Pulverfließeigenschaften - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

360
6 Transport und Lagerung von Partikelsystemen .................................. 361
6.1 Molekulare Wechselwirkungen und Partikelhaftkräfte .............. 361
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6.1.1 Bindung durch Adhäsionskräfte zwischen den Partikeln ... 362
6.1.1.1 Bindungsarten ................................................................. 362
6.1.1.2 Adhäsionskräfte .............................................................. 363
6.1.1.2.1 Wasserstoffbrückenbindungen.................................. 363
6.1.1.2.2 VAN-DER-WAALS-Kräfte ..................................... 364
6.1.1.2.3 Mikromechanische Bewertung des Haftvermögens . 368
6.1.1.2.4 elektrostatische Kräfte .............................................. 369
6.1.1.2.5 Vergleich der Adhäsionskräfte ................................. 371
6.1.1.2.6 Oberflächenrauhigkeit und VAN-DER-WAALS-Kräfte
.................................................................................. 372
6.1.1.2.7 Haftkraftminimum beschichteter Partikel ................. 373
6.1.1.2.8 Zugabemenge an Nanopartikel ................................. 374
6.1.1.2.9 Rauhigkeitseinfluß auf die Adhäsionskräfte ............. 377
6.1.1.3 Mikromechanik der Kontaktdeformation und Haftkraftver-
stärkung ........................................................................... 378
6.1.1.4 Einfluss von Adsorptionsschichten................................. 383
6.1.1.5 Modellierung der Schüttgut- bzw. Agglomeratfestigkeit385
6.1.2 Bindung mit Hilfe benetzender Flüssigkeiten ................... 386
6.1.2.1 Bindung durch Flüssigkeiten niedriger Viskosität .......... 386
6.1.2.1.1 Kapillarkraftmodell ................................................... 387
6.1.2.1.2 Zerreißarbeit einer Flüssigkeitsbrücke ...................... 390
6.1.2.1.3 Viskose Bindekraft ................................................... 391
6.1.2.1.4 Einaxiale Zugfestigkeit ............................................. 392
6.1.2.2 Flüssigkeitsbindung in Partikelpackungen ..................... 392
6.1.2.3 Bindung durch Flüssigkeiten hoher Viskosität ............... 394
6.1.3 Bindung durch Festkörperbrücken ...................................... 395
6.1.3.1 Kristallisationsbrücken ................................................... 395
6.1.3.2 chemische Brückenbindungen ........................................ 396
6.1.3.3 Sinterbrücken .................................................................. 397
6.1.4 Formschlüssige Bindungen ................................................. 400
6.2 Spannungszustand und Fließverhalten von Schüttgütern ........... 400
6.2.1 Ruhedruckbeiwert ............................................................... 401
6.2.2 Herleitung des MOHRschen Spannungskreises ................. 402
6.2.3 Bruchhypothesen und Fließkriterien ................................... 404
6.2.4 Fließkennwerte von Schüttgütern ....................................... 409
6.2.4.1 Fließfunktion................................................................... 409
6.2.4.2 Kompressionsfunktion .................................................... 410
6.2.5 Messung der Fließeigenschaften von Schüttgütern ............ 412

6.3 Lagerung von Schüttgütern ........................................................ 414
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6.3.1 Verfahrenstechnische Probleme mit Silos und Bunkern .... 414
6.3.2 Auslegung von Silos und Bunker ....................................... 414
6.3.2.1 Auslegungsschritte einer Speicheranlage ....................... 414
6.3.2.2 Auslegung eines Massenflusstrichters ............................ 415
6.3.2.3 Auslegung eines Kernflusstrichters ................................ 417
6.3.2.4 Austraggeräte und Austraghilfen .................................... 418
6.4 Verweilzeitverhalten bei stationärem Partikeltransport ............. 419
6.4.1 Verweilzeitverteilungsfunktion und –verteilungsdichte .... 419
6.4.2 Charakteristische Prozessmodelle des Verweilzeitverhaltens421
6.4.3 Lösung der zweiten KOLMOGOROFF-Differentialgleichung
............................................................................................ 424
6.5 Schwerpunkte und Kompetenzen ............................................... 427
6 Transport und Lagerung von Partikelsystemen
Gliederung: Folie 6.1
• Besonderheit der Schüttgutlagerung in Behältern: Folie 6.2
• Schüttgutmengen: Folie 6.3
• Übersicht über Eigenschaftsfunktionen: Folie 6.4
• Modellhierarchie - multiskalige Modelle: Folie 6.5
6.1 Molekulare Wechselwirkungen und Partikelhaftkräfte
Die Wechselwirkungen in dispersen Stoffsystemen spielen für eine Reihe verfahrenstechnischer
Prozesse eine sehr wichtige Rolle und sind dann auch Gegenstand
einer Prozessführung. Sie lassen sich mikroskopisch mit den Wechselwirkungspaar-Potentialen
zwischen Atomen, Ionen sowie Molekülen und
mit den daraus resultierenden Potentialkräften hinreichend genau beschreiben
( Folie 6.6).
Zwischen benachbarten Partikeln bzw. zwischen Partikeln und Dispersionsmittel
wirken immer VAN-DER-WAALS-Kräfte (Folie 6.7). Hinzu können elektrostatische
Kräfte und noch andere Wechselwirkungen kommen (Kapillarkräfte,
magnetische Kräfte u.a.). Die Wechselwirkungen zwischen festdispersen
Partikeln sind für die Agglomeration (Pelletieren, Brikettieren, Tablettieren
u.a.) sowie für deren Flockung bzw. Dispergierung in Suspensionen
wesentlich. Unter Koaleszenz versteht man das vollständige Vereinigen von
fluiddispersen Partikeln (Tropfen, Blasen) in einem Fluid nach erfolgter An-
361

362
näherung. Die Flüssigkeitsbindungen einem körnigen Gut werden ebenfalls
durch die im System vorhandenen Wechselwirkungen bestimmt. Ähnliches gilt
für das Fließverhalten von Schüttgütern. Im Folgenden werden einige wich-
tige Wechselwirkungen für festdisperse Systeme besprochen. Es lassen sich
folgende Bindungen zwischen Feststoffpartikeln abgrenzen (Folie 6.8):
a) Bindung durch Adhäsionskräfte unmittelbar zwischen den Partikeln,
b) Bindung mit Hilfe benetzender Flüssigkeiten niedriger Viskosität,
c) Bindung durch hochviskose Bindemittel,
d) Bindung durch Festkörperbrücken,
e) formschlüssige Bindung.
6.1.1 Bindung durch Adhäsionskräfte zwischen den Partikeln
6.1.1.1 Bindungsarten
Ganz allgemein kann man bezüglich chemischer Bindungsaktivität der Stoffe
unterscheiden zwischen (siehe Hütte (1991), S. B 153):
- chemisch inaktiv (Edelgase):
Atome mit voll gefüllter äußerer Elektronenschale, hohe Energie (Ionisierungsenergie)
notwendig zum Abtrennen von Valenzelektronen (8.
Hauptgruppe: He, Ne, Ar, Kr)
- chemisch aktiv:
Atome, die 1 oder 2 Elektronen in der äußeren Schale enthalten und sich bei
Elektronenabgabe zu positiv geladenen Kationen umwandeln (1. Hauptgruppe:
Li, Na, K; 2. Hauptgruppe: Mg, Ca) oder denen sie fehlen und sich
bei Elektronenaufnahme zu negativ geladenen Anionen umwandeln (6.
Hauptgruppe: O, S; 7. Hauptgruppe: F, Cl, B).
Wenn man nun einen Festkörper unter Höchstvakuum zerbrechen würde und
anschließend die Bruchstücke wieder exakt zusammenfügen könnte, so würden
erneut dieselben Bindekräfte wirksam, die die Kohäsion in Festkörpern bestimmen
(= chemische Bindungen). Sobald sich aber auf den Bruchflächen
Adsorptionsschichten gebildet haben - und dies geschieht in einer Gasatmosphäre
oder in einer Flüssigkeit sofort - werden diese starken Hauptvalenzbindungen
- homöopolare (= kovalente Bindung):
Bildung gemeinsamer Elektronenpaare der Partner, Überlappung von Atomorbitalen
(Molekülorbitalmodelle), gerichtet mit räumlicher Vorzugsrich-
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tung, z.B. Hartstoffe (Karbide, Nitride), Atomkristalle: nichtmetallische
Kristalle aus einer einzigen Atomsorte, z.B. Diamant, Si, P, As, S
- heteropolare (= Ionenbindung):
Valenzelektronen werden von einem Atom abgegeben und vom anderen
aufgenommen, ungerichtete elektrostatische (COULOMB-) Anziehungskraft
zwischen Anion (- geladen) und Kation (+ geladen) in einem Ionengitter (=
Ionenkristall), Ionenkristalle bestehen aus mindestens 2 Atomsorten, insbesondere
mit Metallionen, z.B. Salze, NaCl, CaF2, Oxidkeramik, MgO, Minerale
und
- metallische Bindungen (= „Elektronengas-Modell“):
frei bewegliche Valenzelektronen im Kristallgitter aus Metallkationen, Kristallorbitalmodell,
ungerichtet
mehr oder weniger vollständig abgesättigt. Sie scheiden deshalb als Adhäsionskräfte
zwischen Partikeln weitgehend aus. Folglich werden damit sog.
schwache Nebenvalenzbindungen zwischen den Atomen, Ionen oder Molekülen
der kontaktierenden Partikeln wirksam:
� Wasserstoffbrückenbindungen
� VAN-DER-WAALS-Kräfte und
� elektrostatische Kräfte
6.1.1.2 Adhäsionskräfte
6.1.1.2.1 Wasserstoffbrückenbindungen
Gerichtete Bindungsbrücke zwischen einem elektronegativen Atom (z.B. O, N,
F, Cl), an das der Wasserstoff kovalent gebunden ist, und einem ebenfalls
elektronegativen Atom eines Nachbarmoleküls, an das es mehr oder weniger
physikalisch gebunden ist, und zwar aufgrund seiner Tendenz zu positiver Polarisation
H + und seines geringen Durchmessers dH = 0,22 nm, schlüpft es als
Brücke in die Gitterzwischenräume O - H--O.
Der Atomkernabstand der H--O Bindung ist mit a = 0,176 nm größer als der
einer intensiveren kovalenten O - H Bindung mit
= r + r = ( 0,
066 + 0,
03)
nm = 0,
096 nm ≈ 0,
1 nm ,
a O H
aber kleiner als der Abstand gebildet durch die beiden Atomradien von
= r + r = 0,
15 nm + 0,
11 nm = 0,
26nm
a O H
einer schwächeren VAN-DER-WAALS-Bindung.
Wasserstoffbrückenbindungen treten zwischen -OH, -NH2 oder ähnlichen
Gruppen in den Partikeloberflächen bzw. in den adsorbierten Hydrathüllen der
Oberflächen auf. Bei wasserstoffhaltigen Stoffen sind sie neben den VAN-
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DER-WAALS-Bindungen auch am Zusammenhalt des Molekülverbandes be-
teiligt. Sie sind für Struktur und Eigenschaften beispielsweise des flüssigen und
festen Wassers, der Tonminerale oder Proteine von wesentlicher Bedeutung.
6.1.1.2.2 VAN-DER-WAALS-Kräfte
VAN-DER-WAALS-Kräfte sind immer vorhanden, wenn Atome bzw. Moleküle
aufeinander wirken. Sie ergeben sich aufgrund der elektrischen Dipolmomente
von Atomen und Molekülen.
Sie werden durch:
- Orientierungskräfte = Anziehung zwischen permanenten elektrischen
Dipolen, bei polaren Molekülen (z.B. HCl, H2O, NH3) und zwischen Ionen
und permanenten elektrischen Dipolen,
- Induktionskräfte = Anziehung zwischen permanenten Dipolen oder Ionen
und induzierten Dipolen bei symmetrischen Molekülen ohne permanentem
Dipolmoment (z.B. CO2, CH4),
- Dispersionskräfte = Anziehung zwischen ursprünglich unpolaren aber infolge
der Elektronenbewegung (Elektronenresonanz ausgelöst durch Lichtabsorption
im UV-Wellenlängenbereich λ ≈ 100 nm bzw. νe ≈ 3,0⋅10 15 Hz;
vergleiche Frequenzbereich des sichtbaren Lichtes ν = (3,8...7,7)⋅10 14 Hz,
Wellenlängen λ = 790...390 nm) in den Bindungsorbitalen dann folgende
induzierte elektrische Dipole zwischen Atomen und bei unpolaren Molekülen,
z.B. Kohlenwasserstoffe,
verursacht. Falls solche nicht permanent oder induziert vorliegen, so existieren
sie doch kurzzeitig, weil Atome und Moleküle elektrische Systeme mit bewegten
Ladungen, also elektrische Oszillatoren mit bewegten Ladungsschwerpunkten
(Dispersion), darstellen.
Van-der-Waals-Kristalle: z.B. feste Edelgase bei sehr tiefen Temperaturen,
Molekülgitterkristalle wie fester Wasserstoff oder alle Kristalle organischer
Verbindungen.
Wenn man zwei größere, harte Körper mit ebenen, aber rauhen Oberflächenteilen
aufeinander legt, so wird man beim anschließenden Abheben eines Körpers
die Adhäsionskraft (= Oberflächenkraft) im Vergleich zur Gewichtskraft (=
Volumenkraft) überhaupt nicht bemerken. Mit abnehmender Größe eines Adhäsionspartners
wächst jedoch für ihn das Verhältnis
F π / 2 ⋅ d ⋅ W
H
A,
ss 1
= ∝ , ( 6.1)
2
F m ⋅ g d
G
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P
so dass z.B. das Haften feinster Partikeln an senkrechten oder überhängenden
Wänden oder die Agglomeration feinster Partikeln zu beobachten sind, siehe

