Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1112 , Lösungen zu den Aufgabender im Hauptstrahlengang sitzt und das Bild seitlich hinaus(zum Newton-Fokus), durch ein Loch im Hauptspiegel zurück(Cassegrain-Fokus) oder in eine Bohrung in der"Stundenachse" wirft (Coude-Fokus). Damit Fixsterne alsScheibchen erscheinen, die die Sternoberfläche und nichtdas Beugungsbild der Aperturblende darstellen, müßte dieAuflösungsbedingung J,j d < 2r / a erfüllt sein (a Abstand,r Radius des Sterns, d Apertur). Für den 5 m-Spiegel vonMt. Palomar sogar würde dies einen Sehwinkel2r/a ~ 10~ 7 erfordern. Die Sonne (a = 8,5Lichtminuten)erscheint 0,5° ~ 10~ 2 breit, a Centauri (a = 4 Lichtjahre,also 3 · 105mal so weit entfernt) ist also dreimal zu klein.Ein 15~20m-Spiegel könnte ihn theoretisch auflösen. RoteRiesen haben bis 1 OOOmal größere Durchmesser, sind abersehr selten und daher auch alle zu weit entfernt, um auflösbarzu sein. Man sieht also keinen einzigen Fixstern, wie erwirklich ist.10.1.8. AuflösungsvermögenDer kleinste Winkelabstand zwischen zwei helleuchtendenPunkten auf schwarzem Hintergrund, den ein Gerät mitdem Durchmesser D der Eintrittspupille auflösen kann, istA/D, also bei D = 5mm (dunkeladaptiertes Auge), Sem(Feldstecher), 50 cm (ziemlich großes Fernrohr), 5 m(Mt.Palomar): 10~ 4 , 10~ 5 , 10~ 6 , 10~ 7 • In den Abständen5 km (Horizont am Meer), 300 km (Sicht vomMt. Everest), 6 000 km (Sicht vom Satelliten), 4 · 105 km(Mond), 1,5 · 10 8 km (Mars in Opposition), 10 14 km (Sirius),2 · 10 19 km (Andromedanebel), 10 23 km (Weltradius)löst also das Auge unter günstigsten Kontrastbedingungenauf: 0,5 m, 30m, 0,6 km, 40 km (großer Krater), 10 4 km(etwas größer als Mars), 1010 km (Durchmesser der Pluto­Bahn), 2 · 10 15 km (200 Lichtjahre), 10 19 km (Abstand naherSpiralnebel). Der Mt. Palomar-Spiegel löst theoretisch indiesen Abständen auf: Eine Ameise, eine Maus, einenMenschen, ein Haus, eine große Stadt, einen Riesenstem,sehr enge Stemabstände, einen Spiralnebel.10.1.9. Sind wir allein?Direkt sehen kann man einen Planeten nur, wenn er nicht imBeugungshof seines Zentralsterns untergeht. Ein sehr großerPlanet wie Jupiter (der etwa den größten Durchmesser hat,den ein kalter Körper überhaupt haben kann, selbst wenner noch so massereich ist; vgl. Abschn. 17.3.3) hat etwa16 0 der Sonnenoberfläche und ist 1100 Sonnenradien vonder Sonne entfernt, hat also knapp 10~ 6 ihrer Leuchtdichteund, von fern her betrachtet, etwa 10~ 8 ihrer GesamthelligkeitAus a Centauri-Abstand (4 Lichtjahre) hat Jupiter einenWinkelabstand 2 · 1 o~s (2 500 Lichtsekunden/4 Lichtjahre)von der Sonne. In diesen Abstand fällt etwa der fünfzigsteBeugungsring des Mt. Palomar-Spiegels (vgl. Aufgabe10.1.8). Die Intensität der Ringe (Ordnung n) fällt nachaußen etwa wie n~ 3 ab (beim langen Spalt wie n~ 2 ; beider Kreisblende zusätzliche Verschmierung über die Ringfläche,die "' n ist). Der fünfzigste Ring hat noch 10~ 6 derIntensität des Zentralscheibchens (Zusatzfaktor 10 beimÜbergang von n = 0 auf n = 1, vgl. Abb.l0.18b). Vomzweihundertsten