Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 7: Lösungen 1093(a)R* L*(b)Abb. L. 8. Ein ideales Kabel als Strickleiter aus Spulen undQuerkapazitäten (a) und ein reales Kabel (b)Abb. L. 6. Lecher-Leitung aus parallelen Blechen mit Ladungsverteilung,elektrischem Feld (!11) und Magnetfeld(x x x)C* = qjU = 2m:eo/ ln(r2/ri). Das Magnetfeld um denInnenleiterstrom I ist so, daß 2nrB = fJJ.loi. Mit i ist eineFlußänderung durch die Innen- und Außenleiter einesKab~lstücks d.x begrenzte Fläche dcP = d.x J~ 1 i3 dr =J.1J.1ollnhfr!)/(2n) verbunden, also ein SpannungsabfalldU/d.x = L*i = fJJ.1oilnh/ri)j(2n), d.h. L* = fJJ.loln(rz/r1) j (2n). Für das Doppelblech wie das Koaxialkabel istC*L* = ssofJJ.lo = c- 2 sp.• • B • • •• • • • • • • • •Abb. L. 7. Verteilung des Magnetfeldes in einem Koaxialkabel7.6.11. WellenleiterWir schalten eine Reihe von Spulen hintereinander undebensoviele Kondensatoren quer dazu. Induktivität bzw.Kapazität pro Längeneinheit seien L * bzw. C*. Längs desLeiterstücks d.x fällt die Spannung um dU= L* d.xi, wennsich der Strom zeitlich wie i ändert, speziell bei einem SinussignaldU = iwL *I d.x. Dies ist die Maschemegel fürdiesen Fall. Die Knotemegel liefert längs derselben Streckeeinen Stromabfall, der gleich dem Querstrom über die Kapazitätist: di = q d.x = C* tJ d.x, für ein Sinussignal di =iwC* U d.x. Beide Gleichungen U' = iwL *I, I' = iwC* U(Strich: Ableitung nach x) liefern zusammen U" =-w 2 L * C* U und dieselbe Gleichung für I. Die Lösung istU = Uo sin(wv'L*C*x). Zu einer festen Zeit hat die Spannungs-und auch die Stromverteilung eine Wellenlänge2 J2n/(wvL*C*). Die Welle läuft mit w2/ (2n) =1/ L*C* über die Leitung. Nach Aufgabe 7.6.10 ist dasgleich c j .fi: Die Geschwindigkeit einer Welle im Isolationsmediumhängt nicht davon ab, ob Leiter darin sind, nurihre Amplitude hängt davon ab. Wenn die Leitung den ohmsehenWiderstand R* und den Querleitwert G* pro Längeneinheithat, wird der Spannungsabfall U' = (iwL* + R*)I,der Stromabfall I'= (iwC* + G*) U, es folgt U" =(iwL* + R*)(iwC* + G*)f!, also eine abklingende WelleU = U 0 e - ixe 1 w{t- x/c). D1e Größenbund k = wjc ergebensich in ziemlich komplizierter Weise als Real- und Imaginärteilvon J(iwL* + R*)(iwC* + G*). Nur für hohe Frequenzenw » JR*G* j (L*C*) kann die Welle mehrere Periodenmachen, bevor sie ganz abklingt. Aus U' =J(iwL* + R*)(iwC* + G*)U = (iwL* + R*)I folgt U / I =Z = J(iwL* + R*)/ (iwC*+ G*). Das ist der Wellenwiderstandder Leitung.7.6.12. TV-KabelNach Aufgabe 7.6.11 ist der Wellenwiderstand Z tatsächlichunabhängig von der Kabellänge. Wenn er auch frequenzunabhängigsein soll, muß R* « wL * und G* « wC*sein, also z = v' L *I c·. Beim Koaxialkabel ist nachAufgabe7.6.10 z = v'L*/C* =Vf.1o(lnr2/r1) 2 /(4n 2 sso) =~~~· lo~t d:;2 s ~(~:~;jr 1 ~1lt= ~9~.T;; ~ 2 ~~:r 1 ;::::: 0,3 mm, muß die Isolation e >:::; 2,7 haben. Für die