Lösungen zu den Aufgaben - Springer

"Kapitel s: Lösungen 1059Das mittlere Geschwindigkeitsquadrat (entsprechend dermittleren Energie) istv2 = _!_a3f2h = _!_a3f2~ (~..fii ..fii da 2 2 VE) = 3kT-;; m 'ganz wie die Grundgleichung der Gaskinetik und der Gleichverteilungssatzdas verlangen.5.2.26. ReaktionsrateDer Bruchteil der Moleküle, die zum gegebenen Zeitpunkteine höhere Energie haben als die AktivierungsenergieWA, ergibt sich aus der Fläche des "Maxwell-Schwanzes" zua =rXJ f(W)dW ~f(WA)kT = 2_ ;w;:e-WA/(kT).lwA..fiiYkfWenn der gasförmige Brennstoff A und der Sauerstoff stöchiometrischsind, im einfachsten Fall wie 1 : 1 (z. B. beiCH30H + 02--+ C02 + 2H20), stößt jedes Molekül A inder Sekunde nva-mal mit einem 02 zusammen. (n Teilchenzahldichte,v thermische Geschwindigkeit, a Stoßquerschnitt.)Die n Moleküle A, die im m3 sind, machen insgesamtn2va Stöße mit 0 2-Molekülen. Davon führt aber nurein Bruchteil a zur Reaktion, wobei jedesmal die EnergieWR frei wird. Die Gesamtleistungsdichte der Reaktion istalsop = an2vaWR = -- 2yi3~A --WRn2ae-WA/(kT)...fii mEin unendlich ausgedehntes Reaktionsgemisch würde imPrinzip selbst bei sehr kleiner Anfangstemperatur schließlichdurchreagieren: Die anfangs wenigen Reaktionsakte erwärmendas Gas langsam aber sicher und beschleunigen soden Prozeß immer mehr. In der Praxis bei begrenzten Reaktionensind Strahlungs- und Konvektionsverluste zu beachten.Bei einer Abmessung R des Reaktionsraumes erhältman bis auf unwesentliche Zahlenfaktoren die BedingungR20"StBr ~ R3P =}- O"StBr ~ ~ e-WA/(kT)RWRn2aV WAfür den Einsatz der Reaktion. Gegen die starke Änderung dere-Funktion sind die praktisch möglichen Variationen derGrößen auf der linken Seite nicht sehr wesentlich: DerFlammpunkt Tp wird hauptsächlich durch WA bestimmt.Die linke Seite hat eine Größenordnung um 10- 12 , alsoTp ~ WA/(27k). Bei WA = 0,5 eV geht die Reaktion daherschon bei Zimmertemperatur los, typische organische Brennstoffehaben W A ;;(; 1 e V.5.2.27. KernfusionDies ist im wesentlichen die Aufgabe 5.2.26, nur mit sehrviel höherer Aktivierungsenergie Wa = Ws ~ J MeV bzw.Wa ~ v'WskT. Mit unserer Flammpunkt-Abschätzung erhaltenwir für ein Fusionsplasma, in dem n etwa 1 04mal geringerist als bei üblichen Gasreaktionen, Tf ~ Wa/(9k), dagegenim Sonneninnern, wo n mehr als 10 4 mal höher ist als imGas, Tf ~ Wa/(45k). Mit Wa ~ 1 MeV würde die Fusionalso im Plasma erst um T ~ 109 K zünden, in der Sonneum 108 K (bei 300 K ist kT = ;/o eV, also entspricht' 1 MeVetwa 10 10 K). Der Tunneleffekt erleichtert die Zündbedingungzu kT ~ W 3 /y ~ vWskT /y =}- kT ~ Ws/y2, bringtalso nochmals den Faktor y im Nenner ein. Das senkt dieZündtemperatur im Plasma auf etwa 108 K, in der Sonn~etwa 10 7 K.5.2.28. Sind Planeten so selten?Die beiden Sterne mögen mit der Relativgeschwindigkeit vso aneinander vorbeifliegen, daß der minimale Abstand a ist.In diesemAbstand üben sieeine Kraft Fm= GM1Mzla 2 aufeinanderaus. Natürlich ist dieser Mindestabstand nur einenAugenblick lang realisiert, aber während der Zeit t = 2a/vist der Abstand nicht viel größer (höchstens um den Faktorv'2). Diegenaue Rechnung (s. Aufgabe 13.3.3) bestätigt, daßman so tun kann, als habe die Kraft während der Zeit t immerihren Maximalwert, und als verschwinde sie dafür früher undspäter. Dann wird zwischen den Sternen ein Impuls11p = Fmt = 2GM1M2/(av) ausgetauscht, d.h. wenn derStern 2 im gewählten Bezugssystem vorher ruhte, hat ernachher den Impuls 11p und die kinetische Energie11W = 11p 2 /(2M2) = 2G 2 MiMzl(a2v2) vom Stern 1 übernommen.Dieser Energieaustausch fällt dann in die Größenordnungder kinetischen Energie des Sterns 1, wenn11W ~ W = !M,v2, d.h. wenn a = akrit = 2Gy'M1Mz/v 2 .Diese Bedingung läßt sich, bis auf den evtl. Unterschiedzwischen M1 und M2, auch so lesen: Die potentielle Energiebei größter Annäherung muß etwa gleich der kinetischensein. Oder: Der kritische Minimalabstand ist bei M 1 = M2doppelt so groß wie der Bahmadius eines Planeten, der einender Sterne mit der Bahngeschwindigkeit v umflöge. Für zweiSterne von Sonnenmasse mit einer Relativgeschwindigkeitv = 100 km/s folgt akrit = 0,2 Erbahnradien = 3 · 107 km(hätte die Erdbahn nur 1/10 ihres Radius, so würde dieErde dreimal so schnell fliegen, d. h. etwa mit v). DerStoßquerschnitt ist a = 1ra~it = 3 · 10 15 km 2 . Die mittlereSternzahldichte in der Galaxis ergibt sich aus deren VolumenV = 3 · 10 13 Lichtjahre3 = 3 · 10 52 km3 und der SternzahlN = 2 · 10 11 zu n = N /V~ 10- 41 km- 3 . Die mittlerefreie Weglänge für "wesentliche" Stöße ist also l =1/(naJ:~3-10 25 km. ·Ein Stern. fliegt r=l/v=3. 10 3 s = 10 16 Jahre, bevor ihm so etwas passiert. Nachvielen solchen Stößen müßte die Geschwindigkeitsverteilungder Sterne eine Maxwell-Verteilung werden, dennderen Herleitung und Gültigkeit sind völlig unabhängig davon,ob es sich um Moleküle oder Sterne handelt. Die"thermische" Relaxationszeit r ist so groß, daß die Sternein 10 10 Jahren "Weltalter" das tatsächlich annähernd beobachteteGleichgewicht längst nicht erreicht haben könnten,falls sie nicht früher sehr viel enger gestanden haben.Wenn die Entstehung eines Planetensystems, wie Jeffriesund Jeans annahmen, einen noch viel engeren Stoßzwischen Sternen voraussetzte, gäbe es bei der heutigenSterndichte kaum ein zweites Planetensystem in unsererGalaxis.