Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 13: Lösungen 1141Für große A und Z überwiegt das erste Glied. Dann istSpaltung energetisch vorteilhaft, denn der Gewinn an Coulomb-Energieüberwiegt den Aufwand an Oberflächen-Energie.Die Differenz gibt die Gesamtenergie der Spaltung. Sieist 0 bei A = 90, Z = 39. Zirkonium ist eigentlich schon instabilgegen symmetrische Spaltung. Bei A = 235 gewinntman 323 MeV Coulomb-Energie und braucht 138 MeV Oberflächenenergie.Die Spaltungsenergie errechnet sich so zu185MeV.Schwieriger ist die Frage, was zwischen den beiden Endzuständenpassiert. Jede Abweichung von der Kugelgestaltvergrößert die Oberflächen-Energie, verringert aber die Coulomb-Energie(die Protonen rücken weiter auseinander). Esgibt also eine Massenzahl, bei der der zweite Einfluß sofortüberwiegt, so daß die Kugelgestalt ein labiler Gleichgewichtszustandwird. Sie liegt offenbar noch etwas jenseitsder Transurane (A ~ 400). Von A = 90 bis dorthin mußeine Potentialschwelle überwunden werden, um zum energetischgünstigeren gespaltenen Zustand zu gelangen. DieseSchwelle entspricht etwa dem Zustand, wo die beiden Fragmentenoch durch einen Hals verbunden sind. Zu deroben abgeschätzten Energiedifferenz kommt dann dieWechselwirkungsenergie der beiden Fragmente e 2 Z 2 I(16rreo2roA 1132-113 ) = 0,26ßZ21A 113 = 0,17 Z 21A 113 hinzu.Die Schwellenenergie wird also etwa 3,75A213 -0,1Z21A113. Für A~lOO liegt das um 50MeV, fürA = 235 ist es nur noch etwa 8 MeV, d. h. schon die Anlagerungsenergieeines Neutrons kann Kernschwingungen auslösen,die die Schwelle überwinden.13.1.10. ModerationDa Neutronen den Coulomb-Kräften nicht unterliegen,werden sie nur von Kernen abgelenkt und gebremst, nichtwie die geladenen Teilchen auch von Elektronen. Bei einemStoß mit einem Kern der Masse M kann das Neutron mitder Masse m nur maximal (bei zentralem Stoß) einen Bruchteil4mMI(m + M) 2 seiner Energie abgeben (vergleicheAbschn. 1.5.9g). Bei Wasserstoff ist dieser Bruchteil 1, beiBlei nur etwa 0,02. Die zur Bremsung notwendige Anzahlvon Stößen ist also in Blei 50mal größer. Auch der größereStoßquerschnitt des Bleikerns kann das nicht ausgleichen:Selbst bei gleicher Schichtdicke schirmt Wasser Neutronenbesser ab als Blei, erst recht bei gleicher Massendicke(g/cm 2 ).13.1.11. Schweres WasserSeiner Masse nach ist normaler Wasserstoff zur Bremsungvon Neutronen besser geeignet als schwerer, wenn auchnicht erheblich (beim zentralen Stoß mit einem Deuterongibt das Neutron~ seiner Energie ab, mit einem Proton dieganze Energie). Aber das Proton hat einen weit größeren Einfangquerschnittfür Neutronen als das Deuteron, würde alsosehr bald alle Neutronen unter Deuteriumbildung einfangen,statt sie zu bremsen. Daß 16 0 und 2 H einen so kleinen Einfangquerschnitthaben, versteht man am besten daraus, daßsie die für leichte Kerne energetisch optimale ZusammensetzungZ = N haben. Sie haben also keinen Anlaß, noch einNeutron einzufangen. Dies würde zu