dazu auch im Abschnitt 6.1.1.2.3 die Tabelle 6.2. WA,ss ist im Sinne einer cha-
rakteristischen Stoffkonstanten die flächenbezogene Wechselwirkungsarbeit
(= Adhäsionsarbeit, siehe Gl.( 6.2)) zweier kontaktierender ebener Oberflächen
des betrachteten Stoffsystems, die notwendig ist, um sie auf einen unendlichen
Abstand a → ∞ zu entfernen.
Andererseits sind diese Kraftwirkungen deutliche erkennbar, wenn man Körper
mit ebenen und glatten Oberflächen aufeinander legt. Dies veranschaulicht die
Tatsache, dass die Adhäsionskräfte FH von der Anzahl der wechselwirkenden
Kontaktstellen abhängen. Letztere werden zunächst von der Größe der Haftflächen
der Adhäsionspartner und weiter entscheidend von der Oberflächenrauhigkeit
mitbestimmt.
Die Kontakte zwischen den Partnern kann man verbessern, indem man sie mit
einer Normalkraft aneinanderpresst (siehe auch Gl.( 6.51)). Dies wirkt sich für
die Haftung umso stärker aus, je leichter verformbar diese sind. Für diese
Haftverstärkung ist nur die inelastische Verformung wesentlich, weil sie
nicht den Aufbau größerer innerer Spannungen zur Folge hat. Jedoch vollziehen
sich Verformungen (elastisch oder inelastisch) auch unter der Wirkung der
Adhäsionskräfte selbst, wodurch sich aus dem zunächst punktförmigen Anfangskontakt
eine Kontaktfläche entwickelt.
Aus dem Vorstehenden werden auch die großen Schwierigkeiten deutlich, die
einer theoretischen Berechnung der Adhäsionskräfte entgegenstehen, weil diese
nicht nur von
� Größe und Abstand der Adhäsionspartner, sondern auch von
� der Partikelform (einschließlich Oberflächenrauhigkeit),
� der Verformbarkeit (Oberflächenhärte) oder Steifigkeit der Kontakte,
� den Adsorptionsschichten
mitbestimmt werden. Infolgedessen können die zu behandelnden vereinfachten
Modelle keine zuverlässigen Angaben über deren absolute Größe liefern, weil
diese schwierig erfassbaren Einflüsse die Haftkräfte für den Realfall über Größenordnungen
hinweg modifizieren können.
Zunächst geht es darum, auf der Grundlage des physikalischen Charakters dieser
Wechselwirkungen die Kräfte zu bestimmen, mit denen Körper einfacher
geometrischer Formen und ideal glatter Oberfläche aufeinander wirken. Dies
geschieht, indem man die Partnersysteme
- Kugel/Kugel,
- Platte/Kugel (bzw. sehr große Kugel/kleine Kugel) und
- Platte/Platte
betrachtet (Folie 6.7). DERJAGUIN summierte alle molekularen Wechselwirkungskräftepaare
des mittleren Abstandes a eines idealisierten Kontaktes zweier
steifer Kugeln (ohne Deformation) und erhielt mit dem mittleren
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366
Partikelradius r1,2 = r/2 gemäß Gl.( 6.38) für die Adhäsionsarbeit zweier zu
trennenden Oberflächen mit der oberflächenbezogenen Bindungsenergie
einer Oberfläche σss:
W , = 2 ⋅σ
( 6.2)
A ss
H0
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H
ss
F ≡ F ( a)
= 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ W ( a)
= 4 ⋅ π ⋅ r ⋅ σ . ( 6.3)
1,
2
A
Diese DERJAGUIN-Approximation führt zu den folgenden Spezialfällen:
1,
2
Modellkörper Haftkraft Gl.Nr. Haftkraft Gl.Nr.
zwei identische Kugeln in
einer Flüssigkeit
zwei identische Kugeln im
Vakuum (svs ≡ ss)
eine Kugel auf flacher Oberfläche
im Vakuum
eine Kugel auf flacher Oberfläche
in Gas
F σ
H = 2⋅
π⋅
r ⋅ sls ( 6.4)a
F σ
H = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ svs ( 6.4)b
F σ
H = 4 ⋅ π ⋅ r ⋅ svs ( 6.4)c
H = 4 ⋅ π ⋅ r ⋅ sgs ( 6.4)d
F σ
ss
F
F
F
F
H
H
H
H
C
=
⋅ r
H , sls
2
12 ⋅ aF
= 0
C
=
12
( 6.5)b
C
=
C
=
6
( 6.5)d
⋅ r
H,
svs
2
⋅ a F=
0
⋅ r
H , svs
2
6 ⋅ aF
= 0
⋅ r
H,
sgs
2
⋅ a F=
0
Tabelle 6.1: Modellkörper der DERJAGUIN-Approximation
( 6.5)a
( 6.5)c
Gemäß Tabelle 6.1 lässt sich für die spezifisch freie Grenzflächenenergie σss
des ursprünglichen Platte-Platte-Kontaktes auch allgemein unabhängig von
der Partikeloberflächenform schreiben
CH
, s(
v,
g,
l)
s
σ s(
v,
g,
l)
s =
. ( 6.6)
2
24 ⋅π
⋅ aF
= 0
Sie kann als charakteristische Stoffeigenschaftsfunktion betrachtet werden, die
insbesondere von der HAMAKER-Konstante CH,ss und somit von den dielektrischen
Eigenschaften des Partikelmaterials abhängt. Für die Berechnung der
VAN-DER-WAALS-Wechselwirkungen von Partikeln lassen sich zwei theoretische
Ansätze unterscheiden:
a) Das Teilchenmodell (sog. mikroskopische Berechnung) geht vom Prinzip
der Additivität der einzelnen Wechselwirkungen von Atom- bzw. Molekülpaaren
(LONDON) aus, so dass die VAN-DER-WAALS-Kräfte zwischen
den Körpern durch Integration über alle Paare von Atomen
und Molekülen berechnet werden (DE BOER, HAMAKER, CH-Konstante).
Der Zusammenhang zwischen den beiden charakteristischen Materialeigen-

schaftsfunktionen HAMAKER-Konstante CH und Konstante für das
Anziehungspotential A (siehe MVT_e_2neu.doc#MIE_Potential) ist für die
beiden Haftpartner s1 und s2 mit dem Molekülvolumen VM, einer
Molekülzahldichte (svw. Dipolzahldichte) ρn, der Molekülpackungsdichte
εM ≈ π/6 und mit dem mittleren Molekülpackungsdurchmesser dM:
M,
s1
s1
A
ρ n,
s1=
=
=
( 6.7)
3
VM,
s1
π⋅
d M,
s1
Ms1
C
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1 6 ⋅ ( 1−
ε ) ρ ⋅N
2
2 s1,
s2
H,
s1,
s2
= π ⋅ ρn
, s1
⋅ ρn
, s2
⋅ As1,
s2
= π ⋅ . ( 6.8)
3 3
d M,
s1
⋅ d M,
s2
b) Das Kontinuumsmodell (sog. makroskopische Berechnung) geht von den
optischen (Wellen-) Eigenschaften der wechselwirkenden Körper aus. Hier-
bei werden die VAN-DER-WAALS-Kräfte aus dem imaginären Teil der
komplexen frequenzabhängigen Dielektrizitätskonstanten (Permittivitäten)
εr(iν) und Brechungsindizes n(iν) bestimmt. Es fließen auch die optischen
und elektrischen Eigenschaften von Adsorptionsschichten zwischen den
Wechselwirkungspartnern ein (LIFSCHITZ, �ϖ -Konstante, siehe Tabelle
3.3 im LB MVT S. 103).
In der Folie 6.7 sind die Berechnungsformeln für ideal glatte Modellkörper
zusammengestellt. Dabei sind diese weiterhin als ideal steif vorausgesetzt, d.h.,
es tritt keine Verformung der Haftpartner im Kontaktbereich ein.
Diese Beziehungen gelten für den unmittelbaren Nahbereich, d.h. Molekül-
−2
kernabstände a < 1 nm, z.B. a
−2
≈ ( 0,
316 nm)
19 −2
= 10 m . Für größere Ab-
F=
0
− 2 16 −2
stände a > 10 nm ( a < 10 m ) sind die VAN-DER-WAALS-Kräfte mindes-
tens drei Größenordnungen geringer und damit unbedeutend. Gewöhnlich wird
für den unmittelbaren Kontakt von Kugel und Platte ein Gleichgewichtsabstand
von a = aF=0 ≈ 0,3 ... 0,4 nm angenommen (etwa Größe eines Wassermoleküls).
Die nach Folie 6.7 berechneten VAN-DER-WAALS-Kräfte sind in der Folie
6.9 grafisch dargestellt
F
H,
VdW
C ⋅ d
= , ( 6.9)
12
H
2
⋅ a F=
0
wobei hier für die Umrechnung (Absorptionsfrequenz ϖ ≡ 2πν e) gilt:
C H
3⋅�
ϖ
= . ( 6.10)
4 ⋅π
h = 4,136 10 -15 eV s Plancksches Wirkungsquantum (1 eV = 1,602 10 -19 J)
= 6,626 10 -34 −34
J s � = h /( 2π)
= 1,
05510
J ⋅ s elementarer Drehimpuls
e = 1,602 10 -19 C Elementarladung ( 1 C = 1 As)
Im Folgenden wird daher nur noch die HAMAKER-Konstante verwendet.
A
367

368
Zur physikalischen Bedeutung der HAMAKER-Konstanten:
Die Konstante des Anziehungspotentiales A für niedrigmolekulare Gase am
einfachsten aus den beiden gemessenen Stoffkonstanten der VAN-DER-
WAALS-Gleichung berechnen, die für Zustände in der Nähe des Gaskondensationspunktes
gilt (siehe J. ISRAELACHVILI: Intermolecular & Surface
Forces, S. 24 und 91):
⎛ a ⎞
⎜
⎜p
+ ⋅(
Vm
− b)
= R ⋅T
2
V ⎟
( 6.11)
⎝ m ⎠
mit dem molaren Volumen oder Molvolumen (s. ideales Gasgesetz
p ⋅ V = m / M ⋅R
⋅T
bzw. p ⋅ Vm
= R ⋅ T )
V m
= M ⋅V
/ m . ( 6.12)
2
Der sog. Binnen- oder Kohäsionsdruck a / Vm
berücksichtigt bei der Kondensation
die zunehmenden Wechselwirkungen der Moleküle untereinander und
wirkt als Vergrößerung des Außendruckes p, d.h. pges = p + pVdW
9 ⋅ a ⋅ b
A = . ( 6.13)
4 ⋅ π
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2 3
⋅ N A
Z. B. für Wasserdampf ist a = 0,555 Nm 4 /mol 2 und b = 31,0⋅10 -6 m 3 /mol, siehe
Hütte S. B 62, und damit ist die Anziehungskonstante dieser stark polaren Mo-
−77
6
−77
leküle A = ( 0,
1044 ⋅10
J ⋅ m ) ⋅ 0,
555 ⋅ 31,
0 = 1,
8 ⋅10
6
J ⋅ m .
Das sog. Covolumen b berücksichtigt das Eigenvolumen der Moleküle VM
2⋅
π⋅
N A 3
b = 4⋅
N A ⋅ VM
= ⋅d
M ,
3
( 6.14)
so dass sich daraus der Moleküldurchmesser dM berechnen lässt:
1/
3
3 b
d M
2 N ⎟
A
⎟
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜
. ( 6.15)
⎝ ⋅π
⋅ ⎠
−6
3
⎛ 3⋅
31,
0⋅10
m / mol ⎞
Für Wasserdampf ist d M = ⎜
23
2 6,
022 10 / mol ⎟
⎝ ⋅ π⋅
⋅ ⎠
= 0,
291 nm . Damit ergibt
sich eine für praktische Anwendungen allerdings zu hohe HAMAKER-
2 A
Konstante A = π ⋅ 6
dM
−77
6
2 1,
8⋅10
J ⋅ m
= π ⋅
−9
6
0,
291⋅10
m
−20
= 29,
3⋅10
J , sonst für Wasser
( )
etwa CH = 15⋅10 -20 J (paarweise Additivität) bzw.
CH = 3,7⋅10 -20 J (Kontinuumstheorie).
6.1.1.2.3 Mikromechanische Bewertung des Haftvermögens
1/
3

Gemäß dem Kugel-Platte-Modell Gl.( 6.9) wächst bei zunehmender Partikelg-
röße d linear die Van-der-Waals-Kraft. Allerdings steigt die Gewichtskraft FG
proportional zur dritten Potenz der Partikelgröße. Der Einfluss der Partikelgrö-
ße lässt sich also am einfachsten durch das Verhältnis der Van-der-Waals-Kraft
zur Gewichtskraft verdeutlichen, siehe auch Gl.( 6.1) im Abschnitt 6.1.1.2.2.
Dies kann auch als Haftvermögen bezeichnet werden (g ist die Fallbeschleuni-
gung und ρs die reine Feststoffdichte des Partikels):
FVdW
CH
= 2 2
F 2πρ
g a ⋅d
( 6.16)
G
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s
Realistische Werte lassen sich nur mit einem charakteristischen Abstand a ge-
winnen. Bei einem geringen Haftvermögen kleiner 1, also mit einer Gewichts-
kraft > Van-der-Waals-Kraft, kann makroskopisch ein leicht bis frei fließendes
rieselfähiges Pulver beobachtet werden. Umgekehrt erwartet man für Partikel
mit einem Haftvermögen deutlich größer als 1 ein kohäsives Fließverhalten des
Pulvers, siehe Tabelle 6.6 im Abschnitt 6.2.4. Eine praktikable Abschätzung
des Haftvermögens lässt sich überschlägig mit der Gl.( 6.16)) vornehmen:
F
F
VdW
G
( 100µm)
2
≈ ( 6.17)
2
d
Daraus gewinnt man die Klassifizierung in der Tabelle 6.2, die eine realisti-
sche Bewertung des Haftvermögens einer Vielzahl feiner bis nanoskaliger tro-
ckener Pulver ermöglicht.
Physikalisches
Wirkprinzip
Partikeldurchmesser
d in µm
FvdW/FG
Bewertung
10 – 100 1 – 100 gering adhäsiv
1 – 10 100 – 10 4 adhäsiv
0,01 – 1 10 4 – 10 8 sehr adhäsiv
Tabelle 6.2: Überschlägige Bewertung des Haftvermögens (Haftkraftverhält-
6.1.1.2.4 elektrostatische Kräfte
nisse) feiner bis nanoskaliger Partikel
Partikeln, die Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens tragen, ziehen sich an
(COULOMB-Kräfte). Unterschiedliche Ladungen können beim Kontakt
durch Übertritt von Elektronen (Kontakt-Potential) entstehen /3.95//3.96/. Außerdem
kann die Vorgeschichte, d.h. Kontakt und Reibung, bereits zu geladenen
Partikeln geführt haben.
In einem elektrischen Feld würde ein nicht leitendes Partikel polarisiert. Diese
Ladungstrennung oder -polarisation bleibt auch bei Partikel-Platte-Kontakt
369

