Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1186 Lösungen zu den Aufgabentionen mit der Periode 21r oder die Menge aller "vernünftigen"Funktionen überhaupt betrachtet; das beeinflußt nurden Integrationsbereich. Im ersten Fall zeigt die Fourier-Entwicklung,daß dieser Raum unendlich viele, aber abzählbarviele Dimensionen hat, denn so viele Basisfunktionenbraucht man, um jede beliebige Funktion darstellen zu können.16.1.9. Operator der Standard-AbweichungWir betrachten den Operator A 2 . Seine Eigenwerte sind dieQuadrate der Eigenwerte von A, denn A 2 j = AAJ = Aaf =a 2 j, sein Mittelwert in einem Zustand rp ist der Mittelwert derGröße a2. Für jeden Zustand, der kein Eigenzustand von Aist, ist a 2 verschieden von zi. Der Unterschied ist gerade dasmittlere Schwankungsquadrat, die Wurzel aus diesem ist dieStreuun~. Der Operator ~e~ _Schwa~kungsquadrats heißt(A - a) , denn Ausmultlpl1Z1eren _]1efert den OperatorA 2 - 2M + a2 , der den Mittelwert a2 - a2 hat. (Allerdingsbezieht sich dieser Operator eigentlich nur auf Zustände, dieden gleichen Mittelwert a haben.) Der Operator der Streuungist aber nicht etwa A - a, denn dessen Mittelwert wäre immer0. Das Wurzelziehen aus Operatoren ist nicht ohne weitereserlaubt.16.1.10. UnschärferelationF( rx) ist als Betragsquadrat einer FunktionDI/J immer positiv.Wir multiplizieren aus:F(rx) = (A *- irxB)I/1* · (A + irxB)I/1= A *I/I*· AI/I - irxB*I/1* · Alf; + irxA *I/I*· BI/I+ rx 2 B*I/J*· BI/I= 1/J* -A 2 lf;- irx(lf;*· BAI/J-1/1* ·ABI/I)+rx 2 1/f*·BI/I= A2 + irx(AB- BA)+ rx 2 132= A 2 + rxC + rx 2 B2 = 0 .A 2 und B 2 sind ebenfalls immer positiv. Die Funktion F(rx)hat ein Minimum bei 8F I 8rx = C + 2rxB2 = 0, also rx =-CI(2B2 ). Dort hat F(rx) den Wert A2- C 2 I(4B2), deralso auch noch positiv sein muß. Daraus folgt die gesuchteBeziehung C 2 ;S4A2B2• Daß das Extremum bei 8FI8rx = 0ein Minimum ist, ergibt sich aus 8 2 F I 8rx 2 = 2B2 ~ 0. - PhysikalischeNutzanwendung: A und B seien Operatoren für dieGrößen a und b, die für den betrachteten Zustand 1/J die Mittelwerte0 haben (das ist keine Beschränkung der Allgemeinheit,denn andernfalls brauchte man nur den Nullpunkt derbetreffenden Größe zu verschieben). Dann sind A2 =(da) 2 und B2 = (db) 2 die Schwankungsquadrate von aund b. Ihr Produkt ist immer größer als der Mittelwert desMinuskommutators C. Wenn A und B vertauschbar sind,ist C = 0, und die Schwankungen von a und b können gleichzeitigverschwinden. Wenn aber, wie im Fall von Koordinatex und Impuls Px, oder Zeit t und Energie W, der Minuskommutatoralle Zustände zu Eigenzuständen hat, und zwar immermit dem Eigenwert n, ergibt sich die Unschärferelationdadb ~nl2.16.2.1. Teilchen = WelleTypisch für Wellen sind ihre Überlagerungseigenschaften.Teilwellen addieren sich zu einem Gesamtvorgang, umgekehrtläßt sich jeder Vorgang in Teilwellen zerlegen. Dabeihat man ziemliche Freiheit (Fourier-Analyse und -Synthese,Aufgabe 10.1.13). Typisch ist auch, daß diese Additionvielfach auf eine Subtraktion hinausläuft, weil die Amplitudebeide Vorzeichen haben kann. Eine Größe, die sich soverhält, kann offenbar keine Teilchendichte oder keine Wahrscheinlichkeitdarstellen, denn beide sind positiv definit.Wellen- und Teilcheninterferenz werden erst dadurch möglich,daß sich die Teilamplituden bzw. Teil-1/1 überlagernund dann erst zur Intensität quadrieren. Würden sich immerdie Dichten, Auftreffwahrscheinlichkeiten usw. überlagern,käme z. B. beim Doppelspaltversuch (Aufgabe 10.1.16) einfachdie Summe der beiden Teilbilder heraus, und auch imBild des Einzelspalts gäbe es keine Interferenzstreifen. Obdie Wellen harmonisch sind wie die Impuls-Eigenfunktionen,ist nicht ausschlaggebend. Daß die I/I-Funktion komplexist, würde ihre direkte physikalische Deutung nochnicht beeinträchtigen, denn aus rechnerischen Gründen setztman ja Wechselstromgrößen und Amplituden auch komplexan. Der weitere Ausbau der Quantenmechanik zeigt allerdings,daß der komplexe Charakter hier keine reine Rechenhilfe,sondern ein wesentlicher Zug ist.16.2.2. VertauschbarkeitEin scharfer Wert für a existiert nur in einem EigenzustandvonA, entsprechend für b. Wir setzen also voraus, alle Eigenfunktionenvon A seien auch Eigenfunktionen von B und umgekehrt,und müssen zeigen, daß für jede Funktion 1/J, auchwenn sie nicht Eigenfunktion ist, ABI/I = BAI/I gilt. I/I läßtsich nach gemeinsamen Eigenfunktionen entwickeln:1/J = I: cifk· Dann ist AI/I = I: qakfk> BI/I = I: qbkfbalso BAlf; = I: ckakbdk =ABI/I. - Die Umkehrung giltauch: A und B seien vertauschbar; wir wollen zeigen, daßsie dann auch gemeinsame Eigenfunktionen haben. Wennf Eigenfunktion von A ist, also Af = af, gilt auchBAJ = aBf. Wegen der Vertauschbarkeit kann man auchsagen A(Bf) = a(Bf). Die Funktion g = Bf ist also ebenfallsEigenfunktion von A zum Eigenwert a. Wenn a nichtentartet ist, gehört zu ihm nur eine einzige Eigenfunktion.g undf können sich höchstens um einen Zahlenfaktor unterscheiden:g = cf. Da g = Bf, bedeutet das aber, daß f auchEigenfunktion von B ist, und zwar mit dem Eigenwert c. ImFall eines entarteten Eigenwerts kommt man etwas umständlicherzum entsprechenden Ergebnis.16.2.3. ImpulsoperatorDie Operatoren verschiedener Impulskomponenten, z. B.Px = -in8l8x undpy = -in8l8y sind vertauschbar, dennbei einer vernünftigen Funktion 1/f(x, y, z) kommt es aufdie Reihenfolge der Ableitungen nicht an. Nach Aufgabe16.2.2 gibt es also Zustände, in denen alle Komponenten