Isotopen führen, dieihre ungünstige Zusammensetzung durch Instabilität eH)bzw. große Seltenheit ( 17 0) dokumentieren. Diese einfacheBetrachtung trifft zwar hinsichtlich der Neutronen-Einfangquerschnittenicht immer das Richtige, aber oft. Da schweresWasser so teuer ist (Isotopentrennung), moderiert man heuteimmer häufiger mit normalem Wasser. Man kann dann nichtmehr mit Natururan als Brennstoff arbeiten, sondern muß das235U anreichern.13.1.12. Günstigste FusionAlle Kerne bis zur Spaltungsgrenze A ~ 90 haben mehr Bindungsenergie/Nukleonals die halb so großen Kerne. Da aberdie Kurve der Bindungsenergie/Nukleon nach oben konvexist, wächst der entsprechende Unterschied, die Fusionsenergie/Nukleon,wenn man A verringert. Die Rechnung führtzum gleichen Ergebnis: Für die interessierenden leichtenKerne kann man Z = Al2 setzen, also f.1 = 14- l4A - 1 1 3 -0,16A 2 13 . Ein Kern mit dem halben A hat 14 -14A-1132113 - 0 16A2132-213 die Differenz 3 63A- 113 -0,059A 2 1 3 beschr~ibt die Fusio~senergie/Nukleo~ (und würdeauch die Spaltungsenergie/Nukleon beschreiben, nämlichdort, wo das negative Glied überwiegt, wenn die NäherungZ = Al2 dort noch gerechtfertigt wäre). Die Differenz ist beikleinem A am größten; z. B. für 2 H + 2 H ---+ 4 He erhält man2,2MeV/Nukleon. Wenn das Energietal (das natürlich besonderskleine Kerne schlecht beschreibt) diesen glatten Bodenhätte, müßte man 2 1 H ---+ 2 H, 2 2 H ---+ 4 He als beste Fusionskandidatenbetrachten. Das Tal ist aber durch das PaarabsättigungsgliedbiA 2 zugunsten der gg-Kerne aufgerauht, undzwar um so stärker, je kleiner A ist. Dadurch verliert 2 H,und 4 He gewinnt. Das Tröpfchenmodell sagt sogar einenoch höhere Fusionsenergie als die gemessenen 6,0MeV/Nukleon voraus. Für 6Li + 2H ---+ 2 4 He mißt man nur2,80 MeV/Nukleon. ~Li ist ein uu-Kern und daher energieärmerund seltener als das ug-Isotop ~Li. Leider gerät bei derFusionzweier Deuteronen der entstehende 4 He-Kem in einenzu hohen Anregungszustand und stößt entweder ein Protonoder ein Neutron aus. Man nutzt dabei also nur die viel kleinereBindungsenergie der gu- bzw. ug-Kerne 3 He bzw. 3 Haus und erhält noch nicht einmal die vom Tröpfchenmodellvorausgesagten 2,2 MeV /Nukleon, sondern nur 0,8 MeV /Nukleon.Die Lithiumdeuterid-Reaktion wird nur übertroffenvon der Reaktion 3 He + 2 H---+ 4 He + 1 H, die 3,7 MeV/Nukleonliefert. Eben wegen seiner Energiearmut ist aber 3 Heäußerst selten.13.1.13. Magnetische FlascheIn einem Plasma mit der Teilchenzahldichte n ist der mittlereAbstand zwischen Nachbarteilchen a = n- 1 1 3 . Wenn es mitder Geschwindigkeit v vorbeifliegt, übt ein Teilchen auf seinenNachbarn nach Biot-Savart maximal ein Magnetfeld derGrößenordnung H = evi(41Ta 2 ) aus (vgl. Abschll. 7.2.5; diebewegte Ladung kann als Stromelement I dl = ev = dl e I dtaufgefaßt werden). Beim Gasdruck p entfällt auf ein Teilchen,das die Fläche a 2 beherrscht, der Kraftanteil pa 2 •Die Lorentz-Kraft im Feld B ist evB. Gleichsetzen dieser