370
bestehen. Bei Bewegung eines leitenden Partikels zur positiven Elektrode würde
dagegen dessen in Kontaktnähe konzentrierte, hohe negative Ladung sofort
abfließen. Das Partikel nimmt nach Kontakt damit die Ladung der Kontaktelektrode
an:
+ + + + + + + + + + +
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- - - - - - -
+ + + + + +
-
+ + + + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
nicht leitendes Partikel
leitendes Partikel
Bild 6.1: Aufladung von Partikeln im elektrischen Feld
Ursache für Kontakt-Potentiale ist die unterschiedliche Elektronenaustrittsarbeit
der Festkörper. Es wandern Elektronen vom Festkörper mit der kleineren
Austrittsarbeit zu dem mit der größeren. Die Ladungen sind dabei in der Oberflächenschichte
lokalisiert, deren Dicke
- bei Metallen Bruchteile eines nm,
- bei Halbleitern und
- Nichtleitern bis zu 1 µm
beträgt. Folglich ist die elektrostatische Anziehungskraft aufgrund des Kontakt-
Potentials bei elektrischen Leitern größer als bei Nichtleitern, da sich die Ladungen
im Kontaktbereich konzentrieren.
Das Kontakt-Potential, das von der Stoffkombination und vom Oberflächenzustand
der Partikeln abhängt, liegt vielfach zwischen U = 0,1...0,7 V.
Bei der Berechnung der auf Kontakt-Potentiale zurückzuführenden elektrostatischen
Haftkräfte muss von stark vereinfachten Modellvorstellungen ausgegangen
werden, weil das elektronische Energiespektrum der Oberflächen gewöhnlich
unbekannt ist. Hinzu kommt, dass diese Vorgänge in außerordentlich starkem
Maße durch Adsorption und Oberflächenverunreinigungen beeinflusst
werden, d.h., es tritt ein schneller Ladungsausgleich ein, der die Anziehungskräfte
minimiert.
In Folie 6.9 sind Adhäsionskräfte aufgrund von Kontakt-Potentialen mit berücksichtigt.
Es fällt die ausgeprägte Abhängigkeit für elektrische Leiter vom
Abstand der Adhäsionspartner 1/a 2 bzw. 1/a auf. Diese Gleichungen gelten für
etwa a < d. Für wesentlich größere Abstände fällt die Anziehungskraft mit
wachsendem Abstand praktisch stärker ab.
Auf elektrischen Nichtleitern stellt man als Folge der Vorgeschichte, d.h.
Kontakt und Reibung, häufig Überschussladungen fest. Die maximale beo-
-

achtete Ladungsdichte q = Q/AS ≡ σmax beträgt etwa 10 2 e/µm 2 (mit der Ele-
mentarladung e = 1,6⋅10 -19 As) /3.92//3.94/. Trotz des gegenüber den VAN-
DER-WAALS-Kräften geringeren Betrages wirken elektrostatische Kräfte bei
Isolatoren viel weit reichender als diese. Für vollkommene elektrische Isolato-
ren und unter Voraussetzung der Gleichverteilung der Ladungen lassen sich die
darauf zurückzuführenden Anziehungskräfte ebenfalls mit den in Folie 6.7 an-
gegebenen Formeln berechnen /3.94/. In den Modellgleichungen ist keine Ab-
standsabhängigkeit der elektrostatischen Kräfte von nicht leitenden Parti-
keln enthalten. Es kann also a >> d sein. Dies wird bei der elektrischen Staub-
abscheidung (siehe Elektrofilter MVT_e_4.doc Abschnitt 4.6.3.3) und bei der
Elektrosortierung von Mineralen und Abfällen (siehe Elektroscheider
AT_RC_33.doc und AT_RC_335.doc) verfahrenstechnisch ausgenutzt.
6.1.1.2.5 Vergleich der Adhäsionskräfte
In Folie 6.9a sind die Haftkräfte für das Modell glatte Kugel/glatte Platte bei
Berührung in Abhängigkeit vom Kugeldurchmesser miteinander verglichen. Es
ist auch das Kugelgewicht für ρs = 3000 kg/m 3 mit eingetragen, das unter den
getroffenen Modellannahmen für Partikeln d < 100 µm klein im Vergleich zu
den Haftkräften ist.
Sind die Partikeln in einer Flüssigkeit dispergiert, so werden die VAN-DER-
WAALS-Kräfte gegenüber den bisher erörterten Verhältnisse im Vakuum bzw.
in einer Gasatmosphäre wesentlich vermindert /3.97/ und zwar in Anwesenheit
von Wasser um den Faktor bis zu 1/100, mit oberflächenaktiven Substanzen
sogar bis zu 1/5000, ⇒ Anwendung seit Jahrtausenden bei nasser Reinigung
und „Wäschewaschen“.
Für die Adhäsionskräfte zwischen zwei Partikeln muss dann zusätzlich deren
Wechselwirkung mit den Flüssigkeitsmolekülen berücksichtigt werden. Dies
wird beim Teilchenmodell erfasst, indem man eine modifizierte HAMAKER-
Konstante CH,sls (solid-liquid-solid) einführt. Diese ergibt sich für zwei gleichartige
Partikeln mit einer flüssig-analogen Adsorptionsschicht dazwischen zu:
C = C + C − 2 ⋅ C . ( 6.18)
H,
sls
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H,
svs
H,
lvl
H,
svl
CH,svs HAMAKER-Konstante der dispersen Phase mit „Vakuum“ dazwischen
CH,lvl HAMAKER-Konstante des Dispergiermittels im „Vakuum“
Unter der näherungsweise gültigen Voraussetzung, dass sich CH,svl als geometrisches
Mittel von CH,svs und CH,lvl berechnen lässt
C = C ⋅C
, folgt: ( 6.19)
H,
svl
H,
svs
H,
lvl
371

372
H,
sls
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( ) 2
C C
C = − . ( 6.20)
H,
svs
H,
lvl
Je mehr die HAMAKER-Konstanten der dispersen Phase und des
Dispergiermittels übereinstimmen, desto geringer ist die Partikel-Partikel-
Anziehung!
Weiterhin ist in wässrigen Systemen zu beachten, dass der Gleichgewichtsabstand
der Haftpartner durch abstoßende sterische Wechselwirkungen, die auf
die Existenz von Hydrathüllen zurückzuführen sind (siehe VO MVA
MFA_3.doc Abschn. 3.3), größer ist als in Luft bzw. Vakuum.
6.1.1.2.6 Oberflächenrauhigkeit und VAN-DER-WAALS-Kräfte
Die geringe Reichweite der VAN-DER-WAALS-Wechselwirkungen hat zur
Folge, dass beim Kontakt von Partikeln die unmittelbare Oberflächengeometrie,
d.h. der Krümmungsradius der Kontakte, für die Intensität der Wechselwirkungen
sehr maßgeblich ist. Damit gewinnen Partikelform und Oberflächenrauhigkeit
entscheidenden Einfluss auf die Haftkräfte steifer Partikel,
wenn man die aus der Haftung resultierenden Kontaktverformungen, d.h. die
elastischen und inelastischen Repulsionskräfte, ignoriert.
Die Funktion, mit der sich die VAN-DER-WAALS-Kraft mit zunehmender
Partikelgröße verändert, hängt folglich in starkem Maße von der Größe der
Rauhigkeitserhebung ab - Modell von SCHUBERT und RUMPF:
CH,
sls ⎡ d d ⎤ r
F H = FH
0 = ⋅ ⎢
+ 2 2 ⎥ . ( 6.21)
12 ⎣(
d r / 2 + a F=
0 ) a F=
0 ⎦
In der eckigen Klammer der Gl.( 6.21) beschreibt der linke Summand
( ) 2
d / dr
/ 2 + a F=
0 die Wechselwirkungen zwischen der glatten steifen Platte
mit der rauen steifen Kugel bei dem Oberflächenabstand dr/2 + aF=0 und der
2
rechte Summand d r / a F=
0 die Wechselwirkungen zwischen der halbkugelförmigen
steifen Rauhigkeit und der glatten steifen Platte bei einem Mindestabstand
aF=0 (Summe der molekularen Anziehungs- und Repulsionskräfte ist Null,
Index F = 0).
Dies soll anhand Folie 6.9b demonstriert werden, in dem die Haftkräfte für ein
Modell raue Kugel/glatte Platte dargestellt sind /3.92/. Die "Oberflächenrauhigkeit"
wird von einer Halbkugel mit dem Durchmesser dr gebildet,
die der Trägerkugel an der der Platte zugewandten Seite aufgesetzt ist. Verfolgt
man in Folie 6.9b die VAN-DER-WAALS-Kraft zwischen einer rauen Kugel
mit d = 100 µm mit einem variablen Rauhigkeitsradius (-höhe) hr = dr/2 und
einer glatten Platte, so erkennt man, dass mit wachsendem dr = 2 . hr die VAN-
DER-WAALS-Kraft zunächst bis zu einem Minimum abnimmt, um mit weiter

wachsendem dr schließlich wieder anzusteigen. Dieser Kurvenverlauf erklärt
sich daraus, dass bei sehr kleinen Rauhigkeitserhebungen noch die auf die Trä-
gerkugel wirkende Adhäsionskraft überwiegt, wobei sich aber mit wachsendem
dr deren Abstand von der Platte vergrößert. Mit weiterer Vergrößerung von dr
schließlich wird die VAN-DER-WAALS-Kraft der Rauhigkeitserhebung für
die gesamte Adhäsionskraft entscheidend, und letztere steigt wegen der Zu-
nahme von dr → d wieder an.
Eine andere Darstellung des Rauhigkeitseinflusses auf die VAN-DER-
WAALS-Kraft zeigt Folie 6.9b unten (nach H. SCUBERT) am Beispiel des
gleichen Partnermodells wie in Folie 6.9b oben. Hier ist die Haftkraft in Ab-
hängigkeit vom Kugeldurchmesser d mit dem Durchmesser dr einer halbkugel-
förmigen Rauhigkeitserhebung als Parameter aufgetragen (HAMAKER-
Konstante nach LIFSCHITZ CH = 19,1 . 10 -20 J; aF=0 = 0,4 nm). Man erkennt,
dass je nach Größe der Rauhigkeitserhebung die Haftkraft für genügend kleine
Partikel zunächst nur von dr abhängt.
6.1.1.2.7 Haftkraftminimum beschichteter Partikel
Dieses im Vorstehenden erläuterte Haftkraftminimum lässt sich makroskopisch
zur Verbesserung der Fließfähigkeit trockener, feiner kohäsiver Pulver praktisch
ausnutzen. Dazu wird das klassische Modell von SCHUBERT und
RUMPF, Gl.( 6.21), erweitert, siehe Bild 6.2 :
Bild 6.2: Zwei glatte steife Trägerpartikel der Größe d mit einem ideal steifen
Nanopartikel der Größe dr im direkten Kontakt
Wir betrachten nun die Wechselwirkungen zwischen zwei glatten Kugeln –
sog. Trägerpartikel - gleichen Durchmessers d und einem Nanopartikel – ein
sog. Gastpartikel, das als Abstandshalter (wie die Rauhigkeit) dazwischen
wirkt und die VAN-DER-WAALS-Kraft reduziert. Für die Kugel-Kugel-
Wechselwirkung beider Trägerpartikel wird jedoch statt 1/12 (Kugel-Platte-
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d
aF=0
dr
aF=0
d
373

374
Modell) der Faktor 1/24 eingesetzt, siehe Gl.( 6.5)b. Der charakteristische Ab-
stand beider Trägerkugeln setzt sich nun aus dem Durchmesser dr eines kugel-
förmigen Gastpartikels und beiden Mindestabständen der Oberflächen aF=0
zusammen dr + 2 . aF=0, Bild 6.2 :
CH,
sls ⎡ d d ⎤ r
F H0
= ⋅ ⎢
+ 2 2 ⎥
(6.22)
24 ⎣(
d r + 2 ⋅ a F=
0 ) a F=
0 ⎦
Das Haftkraftminimum erhält man unter der Bedingung:
dF
d(
d
r
)
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0
H 0 = (6.23)
dF C 0 H,
=
d(
d ) 24
( −2)
⋅ d 1 ⎤
+ 0
3 2 ⎥
a
F=
0 F=
0 ⎥⎦
(6.24)
H sls
⋅
=
r
⎡
⎢
⎢⎣
( d + 2 ⋅ a )
r
Daraus folgt ein charakteristischer Durchmesser des Gastpartikels dr,min:
d
( −2)
⋅ d
+ 2 ⋅ a
1
+ 3 2
a F=
0
= 0
d
2 ⋅ d
+ 2 ⋅ a
1
= 3 2
a F=
0
( r F=
0 )
3
2
( + 2 ⋅ a ) = 2 ⋅ d ⋅ a
d r F=
0
F=
0
( )
r
F=
0
⎞
⎟
⎜ ⎟
⎠
⎜
⎛ 2 ⋅ d
d = 3
2
, min 2 ⋅ d ⋅ a F=
0 − 2 ⋅ a F=
0 = a F=
0 ⋅ 3 − 2
⎝ a F=
0
r (6.25)
Das Verhältnis der beiden Haftkräfte mit FH0(dr) und ohne Gastpartikel FH0(d)
ist folglich:
2
F ( d ) ⎡ d d ⎤
H 0 r
r a F=
0 1 d r
= ⎢
+ 2 2 ⎥ ⋅ =
+ 2
FH
0(
d)
⎣(
d 2 a ) a F 0 d ( d / a 2)
d
r + ⋅ F=
0 = ⎦
r F=
0 +
(6.26)
Beispielsweise ergibt sich für ultrafeine Kugeln d = 10 µm mit aF=0= 0,4 nm:
4
2 d
2 10 nm
d a
2 0,
4nm
3
r , min F 0
3
2 = 14 nm
a F 0
0,
4nm
⎟ ⎟
⎛ ⎞ ⎛
⎞
⎜
⋅
⎜ ⋅
=
⎟
= ⋅
⎜
−
⎟
= ⋅
−
⎜
⎝ = ⎠ ⎝
⎠
FH
0(
d r ) 1 d r 1 14 1
=
+ =
+ =
2
2 4
F ( d)
d / a + 2 d 14 / 0,
4 + 2 10
H0
( ) ( ) 469
r
F=
0
Mit einer Beschichtung aus Nanopartikel einer Größe von dr = 14 nm, die als
Abstandshalter funktionieren, lässt sich die charakteristische Haftkraft eines
ultrafeinen Pulvers (d = 10 µm) um den Faktor von etwa 2 . 10 -3 vermindern.
Daraus ergibt sich die Frage, welche Zugabemenge in einer Partikelpackung
erforderlich ist?
6.1.1.2.8 Zugabemenge an Nanopartikel
Die Beladung (Massenanteil) eines Kontaktes zweier monodisperser kugelförmiger
Trägerpartikel der Größe d mit einer notwendigen Anzahl nr an
nanoskaligen kugelförmigen Gastpartikeln (Index r) der Größe dr

3
3
n r ⋅ mr
r s,
r
r r s,
r r
µ r,
k = =
= 3
3
(6.27)
2 ⋅ mP
2 ⋅ ρs
⋅ π / 6 ⋅ d 2 ⋅ ρs
⋅ d
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n
⋅ ρ
⋅ π / 6 ⋅ d
n
⋅ ρ
Die Anzahl der Gastpartikel nr kann zwischen nr,min = 1 bis zu einer maximal
möglichen Anzahl nr,max bei vollständiger Monoschicht-Bedeckung der
2
Trägerpartikeloberfläche A = π ⋅ d betragen, wenn man als charakteristische
S
Elementarzelle der Oberflächenbedeckung ein Quadrat der Größe dr 2 an-
nimmt:
n
r,
max
A
=
A
S
r
=
π ⋅
d
d
2
r
2
⋅ d
(6.28)
Das ergibt eine „kubische“ Anordnung der Gastpartikel mit einer mittleren An-
zahl der Nachbarn (Koordinationszahl) kr = 4 und einer Packungsdichte der
2
A P,
r π / 4 ⋅ d r π
Oberflächenbelegung von 1− εr
, kub = = = = 0,
7854 .
2
A d 4
In einer Packung der Trägerpartikel einer mittleren Koordinationszahl k (für
3
VP
π⋅
d π
die kubische Packung gilt k = 6 und 1− εkub
= = = = 0,
5236 bzw.
3
V 6⋅
d 6
allgemein k ≈ π/ε) folgt für die mittlere Beladung µr = k . µr,k:
k ⋅ n ⋅ ρ ⋅ d ⋅
3
3
r s,
r r 3⋅
n r d r
µ r =
≈ 3
3
(6.29)
2 ⋅ ρs
⋅ d d
Mit der charakteristischen Größe der Gastpartikel gemäß Gl.(6.25) für eine
minimale Haftkraft folgt für die Beladung:
µ
r
k ⋅ n r ⋅ ρ
=
2 ⋅ ρ
s
s,
r
a
⋅
d
3
F=
0
3
⎛
⋅ ⎜
⎝
3
3
2 ⋅ d ⎞
− 2⎟
a ⎟
F=
0 ⎠
r
r
(6.30)
Problematisch ist eine brauchbare Abschätzung der notwendigen Anzahl an
Nanopartikeln nr, die den beschriebenen Effekt der Haftkraftverminderung im
Mittel in einer Partikelpackung noch bewerkstelligen können.
Die Belegung der Trägerpartikeloberfläche mit den Gastpartikeln in einem 3-
Punkte-Modell nach MEYER [Diss.] kann wie folgt berechnet werden. Zu je-
dem Kontakt zweier Trägerpartikel gehören drei Gastpartikel. Diese drei sta-
tisch stabilen Auflagepunkte mögen ein gleichseitiges Dreieck formen. Die
Fläche des Dreiecks Ar ergibt sich aus einer geometrischen Betrachtung,
tan 60 h /( x1
d r / 2)
+ = ° siehe Bild 6.3 :
1
2
2
A r = ⋅ 2 ⋅ ( x1
+ d r / 2)
⋅ h = ( x1
+ d r / 2)
⋅ tan 60°
= ( x1
+ d r / 2)
⋅ 3
2
A 3 +
( ) 2
x d / 2
r = 1 r
(6.31)
Setzt man eine gleichmäßige Belegung der gesamten Kugeloberfläche eines
Trägerpartikels mit den Gastpartikeln voraus, lässt sich die maximal mögliche
375

