Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1044 Lösungen zu den Aufgabenerste Dreieck betrachtet. Der Beweis für diese Vertauschbarkeitvon Ort und Zeit ergibt sich aus dem Bau der Wellengleichung,der in x und t völlig symmetrisch ist. Wenny(x, t) die Orts- und Zeitabhängigkeit der Auslenkung ist,heißt die Wellengleichung y(x, t) = c 2 y 11 (x, t); der Punkt deutetdie partielle Ableitung nach der Zeit, der Strich nach demOrt an. Die Lösung y = f(x ± ct) läßt sich nach Fourier aussin k(x ± ct) und cos k(x ± ct) zusammensetzen. Für t = 0gibt diese Fourier-Reihe die Anfangsauslenkung, für x = 0gibt sie den zeitlichen Verlauf der Schwingung. Hat manalso das Spektrum, d. h. die Amplituden der Grund- undOberwellen zur gegebenen Dreieckskurve, dann stellen sieauch die Stärken der Obertöne dar. Die ganze Schwingung,als stehende Welle aufgefaßt, geht so vor sich, daßjeder Punkt der Saite mit dem vom Spektrum gegebenenFrequenzgemisch schwingt. Die Gesamtamplitude dieserSchwingung ist allerdings an jeder Stelle anders, so wie esdie Dreieckskurve vorschreibt.4.1.3. SchatzsucheWenn man den Schatz auch finden kann, ohne die Lage desBlockhauses zu kennen, muß der Ort des Schatzes unabhängigvom Ausgangspunkt der Prozedur sein. Dann kannman jeden beliebigen Ausgangspunkt nehmen, z. B. eineEcke des Quadrats, dessen Diagonale die Verbindungslinieder Bäume ist. Kidds Vorschrift führt dann zur 4. Eckedes Quadrats. Da man nicht weiß, wie Kidd die Bäumenumeriert hat, wird man es an beiden Ecken des Quadratsversuchen. Den Beweis, daß der Endpunkt der Prozedur unabhängigvon ihrem Ausgangspunkt ist, führt man am bestenin der komplexen Ebene. Der Ursprung sei die Mitte zwischenbeiden Bäumen. Zum Baum A führt der komplexePfeil z, zum anderen (B) führt -z. Irgendwo bei y liegedie Blockhaustür H. Dann geht man von H bis A längsz- y. Schwenkung um 90° nach rechts bedeutet Multiplikationmit -i: Von A zum l. Pflock P führt -i(z- y), von 0nach P führt z- i(z- y). Analog: HB = -z- y,BQ= i( -z ~ y), OQ = -z- i(z + y). Der Schatz liegt mittenzwischen den Pflöcken P und Q bei! ( OQ + OP) = -iz,also tatsächlich in der Ecke des Quadrates mit der DiagonaleAB.4.1.4. BeschleunigungsmesserIm Bezugssystem des Fahrzeugs, das mit a beschleunigtist, lautet die Bewegungsgleichung der Kugel mi =-ma - Dx - kX. Die Kugel soll durch ihren Ausschlag xdie unregelmäßige Zeitfunktion a(t) möglichst getreu darstellen.Bei längerer konstanter Beschleunigung a istx = -mal D. Das entspricht dem quasistatischen Plateauder Resonanzkurve. Da auch und erst recht solche Vorgängeaufgezeichnet werden sollen, gibt es keine andere Wahl desMeßbereichs als w ;;; wo. Kurze Stöße von etwa 0,1 s Dauerinfolge Straßenunebenheiten brauchen nicht aufgezeichnetzu werden. Das Auge könnte ihrer Anzeige auch gar nichtfolgen. wo kann also in der Gegend von 10 s -I liegen. Füreine Stahlkugel von 1 cm Durchmesser, also 4 g Masse erfordertdas eine Feder von etwa 0,4 N/m. Dämpfung aufden aperiodischen Grenzfall optimiert wieder Meßbereichund Einstellzeit (vgl. Aufgaben 4.1.5). Ein solchesk = 0,08 N s/m läßt sich als Stokes-Reibungsfaktork = 6mv mit 11 = 0,8 N slm 2 realisieren. Das entsprichteinem ziemlich dicken MaschinenöL Seine Viskosität mußgut temperaturbeständig sein, sonst kann man aus demGrenzfall geraten und damit für schnelle Vorgänge falscheAngaben erhalten, weil sich der Horizontalitätsbereich verengt.Der Ausschlag der Kugel ist X~ maiD ~ w- 2 a. Beschleunigungenvon einigen Zehntel rn!s 2 lassen sich also mitHilfe eines Lupenglases noch gut und schnell ablesen.4.1.5. MeßgerätDie Schwingungsgleichunr, 1ifJ + kip + DqJ = 0 hat die vollständigeLösung f{J = qJ 1 e 11 + f(Jz eJ