Lösungen zu den Aufgaben - Springer

"sters" allmählich auf, und die resultierende Verdichtung istunterhalb von 4 °C größer als die normale Auflockerung infolgeTemperatursteigerung. Auch viele andere der ungewöhnlichenEigenschaften des Wasser erklären sich durchdas Modell, z. B. die hohe spezifische Wärme, die teilweisezum Aufbrechen der Dipol- und H-Bindungen benötigt wird.5.6.2. WolkenbildungSolange noch keine Kondensation eintritt, d. h. solange dieTemperatur T über dem Taupunkt Tt liegt, nehmen T,p, Qi. allg. nach dem adiabatisch-indifferenten Modell mit derHöhe ab (vgl. Aufgabe 5.2.11), speziell sinkt T um 1 K je100m. Der Taupunkt wird also in (To- TI)· 100m Höheerreicht (To: Temperatur am Erdboden). Bei weiterem Aufstiegkondensiert ein Teil des Wasserdampfes, falls genügendKondensationskeime da sind, um Übersättigung zu vermeiden.Die Kondensationswärme kommt der Luft zugute.Bei einer Abkühlung um dT wird also außer cv dT nochdiese Kondensationswärme verfügbar, um in Expansionsarbeitp d V angelegt zu werden. Indifferentes Gleichgewichtherrscht wieder, wenn das aufsteigende Luftvolumendabei gerrau die Zustandsgrößen, speziell die Dichte seinerneuen Umgebung annimmt. Der Sättigungs-Dampfdruckändert sich nach Clausius-Clapeyron bei einer ÄnderungdT um dp = dT AQw IT. Die Partialdichte des Wasserdampfshängt mit seinem Dampfdruck so zusammen: Qw =pwflwi(RT), in einem g Luft wird irrfolge der Kondensationvon Qw die spezifische Energie duk = A. dQw I QL frei, alsoeingesetzt duk = A. 2 fl~Pw dT I(RT 2 flLPd· (Bei allen diesenUmformungen beachte man die Unterschiede zwischen Partial-und Gesamt-Drücken und -Dichten sowie Größen, dieauf die Massen- oder Volumeneinheit bezogen sind.) Beioo, 10° und 20 °C kommt zur spezifischen Wärme derLuft cv = 0,71 J/Kg sozusagen die spezifische Kondensationswärmevon 0,50, 1,00 bzw. 1,88 J/Kg hinzu. Feuchte Luftkann also doppelt soviel Expansionsarbeit aufbringen wietrockene, d. h. ihre Temperatur nimmt bei gegebener Dichteänderunglangsamer ab als für trockene Luft. Die Ableitungder Adiabatengleichung ändert sich, und es resultieren Gesetze,die zwischen dem üblichen adiabatischen und dem isothermenFall liegen (polytrope Zustandsgleichung).5.6.3. VerdampfungsgleichgewichtDie Molekülzahldichten in der Flüssigkeit bzw. im Dampfseien np1 bzw. nD (Einheit: Teilcheu/m 3 ). In der Sekundetreffen auf den m 2 der Oberfläche, aus dem Gasraumkommend, ~ nDii Teilchen auf und bleiben größtenteils daranhängen. In der gleichen Zeit lösen sich vom gleichen StückOberfläche ~ nFI bvo e-w I (kT) Teilchen ab und verdunsten.Der Faktor e-w /(kT) gibt die Wahrscheinlichkeit an, daßein Teilchen, das hinreichend nahe an der Oberfläche sitztund in der passenden Richtung schwingt, durch zufälligethermische Schwankungen so viel Energie auf sich versammelt,wie es braucht, um die Nahewirkungskräfte der Nachbarmolekülezu überwinden und sich abzulösen, nämlichmindestens W, die Verdampfungswärme pro Molekül. ImGleichgewicht müssen ebenso viele Teilchen abdampfenKapitel s: Lösungen 1067wie sich anlagern, also nD = nFibvolv · e-W/(kT), woraussich wegen PD = nDkT sofort die Dampfdruckkurve ergibt.Zur Clausius-Clapeyron-Formel gelangt man durchDifferentiation, wenn man die T-Abhängigkeit der e-Funktionals überwiegend ansieht. (Man beachte PD = RT /VD.)Unser Modell bestimmt aber auch annähernd den Faktorvor der e-Funktion zutreffend, wenn man b ~ w-8 m annimmt,was sich mit Schätzungen aus Oberflächenspannung,Zerreißfestigkeit usw. gut verträgt. Außerdem gibtdas Modell die Verdunstungsgeschwindigkeit, was dieGleichgewichtsthermodynamik nicht kann: Würde manden ganzen Dampf sofort wegblasen, würdentnp16v 0 e-W/(kTJ, oder, was sich leichter rechnet, tnDiiMoleküle1m2 s verlorengehen (nD Gleichgewichts-Teilchenzahldichte).Ein Molekül nimmt in der Flüssigkeit dasVolumen np-/ ein. Also würde die Oberfläche unter so extre­. men Bedingungen mit der Geschwindigkeit t nDV I npJ, d. h.für Wasser je nach Temperatur einige mrnls oder gar cm/sabsinken. Selbst in der Wüste beobachtet man viel weniger,d. h. das viel langsamere diffusive "Durchsickern"durch eine Dampfschicht, die unten den Sättigungsdruck,oben den Umgebungsdruck hat, ist praktisch immer maßgebend.Der Wind reißt diese Schicht teilweise ab und fördert sodie Verdunstung. Faßt man sie als Prandtl-Grenzschicht auf(vgl. Abschn. 3.3.3f) und berechnet das Diffusionsgleichgewicht,dann kommen vernünftige Werte für die Verdunstungsgeschwindigkeitheraus.5.6.4. Ist das möglich?Der heiße Becher kühlt schneller ab, hauptsächlich durchVerdunsten (Verdunstungsgeschwindigkeit geht exponentiellmit T). Wenn er 50° erreicht hat, ist fast to der Flüssigkeitverschwunden (Verdampfungswärme ~ 2 · 106 J/1). Inzwischenhat der anfangs kühlere Becher keinen großen Abkühlungs-Vorsprung,enthält aber noch fast alles Wasser (volleWärmekapazität). Daher kann es vorkommen, daß der andereihn sogar überholt.5.6.5. HeizwerteBeim Kondensieren des Verbrennungswassers wird zusätzlichEnergie frei, also ist Ho größer. Die meisten Brennstoffe(im wesentlichen Kohlenwasserstoffe) produzieren nurC02 und H20, und zwar nach der Pauschalformel(CH2)n + ~n02 --> nC02 + nH20, also 18 kg Wasser auf14kg Brennstoff. Die Kondensation von 18/14kg Wasserliefert 3 · 10 6 J. Das ist der typische Wert für H 0 - Hu.Wenn die Abgase so heiß bleiben, daß trotz des hohenWasserdampfgehaltes noch keine Kondensation eintritt, istRu zu benutzen. Nach der Reaktionsformel kann der H20-Dampfdruck bei vollständiger Verbrennung des 02 höchstens~ des ursprünglichen 0 2-Partialdrucks erreichen, alsoetwa 160 mbar. Oberhalb von etwa 50 °C tritt also keineKondensation ein.5.6.6. DruckaufschmelzungDie spezifischen Volumina von Eis und Wasser sind1, l . w-3 bzw. 10-3 m3 lkg, ihre Differenz ist ~V =