376
Anzahl nr,DK der Dreiecke, d.h. die Zahl der potentiell möglichen Kontaktorte,
für die Dreieckskonfiguration (Index DK) berechnen:
AS
n r,
DK = =
A
2
π ⋅ d
3 x + d / 2
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r
( ) 2
1
r
Mit einer brauchbaren Abschätzung x1 ≈ dr folgt:
n
r,
DK
2
2
π ⋅ d 4 ⋅ π ⋅ d
≈ =
(6.32)
3
2
2
( d + d / 2)
9 3 ⋅ d
r
r
r
Bild 6.3: Zwei glatte Trägerpartikel im Kontakt mit drei ideal steifen Nanopar-
tikeln - 3-Punkte-Modell nach MEYER [Diss.]; a) Seitenansicht und b) Auf-
sicht auf die Kontakt- bzw. Schnittebene zwischen den Trägerpartikeln
Die Gleichverteilung der Gastpartikel auf der Oberfläche des Trägerpartikels
ergibt eine Gleichwahrscheinlichkeit jedes möglichen Kontaktortes. Die Gastpartikel
sind überall auf der Oberfläche „adsorbiert“, so dass die mittlere Koordinationszahl
k einer Packung nicht mehr berücksichtigt wird. Eingesetzt in
Gl. (6.29) ergibt die mittlere Beladung bei der Dreieckskonfiguration in einer
Packung (Hinweis: MEYER erhält µ ≈ , 1⋅
d / d ):
r,
Meyer
0 r
3
2
ρs,
r ⋅ d r 4 ⋅ π ⋅ d 2 ⋅ π ⋅ ρs,
r ⋅ d r d r
µ r,
DK = ⋅ =
≈ 0,
4 ⋅
3
2
(6.33)
2 ⋅ ρ ⋅ d 9 3 ⋅ d 9 3 ⋅ ρ ⋅ d d
µ
dr
s
d
2 ⋅ π ⋅ ρs,
=
9 3 ⋅ ρ
r
d
dr
a ⎛ ⎞
F=
0 ⎜
2 ⋅ d
⋅ ⋅ 3 ⎟
⎜
− 2
d
⎟
⎝ a F=
0 ⎠
r , DK
r
s
(6.34)
s
Wenn man jedoch ideale Monoschichtbelegung der Hälfte aller Trägerpartikel
annimmt, siehe Bild 6.4 , beträgt die maximal mögliche Beladung nr,max mit
der Gl. (6.28) (hier ebenfalls ohne k):
dr
30°
a) b)
x0
x1
dr

µ
µ
r,
max
=
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π ⋅
ρ
s,
r
2 ⋅ ρ
s
π ⋅ ρs,
=
2 ⋅ ρ
d
⋅
d
2
2
r
d
⋅
d
3
r
3
=
π ⋅
ρ
s,
r
2 ⋅ ρ
a ⎛ ⎞
F=
0 ⎜
2 ⋅ d
⋅ ⋅ 3 ⎟
⎜
− 2
d
⎟
⎝ a F=
0 ⎠
s
d r d r
⋅ ≈ 1,
57 ⋅
d d
(6.35)
r , max
r
(6.36)
s
d
dr
Bild 6.4: Direkter Kontakt zweier glatter Trägerpartikel der Größe d mit einer
idealen Monoschichtbelegung steifer Nanopartikel der Größe dr
Für das Beispiel ultrafeiner Trägerkugeln d = 10 µm und Nanopartikel dr = 14
nm nach Gl.(6.25) ergeben sich Beladungen von (ρs,r = ρs, k = 6, nr = 1)
3
3
k ⋅ n r ⋅ d r ⎛ 14 nm ⎞
−6
µ r = = 3⋅
= 8,
2 ⋅10
g / kg
3
4
2 d ⎜
10 nm
⎟
praktisch unbrauchbar
⋅ ⎝ ⎠
und realistischer:
d r 14 nm
µ r , DK = 0, 4 ⋅ = 0,
4 ⋅ = 0,
56 g / kg
4
d 10 nm
14 nm
µ r , max = 1, 57 ⋅ = 2,
2 g / kg
4
10 nm
Entsprechend dieser Abschätzungen werden offenbar nur geringe Mengen an
Nanopartikeln benötigt. Nach der Zugabe müssen allerdings die Probleme einer
guten Mischung und Dispergierung der Gastpartikel gelöst werden, um ihre
gleichmäßige Verteilung auf den Oberflächen der Trägerpartikel zu gewährleisten,
siehe dazu auch ZIMMERMANN und Mitarbeiter1 sowie TOMAS und
KLEINSCHMIDT2 .
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
1 Kurfeß D., Hinrichsen H., Zimmerman I.: Statistical model of the powder flow regulation by
Nanomaterials, Powder Technol.159 (2005) 63-70
2 Tomas, J., Kleinschmidt, S., Verbesserung der Fließfähigkeit feiner kohäsiver Pulver durch
nanoskalige Fließhilfsmittel, Chemie-Ingenieur-Technik, 81 (2009) 717-733
d
377

378
6.1.1.2.9 Rauhigkeitseinfluß auf die Adhäsionskräfte
Der Einfluss der Rauhigkeit auf die elektrostatischen Adhäsionskräfte ist aus
Folie 6.9b ebenfalls ableitbar. Für nicht leitende Partikeln kann der Rauhigkeitseinfluss
vernachlässigt werden. Infolge dessen können für nicht zu kleine
oberflächenrauhe nicht leitende Partikeln die elektrostatischen Kräfte die
VAN-DER-WAALS-Kräfte übersteigen. Hinzu kommt noch, dass die elektrostatische
Anziehungskraft auf ein Partikel, das einer genügend ausgedehnten
Platte mit konstanter Ladungsdichte entgegen gesetzten Vorzeichens gegenübersteht,
unabhängig vom Abstand ist.
Aus dem Vorstehenden ist deutlich geworden, dass neben
- der Partikelgrößenverteilung
- die Partikelform bzw. die Oberflächenrauhigkeits-Verteilung
die Adhäsionskräfte - abgesehen von den elektrostatischen Kräften auf nicht
leitenden Partikeln und Flüssigkeitsbrücken - über Zehnerpotenzen hinweg
modifizieren kann. D.h., die Haftkräfte gehorchen ebenfalls einer Verteilung
/3.92//3.94/. Dies erklärt die Schwierigkeiten ihrer zuverlässigen Vorausberechnung.
Für genauere Aussagen sollten deshalb die Haftkräfte direkt ausgemessen werden,
z.B. mit modernen Rasterkraftmikroskopen (engl.: AFM atomic force
microscope).
Außerdem lassen sich die folgenden Modelle für eine Rückrechnung aus
kontinuumsmechanisch gemessenen Scher-, Druck- und Zugfestigkeiten von
Partikelpackungen nutzen (siehe Kapitel 6.2.5).
6.1.1.3 Mikromechanik der Kontaktdeformation und Haftkraftverstärkung
Bisher wurden die Haftkräfte zwischen starren bzw. steifen Modellkörpern
betrachtet. Berühren sich aber zwei Partikel ohne Einwirkung einer äußeren
Kraft (Folie 6.10), so steht die Haftkraft im Gleichgewicht mit der abstoßenden
Kraft, die stets eine Verformung im Kontaktbereich als Ursache hat.
Auf diese Weise entstehen aus den Punktkontakten flächenhafte, die immer mit
einer Vergrößerung der Haftkräfte gegenüber dem unverformten Zustand verbunden
sind.
Darüber hinaus ist aus der Erfahrung bekannt, dass durch äußere Anpresskräfte
(Folie 6.10) noch wesentlich stärkere Verformungen und somit Haftkraftverstärkungen
möglich sind.
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10.10.2012

Die Modellierung dieser mikromechanischen Zusammenhänge steckt noch
in den Anfängen, ⇒ siehe dazu die aktuellen Publikationen:
..\..\..\Forschung\Papers_LS_MVT\Tomas\Review_Tomas_CET_6134.pdf
..\..\..\Forschung\Papers_LS_MVT\Tomas\Tomas_Offprint_CES_7149.pdf
..\..\..\Forschung\Papers_LS_MVT\Tomas\Tomas_SAW_Abhandlungen.pdf.
Zur Einführung in die Kontaktmechanik sollen zunächst die rein elastischen
Verformungen behandelt werden:
2 2
* ⎛1−ν 1 1−ν
⎞ 2
E = 2⋅
⎜ +
E1
E ⎟
⎝
2 ⎠
r
1,
2
r1⋅
r2
=
r + r
1
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2
⎛ 1
= ⎜ +
⎝ r1
1
r
2
⎞
⎟
⎠
−1
−1
=
≡
E
2 ( 1−ν
)
r
2
379
Bild 6.5: Elastische Abplattung
von Kugeln:
Voraussetzungen:
� homogene isotrope Körper,
� glatte Oberfläche,
� lineare Elastizität,
� nur Normalspannungen
in der Druckfläche,
� vergleichsweise kleine
Fläche der Abplattung
ra/r1

380
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2 ( 1−ν
)
*
1/
3
1/
3
3 FN
r 3 FN
d
ra *
⎟ ⎛ ⋅ ⋅ ⎞ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ ⎞
⎟ = ⎜
⎜ 2 E ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 8 ⋅ E ⎠
⎜ = ( 6.40)
⎝ ⋅
und mit einer äußeren Druckspannung ( ) 2
verhältnis der Abplattung:
2
1/
3
2
( 1−
ν ) F ⎞ ⎛ 3⋅
( 1−
ν )
σ = 1− ε / ε ⋅ F wird das Größen-
1/
3
N / d
d ⎛ a 3⋅
N
ε ⎞
= 2
d ⎜ ⋅
⎟
8 E d ⎟ = ⎜ ⋅ ⋅ σ
8 E 1 ⎟ , ( 6.41)
⎝ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅ − ε ⎠
z.B. Kalksteinpulver d ≈ 10 µm, E ≈ 50 kN/mm 2 , ν ≈ 0,28, σ ≈ 100 kPa
1/
3
da 3
=
=
2
5
⎛ 3⋅
( 1−0,
28 ) ⋅ 0,
5⋅10
Pa ⎞
=
9
d ⎜
8 5010
Pa 0,
5 ⎟
⎝ ⋅ ⋅ ⎠
−9
1/
( 691,
2⋅10
) 0,
00884
bzw. da = 88,4 nm. Mit der Abplattungshöhe ha,1 einer Kugelkappe:
2
2
( r − h a,
1)
= 2⋅
r⋅
h a,
1−
h a,
1≈
2⋅
r⋅
h a = d h a,
1
2 2
ra r −
⋅
= ( 6.42)
gilt der Zusammenhang zwischen Abplattungsradius ra und Abplattungshöhe ha
(Änderung der Mittelpunktsentfernung) beider Kontaktpartner 1 und 2:
h
a
2 2
2
ra
, 1 ra
, 2 ra
2
= h a,
1 + h a,
2 = + = 2 ⋅ = ra
/ r
( 6.43)
d d d
1
2
und das Verhältnis der Abplattung zur Partikelgröße ( ) 2
2 ( 1−
ν )
1/
3
h / d = 2 ⋅ r / d
2
1/
3
2 2
9 FN
9 F ⎞
N
h
⎟
a * * 2
2
4r
E ⎜ d E ⎟
⎠
⎜
⎛ ⋅ ⎞ ⎛ ⋅ ⋅
= ⎜
⎟ =
, ( 6.44)
⎝ ⋅ ⎠ ⎝
⋅
2
= = ⋅ bzw. ha ≈ 0,4 nm.
−5
z.B. ( )
h
a
/ d
0,
00884
/ 2
3,
91
10
Diese Abplattungshöhe liegt in der Größenordnung eines Moleküldurchmessers
und ist damit sehr klein! Die größte Druckspannung ist 50% größer als der
mittlere Kontaktdruck p
3⋅
FN
6 ⋅ FN
3
= = = ⋅ p
( 6.45)
2
2 ⋅ π ⋅ r π⋅
d 2
pmax 2
a
a
und bewirkt beim Erreichen des Fließdruckes pmax= pf eine plastische Kontaktdeformation,
Gl.( 6.54):
3
3
3⋅
F
2
N,
el−pl
3⋅
2 ⋅ E * ⋅ra
, el−pl
E * ⋅ra
, el−pl
ra
, el−
pl = =
=
2 ⋅ π ⋅ p 2 ⋅ π ⋅ p ⋅ 3⋅
r π ⋅ p ⋅ r
r
a,
el
f
f
1,
2
2 ( 1−
ν )
π ⋅ pf
⋅ r1,
2 π ⋅ pf
⋅ ⋅ d
− pl = =
. ( 6.46)
E * 4 ⋅ E
f
1,
2
a
a

