Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 3: Lösungen 1035durch Wärmeleitung zurückerstattet werden. Die Expansionsenergieist ! VK(pT - p~) = 25 bar· V, oder pro Liter2,5 · 10 3 J. Das Wasser kühlt sich um 0,6 K ab.3.1.3. Schwingende SäuleSteht die Flüssigkeit in einem Schenkel um 2h höher als imanderen, d. h. um h höher als im Gleichgewicht, dann übt sieeine Kraft F = - 2ggAh aus. Die ganze Flüssigkeitssäule derMasse m = gLA wird dadurch mit h = F /m = -2gh/L beschleunigt.Da die Kraft proportional zur Auslenkung ist,schwingt die Säule harmonisch um die Gleichgewichtslage,und zwar mit der Kreisfrequenz w = J2iTi und derPeriode T = 2rr~, ebenso wie ein Pendel mit der FadenlängeL/2.3.1.4. WasserverdrängungWenn das Schiff schwimmt, verdrängt es so viel Liter Wasser,wie seiner Masse (in kg) entspricht. Wenn es gesunken ist,verdrängt es so viel, wie seinem Volumen (in 1) entspricht.Die Masse (in kg) ist größer als das Volumen (in !), selbstwenn das Wrack noch z. B. Luft enthält, denn sonst würdees nicht sinken. Also ist die Wasserverdrängung im gesunkenenZustand geringer, d. h. der Wasserspiegel muß fallen,während das Schiff sinkt.3.1.5. TiefgangWasserdichte und damit Auftrieb sind verschieden. Dichtenin kg/m 3 : Flußwasser 999,7 (10 °C), 995,7 (30 °C); Atlantik(34 g/1 Salz) 1 033, 1 030, 1 027, 1 024 bei 0, 10, 20, 30 °C;Mittelmeer (38 g!l, 20 °C) 1 030, Schwarzes Meer (16 gll)1012, Asowsches Meer (3 g/1) 1003. Bei 12m Tiefgangsind die 4 Meermarken etwa 3 cm auseinander, T und Fetwa 18 cm. Cuxhaven: 19 t zu, Gibraltar knapp 3 t zu, Istanbul14 t ab, Kertsch 9 t ab.3.1.6. BallspielIn jeder Zeitspanne T soll der Ball auf die gleiche Höhe steigen,also T /2 steigen, T /2 fallen, wobei er gT /2 Steiggeschwindigkeitverbraucht bzw. Fallgeschwindigkeit ansammelt.Der Spieler muß die Geschwindigkeit bei jedem Auftreffenum 2gT /2 = gT ändern, also den Impuls mgT erteilen.In der Sekunde (1/T-maliges Auftreffen) wird der Impuls mgübertragen. Für sehr kleines T ruht der Ball praktisch auf derHand des Spielers, die Impulsübertragung pro Sekunde mgerweist sich als praktisch konstante Kraft, nämlich als dasGleichgewicht des Balles. Maximale Steighöhe h = gT2 /8,bei T = ~ s ist h = 5 cm.3.1.7. GasdruckDer Kolben der Fläche A werde durch die Kraft F in das Gashineingedrückt. Damit er trotzdem "in gleicher mittlererHöhe schwebt" (vgl. Aufgabe 3.1.6), muß er durchschnittlichalle T Sekunden einen Stoß mit dem Impuls I erhalten,so daß I I T = F. I ist gleich der Impulsänderung desauf- und rückprallenden Moleküls, bei senkrechtem AufprallI = 2mv. Die mittlere Stoßfrequenz ergibt sich(Abschn. 