Lösungen zu den Aufgaben - Springer

107 4 Lösungen zu den Aufgabenihre Ladung Q nur an der Oberfläche, und zwar gleichmäßigverteilt. Wir zerlegen diese Oberfläche in kreisringähnlicheStreifen, zentriert um die Achse PM, mit demÖffnungswinkel ß und der Breite dß. Ein solcher Ring hatdie Ladung dQ = ! Q sin ß dß, alle seine Punkte sind vonP um r = J R2 + a2 - 2Ra cos ß entfernt (Cosinussatz),sein Betrag zum Potential ist drp = dQ/(4Ireor), das Gesamtpotentialrp = Qj(81reo) J; sinßdß/JR2 + a 2 - 2Racosß.Oben steht die Ableitung des Radikanden z, also tp = Qj(16m;oRa) J(~~$ dz/vz = Q/(4m;oa). Mit dem Feld, dasNewton interessierte, ist es schwieriger. Es bleibt nur dieAxialkomponente dE = dQ cos y / ( 4Ireo ~) = Q sin ß dß /(81re0r2 ) · (a 2 + r 2 - R 2 )j(2ra)(y: Winkel bei P, cos-Satz).Gesamtfeld E=Q/(32Jreoa2R) · (J.((R+a)): dzjz112 -(a2 -R2 )J, a2 dz/z3 2 ) = Qj(41reoa 2 ).(R+ )2 / R~a(R~a)6.1.6. Thomson-ModellDie Kugel mit der homogenen Ladungsdichte g und demRadius R erzeugt im Abstand a von ihrem Zentrum einFeld, das für a > R von der ganzen Kugel herrührt:Ea = ~ 1rgR 3 / ( 4?reoa) = gR 3 / (3eoa), dagegen für a < Rnur von dem Teil der Kugel, der noch innerhalb ist:Ei= ~1rga 3 /(4Ireoa 2 ) = gaj(3eo). Das Potential, aufrp = 0 bei a-+ CXJ normiert, ist außen rpa = gR 3 /(3eoa), inneno/i = gR 2 /(2eo)- ga 2 /(6eo) (stetiger Anschluß an tJiabei a = R). Um die elektrostatische Gesamtenergie zu bestimmen,füllen wir die Kugel von innen her allmählichmit Ladung. Wenn sie bis zu einem Radius r aufgebautist, erfordert Auftragen einer neuen Kugelschale der Dickedr mit der Ladung dQ = 4Irg~ dr die EnergiedW = rpdQ = ~1rg 2 r 4 drje0 . Die Gesamtenergie ist alsoW = laR 1Jr(h 4 dr / eo = ts ?r(p R5/ eo = ~ Q2 /( 4?reoR) .Für eine Punktladung entgegengesetzten Vorzeichens im Innernist das Potential proportional a 2 , also elastisch. DieLadung führt, einmal angestoßen, harmonische Schwingungenaus, d. h. eine Bewegung, die durch eine scharfeFrequenz gekennzeichnet ist. Herrscht außerdem eine geschwindigkeitsproportionaleReibung, dann ergibt sichdie Bewegungsgleichung der gedämpften Schwingung(vgl. Abschn.4.1.2). Ihr Frequenzspektrum ist nach Absehn.12.2.2 eine Spektrallinie mit Gaußsehern Profil undder Halbwertsbreite ~w ~ k (k: Dämpfungskonstante). DieFrequenz dieser Linie ergibt sich nach Abschn. 1.4.3 zuw = J ge / ( 3meo) = J e2 / ( 4?reomR3 ) ( e und m: Ladungund Masse des eingebetteten Punktteilchens). Ein Atomhat etwa 1 A Radius, seine positive Ladungsdichte ist alsovon der Größenordnung 10 11 Cjm 3 . Für ein Elektron inder entsprechenden positiven Ladungswolke ergibt sicheine Kreisfrequenz w von der vernünftigen Ordnung10 16 s~ 1 . Erst Rutheifords Feststellung, daß die positive Ladungnicht gleichmäßig im Atom verschmiert ist, sondernsich auf einen sehr kleinen "Kern" konzentriert, brachtedieses Atommodell von J. J. Thomson zu