Die größte Zugspannung am Umfang des Druckkreises 4 bewirkt ein Biegemo-
ment in Meridianrichtung und ggf. Rissbildung in Umfangsrichtung:
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( 1−
2 ⋅ υ )
pmax
σ Z,
max =
1oder2
⋅ . ( 6.47)
3
Die Schubspannung 5 ist wesentlich für duktile Werkstoffe
−1
τ( z)
z ν z ra
= + arctan
p max ra
ra
z
⎛ ⎡ ⎞ ⎤
⎢ ⎜ ⎟ ⎥ −
⎣⎢
⎝ ⎠
⎦⎥
+
3
⎡
⎤
⎢ − ⎥
4 ⎣
⎦
1
2
1
1
2
und wird in der Tiefe von etwa z ≈ ra/2 am größten:
max
max
( 6.48)
τ ≈ 0, 31⋅
p , wenn ν ≈ 0,3. ( 6.49)
Rein elastische Abplattungen unter der Einwirkung äußerer Kräfte sind für die
Haftkraftverstärkung verhältnismäßig bedeutungslos, da diese Verformungen
nach Wegfall der äußeren Kräfte völlig verschwinden. Nur bei vergleichsweise
weichen Stoffen, wie z.B. Gummi, hat diese verbleibende Haftung eine gewisse
Bedeutung erlangt – siehe dazu das sog. JKR-Modell6. Wesentlich für die Haftkraftverstärkung ist deshalb eine kombinierte elastisch-plastische
Verformung des Partikelkontaktbereiches7 zu einem
nanoskaligen bis mikroskopisch kleinen Platte-Platte-Kontakt aufgrund des
Einwirkens der Haftkraft FH0 nach Gl.( 6.21) selbst und einer zusätzlichen äußeren
Normalkraft FN. Mit dem Kräftegleichgewicht des weichen Kontaktes
zweier steifer Partikeln
∑ F = 0 = FH
0 + pVdW
⋅ ( Ael
+ A pl ) + FN
− FW
, el − pf
⋅ A pl ( 6.50)
folgt für die gesamte Haftkraft FH nach einigen Umrechnungen (siehe
../../../Forschung/FLIESSEN/B_Theorie_FliessKW/Schüttec_3_Kontakt_Theor
ie.doc#FHA_ges):
H
H0
N
H0
( F F )
F = ( 1+
κ)
⋅ F + κ ⋅ F = F + κ ⋅ + . ( 6.51)
H0
Der dimensionslose Geradenanstieg κ wird als elastisch-plastischer Kontaktverfestigungskoeffizient
bezeichnet8 :
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
4 Huber, M.T., Zur Theorie der Berührung fester elastischer Körper, Annalen der Physik 14
(1904) 153-163
5 Ziegler, F., Technische Mechanik der festen und flüssigen Körper, Springer Verlag, Wien
1985.
6 Johnson, K.L., Kendall, K. and Roberts, A.D. Surface energy and the contact of elastic solids,
Proceedings of Royal Society, A 324 (1971) 301-313
7 Schubert, H., Sommer, K., Rumpf, H., Plastisches Verformen des Kontaktbereiches bei der
Partikelhaftung. Chemie Ingenieur Technik, 48 (1976) 716.
8 Tomas, J., Produkteigenschaften ultrafeiner Partikel - Mikromechanik, Fließ- und Kompressionsverhalten
kohäsiver Pulver, Abhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften
zu Leipzig, Technikwissenschaftliche Klasse, Bnd 1, Heft 3 (2009) 1-46
N
381

382
κ =
κ
κp
− κ
( 6.52)
A
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p
Der elastisch-plastische Kontaktflächenkoeffizient κA kennzeichnet das Ver-
hältnis aus plastisch deformierter Kontaktfläche zur gesamten Kontaktfläche
AK = Ael + Apl und schließt einen gewissen elastischen Anteil der Kontaktabp-
lattung ein:
2 1 A pl
κ A = + ⋅
( 6.53)
3 3 A
K
Der plastische Repulsionskoeffizient κp beschreibt das dimensionslose Ver-
hältnis der van der Waals-Anziehung pVdW zur Repulsion aufgrund eines mik-
roplastischen Fließdruckes pf (σsls ≈ 0.25 - 50 mJ/m 2 Oberflächenspannung
solid-liquid-solid und folglich pVdW ≈ 3 - 600 MPa):
p
C
4⋅
σ
VdW
H,
sls
sls
κ p = =
=
( 6.54)
3
pf
6⋅
π⋅
a 0 ⋅p
f a 0 ⋅p
f
Im kreisförmigen Kontaktzentrum wird ein begrenztes plastisches Feld erzeugt,
wobei sich der äußere Ring elastisch verhält. Dadurch wird ein deutlich höherer
p ≈ 3⋅
σ als die Fließspannung σF bei makroskopischer
Mikrofließdruck f F
Zugbeanspruchung erwartet.
Der elastisch-plastische Kontaktverfestigungskoeffizient κ kennzeichnet die
momentane Kontaktsteifigkeit und den Anstieg der Haftkraft FH bei Einwirkung
einer Vorverfestigungskraft FN, Gl.( 6.51). Ein geringer Anstieg κ bedeutet
steifes Kontaktverhalten mit gering ausgeprägtem Haftvermögen FH ≈ FH0.
Dagegen ist mit einem großen Anstieg ein nachgiebiger Kontakt mit großem
Haftvermögen verbunden. Das ist typisch für das Verfestigungsverhalten eines
trockenen kohäsiven Partikelsystems. Der Term κ ⋅FH
0 kennzeichnet die zusätzliche
momentane Kontaktverfestigung als Antwort einer bloßen Einwirkung
der Haftkraft FH0 im unverfestigten Zustand. Dieser Effekt wurde schon
vor etwa 40 Jahren von Krupp9 beschrieben.
Eine aktuelle überschlägige Bewertung dieser Haftkraftverstärkung feiner bis
nanoskaliger Partikel FH(FN) infolge einer Vorbelastung des Kontaktes mit der
Normalkraft FN kann man der Tabelle 6.3 entnehmen10 :
Physikalisches
Wirkprinzip
Partikeldurchme
sser d in µm
El.-pl. Kontaktverfestigungskoeffizient
κ
Bewertung
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
9 Krupp, H., Particle adhesion – Theory and experiment. Advances Colloid Interface Science 1
(1967) 111-239.
10 Tomas, J., Mikromechanik ultrafeiner adhäsiver Partikel, Vortrag ProcessNet-Fachausschüsse
Agglomerations- & Schüttguttechnik, und Trocknungstechnik, Hamburg 2011

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1 - 100 0,1 - 0,3 weich
0,1 - 1 0,3 - 0,8 sehr weich
0,01 - 0,1 > 0,8 extrem weich
Tabelle 6.3: Überschlägige Bewertung der Haftkraftverstärkung feiner bis
nanoskaliger Partikel FH(FN) infolge Vorbelastung mit der Normalkraft FN
Dieses bequeme lineare Modell der Haftkraftverstärkung, Gl.( 6.51), wird beispielsweise
durch Zentrifugenversuche mit einer engen Partikelgrößenklasse
(Kalkstein, mittlere Partikelgröße dmi = 60 µm, pf ≈ 500 MPa, CH,svs = 15⋅10 -20
J) bestätigt11 . Die Partikel wurden auf ein poliertes Stahlplättchen so aufgebracht,
dass die Zentrifugalkraft zunächst als Anpresskraft FN und anschließend
nach Wenden als Abreißkraft FH wirkt. Bemerkenswert ist die lineare Zunahme
der Haftkraft mit einer äußeren Normalkraft FN, die auf eine Verformung sehr
kleiner Rauhigkeitserhebungen im nm-Bereich zurückzuführen ist. Bei stärkerer
Anpressung werden auch größere Bereiche der Kontaktzone plastisch verformt.
In diesem Fall ist die Zunahme der Haftkraft manchmal kleiner als im
Anfangsteil.
Für viele feine Pulver können wir zunächst annehmen, dass der elastischplastische
Kontaktflächenkoeffizient κA ≈ const. ist. Für einen konstanten Mikrofließdruck
pf ≈ const. ist auch der plastische Repulsionskoeffizient κp ≈ const.
und somit folgt näherungsweise κ = const.
- Partikelkontaktdeformation (Folie 6.11)
- Messung der Haftkraft (Folie 6.12)
- Messung der Haftkraft mittels PIA (Folie 6.13)
6.1.1.4 Einfluss von Adsorptionsschichten
Deren Wirkung kann sehr komplexer Natur sein /3.97/. Die Adsorptionsschichten
können selbst einen maßgeblichen Beitrag zu den Wechselwirkungen leisten,
falls sie eine genügende Schichtdicke aufweisen. Es hängt dann von der
HAMAKER-Konstanten dieser Schichten und
ihrem (molekularmechanischen) rheologischen
Verhalten ab, ob eine verstärkende oder vermin-
aA
a
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
11 Schütz, W. und H. Schubert, Chemie Ingenieur Technik 48 (1976) 567
d
383

384
dernde Haftwirkung auftritt. So können z.B. Adsorptionsschichten grenz-
flächenaktiver oder anderer organischer Stoffe durch ihre abstandserhöhende
sterische Abschirmwirkung die Adhäsionskräfte deutlich herabsetzen, siehe
dazu auch den Abschnitt 6.1.1.2.6.
Bild 6.6: Partikelkontakt mit Adsorptionsschichten
Ein weiterer Einfluss folgt daraus, dass Adsorptionsschichten die Kontaktgeometrie
und somit auch die Partikelabstände a beeinflussen können, siehe Bild
6.6. In diesem Zusammenhang sind Abhängigkeiten von der Dicke der Adsorptionsschicht,
den stofflichen Eigenschaften, aber auch von der Oberflächenrauhigkeit
festgestellt worden.
Wenn sich die Adsorptionsschichten gegenseitig durchdringen (aA ≥ a/2), dann
wirken in ihnen die entsprechenden Kohäsionskräfte (z.B. Wasserstoffbrückenbindungen
in wässrigen Adsorptionsschichten aufgrund von Adsorption
aus der Umgebungsatmosphäre) /3.98/ bis /3.100/:
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= σ ⋅ π ⋅ d ⋅ ( a − a / 2)
. ( 6.55)
FH 0 Z,
A
A
a Partikelabstand ohne Adsorptionsschichten
Sie wird wesentlich von der idealen Zerreiß- oder Zugfestigkeit σZ,A einander
"durchdringender" adsorbierter Schichten (aA ≥ a/2) beeinflusst, die sich aus
der maximalen Anziehungskraft der molekularen Wechselwirkungspotentiale
Fmax (siehe Folie 6.6, AT_RC_2_Sem.doc) abschätzen lässt:
σ
E
Z,
max
F
=
d
max
2
A ⋅
n+
1 2
m−n
n ⋅ A a F=
0 d A 1
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
E m+
1 a m − n n ⋅ A d
n+
1
Fmax
Mit dem Abstandsverhältnis
a
a
F=
0
Fmax
folgt
σ
E
Z,
max
1
m−n
1
m−n
2
A
1 a
= ⋅
m + 1 a
1
m−n
n+
1
F=
0
n+
1
Fmax
. ( 6.56)
n ( n 1)
A m B n 1⎞
m ( m 1)
B n A
⎜
m 1
⎟
⎠
⎜
⎛ ⋅ + ⋅ ⎞ ⎛ ⋅ ⎞ ⎛ +
= ⎜
⎟ ⋅⎜
⎟ =
( 6.57)
⎝ ⋅ + ⋅ ⎠ ⎝ ⋅ ⎠ ⎝ +
1 ⎛ n + 1 ⎞
= ⋅ ⎜ ⎟
m + 1 ⎝ m + 1⎠
n+
1
m−n
, ( 6.58)
2
wobei für den auf die Dichte bezogenen molekularen E-Modul ( ≡ c Schallge-
schwindigkeit) geschrieben werden kann:
3
( −U
B ) N A ⋅d
= n ⋅ m ⋅ ⋅ 3
a M
( −U
B;
= n ⋅ m ⋅
M
E M
m
ρ s
F=
0
)
. ( 6.59)
S

U = N ⋅ U molare Bindungsenergie bei T = 0 K
B;
m
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A
B
NA = 6,022⋅10 23 mol -1 AVOGADRO-Zahl
M Molmasse
Z.B. für die VAN-DER-WAALS-Kräfte polarer Wassermoleküle n = 6, m =
12, UB,m ≈ 2,9 kJ/mol folgen
( −U
B;
m )
kg 2,
9 kJ / mol
2
E = n ⋅ m ⋅ ρ s ⋅ = 6⋅12⋅1000
⋅
= 11,
6 kN / mm ,
3
M
m 18 g / mol
σ
Z , max
W
E ⎛ n + 1 ⎞
= ⋅⎜
⎟
m + 1 ⎝ m + 1⎠
n+
1
m−n
=
11,
6 kN / mm
12 + 1
2
⎛
⋅⎜
⎝
7
13
⎞
⎟
⎠
7
6
=
433 MPa
Dieser Idealwert ist erheblich höher als ein σZ,A ≈ 10 MPa, der für Wassermo-
leküle manchmal angegeben wird. Der Adsorptionsabstand aA lässt sich mit der
Monoschichtbelegung des Adsorbens (Partikel) mit Adsorpt (Wassermoleküle,
siehe dazu Abschnitt 1.2.5.2, MVT_e_1neu.doc, MVT_e_1neu.pdf, S. 34)
X
m
M
⋅ A
W,
mono W S,
m
W,
A,
mono = =
( 6.60)
ms
A W ⋅ N A
auch mit dem Oberflächenbedeckungsgrad X / X A,
mono der Partikeln aus-
drücken:
A
M,
W
W,
A
W,
A,
mono
W,
A
a = d ⋅ X / X . ( 6.61)
AS,m massebezogene Oberfläche der Partikeln
AW ≈ 0,106 nm 2 Platzbedarf eines Wassermoleküls
dM,W
≈ 0,326 nm Wassermoleküldurchmesser ≅ Gleichgewichtsabstand
XW,A adsorbierter Wassergehalt (= mW/ms)
XW,A,mono adsorbierter Wassergehalt bei Monoschichtbelegung
Ab einer relativen Luftfeuchte pD/pDS ≈ 0,8 (Dampfdruck/Sattdampfdruck) tritt
Kapillarkondensation an den Partikelkontakten ein. Das entspricht etwa XW =
0.1...0,8 % je nach spezifischer Oberfläche eines Pulvers.
6.1.1.5 Modellierung der Schüttgut- bzw. Agglomeratfestigkeit
Physikalisch begründete Modelle sind bisher nur für die Zugfestigkeit entwickelt
worden. Bei der Modellentwicklung muss eine Reihe - teilweise weitgehender
- Vereinfachungen vorgenommen werden:
� Vor allem ist von einer vollständigen Zufallsanordnung der Partikeln
auszugehen. Damit stimmen Flächen- und Volumenporosität überein.
� Bindekräfte werden nur an den Kontaktstellen der Partikeln übertragen.
Hierbei liefert die Modellentwicklung für nahezu gleichgroße konvexe Partikeln
für die Zugfestigkeit σZ zunächst /3.130/:
W,
.
385