Ring würde Jupiter sich gerade schwach abheben.Aus 1 Lichtjahr Abstand wäre er also gerade sichtbar,aus 4 Lichtjahren nur, wenn er 10mal weiter vom Zentralstementfernt wäre als er ist (Beugungsintensität"' n~ 3 , Planetenhelligkeit"' r~ 2 ). Damit scheidet auch die Beobachtungdoppler-verschobener Linien des Planeten praktisch aus.Der Zentralstern hat viel kleinere Umlaufgeschwindigkeitum den Schwerpunkt, z. B. die Sonne nur etwa 10 rn!s.Die strahlenden Atome fliegen mit größenordnungsmäßig1 krn!s, also verschwindet der Bahn-Dopplereffekt völligim thermischen. Es bleibt die Methode der Positionsänderungen.Vom a Centauri aus gesehen, schwingt Jupiterdie Sonne um 2 · 1 o~s, d. h. 0,005 11 hin und her C! des Radiusdes Beugungsscheibchens 0. Ordnung). Das liegt an derGrenze der heutigen Meßmöglichkeiten. Etwas entfernteredunkle Begleiter sind nur nachweisbar, wenn sie massereicheroder sternferner sind als Jupiter.10.1.10. FarbverteilungIm Gitterspektrum ist sin rp "" A. Rot ist darin so breit, weil esauch in dem über A aufgetragenen Spektrum breiter ist als dieanderen Farben. Beim Prisma ist es umgekehrt, weil Glas wiepraktisch alle durchsichtigen Stoffe eine zum UV hin steilansteigende Dispersionskurve hat. Dort liegt nämlich nichtweit entfernt eine Absorptionsbande (Elektronen-Absorption,Abb. 9.22). Die IR-Absorption, beruhend auf der Grundschwingungdes Ionengitters, ist sehr viel weiter vom Sichtbarenentfernt (Abschn. 14.2.3). Läge sie näher, würde dieBrechzahl am roten Ende ebenfalls steil abfallen, und auchRot wäre im Prismenspektrum ähnlich verbreitert wie Violett.Abgesehen von diesen physikalischen Effekten zeigtdas Farbdreieck, daß unsere Farbunterscheidung dort amfeinsten ist, wo auch Sonnen-Spektraldichte und Augenempfindlichkeitmaximal sind, nämlich bei 500-550 nm. Dasträgt dazu bei, daß dort die Farbtöne dichter liegen.10.1.11. Fourier-SpektrometerWenn der Spiegel A' B' mit der Geschwindigkeit v verschobenwird, ändert sich der Gangunterschied mit der doppeltenGeschwindigkeit. Monochromatisches Licht der Wellenlängelc ergibt in Zeitabständen !J.t = A/(2v) Helligkeit, dazwischenDunkelheit, allgemein den IntensitätsverlaufI(t) =locos 2 (47rvt/A). Die Amplitudenaufzeichnung istalso die Fourier-Transformierte des üblichen Spektrallinienbildes(eine scharfe Linie ist eine o-Funktion, deren Transformierteist ein sin oder cos; vgl. Abschn. 4.1.1d). Das Spektrumist aber seinerseits die Fourier-Transformierte des Amplitudenverlaufsin der Lichtwelle, also gibt das Fourier-Interferometerdiese direkt wieder, während alle anderen SpektralapparateFourier-Transformationen ausführen. Bei zweimonochromatischen Linien erhält man die Überlagerungzweierinkohärenter cos-Kurven (Intensitäts-, nicht Amplitudenaddition).Bei gleicher Intensität beider Linien sieht dasgenau aus wie ein Schwebungsbild (z. B. Abb. 4.8), bei demdie t-Achse die tiefsten Minima tangiert. An der Erzeugungdes "Spektrums" wirkt nicht nur ein kleiner, von der Spaltbreitebestimmter Ausschnitt der Gesamtintensität mit, son-