Lösungen zu den Aufgaben - Springer

"wird größer: B~ = B2IJl- v21c2. Es entsteht ein E-Feldsenkrecht zu v und B: E~ = vB2I Jl - v21 c2 . Kein Wunder,daß das Elektron in diesem E-Feld, das es selbstsieht, die Kraft eE; erfährt, die gerrau gleich der durchden Wurzelfaktor korrigierten Lorentz-Kraft ist (größenundrichtungsmäßig).15.3.4. Trouton-Noble-VersuchZwischen zwei Punktladungen Q+ und Q- im Abstand dherrscht die Spannung U = Ql(4neod). Wenn die LadungQ+ mit v fliegt, repräsentiert sie ein Stromelement Qv,das im Abstand d senkrecht zu v ein Feld B = f.lo Qv I d2 senkrechtzu v und der Verbindungslinie erzeugt (Biot-Savart).Bei einem Winkel rp zwischen v und der Verbindungsliniewirkt auf Q- die Lorentz-Kraft F = QvB sin rp, im ganzenwirkt ein DrehmomentT = QvBd sin rpcos rp = !f1 0 Q2v2d- 1 sin(2rp)= 8n2eov2c- 2 U 2 d.Bei U = 10 6 V, d = 0,1 m würde T ~ w-8 Nm, was gutmeßbar wäre. Ganz allgemein würde folgen T = Wv 2 1c 2 ,wo W die Feldenergie im Kondensator ist. In Wirklichkeittritt natürlich im Laborsystem keinerlei Drehmoment auf,denn hier gelten die Maxwell-Gleichungen ebensogut wiein jedem anderen Inertialsystem, und hier tritt kein Stromauf. Ein Beobachter, der sich relativ zur Erde bewegt, solltezunächst annehmen, daß sich der Kondensator dreht, abereine gerrauere Betrachtung unter Einbeziehung der mechanischenSpannungen (relativistischer Energie-Impuls-Tensor)zeigt, daß eine solche Spannung die Lorentz-Kräfte gerraukompensiert. Der negative Ausgang des Trouton-Noble-Versuchswar neben dem des Michelson-Versuchs eine der wichtigstenBestätigungen der speziellen Relativitätstheorie.15.3.5. Bewegte KugelDie Transformation des E-Feldes liefert für die Komponentenparallel bzw. senkrecht zu v: E[ 1= E 11 , aber E~ = E1_lJl- v21c2 . E1_ ist größer geworden. Die Niveauflächendes Feldes sind keine Kugeln mehr, sondern in Fahrtrichtungc2 abgeplattete Ellipsoide. Da dieum den Faktor J 1 - v21Kugel um eben diesen Faktor Lorentz-kontrahiert erscheint,steht das Feld nach wie vor senkrecht auf ihrer Ober- ·fläche. Das muß auch so sein, denn an der Homogenität derRaumladung ändert sich nichts, allerdings ist die Ladungsdichtejetzt größer: r/ = 121J1- v21c2.15.3.6. Relativistisches KraftwerkÜber der Schiene herrsche das Feld B. Elektronen im Draht,der die Schleifkontakte verbindet, erfahren eine Lorentz­Kraft evB, die einem Feld E = vB, einer SpannungU = vBd äquivalent ist (d: Dicke der Schiene). Beiv = lOOm/s, B = 1 Tesla, d = lOcm würde U = 10V, imErdfeld allerdings nur etwa 1 m V. Bei bewegter Schieneist wegen B = 0 allerdings zunächst kein E-Feld zu erwarten,wenn man nicht bedenkt, daß die Schiene eine Querpolarisationannehmen muß: Die bewegten LeitungselektronenKapitel 15: Lösungen 1177in ihr werden durch F = evB seitwärts gedrückt, bis sich einQuerfeld E = vB aufgebaut hat, das zum gleichen Ergebnisführt wie oben. Der Rotor der Unipolarmaschine entsprichtetwa den obigen Zahlenwertt;:n. Der Strom, den er erzeugt,hängt im wesentlichen vom Leitungswiderstand ab. Mankann sagen, Hunderte von Ampere werden hier rein relativistischerzeugt.15.3.7. Bewegte Leiter laden sich aufDer Strom beruht darauf, daß Elektronen der Anzahldichte nmit einer mittleren Driftgeschwindigkeit u durch den Drahtwandern: j = -nue. Die entsprechenden Ionen sind im Drahtfixiert. Ein Beobachter B fliege mit v in Richtung des Elektronenstromes.Für ihn ist die Ionendichte um den Faktor11 J 1 - v21 c2 höher, weil die Gitterkonstante des DrahtesLoren tz-kontrahiert ist: n' = nl J 1 - v21 c2. Für die Elektronen,die nur mit v - u relativ zu B fliegen, ist dieser Faktorkleiner: n~ 1 = niJ1- (v- u)21c2 .. B sieht demnach denDraht positiv aufgeladen. Dies wird auch rein geometrischsehr anschaulich, wenn man die Weltlinien der Ionen (vertikal)und der Elektronen (leicht nach rechts gekippt) ins Bezugssystemdes Drahtes einzeichnet. Die Elektronenlinienschneiden B's nach links gekippte Jetzt-Achse in größerenAbständen als die Ionenlinien. Bei u « v, was praktisch immerzutrifft, ist n~ 1 = n' ( 1 - uv I c 2 ) (Entwicklung der Wurzel).Also sieht B eine Ladungsdichte 12.' = en 1 uvlc2 =jv I ( c2 J 1 - v21 c2). Formal transformiert sich die Stromdichteals Vierervektor ); = Ux,)y,)z, ic12.) so, daß aus); =Ux, 0, 0, 0) beim Übergang zu B's System jf = UxlJ1- v21c2,0,0,ivjxl(cJ1- v21c2)) wird, d.h. daß ausder Stromdichte Jx eine Ladungsdichte 12.' = vJxl( c 2 J 1 - v21 c2 ) herauswächst.15.3.8. Tscherenkow-StrahlungWir zeigen, daß ein geladenes Teilchen aus Energie-Impulsgründennur dann Photonen emittieren kann, wenn es schnellerist als die Phasengeschwindigkeit des Lichts, was offenbareine Brechzahl n > 1 voraussetzt. Außerdem zeigen wir, daßPhotonen gegebener Wellenlänge nur unter einem ganz bestimmtenWinkel 9 gegen die Bahnrichtung des Teilchensemittiert werden können. Dazu schreiben wir den relativistischenEnergie- und Impulssatz vor und nach der Emissioneines Photons mit w und k:Ipc2Energie: w = cy m6c2 + p2 =V= w' + nw= cJm6c2 +p'2 + nwImpuls: p p' + TzkWir bildenvor der Emission nach der Emission .W 12 = (W- nw) 2 = p2c 4 1v 2 + n2w2 - 2pc2nwlv= c2(mÖc2 + p'2)