386
H
σ Z = ( 1−ε)
⋅ k ⋅ . ( 6.62)
AS,
p
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F
AS,p Partikeloberfläche
F H mittlere Haftkraft je Partikelkontakt
k charakteristische Koordinationszahl (mittlere Kontaktanzahl/Partikel)
Für monodisperse Kugeln folgt wegen AS,p = π⋅d 2
1−
ε FH
σ Z = k . ( 6.63)
2
π d
Schwierig sind Aussagen über die Koordinationszahl k, die für Zufallsanord-
nungen nicht berechenbar ist. Hinzu kommt, dass in solchen Systemen nicht
nur Berührungspunkte (a/d = 0), sondern auch Nahpunkte (a/d ≠ 0) zu berücksichtigen
sind. Für die regulären Packungen gleich großer Kugeln gilt (s. Abschnitt
1.3, MVT_e_1neu.doc, MVT_e_1neu.pdf, S. 43, Tabelle 6.4):
Packungsart Koordinationszahl k Porosität ε k⋅ε
kubisch
hexagonal und ortho-rhombisch
6 0,4764 2,86
basisflächenzentriert,
tetragonal raumzentriert
8
0,3954 3,16
hexagonal dicht,
kubisch flächenzentriert
12 0,2595 3,114
Tabelle 6.4: Packung, Koordinationszahl, Porosität und k⋅ε
Davon ausgehend wurde auf empirischem Wege gefunden /3.131/:
k ⋅ε ≈ 3,
1 ≈ π . ( 6.64)
Damit folgt selbst für unterschiedliche Packungsarten (s. RUMPF u.a.):
1−ε
FH
σ Z = 2 . ( 6.65)
ε d
Mit dieser Gleichung ist folglich die Umrechnung von Haftkräften beliebiger
Art zwischen den Partikeln und einer Zugspannung (Zugfestigkeit) eines
Schüttgutes bzw. Agglomerates möglich. Dabei ist jedoch der Zusammenhang
zwischen der dreiachsigen Zugspannung σZ und der nur einaxial messbaren
Zugfestigkeit σZ,1 zu beachten, die sich aus dem zugehörigen MOHR-Kreis für
einen linearen Fließort mit dem inneren Reibungswinkel ϕi ergibt (siehe auch
Abschnitt 6.2.4):
2sin
ϕ
i σ Z,
1=
⋅ σZ
. ( 6.66)
1+
sin ϕi

Für die ebenfalls einfach messbare einaxiale Druckfestigkeit σc gilt entspre-
chend:
i σ c=
⋅ σZ
. ( 6.67)
1−sin
ϕi
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2sin
ϕ
Gln. ( 6.66) und ( 6.67) konnte beispielsweise experimentell für Feuchtagg-
lomerate mit Kraftübertragung durch Flüssigkeitsbrücken bestätigt werden
/3.132/ (siehe auch folgender Abschnitt 6.1.2.1).
6.1.2 Bindung mit Hilfe benetzender Flüssigkeiten
6.1.2.1 Bindung durch Flüssigkeiten niedriger Viskosität
Für die Bindung durch benetzende Flüssigkeiten kommen neben den in Folie
6.8 dargestellten in Abhängigkeit von der (mit zunehmender Ziffer abnehmenden)
Intensität der Bindung folgende Mechanismen in Betracht:
1. Chemische Reaktionen mit der Flüssigkeit, Einbau in das Kristallgitter
(Chemisorption, oder z.B. Hydratation mit H20, Kristallwasserbildung),
2. physikalische Adsorptionsschichtbindung bis zur Kapillarkondensation
(bei Wasserdampf ab etwa pD/pDS ≈ 60..85 %),
3. Flüssigkeitsbrückenbindungen,
4. Übergangsbereich zur Zwischenraumflüssigkeit mit koexistierenden
Flüssigkeitsbrücken einschließlich Inner-(Fein-)kapillarflüssigkeit in den
Partikeln ("innere Feuchtigkeit"),
5. Grobkapillarflüssigkeit in den Partikelzwischenräumen.
6.1.2.1.1 Kapillarkraftmodell
Bei geringen Flüssigkeitsanteilen sind - abgesehen von den
Adsorptionschichten - Flüssigkeitsbrücken (Zwickelkapillaren) zwischen benachbarten
Partikeln vorhanden (Folie 6.14a). Die Bindung ist hier auf den
kapillaren Unterdruck in der Flüssigkeitsbrücke und auf die Randkraft längs
des Dreiphasenkontaktes zurückzuführen. Wenn die Zwischenräume völlig mit
Flüssigkeit gefüllt, an der Oberfläche aber noch konkave Flüssigkeitsmenisken
ausgebildet sind (Folie 6.14c), so wirkt nur ein entsprechender kapillarer Unterdruck.
Beide Mikrovorgänge können nebeneinander an beispielsweise einer
Agglomerationsbildung beteiligt sein, wenn Teile des Agglomerates schon
vollständig mit Flüssigkeit gefüllt sind, in anderen dagegen nur Flüssigkeitsbrücken
existieren (Folie 6.14b).
387

388
Der dritte mögliche Mikroprozess, bei dem feine Partikeln in Flüssigkeits-
tropfen eingebettet sind, spielt zwar für die Nassentstaubung eine Rolle, soll
aber an dieser Stelle nicht weiter erörtert werden.
In Folie 6.14 ist eine Flüssigkeitsbrücke zwischen zwei gleich großen Kugeln
unter der vereinfachenden Annahme dargestellt, dass die Meridiankurven der
Brücke einen Kreisbogen darstellen. Für den Beitrag der Randkraft FR zur
Haftkraft FH gilt somit entsprechend der Ausbildung des Dreiphasenkontaktes –
Kraftterm hier π / 2 ⋅ d ⋅ WA
≡ π ⋅ d ⋅ σlg
siehe Gl.( 6.1):
= σ ⋅ cos(
90°
−α−θ)
⋅ π ⋅d⋅
sin α = π ⋅ d ⋅ σ ⋅ sin(
α + θ)
⋅ sin α . ( 6.68)
FR lg
lg
α Benetzungswinkel (Brückenöffnungswinkel)
θ Randwinkel
Die Oberflächenspannung der Flüssigkeit gegen Gas σlg (svw. flächenbezogene
Bindungsenergie) lässt sich gemäß Gln.( 6.6) und ( 6.54) auch in Abhängigkeit
von den VAN-DER-WAALS-Anziehungskräften in der kondensierten Phase
einer Flüssigkeitsoberfläche wie folgt ausdrücken:
CH, lvl pVdW,
lgl
⋅ a F=
0
σ lg = =
. ( 6.69)
2
24 ⋅ π ⋅ a 4
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F=
0
Der Kapillardruck pK ist die Differenz der äußeren Drücke in zwei benachbar-
ten Phasen, der durch die Grenzflächenspannung aufgenommen wird und sich
mit einem mittleren Krümmungsradius gemäß Gl.( 6.38)
r
1,
2
−1
⎛ 1 1 ⎞
= ⎜ +
r1
r ⎟
( 6.38)
⎝ 2 ⎠
nach LAPLACE berechnet:
⎛ 1 1 ⎞
p = σ ⋅ ⎜ + ⎟
K lg
. ( 6.70)
⎝ R1
R 2 ⎠
R1, R2 Hauptkrümmungsradien der Flüssigkeitsoberfläche
Eine Herleitung der beiden Hauptkrümmungsradien für die kreisförmig gekrümmten
Menisken liefert für den Brückenradius R1 (siehe Sem.)
R 1
( 1−cos
α)
a + d ⋅
= ( 6.71)
2 ⋅ cos( α+
θ)
a Oberflächenabstand beider Kugeln
und für den Kontaktkreisradius R2:
d
R 2 = ⋅ sin α − R1⋅
[ 1−
sin( α+
θ)
] . ( 6.72)
2
Die konkave Krümmung des Brückenradius R1 bewirkt einen kapillaren Unterdruck,
die konvexe des Kontaktkreisradius R2 dagegen einen Überdruck. Im
vorliegenden Fall eines positiv definierten Unterdruckes ∆pK besitzen folglich

die Hauptkrümmungsradien unterschiedliche Vorzeichen, und es existiert in
der Flüssigkeitsbrücke solange ein Unterdruck - und somit ein positiver Beitrag
Fp des Kapillardrucks zur Haftkraft FH -, solange 1 / R1
> 1/
R 2 ist. Dafür gilt:
2
2
π ⋅ d 2 ⎛ 1 1 ⎞ π ⋅ d 2
F = ⋅ ⋅ α = σ ⋅ ⎜ − ⎟
p pK
sin
lg
⋅ ⋅ sin α . ( 6.73)
4
⎝ R1
R 2 ⎠ 4
Somit ergibt sich die gesamte Haftkraft FH = FR + Fp zu:
⎡
d ⎛ 1 1 ⎞ ⎤ 2
F ⎢ ( ) ⎜
⎟
H = π ⋅ d ⋅ σlg
⋅ sin α ⋅ sin α + θ + ⋅ − ⋅ sin α⎥
( 6.74)
⎣
4 ⎝ R1
R 2 ⎠ ⎦
bzw. für vollständige Benetzung θ ≈ 0
⎡
⎤
2 d ⎛ 1 1 ⎞
F = π ⋅ ⋅ σ ⋅ α ⋅ ⎢ + ⋅ ⎜ − ⎟
H d lg sin 1
⎥ . ( 6.75)
⎣ 4 ⎝ R1
R 2 ⎠⎦
Da R1 und R2 von α, θ und a/d abhängen, so lässt sich schreiben:
⎛ a ⎞
H = σ ⋅d⋅f
⎜α,
θ,
⎟ . ( 6.76)
⎝ d ⎠
F lg
Diese Haftkraft sinkt mit steigendem Kontaktabstand (Folie 6.9a). Die maximale
Haftkraft ergibt sich allerdings beim Oberflächenabstand a = 0:
F = π ⋅ d ⋅ σ . ( 6.77)
H,
max
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lg
Für die Bindung in fließenden feuchten Schüttgütern wurde Gleichung ( 6.75)
dahingehend vereinfacht, dass meist vollständige Benetzung vorliegt. Außerdem
liegen dem Modell noch sich berührende gleich große Kugeln a = 0 zugrunde.
Damit ergibt sich für das Flüssigkeitsvolumen in einer Brücke, wenn
man hier auf die Berücksichtigung der Krümmung der beiden Menisken vereinfachend
verzichtet /Diss.B/ (Folie 6.14):
π
3 4
V l ≈ ⋅ 0,
264 ⋅ d ⋅sin
α . ( 6.78)
4
Damit lässt sich ein einfacher analytischer Zusammenhang zwischen dem Flüssigkeitsgehalt
Xl in einem Schüttgut der Porosität ε und dem Benetzungswinkel
α gewinnen (mittlere Koordinationszahl k = π / ε ):
X
m
k
V ⋅ρ
l
l l
l = = ⋅
m π ,
s
3
2 ⋅ ⋅ d ⋅ρ
s
sin
6
ε ⋅ ρ
( 6.79)
2
s
α = 1,
313⋅
Xl
. ( 6.80)
ρl
Für die mittlere Haftkraft FH in einer Partikelpackung mit idealer Zufallsanordnung
gilt dann vereinfachend:
389

390
F
F
K
s
H ≈ 1,
313⋅
π ⋅ d ⋅ σlg
⋅ ⎢1
+ ⎥⋅
Xl
( 6.81)
4 ⋅ σlg
ρl
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⎡
⎢⎣
⎡
p
1
⋅ d ⎤
1
⎥⎦
ε ⋅ ρ
1
⎞⎤
ε ⋅ρ
s
H≈
1,
313⋅
π ⋅ d ⋅ σlg
⋅ ⎢1
+ ⋅ ⎥⋅
Xl
4 ⎜ −
R1
R ⎟
( 6.82)
2 ρl
⎣
⎛
⎝
bzw. mit den Gln.( 6.71) und ( 6.72) für den Oberflächenabstand a = 0:
F
⎡
1
cos α
⎠⎦
cos α
ε ⋅ ρ
s
H ≈ 1,
313⋅
π ⋅ d ⋅⋅σ
lg ⋅⎢1
+ ⋅
⎥⋅
Xl
2
⎜ +
1 cos 1 cos sin
⎟ . (6.83)
− α − α − α ρl
⎣
⎛
⎝
Allerdings ist der Term in den runden Klammern wegen der unterschiedlichen
Vorzeichen der Hauptkrümmungsradien bei praktischen Abschätzungen problematisch,
⇒ liefert bei größeren Flüssigkeitsgehalten zu kleine Haftkräfte.
Die Haftkräfte, die rotationssymmetrische Flüssigkeitsbrücken übertragen, sind
für gleich sowie ungleich große Partnerkugeln und für andere Partnergeometrien
sowohl unter der vereinfachenden Annahme kreisbogenförmiger Meridiankurven
als auch für das exakte Profil berechnet worden /3.102/ bis /3.104/.
Die Verformung der Flüssigkeitsbrücken unter Schwerkrafteinfluss und deren
Auswirkung auf die Haftkraft ist für Partikeln d < 1 mm vernachlässigbar.
Schließlich lassen sich auch Brücken zwischen unregelmäßigen Partikeln in
guter Näherung als rotationssymmetrisch auffassen.
Um die Intensität der Haftkräfte, die durch Flüssigkeitsbrücken hervorgebracht
werden, im Vergleich zu anderen Wechselwirkungen zu kennzeichnen, sind
diese in Folie 6.9a und b mit dargestellt. Danach ist festzustellen, dass diese
nicht nur die intensivsten sind, sondern dass sie sich auch Rauhigkeiten gegenüber
als wenig empfindlich erweisen /3.92/.
6.1.2.1.2 Zerreißarbeit einer Flüssigkeitsbrücke
Für den maximal möglichen Oberflächenbstand, bei dem das Zerreißen der
Flüssigkeitsbrücke eintritt, hat sich folgender einfacher Zusammenhang ergeben
(für Randwinkel θ ≤ 40°):
V a ≈ . ( 6.84)
1/
3
max l
Mit dem mittleren Flüssigkeitsgehalt einer Brücke in einer Partikelpackung
nach der Gl.( 6.79) ist auch (z. B. amax ≈ d für ρs = 2650 kg/m³, ε = 0.5, Xl =
25%):
max 3 ⎟ ⎛ ε ⋅ ρ ⎞ s a = d ⋅ ⎜ ⋅ ⋅ X l
⎝ ρl
⎠
1/
3
⎞⎤
⎠⎦
. ( 6.85)

Falls sich im Anfangszustand die gleichgroßen Kugeln berührt hatten a = 0, ist
eine Arbeit zum Zerreißen der Flüssigkeitsbrücke WZ aufzuwenden:
amax
2 ε ⋅ ρs
WZ = ∫ FH
( a)
da ≈ 1,
27 ⋅σ
lg ⋅ d ⋅Vl
= 2,
2 ⋅σ
lg ⋅ d ⋅ ⋅
ρ
0
l
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X
l
. (6.86)
Diese Arbeit wird dissipiert. Die massebezogene Dissipationsarbeit des Abreißens
der Flüssigkeitsbrücken in einer Partikelpackung Wm, Z = k ⋅ WZ
/ mP
ist
damit (mittlere Koordinationszahl k = π / ε ):
2,
2
13,
2
2
⋅π
⋅σ
lg ⋅ d ε ⋅ ρ
⋅σ
s
lg ρ s
Wm, Z =
⋅ ⋅ X l = ⋅ ⋅
3
ε ⋅π
/ 6 ⋅ d ⋅ ρ s ρl
ρ s ⋅ d ε ⋅ ρl
X
l
. (6.87)
Davon ausgehend, eine Energiebilanz der kinetischen Energie für das Auftreffen
eines Partikels 1 auf andere mit einer Auftreffgeschwindigkeit v1 und einer
möglichen Rückprallgeschwindigkeit v1R sowie der Dissipationsarbeit des Abreißens
einer Flüssigkeitsbrücke WZ ergibt:
m
2
p
2 2 ( v1
− v1R
) = WZ
⋅ . (6.88)
Bei einer Rückprallgeschwindigkeit von v1R = 0 entspricht das einer kritischen
Prallgeschwindigkeit auftreffender Partikel bei der gerade noch Haftung auftritt:
v1H 2 m,
Z
= ⋅W
/ k . (6.89)
6.1.2.1.3 Viskose Bindekraft
Für Kapillarzahlen Ca < 10 -3 (Verhältnis von viskoser Reibungskraft zur
Oberflächenkraft)
η ⋅ vZ
Ca = (6.90)
σ
lg
ist die kapillare Bindung dominant (siehe Gl.( 6.74)). Dagegen wird für Kapillarzahlen
Ca > 1 die viskose Bindung bedeutsamer. Das heißt, bei ausreichend
hohen Zerreißgeschwindigkeiten vZ ( vZ = d / 2 ⋅γ�
) sollte man zusätzlich eine
Bindekraft aufgrund der Viskosität der Brückenflüssigkeit berücksichtigen
(Adams, Edmondson, 1987):
F
H , vis
3⋅
π d
= ⋅
8
2
⋅η
⋅ v
a
Z
. (6.91)
Diese viskose Bindekraft wird für den direkten Kontakt a → aF=0 maximal.
Die Energiedissipation beim Ablösen einer viskosen Bindung ist damit:
391