5.2.1) zu 1/T = Anv/6, woraus folgt F =~Anv2mv oder p = F / A = nmv 2 /3. In der Zeit t erfolgendurchschnittlich z = t I T Stöße. Die wirkliche Anzahl weichthiervon nach Poisson um etwa ßz = JtTC ab. Die relativeSchwankung ist ßzl z = Vr/i. Das ist auch die Größe derrelativen Druckschwankungen ßp I p innerhalb dieser Zeit t(vgl. Aufgabe 3.1.6). Für längere Zeiten sind sie völlig zuvernachlässigen. Selbst ein kleiner Kolben (1 cm2) zittertnur um h >=::! 10-45 cm ( T >=::! 10-23 S).3.1.8. Magdeburger HalbkugelnDie Trennkraft ist kleiner als 4rrr 2 p = 40 000 N, denn nur dieKraftkomponente normal zur Trennfläche zählt. Sie wirddurch den Querschnitt rrr 2 gemessen: F = rrr 2 p =10 000 N. Acht Pferde (die anderen acht dienen nur alsWiderlager) brauchen sich nicht sehr anzustrengen.3.1.9. ReifendruckAn Stellen, wo die Reifenwand die normale, gewölbte Formhat, nimmt er den Innendruck nach dem Prinzip der Seifenblase(3.13) auf (wir betrachten den Reifen hier als Membranohne innere Steifigkeit, die nur Tangentialkräfte übertragenkann). Die plattgedrückte Reifenfläche kann keine solchenKräfte nach innen ausüben und drückt daher genau mitdem Gasdruck auf die Straße. Ein auf 2 bar aufgepumpterReifen, belastet mit ! des PKW-Gewichts, also etwa2 500 N, bildet also eine Auflagefläche von 250 cm2, alsowie eine Männer-Schuhsohle. Wenn der Peripheriewinkeldes plattgedrückten Reifenstücks 21X beträgt, wird diesesStück maximal um R(l - cos IX) >=::J !RIX2 nach innen gedrückt.Dies darf höchstens b/2, die halbe Reifenbreite betragen,also IX >=::! ylbfR >=::! 0,3. Die Auflagefläche ist dannetwa 2bR sin IX >=::J 2bRIX >=::J 2b 3 1 2 R1 1 2 . Bei einer Belastungmit F >=::! 500N muß p >=::J F/(2R 1 1 2 b 3 1 2 ) >=::J 1 bar sein. DasReifenvolumen !rrb22rrR ist 2,51. Bei p = 2 bar muß manalso 5 I Luft oder 6,5 g hineinpumpen. Die isotherme AufpumparbeitistPl V1ln(VJ/V2) >=::J 350 J, etwa die Steigarbeitfür zwei Stockwerke. Werschnell pumpt, pumpt adiabatischund muß mehr Arbeit verrichten, weil die erhitzte Luft einengrößeren Gegendruck ausübt. Wir wollen ja nach dem Abkühlen2 bar im Reifen haben. Das ArbeitsintegralW = f p dV = f Pl V1 v-y dV ist um den Faktor(zy-l- 1)I(Y -l)ln2 = 1,15, also um 53J größer alsbeim Langsampumper. Diese Zusatzenergie erhitzt dieLuft. Die 6,5 g Luft haben eine Wärmekapazität von etwa6 J/K, erwärmen sich also um annähernd 10 K. In der Pumpeund im Ventil ist die Erhitzung natürlich bedeutend stärker,weil der Widerstand des Spalts unter dem Ventilgummi mitzu berücksichtigen ist.3.2.1. SpritzerWenn man einen Tropfen abschleudert, tritt die Schleuderbeschleunigunga an die Stelle der Schwerebeschleunigungg oder addiert sich dazu. Der Tropfen reißt bei einer Massem ab, die e eben ist durch ma = ~ rrr 3 ga = 2rraR, alsor = 3 3aRI(2ga). Das Tropfenvolumen geht wie a- 1 . .Entsprechendgeformte Ultraschall-Transducer können an derSpitze mehr als a = 10 6 g erzeugen (das entspricht etwader Zerreißfestigkeit des Materials selbst). Als Röhrchenmit R = 0,1 mm ausgebildet, schleudern sie Tröpfchen um