Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel16: Lösungen 1191A' ( sin kro) __ Ck' e-k'ro- kcoskro---ro ro roEndliche A' und C gibt es nur, wenn cot kro =(k'ro + 1)l(kr0 ). Die Folge der cot-Funktionen wird geschnittenbei kro = mr, wenn k' » k, näher beikro = (n + !)n, wenn das nicht der Fall ist. Wie tief mußein Topf vom Radius r 0 sein, damit wenigstens ein stationärerZustand darinliegt? W = U bedeutet k' = 0, also lautetdie Eigenwertbedingung tan kro = kro, d. h. kro = 4,4943,U = 1011 2 I (rÖm). Kernkraft-Potentialtöpfe haben fast die angenommenesteile Form mit ro R:: 2,6 fm für das Deuteron.Damit ein gebundener Zustand möglich ist, mußU > 50 MeV sein. Der gemessene Massendefekt des Deuteronsist 0,00239 AME, die Bindungsenergie 2,23 MeV. DieNullpunktsenergie (ungenutzte Topftiefe) beträgt also mehrals 50MeV.16.3.7. TunneleffektDie I/I-Funktion in Abb. 16.4 erfüllt zwar die stationäreSchrödinger-Gleichung und die Randbedingungen (1/1 und1/1 1 überall stetig), aber sie ist nicht normiert. Rechts liegtja der ganze unendliche Außenraum, in dem nurI 1/1*1/1 dV = 1 sein kann, wenn 1/J = 0 ist. Entweder ist drinnenauch 1/J = 0 (Teilchen hat sich ganz zerstreut), oder manerhält Sprünge in 1/J oder 1/J'. Man kann sich drehen wie manwill: Erzwingt man die Normierung, indem man den Raumrechts auch durch eine unendlich hohe Wand abschließt,müßte dort 1/J = 0 sein, und mit einer auslaufenden Wellewie in Abb. 16.4, die ja noch den e 1 mr-Faktor hat, geht dasnicht; man brauchte eine stehende Welle, womit man wiederbei Aufgabe 16.3.5 anlangt.- Wir retten die Normierungsbedingung,wo das am unschädlichsten ist, nämlich rechts. Dortdämpfen wir die !/!~Welle durch_ einen_ e-Jx~Faktor: Stattve(kx-wt) setzen Wlr ve(kx-wt) lix. DieS druckt aus, daßsich die aus dem Topf aussiekemden Teilchen nicht gleichzerstreuen, sondern zunächst vor der Schwelle ansammeln.Auf den Wert von ,5 kommt es nicht an, wie wir gleich sehenwerden. Jedenfalls wird ,5 « k sein, d. h. die Dämpfung erstrecktsich über viele Wellenlängen. Die modifizierte I/I­Funktion kann natürlich die stationäre Schrödinger-Gleichungnicht mehr erfüllen. Einsetzen zeigt, daß nicht mehrHI/J = WI/J, sondern HI/J = WI/J + ibk,!fi 2 m- 1 ~ (hier ist c5 2gegen ikb vernachlässigt). Die nichtstationäre Schrödinger­Gleichung liefert also (nli)I/J = WI/J +!n 2 m-1 ibki/J, d.h.1/1 = Dcp(x) eiWt/n e-nklit/(lm). 1/J klingt ab mit der Zeitkonstantenr = 2ml(1ik