Fall.6.1.7. SuperpositionDie vollständige Hohlkugel kann man sich zusammengesetztdenken aus der Hohlkugel mit Loch und dem ebenfalls geladenenPlättchen, das aus dem Loch herausgeschnitten wordenist. Das Feld einer Kombination zweier geladener Körperist die Vektorsumme der Felder der Einzelkörper (Superpositionsprinzip).Also ist das Feld E der Hohlkugel mitLoch gleich dem Feld der vollständigen Hohlkugel (innenNull, außen radial Qj(4Ireo~)) minus dem Feld Ep desmit der Flächendichte a = Qj ( 4?rR2) geladenen Plättchens.Er wäre ganz nahe arn Plättchen identisch mit demFeld einer geladenen Ebene: ±a/(2e 0 ) = ±Qj(81re0R 2 ).Überall in der Ebene des Loches ist also das FeldE = Qj(81re 0R2 ), genau halb so groß wie an der Außenwandder Hohlkugel, unabhängig von der Form des Loches. Entferntman sich aus der Lochebene nach innen oder außen,nimmt das Feld natürlich seinen Normalwert Null bzw.Qj ( 4?re 0R2) an. Es dürfte sehr schwer sein, durch Ausintegrierender Feldbeiträge der einzelnen Ladungselemente, besondersbei unregelmäßiger Lochform, zu diesem Ergebniszu kommen.6.1.8. Feld des DrahtesAus Symmetriegründen muß das Feld überall senkrecht zurDrahtachse stehen und zylindersymmetrisch sein, d. h. eskann nur von r, dem Abstand vom Draht abhängen. DerFluß durch jede Trommel der Höhe h hat also den gleichenWert, unabhängig vom Radius r: (jJ = 21rrhE = hJcj eo (Je:Ladung pro Meter Drahtlänge), also E = Jcj(21reor). DasPotential gegen die Drahtoberfläche (r = ro) ist U =-2/(27reo) ·ln(r/ro). Im Unendlichen geht dieses Potentialgegen CXJ, allerdings so langsam, daß man selbst mit einem1 000 km langen Draht von ro = 10 J.Lm in r = 1 000 km Abstand,wo die Näherung natürlich schon versagt, nur aufln(r/ro)~28 kommt, also z.B. für Q=lC, d.h.Je = 10~ 6 C m ~ 1, auf U ~ 500 k V. Nach dem Coulomb­Gesetz ist es viel schwieriger: Der Draht laufe in z-Richtung,der Punkt P, für den das Feld berechnet werden soll,liege bei z = 0 im Abstand r vom Draht. Ein Drahtelementdz, das bei z, also von P aus unter dem Blickwinkel rx mitz = r tan rx liegt, also im Abstand r / cos rx, erzeugt ein FeldJe dz cos 2 rx/( 4?re 0r 2 ). Die Komponenten parallel zumDraht heben sich weg. Es bleibt nur die Radialkomponente,die um den Faktor cos rx kleiner ist: E =2 .fc'X! Jccos 3 rxdz / (4?reor 2 ) = 2 J;12 A.cosrxdrx / (4m;or) =A./(27re0 r) (man beachte z = rtanrx, dz = rdrx/ cos 2 rx).6.1.9. Bahn im In-FeldDer geringste Abstand Elektron~Draht sei d. Zur Zeitbefinde sich das Elektron, vom Draht aus gesehen, untereinem Winkel a gegen diese Richtung geringsten Abstandes.Der gegenwärtige Abstand vom Draht istr = d/ cos rx, die Coulomb-Kraft eE = d/(27reor) =eA. cos rx/ (27reod), ihre Komponente senkrecht zur BahneA. cos2 rxj(27reod), die Flugstrecke seit der größten Annäherungx = d tan rx, die Longitudinalgeschwindigkeit v = .X =da/ cos 2 rx, also die Änderung der Transversalgeschwindig-