenfunktionen, d. h. die möglichen stationären Zustände,und die Eigenwerte. Jeder nichtstationäre Zustandist eine Linearkombination der Eigenzustände: 1/1 =I: cifk· Welchen Zustand das System z. Z. einnimmt, isteine Frage der Vorgeschichte und gehört nicht zur allgemeinenKennzeichnung. Wie sich ein gegebener Ausgangszustandzeitlich weiterentwickelt, ist wieder vollständig durchH in der Form ;p = ili- 1 Hl/f bestimmt, oder in nach den fkentwickelter Form i:; = ili- 1 I:H;kCk· Die Quantenmechanikbehauptet also auch nicht mehr zu wissen als die klassischeMechanik, die die wesentlichen Eigenschaften eines Systemsz. B. durch die Abhängigkeit seiner Energie von denKoordinaten und Impulsen der Einzelteilchen ausdrückt,die Anfangswerte dieser Koordinaten und Impulse aberauch als zufällig ansieht. - Der Grundzustand eines Systems,also der energieärmste Zustand, entspricht natürlichdem tiefsten Eigenwert. Wenn das Eigenwertproblem abernicht direkt lösbar ist, wie meist, nutzt diese Tatsache nurindirekt. Der exakteH-OperatorseiH =Ho +H', die Eigenfunktionenvon H 0 seien /b wir entwickeln die exakteEigenfunktion 1/1 = I: cifk· Statt die übliche Störungsrechnungzu treiben, fragen wir: Bei welchen Werten der qwird die Energie des Zustandes minimal? Diese Energieist W = 1/1* · Hl/1 (diese Formulierung ist sogar allgemeiner,denn sie trifft nicht nur für Eigenwerte, sondern auchfür Erwartungswerte von W zu). Entwickelt: W =2::; k c'Jt · ckHfk = 2::; k cjckHik· Das soll minimal sein,' ,also öW = 2::;(8W /8c;) Öc; = 0 mit der NebenbedingungI:cf = 0 (Normierung). Bei der Bildung von 8Wj8c; störenzunächst die cj. Wir betrachten das Glied c'kc;Hki· SeineAbleitung nach c; ist c'kHki· Unter den q kommt c; aber auchvor. Die Ableitung ergibt sich mittels 8/8cj = (8/8c;)* alsqH~. H ist hermitesch, d.h. H~ = Hki· Es folgt 8W j8c; =I:k cZHki· Wären die c; unabhängig, könnte man alle dieseAusdrücke Null setzen und hätte das Minimum. Es sollaber I: cf = 1 bleiben. Diese Bedingung wird nachLagrange (Abschn. 17.1.5) berücksichtigt, indem man dieVariation von I: cf !Jlit dem noch unbestimmten Faktor IXmultipliziert und zu ÖW addiert:ÖW+IXÖLc; =2'L::c'kHk;+21Xc7 =0oder I: Hk;c'k = -rxcj. Hier ist der Vektor c'k mit der MatrixHki multipliziert, und herauskommen soll wieder c'k maleinem Zahlenfaktor -IX. Das ist nichts weiter als die Eigenwertgleichung.Die Suche nach einer Eigenfunktion des Systemsund die Suche nach dem Zustand minimaler Energiesind völlig äquivalent. Verfahren wie das von Ritz, bei denendie Eigenfunktionen aus geeigneten einfachen Funktionenmit Koeffizienten zusammengesetzt und die Koeffizientendann so bestimmt werden, daß die Gesamtenergie minimalwird, sind im wesentlichen identisch mit der Störungsrechnungoder dem Fall zweier schwach gekoppelter Teilsysteme(Aufgaben 16.4.1, 16.4.2, 16.4.4). Wir können dieErgebnisse übernehmen: Annäherung zweier identischerTeilsysteme bringt Überlagerung der Teilzustände zu einemsymmetrischen und einem antimetrischen Zustand mit Energien,die gegenüber der Gesamtenergie der getrennten Systemeum die "Resonanzenergie" abgesenkt bzw. angehobensind. Das ist die Grundlage der Theorie der homöopo1arenBindung (Heitler und London), ist aber viel allgemeiner gültig(Aufgaben 16.4.4, 16.4.5).16.4.7. Wird er Doktor?Physiker A mißt z. B. ein Magnetfeld H. Kommt es vomSpin eines um r entfernten ruhenden Elektrons (Hr) odervon einem mit v bewegten Elektron ohne Spin? NachBiot-Savart ist Hv ~ evjr2, nach Aufgabe 7.2.3 Hr ~eh/(4mr 3 ). Der Abstand r sei bis auf !1r festgelegt. Der entsprechendeFehler in Hr ist 11Hr ~eh !1r/(mr 4 ). Wegen derUnschärferelation muß dann ein !1v ~ h/(m!1r) in Kaufgenommen werden, also 11Hv ~ eh/(mr 2 !1r). Der gesamteH-Fehler !1H = 11Hr + 11Hv wird minimal für !1r ~ r,nämlich !1H ~ 2eh/(mr3 ). Der Fehler ist prinzipiell nichtkleiner zu machen als der zu messende Effekt, oder umgekehrtsind Hr und Hv im günstigsten Fall gleichgroß.16.4.8. Zwei ElektronenDie Gesamtenergie W des Systems besteht aus den drei potentiellenWechselwirkungsenergien der drei Teilchen undder kinetischen Energie der Elektronen, die gleich der vonder Unschärferelation geforderten Nullpunktsenergie infolgeder Einsperrung auf einen Bereich vom Radius r ist.Aus !1p · 2r ~ h und Wkin = !1p 2 /(2m) erhält man annäherndWkin ~ h 2 /(8mr 2 ). Wir setzen allgemeiner anWkin = ah 2 /(mr 2 ) und bestimmen a aus dem Fall des H­Atoms. Es hat W = -e 2 /(47reor) + ah/(m?), was minimalwird für 8Wj8r = 0, d.h. r 0 = 81rae0h 2 j(me 2 ). Die Mini-