Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 6: Lösungen 10816.4.3. Wiedemann-Franz-GesetzWenn der Stab die Länge L und die elektrische Leitfähigkeit(J hat, fließt die Stromdichte j = (JU I L, und es wird eineJoulesehe Leistungsdichte jE= (JU2 I L 2 als Wärmequelldichtefrei. Die Wärmeleitungsgleichung heißt also c(!T =2T" + (JU 2 I L 2 . Im stationären Fall, wenn t = 0 gewordenist, ergibt sich das T-Profil aus T" = -(JU 2 I(2L 2 ) alsT=Tm-!:il(JU 2 1(2L 2 ). Dabei ist Tm die Temperatur inder Mitte, wo aus Symmetriegründen T' = 0 ist, x ist derAbstand von der Mitte. Aus der T-Differenz zwischen Mitteund Stabende AT= (JU 2 I(8J...) läßt sich das Verhältnis vonelektrischer und Wärmeleitfähigkeit leicht ablesen. Für diemeisten Metalle ergibt sich bei U = 100 V eine T-Differenzvon etwa l'K.6.4.4. EssigsäureKonzentrationen (in mol/1): Essigsäure insgesamt co, H-Ionenund Azetationen CH, undissoziierte Säure co- CH· DasMassenwirkungsgesetz liefert c~ = ~~:(co- CH), alsoCH = ,,A~~:2 + Kco- !~~:(die - -Wurzel hat keinen Sinn).Näherung für große und kleine co: CH ~ v'KCo für co » K,CH ~ co für co « K. Dissoziationsgrad cHI co : yKfCO fürco » K, 1 für co « K. Mit (J = ef1n, also der ÄquivalentleitfähigkeitA = ef1NAI1 000 erhält man für co -+ ~ A = 0,33.Der Knick zwischen A = const und A "'c0 1 2 liegt umCo = 10-5 mol/1. Für co = w-2 mol/1 z. B. folgtA = 0,0166, wie gemessen.6.4.5. Debye-Hückel-LängeDie Debye-Hückel-Länge nimmt mit wachsender Konzentrationab wie d"' c- 1 1 2 • Wenn n die Teilchenzahldichte derIonen eines Vorzeichens ist, gilt d = J eeokT I ( e2n ). Fürc = 1 mol/1, d. h. pH = 0, ist n = 6 · 10 20 cm-3 undd = 4,4A, für pH = 7 ist d = 1,4j.lm, für pH = 14 ergäbesich, wenn keine anderen Ionen als H+ da wären,d = 4,4 mm. Diese Werte bestimmen z. B., ob zwei Ladungenauf einer molekularen Struktur einander beeinflussen.Wenn ihr Abstand größer ist als d, tun sie es nicht, dennsie sind durch die Gegenionenwolken abgeschirmt. - Aufden ersten Blick scheinen die Gegenionenwolken aus demgleichen Grund zu verhindern, daß ein äußeres Feld überhauptauf die Ionen einwirkt, sie z. B. zum elektrolytischenWandern bringt. Aber die Gegenionenhülle wird teilweiseabgestreift, um so stärker, je schneller sich das Zentralionbewegt.6.4.6. Elektrischer Unfall9 gn von Ionen mit den relativen Molmassen 23 bzw. 35,5bedeuten 0,15 mol/1, also Teilchenzahldichten von je1020 cm-3 für Na+ und CI- . Mit den Beweglichkeiten ausTabelle 6.4 folgt eine Leitfähigkeit (J = en(Jl+ + fl- ) =1,8 · 10- 2 n- 1 cm-1. Knochen leiten sehr viel weniger.Am gefährlichsten ist der Hand-Hand-Schlag, weil derStrom direkt durch den Brustkorb geht und zum Herztod(Herzflimmern, falsche Schrittmachersignale) führen kann,besonders bei muskel- oder fettbepackten Handgelenken(großer Widerstand hinter kleinem bestimmt den Gesamt-widerstand). Schätzung: Fleischquerschnitt der Engstellen10cm 2 , Länge 150cm, also R ~ 1 kQ. Bei nassen Händenkönnen schon llO V gefährlich sein. Vorbeugung: EineHand in die Tasche. Der Schlag von der Hand zu den geerdetenFüßen ist trotz etwas kleineren Körperwiderstandsharmloser, außer natürlich barfuß auf nassem Boden. Tauchersind bei Kabelarbeiten unter Süßwasser besonders gefährdet:Ihr Körper schwimmt als mittelguter Leiter in einemrelativ schlechten, der aber in sehr dünner Schicht den Übergangswiderstandpraktisch zu Null macht.6.4.7. DissoziationsgleichgewichtDas allgemeine Reaktionsschema heißt AH pK I 00,1 K pK + I 101 11 0K pK 112lOK pK - 1 1/ 11 0» K < pK K/ H « I 0++Das Massenwirkungsgesetz drückt aus, daß der Zerfall vonAH monomolekular verläuft (Zerfallsrate "' AH), die Rekombinationvon A und H bimolekular (Rekombinationsrate"'A · H). Im Gleichgewicht müssen beide Raten gleich sein.6.4.8. i oder nicht-i .Zur Lösung der allgemeinen Wellengleichung Au= c- 2 üfür eine Funktion u(r, t) kann man Orts- und Zeitabhängigkeitim "Separationsansatz" trennen: u(r, t) = v(r) w(t). DieWellengleichung wird dann w Av = c-2vW oder Avl v =c-2wjw. Damit das für aller und t gelten kann, müssen beideSeiten dieser Gleichung gleich einer Konstanten sein:Avlv=a = c- 2 wjw oder Av = av und w = wafc 2 , d.h.w = wo e ±cy'at, womit a identifiziert ist: Wenn a < 0, ista 2 = oi / c 2 = 7?, wenn a > 0, folgt exponentielles AboderAnklingen. Die Gleichung für den Ortsanteil v, nämlich!J.v = av, ist bei a < 0 identisch mit der Gleichung für dieOrtsabhängigkeit der Wellenamplitude. Bei a > 0 ist esdie Poisson-Boltzmann-Gleichung für Potential oder Teilchenzahldichte;dann ist a als noe 2 I ( eeokT) zu deuten.Die Lösungen der beiden Gleichungen unterscheiden sichalso nur um den Faktor vCT = i. Im ebenen Fall v" = av