Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIIIII1028 Lösungen zu den Aufgaben!m~' 2 - v2) = !mw2 r 2 beruht auf der Zentrifugalkraft;mw r ist die Ableitung des Zentrifugalpotentials ! w2 r 2.Dies ist in Abschn.l.8.4 gegen die Coriolis-Beschleunigungvernachlässigt. Das ist erlaubt, wenn w 2 r « wv, also v' « v,z. B. füreine Pistolenkugel auf einer nur mit einigen U/minrotierenden Scheibe oder auf der Erde (wo als wr nur dieDifferenz der Bahngeschwindigkeiten der Erde zwischenEnd- und Anfangspunkt der Bahn zur Geltung kommt).1.8.13. TrägheitskräfteWir betrachten zwei Bezugssysteme, das Inertialsystem Sund das SystemS', das gegenüberSmit der Winkelgeschwindigkeitw rotiert. Die Drehachse soll durch die Ursprünge vonS und S' gehen, d. h. diese Ursprünge fallen immer zusammen,und bei t = 0 sollen auch die entsprechenden Achsenzusammenfallen. Ein Punkt, der in S den Ortsvektor r hat,hat in S' zur Zeit t = 0 den gleichen Ortsvektor r' = r,aber die in beiden Systemen gemessenen Geschwindigkeitensind verschieden. Wenn man von S aus einen Körperbei r mit v fliegen sieht, ist er in S' bei r' und fliegt mitv' = v + r x w. r x w ist nämlich die Geschwindigkeit, mitder sich ein fester Punkt von S bewegt, wenn man ihnvon S' aus beobachtet. Überhaupt ergibt sich die zeitlicheAbleitung jedes Vektors b in S' so: Man bilde die zeitlicheAbleitung b in bezug auf S und addiere b x w. Wirbezeichnen die zeitliche Ableitung in S mit dem Punkt,die inS' durch d/dt. Dann wird die Beschleunigung inS'dV 1 /dt = iJ +V X OJ = r + r X OJ + r X W + V 1 X OJ= r + 2v' X OJ - (r 1 X OJ) X OJ + r 1 X W .r gibt die durch echte (Nichtträgheits-)Kräfte bewirkte Beschleunigung,2v' x w ist die Coriolis-Beschleunigung,-r' x w x w die Zentrifugalbeschleunigung, r' x w die Beschleunigunginfolge Änderung der Drehgeschwindigkeit.Dieser Ausdruck gibt alle Richtungseigenschaften richtigwieder: - (r' x w) x w zeigt immer nach außen und hatden Betrag w 2 r, wo r der Abstand senkrecht zur Drehachseist; 2v' x w steht immer senkrecht auf v' und w; r' x w stehtsenkrecht auf r' und w, wenn w sich der Größe, aber nicht derRichtung nach ändert; wenn sich w dreht, kommt ebenfallsdie richtige Beschleunigungsrichtung heraus.1.8.14. Kosmische TankstellenAuf jeder Planetenbahn braucht eine Rakete die Geschwindigkeitvpy'2, um aus dem Sonnensystem entweichen zu können(vp: Kreisbahngeschwindigkeit des Planeten). Von derErde aus sind das 42,3 krn/s, vom Jupiter, der 5,2mal weiterdraußen ist, also mit Vp = 13,2 km/s fliegt, braucht man18,7 km/s. Wir betrachten die Begegnung Rakete-Jupiterim Bezugssystem des Jupiter. Die Rakete beschreibt eineKepler-Hyperbel um ihn. Der "Stoß" ist elastisch, Energiewird praktisch auf den schweren Jupiter nicht übertragen.Vor- und nachher herrscht der gleiche Geschwindigkeitsbetragv;. Man richte es so ein, daß die Raketenbahn symmetrischzur Jupiterbahn liegt mit den Asymptoten untereinem Winkel ±tp dazu. Aufs Bezugssystem der Sonne umgerechnet(überall VJ addiert) erhält man vor und nachdem Stoß VJ,2 = vy + v'f ± 2v1v; cos rp, also v~ =v? + 4vJV~ cos tp. Offenbar ist der Gewinn bei tp = 1rmaximal, also wenn die Rakete Jupiter direkt entgegenfliegt(im J-System), bzw. wenn ihre Bahn die Jupiters tangiert undsie langsamer ist als VJ. Dann ist v2 = 2v1 - VJ. Eine Rohmann-Ellipsetangiert und ist am ökonomischsten. Für einenbeliebigen Planeten in r Erdbahnradien Abstand ist nachAuf abe 1.7 .25 die Ankunftsgeschwindigkeit v 1 =2/ (r( 1 + r)) · 30 km/s (r hier Radienverhältnis zur Erdbahn).v2 soll mindestens die Flucht eschwindigkeitvpv'2 = ß · 30krn/s sein. 2/vr- 2/(r(I + r)) ~2/r.Das entspricht r ~ 4,83. Jupiter mit r = 5,2 ist der erstePlanet, bei dem der Effekt für eine Hohmann-Bahn funktioniert.Der Start von der Erde erfolgt tangential zur Bahn, alsoum Mittemacht nach Osten (Erdrotation ausgenutzt). Nachdem Entweichen aus dem Erdfeld müssen noch 8,3 krn/s bleiben.Damit die Jupiterbahn allerdings auch nur auf 105 kmgenau tangiert wird, muß diese Geschwindigkeit auf 1 %o genaueingehalten (oder später korrigiert) werden. Wie nahemuß man an Jupiter vorbeizielen, damit die Ablenkungfast 180° ist? Für eine so schlanke Hyperbel mit e weniggrößer als 1 ist b ::::o p ::::o L 2 /Gm 2 M, L = mbv;, alsob ::::o GM/v;2 ::::o 2,4 · 10 5 km ::::o 3 Jupiter-Radien. Damit erreichtman allerdings keine Umlenkung um 180°, sondernnur um 180-2rp, wo rp::::obja:=::o(e-a)/b. e-a mußmindestens ein Planetenradius sein, also folgt rp = 20°,Umlenkung um 140°. Dabei werden noch 94% des Maximalimpulsesausgenutzt. Man braucht nur 0,2krn/s zurHohmann-Geschwindigkeit zuzugeben.1.8.15. M. Cingh~s ParadoxonDamit, daß die Energie des Geschosses m den BezugssystemenErde und Zug verschieden ist, kann manM. Malin nicht widerlegen. Er zieht den Schuß im Wald janur zum Vergleich heran, sonst argumentiert er konsequentim Bezugssystem Zug. Man darf aber nicht vergessen, daßCingle und TGV beim Abschuß einen Rückstoß erfahren,also verlangsamt werden, wenn auch völlig unmerklich,nämlich um w = mv/M (M: Masse des Zuges). Damitverringert sich die kinetische Energie des Zuges um!Mv2 - !M(v- w) 2 = Mwv = mv2, und dies sind die fehl~enden zwei "Einheiten", die dem Geschoß zugute kommenmüssen.2.2.1. Die folgsame GarnrolleDie Garnrolle kann so liegen, daß sich der Faden von obenoder daß er sich von unten abspult. Im ersten Fall gibt es keinProblem, dann rollt die Garnrolle immer in Richtung desZuges am Faden. Der Faden laufe also von unten ab. Wirbetrachten reines Rollen, kein Gleiten. Man hüte sich vor