392
P
H , vis
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= F
H , vis
⋅ v
Z
2
3⋅ π d ⋅η
⋅ v
= ⋅
8 a
2
Z
. (6.92)
Bem.: Entsprechend der Definition der obigen Kapillarzahl Ca ist das Verhält-
nis der maximalen Energiedissipation (Leistungseintrag) der Kapillarbindung
zur viskosen Bindung von Partikeln in Flocken in einer Suspension („elastische
Flocken“ nach dem JKR-Modell) während der Annäherung, Kollision, Defor-
mation und Flockenwachstum (Adams, Edmondson, S. 163, 1987):
P
P
H , vis
H , JKR
d ⋅η
⋅ vZ
=
2 ⋅σ
sl ⋅ aF
=
0
. (6.93)
Die gesamte Haftkraft der Flüssigkeitsbrücke FH,ges, die sich aus kapillarer
und viskoser Bindung zusammensetzt, folgt mit den Gln.( 6.75) und (6.91) bei
vollständiger Benetzung θ = 0:
F
H,
ges
⎡
d
1
3⋅
π
⋅ η ⋅ v
2
2
= π ⋅ d ⋅ σlg
⋅ sin α ⋅ ⎢1
+ ⋅
4 ⎜ − ⎥ +
R1(
a max ) R 2(
a max ) ⎟
8
⋅
a max
Z .
6.1.2.1.4 Einaxiale Zugfestigkeit
⎣
⎛
⎝
1
⎞⎤
⎠⎦
d
( 6.94)
Die einaxiale Zugfestigkeit im voll ausgebildeten Brückenbereich in einer
Partikelpackung mit idealer Zufallsanordnung lässt sich mit den Gln.( 6.66)
und ( 6.81) sowie mit dem Eintrittskapillardruck pK ≈ pK
, E als charakteristischen
Wert der Porendruckverteilung im Schüttgut Gl.( 6.100) direkt abschätzen
(σlg =72⋅10 -3 J/m 2 für Wasser):
8,
25⋅
( 1−
ε)(
2 − ε)
⋅ σlg
⋅
ε ε ⋅ d ⋅ ( 1+
sin ϕ )
sin ϕ
i s
σ Z,
1 =
X W . ( 6.95)
ρ
i
l
ρ
Dieses mehrfach überprüfte Modell (siehe Diss. B) ist gewöhnlich für Sättigungsgrade
(Flüssigkeitsporenraumanteile Gl.( 6.99))
ρs
( 1−
ε)
⋅ X W
S = < 0,
3 gültig.
ρ ⋅ε
l
6.1.2.2 Flüssigkeitsbindung in Partikelpackungen
In einer Partikelschüttung ist ein Zwischenraumvolumen (äußere Porosität)
vorhanden, das als verzweigtes, vielgestaltiges Kapillarsystem in Abhängigkeit
von der Partikelgrößen- und Partikelformverteilung des Feststoffes sowie dessen
Packungsstruktur vorliegt. Befindet sich eine solche Partikelschüttung im
Kontakt und damit im Austausch mit umgebender Luft, so bilden sich zunächst
Adsorptionsschichten von polaren Wassermolekülen, die sich z.B. mit der

BET-Isothermen (hier in linearisierter Form y = b + ax) im Gültigkeitsbereich
von ϕ = pD/pDS < 0,35 modellhaft erfassen lassen (Folie 6.15):
X
W,
A
p
⋅
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/ p
D DS
W
=
+
⋅ p / p
D DS
( 1−
p / p ) X ⋅ k X ⋅ k
D
DS
mit exp[
E /( RT)
]
k W B
1
W,
A,
mono
W
k
−1
W,
A,
mono
W
( 6.96)
= ( 6.97)
kW stoffabhängige Konstante
EB molare Bindungsenergie der Monoschicht
XW,A,mono
Monoschichtbelegung der Partikeloberfläche (s. Gl.( 6.60))
und bei höheren relativen Luftfeuchten ϕ = pD/pDS (für Partikelschüttungen
etwa im Bereich pD/pDS zwischen 0,6 und 0,85; pD Wasserdampfpartialdruck,
pDS
393
Sattdampfdruck) Flüssigkeitsbrücken infolge Kapillarkondensation an
den Kontaktstellen der Partikeln /3.133//3.134/. Eine derartige Flüssigkeitsbrü-
cke ist stabil, wenn ihr Dampfdruck - resultierend aus der Flüssigkeitsbindung
mittels Kapillardruck pK - dem Wasserdampfpartialdruck pD der feuchten Um-
gebungsluft entspricht, d.h. wenn die KELVIN-Gleichung erfüllt ist:
p ⎡ ⎤
D M W ⋅ pK
= exp⎢−
⎥ . ( 6.98)
pDS
⎣ ρW
⋅ RT
⎦
MW
Molmasse des Wassers
ρW Dichte des Wassers
R = 8,3145 kJ/(kmol K) allgemeine Gaskonstante
T absolute Temperatur
Dementsprechend können mit steigender relativer Luftfeuchte Flüssigkeits-
brücken zunächst nur dort entstehen, wo Gl.( 6.98) zuerst erfüllt ist, d.h. an den
Kontaktstellen, an denen sich benachbarte Partikeln bzw. deren Adsorptions-
schichten berühren. An Nahpunkten mit a > 0 können sich erst bei entspre-
chend höherer relativer Luftfeuchte Flüssigkeitsbrücken bilden, oder diese sind
aufgrund von Sorption allein zur Brückenbildung überhaupt nicht befähigt
(Folie 6.15).
Betrachtet man nun die Feuchte einer Partikelschüttung unabhängig davon, wie
sie entstanden ist, so lässt sich ganz allgemein sagen, dass bei niedrigen
Flüssigkeitssättigungsgraden S (S = Flüssigkeits-/Porenraumvolumen)
V ( 1−ε)
⋅ V ( 1−ε)
⋅ ρ
S = ⋅
( 6.99)
V
l l
s
= = Xl
Poren ε ⋅ Vs
ε ⋅ ρl
Adsorptionsschichten und Flüssigkeitsbrücken an den Kontaktstellen der Partikeln
existieren können (Folie 6.14a). Im Vergleich zu den Adsorptionsschichten
binden dabei die Flüssigkeitsbrücken wesentlich höhere Flüssigkeitsanteile.
Mit weiterer Steigerung von S stellt sich zunächst ein Übergangsbereich ein

394
(Folie 6.14b), in dem Flüssigkeitsbrücken und gefüllte Zwischenräume neben-
einander vorliegen (S ≈ 0,25), bis alle Zwischenräume schließlich gefüllt sind
(Folie 6.14c).
Für die Bindung dieser Flüssigkeitsanteile ist der Kapillardruck maßgebend.
Dieser hängt vom Flüssigkeitssättigungsgrad S nach einem Kurvenverlauf ab,
wie er in Folie 6.15 schematisch dargestellt ist.
Der Kurvenverlauf bei Befeuchtung weicht von dem bei Entfeuchtung ab (Kapillardruck-Hysterese).
Dies ist einerseits durch wechselnde Porenquerschnitte,
die ein- oder ausströmende Flüssigkeitsmenisken vorfinden, und andererseits
durch die Randwinkel-Hysterese bedingt /3.102//3.137/.
Um die Kapillardrücke in verschiedenen Partikelschüttungen und damit deren
Flüssigkeitsbindevermögen vergleichen zu können, ist die Definition eines
mittleren oder charakteristischen Wertes zweckmäßig. Vorwiegend wird dazu
der Eintrittskapillardruck pK,E benutzt (Folie 6.15) /3.135/. Dafür ergab sich
für gut benetzbare Stoffe:
p
K,
E
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1−ε
σlg
= k K ⋅ ⋅
mit kK = 1,9 ... 14,5. ( 6.100)
ε d
ST
Für kK werden bei Vorliegen einer engen Partikelgrößenverteilung Werte zwischen
6 und 8 genannt /3.135/ /3.136/, für breitere Partikelgrößenverteilungen
zwischen 1,9 und 14,5 /3.137/. In diesem Fall werden das Schüttgut bzw. die
Agglomerate durch den Kapillardruck pK zusammengehalten. Im Bereich hoher
Flüssigkeitssättigungsgrade S ist folglich die Zugfestigkeit σZ gegeben durch
/3.102//3.132/:
σ = S ⋅ p , ( 6.101)
Z
K
wobei der Kapillardruck durch die Abhängigkeit pK = f(S) (Folie 6.15) gegeben
ist und die Fälle Entfeuchtung und Befeuchtung entsprechend zu unterscheiden
sind. Für den Fall der Entfeuchtung liefert der Eintrittskapillardruck pK,E gemäß
Gl.( 6.100) einen Orientierungswert für die Zugfestigkeit.
Abgesehen von den im vorstehenden erörterten Flüssigkeitsbindungsarten kann
bei Vorliegen einer inneren Porosität innere Feuchtigkeit vorhanden sein, die
wegen der Feinheit dieser Porenstruktur sehr fest gebunden ist.
6.1.2.3 Bindung durch Flüssigkeiten hoher Viskosität
Sind die Poren eines Agglomerates vollständig oder teilweise mit einem hochviskosen
Bindemittel (z.B. Asphalt, Wachs, Leim) gefüllt, so wird die Bindung
einerseits von der Kohäsion im Bindemittel und andererseits von der Adhäsion
zwischen Bindemittel und Partikeln bestimmt. Wegen des innigen Kon-

taktes und der Oberflächenrauhigkeit darf man dabei vielfach davon ausgehen,
dass die Adhäsion die Kohäsion überwiegt. Die hohe Viskosität verhindert
die Ausbildung von Kapillarradien. Plastische Stoffe behalten eine beliebig
vorgegebene Oberflächenform, weil die Verformungsenergie größer als der
mögliche Gewinn an Grenzflächenenergie ist.
Die Zugfestigkeit dürfte analog Gl.( 6.101) sich summarisch aus einem Viskositäts-
und Kohäsionsanteil zusammensetzen:
⎛ ηl
⎞
∝ S ⋅ ⎜ + σZ,
⎟ . ( 6.102)
⎝ t ⎠
σZ l
S Bindemittelanteil (-sättigungsgrad, siehe Gl.( 6.99))
σZl Zugfestigkeit (Kohäsionsfestigkeit) des Bindemittels
Viskosität
ηl
6.1.3 Bindung durch Festkörperbrücken
Bei der Bindung durch Festkörperbrücken werden die Bindekräfte von festen,
brückenartig ausgebildeten Verbindungen übertragen (Folie 6.16). Diese entstehen
durch
- das Kristallisieren gelöster Stoffe - Kristallisationsbrücken,
- die verschiedenen Sintermechanismen - Sinterbrückenbindungen,
- das Erhärten eines Bindemittels infolge chemischer Reaktionen - chemische
Brückenbindungen,
- und ggf. das Erhärten eines hochviskosen Bindemittels.
6.1.3.1 Kristallisationsbrücken
Enthält die Flüssigkeit eines feuchten Schüttgutes gelöste Stoffe, so kristallisieren
diese beim Trocknen aus und bauen an den Berührungsstellen in Abhängigkeit
von der Kristallisationszeit t Festkörperbrücken auf /3.128/ (Folie
6.16). Der gelöste bzw. auskristallisierende Anteil kann aus dem gleichen oder
einem anderen Stoff wie das zu agglomerierende Gut bestehen.
Die Zug- oder hier besser Druckfestigkeit σct eines wasserlöslichen Materials
(Salze, Zucker u.ä.) lässt sich dann wie folgt abschätzen /Diss. A/ (Folie 6.17):
σ
ct
= σ
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Ds
⎡ ⎡ t ⎤⎤
⋅ 1 − . ( 6.103)
( − ε)
⋅ cS
⋅ ( X W0
− X WE ) ⋅ ⎢1
− exp⎢
⎥⎥ ⎣ ⎣ t 63 ⎦⎦
395

396
σDs Druckfestigkeit des kristallisierenden Feststoffes (= 30 MPa für
Sylvinit)
cS = msl/mw Sättigungslöslichkeit (= 0,341 bei 20°C für Sylvinit)
msl Masse gelöster Stoff
mw Masse Wasser
XW0 Anfangsfeuchte
XWE End- bzw. Gleichgewichtsfeuchte
t Lagerzeit
t63 Stofftransportwiderstand des Wassers im Schüttgut
Der Zeitparameter t63 erfasst die Kinetik des Mikro-Kristallisationsprozesses,
d.h., nach t = t63 sind [ 1 − exp( −1)
] = 0,
632 oder t = 3⋅t63 [ 1 − exp( −3)
] = 0,
95 .
63% bzw. 95% der Endfestigkeit erreicht. Er lässt sich auch theoretisch im ruhenden
Schüttgut für den diffusionsgesteuerten Stofftransport bei Reihenschaltung
der beiden beteiligten Phasen (der Flüssigphase: Index W = Wasser und
Dampfphase: Index D) als Summe der Widerstände abschätzen:
t = t + t . ( 6.104)
63
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63D
63W
Der Index 0 bedeutet den Bezug auf den Normalzustand bei T = T0 = 273 K.
t
63
2
1−
ε k ϕ ⋅ ρs
⋅ sD
⋅ RT0
⎛ T0
⎞
= ⋅
⋅ ⎜ ⎟
ε M ⋅ p ⋅ D ⎝ T ⎠
W
DS,
0
D,
0
16,
6
+
β
W,
0
⎛ X ⎞ T
1,
94 ⋅ exp ⎜
⎜k
T ⋅
X ⎟
⎝ Tm ⎠
ρs
⋅ ( 1+
cS
) ⋅ X
⋅ AS,
m ⋅
ε ⋅ ρ
l,
0
W
⎛ T0
⎞
⋅ ⎜ ⎟
⎝ T ⎠
6,
85+
nl
( 6.105)
AS,m spezifische Oberfläche
DD,0≈2,12⋅10 -5 m 2 /s Diffusionskoeffizient von Wasserdampf in Luft
kT ≈ 0,7 Adsorptionsparameter oberflächenaktiver Substanzen
∆X
W
k ϕ =
∆(
p / p )
Anstieg der Sorptionsisothermen im unterkritischen Be-
D
DS
reich (Folie 6.15)
nl ≈ 4,0 Exponent der Temperaturabhängigkeiten der Stoffwerte:
Löslichkeit, Flüssigkeitsdichte, Viskosität und Diffusionskoeffizient,
z.B. für eine gesättigte KCL-Lösung (273
K ≤ T ≤ 373 K)
pDS,0 ≈ 735 Pa Sattdampfdruck
sD
maximale Diffusionsschichtdicke ≈ Schütthöhe
βW,0≈0,08 kg/(m 2 ⋅h) Stoffübertragungskoeffizient des Wassers in einer gesättigten
Salzlösung (hier reine KCL-Lösung)
ρl,0 ≈ 1150 kg/m3 Lösungsdichte (KCL-Lösung)
XT = mT/ms Beladung an oberflächenaktive Substanzen mit

X
T,
m
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A
S,
m T
= Monoschichtbeladung des Tensides
A
T
⋅ M
⋅ N
A
AT Platzbedarf des Tensidesmoleküles
MT Molmasse des Tensides
6.1.3.2 chemische Brückenbindungen
Setzt man einem zu agglomerierenden feinen Produkt ein Bindemittel zu (z.B.
Zement, Kalk, Wasserglas), so entstehen beim Erhärten zwischen den Partikeln
Bindemittelbrücken durch chemische Reaktionen (Folie 6.17). Bei den mehr
oder weniger trockenen Schüttgütern befinden sich die Restwassergehalte meist
im Adsorptionsschichtbereich XWA ≈ 0,1 ... 0,4 %, falls nicht aus Umweltgründen
zusätzlich Wasser zugegeben wurde, z.B. zur Staubbindung bei
Kraftwerksaschen.
Beispielsweise kann ein Stoff s durch Wasseraufnahme (νW stöchiometrischer
Faktor) zu einem hydratisierten Feststoff hs reagieren (Hydratationsreaktion) 12 :
s W 2
+ ϑ ⋅ H O ⇔ hs
( 6.106)
Ms
⋅ XWA
k W ⋅ t
σ ct = σDs
⋅ ( 1−
ε)
⋅ ⋅
( 6.107)
M ⋅ϑ
k ⋅ t + 1
W
W
W
σDs ≈ 35 MPa Bindemittel (Mörtel) aus Portlandzement PZ 1/35, ⇒
gültig für spröde Materialien σct ↔ σDs
Mw= 18 kg/kmol Molmasse des Wassers
ρs ≈ 3100 kg/ m 3 Zement
Ms ≈ 1634 kg/kmol Molmasse des hydratisierten Feststoffes (z.B. Ettringit
CaO⋅3Al2O3⋅3CaSO4⋅32H2O)
νw ≈ 32 stöchiometrischer Faktor der Reaktion,
kw ≈ 97 d -1 Geschwindigkeitskonstante der Reaktion (hier z.B. Zement)
k
E
⎛ A ⎞
( AS,
m ) ⋅ exp⎜−
⎟
⎝ R ⋅ T ⎠
W = k W∞
. ( 6.108)
EA Aktivierungsenergie der Hydratation
kw∞ = f(AS,m) Konstante für T → ∞, Anstieg der Zeitfunktion, ⇑ wenn AS
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
12 Tomas, J.: Zum Verfestigungsprozeß von Schüttgütern - Mikroprozesse, Kinetikmodelle und
Anwendungen (Übersichtsartikel), Chem.- Ing.- Technik 69 (1997) 4, 455-467
397

398
6.1.3.3 Sinterbrücken
Vorrangig werden metallische (Pulvermetallurgie) und keramische Werkstoffe
zu Fertigprodukten gesintert.
Da beim Sintern (thermische Agglomeration) eine entsprechende diffusive,
d.h. thermische Beweglichkeit der Atome und Moleküle der Haftpartner erforderlich
ist, bedürfen Sinterprozesse meist der Wärmezufuhr. Dabei können
chemische Reaktionen den Wärmehaushalt bzw. die Beweglichkeit der Atome
und Moleküle begünstigen.
Dem Sintern ist auch der Mikroprozess der Kontaktdeformation durch viskoses
Fließen der Mikrorauhigkeiten bei Materialien geringen Schmelzpunktes
(gegebenenfalls auch) bei Umgebungstemperatur zuzurechnen. Neben der Verstärkung
der VAN-DER-WAALS-Kräfte analog der plastischen Deformation
der Kontaktpunkte zu Kontaktflächen (siehe auch Gl.( 6.52)), entstehen Festkörperbrücken
durch viskoses Ineinanderfließen des Feststoffes (= gerichtete
Konvektionsströmung). Dem kann vereinfachend ein lineares Materialverhalten
(„Stoffgesetz“) zwischen Beanspruchung und Deformation zugrunde gelegt
werden, mit dem NEWTON-sches Fließgesetz:
du ∆s
τ
t
γ�
= = = oder einfach γ = ⋅ τ . ( 6.109)
dy ∆h⋅
∆t
η
η
h Schichthöhe
s Scherweg
u= ds dt Schergeschwindigkeit
γ Verzerrung oder Verschiebung
η dynamische Viskosität
Man vergleiche auch das HOOK-sche Gesetz:
dl ∆l
σ FN
ε d = = = =
dx l E E⋅
A
oder
τ FS
γ = = .
G G⋅
A
( 6.110)
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0
εd Druck-Stauchung oder Zug-Dehnung
E Elastizitätsmodul
G Gleitmodul
0 Index für Belastungsbeginn
Die Haftung mittels viskoser Kontaktflächenbildung wird noch durch Ineinanderfließen
des Materials aufgrund der Grenzflächenenergie σsgs (svw. Bindungsenergie
pro Grenzfläche) und der Volumenphase (Schmelzhaftung,
„Kaltverschweißen“) weiter verstärkt und führt zur Sinterhalsbildung. Solche
Sinterbrückenbindungen können schon bei normalen Umgebungstemperaturen

ei (weichen) Plastpulvern, fett- und eiweißhaltigen Futter- und Lebensmitteln
entstehen.
Gewöhnlich beginnen Sinter-Mikroprozesse von VAN-DER-WAALS-Festkör-
pern durch Oberflächen- oder Volumendiffusion schon bei
T≈ ( 0,
75...
0,
9)
⋅ T , ( 6.111)
Tm
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m
Schmelztemperatur, ⇑ Polymere → Metalle → Metalloxide
wobei molekulare Platzwechselvorgänge sich an der Partikeloberfläche (hohe
Häufigkeit struktureller Fehlordnungen, hohe Diffusionsaktivität) bei geringe-
ren Temperaturen vollziehen als in der Partikelvolumenphase (geringere Fehl-
ordnungshäufigkeit).
Bei merklichem Dampfdruck an der Feststoffoberfläche tritt Verdampfung (=
Sublimation) und bei geringerem Dampfdruck an den Rauhigkeitskontakten
Kondensation (=Desublimation) am sich bildenden Sinterhals ein.
Den Mikroprozesse des Sinterns (Polke, Rumpf, Sommer u.a.) ist eine ausge-
prägte Zeitabhängigkeit t (Mikroprozesskinetik) und Temperaturabhängig-
keit T (⇒ insbesondere der Stoffwerte) eigen (Tabelle 6.5):
⎛
⎜
⎝
dS
n
d S
⎛ ⎞
S ⎞
E
⎟ ∝f
( t,
T)
⋅exp
⎜
⎜−
⎟ . ( 6.112)
d ⎠
⎝ RT
⎠
Sinterhalsdurchmesser
d Partikelgröße
ES
Aktivierungsenergie beim Sintern
Mikroprozess N f(t, T) Materialverhalten
viskose Kontaktabplattung 3 3 t 1 FN
2
32 G ⎟
0 d
⎟
⎛ ⎞
⎜ +
⎝ η ⎠
linear viskoelastisch
*
viskoses Fließen mit Sinterhalsbildung
2 8 t ⎛ 2σsg
1 FN
⎞
⎜ + ⎟ 2
5η⎝
d π d ⎠
linear viskos
Oberflächendiffusion 7
4
σsga
ADS
⋅ t
4
d k BT
diffusiver Transport
Volumendiffusion 5
3
σsga
AD
V
⋅ t
3
d k T
diffusiver Transport
Verdampfung und Rekondensation
3
σ
sg
B
3
a Ap
D / p0
⋅ t
dk
T
B
399
diffusiver Transport
* Reihenschaltung von Feder- und Dämpfungselement (MAXWELL-Körper)
Tabelle 6.5: Sinter-Mikroprozesse

400
aA
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10.10.2012
Gitterabstand der Atome (z.B. ≈ 0,3 nm)
DS ,DV Oberflächen- bzw. Volumendiffusionskoeffizient (stoffabhängig)
kB
pD
p0
Boltzmannkonstante = 1,38 10 -23 J/K
Dampfdruck
Sattdampfdruck
Für die zeitabhängige Haftkraft FHt gilt hier analog zur Gl.( 6.51) die lineare
Haftkraftzunahme mit der Haftkraft des Kugelkontaktes κt⋅FH0 plus einer von
außen aufgeprägten Normalkraft κt⋅FN (Verfestigungskraft):
Ht
H0,
t
t
N
t
H0
t
N
t
( F F )
F = F + κ ⋅ F = κ ⋅ F + κ ⋅ F = κ ⋅ + mit ( 6.113)
4 ⋅ π ⋅ d ⋅ σ ⋅ σ
= ( 6.114)
sg Zs
FH 0,
t
⋅ t = κt
⋅ 2 ⋅ π ⋅ d ⋅ σsg
5⋅
ηs
σsg spezifisch freie Grenzflächenenergie (Grenzflächenspannung solid-gassolid
sgs) ≈ 0,1 ... 11,4 J/m² (...Diamant; s. auch Gl.( 6.6))
σZs Zugfestigkeit des sinternden Brückenmaterials
mit dem viskosen Repulsionskoeffizienten
2 ⋅ σZs
κ t = ⋅ t
( 6.115)
5 ⋅ η ( T)
s
und einer Feststoffviskosität bzw. viskosen Partikelkontaktsteifigkeit
( 10 Pa s
13
η > ⋅ ) sowie deren exponentieller Energieverteilung
η
s
s
= η
s,
min
⎜ ⎛ E
⋅ exp
⎝ R ⋅
γ�
( ) ⎟⎟ T − T
r
H0
⎞
.
⎠
( 6.116)
E γ� Aktivierungsenergie des thermisch aktivierten Sinterprozesses
Tr Temperaturparameter, 0 K < Tr < Tg ≤ Tm= 200...400 K für Polymere
Tg Glastemperatur (Gläser = metastabile unterkühlte Flüssigkeiten, d.h.
Bildung amorpher („formloser“) Festkörperstrukturen; nur Nahordnung
der Atom- und Molekülverbände)
Tm Schmelz- oder Erstarrungstemperatur (Bildung makroskopisch regulärer,
kristalliner Festkörperstruktur = Fern- oder Volumenordnung)
σZs Zugfestigkeit des Sintermaterials = 10...60 N/mm 2 für Polymere
ηs,min Viskositätsparameter = ηs,∞ für T → ∞
Hier hat man es mit einem thermisch aktivierten Partikel-Mikrofusionsprozess
zu tun. Unterhalb der sog. „Glastemperatur“ wird die Beweglichkeit (Elastizität)
der Makromolekülketten von Polymeren stark eingeschränkt (Übergang
von einer nichtlinearen „Gummi“-Elastizität in die lineare „Glas-“ oder Festkörper-Elastizität).
Der E-Modul (= Steifigkeit) steigt dann von etwa ER =
0,01...0,1 kN/mm 2 bis auf E ≈ 1000⋅ER.
N

Für die zeitabhängige Zugfestigkeit der unverfestigten Kontakte gilt:
0 H0,
t
0
Zs sg
σ 0t
= ⋅ = ⋅
= κ
2
t ⋅ σ0
. ( 6.117)
ε0
d ε0
5 ⋅ ηs
⋅ d
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1−
ε
F
1−
ε
4 ⋅ π ⋅ σ
6.1.4 Formschlüssige Bindungen
⋅ σ
Bei faserigen, plättchenförmigen und sperrigen Partikeln können formschlüssige
Bindungen auftreten, indem sich diese ineinander verhaken oder verfilzen,
Folie 6.8c. Dieser Mechanismus tritt z.B. beim Brikettieren von Metallspänen
auf.
6.2 Spannungszustand und Fließverhalten von Schüttgütern
Eine Schüttung stellt eine ruhende oder sich bewegende ("fließende") Packung
von Partikeln dar, deren Zwischenraumvolumen durch Gase und/oder Flüssigkeiten
gefüllt ist. Trotz der daraus resultierenden Inhomogenitäten können
Schüttgüter in mancher Hinsicht als Kontinuum aufgefasst werden. Ein
fluidisiertes feines Pulver verhält sich ähnlich wie eine NEWTONsche Flüssigkeit,
während ein locker gepacktes mit einem idealen plastischen Medium
verglichen werden kann. Mit Zunahme der Packungsdichte nähern sich die
Schüttguteigenschaften denen eines porösen elastisch-plastischen Festkörpers.
In neuerer Zeit gewinnen aber zunehmend Arbeiten an Bedeutung, die das
kontinuumsmechanische Verhalten von Schüttgütern auf die Wechselwirkungen
zwischen den Partikeln zurückführen 8,12, 13 /3.147//3.148/.
6.2.1 Ruhedruckbeiwert
Für Druck und Kompression als wesentliche Beanspruchungen von
Partikelsystemen wird das + Vorzeichen vereinbart. Aufgrund der Belastung
eines Schüttgutes - im Allgemeinen durch sein Eigengewicht - oder äußere
Kräfte FN können elastische, plastische oder viskose Verformungen im Kontinuum
eintreten (siehe auch Abschnitt 6.1.1.3). Im zuerst genannten Fall ergibt
sich bei vertikaler Druckbelastung und verhinderter seitlicher Ausdehnung (-∆
l2 = -∆l3 = 0 und folglich 2 3 σ = σ ) für das Verhältnis der Normalspannungen
(Hauptspannungen):
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
13 Tomas, J.: Modellierung des Fließverhaltens von Schüttgütern auf der Grundlage der Wechselwirkungskräfte
zwischen den Partikeln und Anwendung bei der Auslegung von Bunkeranlagen,
Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991
⋅ t
401

402
σ
2 λ 0 = ≈ 1− sin ϕi
. ( 6.118)
σ1
λ0 wird in der Bodenmechanik als Ruhedruckbeiwert bezeichnet, nachdem
sich experimentell ergeben hatte, dass Proportionalität zwischen den Normal-
spannungen ( ϕi innerer Reibungswinkel) besteht, wenn nur Deformationen in
vertikaler Richtung auftreten können /3.117/. λ0 hängt von den Materialeigen-
schaften und auch von der Packungsdichte 1 - ε ab:
λ0 = 0 steifer oder starrer Festkörper,
λ0 = 0,4...0,5 Schüttgüter, Böden (aktiver Spannungszustand),
λ0 = 1 Flüssigkeiten und
λ(∆l1=0, ∆l2=∆l3) > 1 Schüttgüter, Böden (passiver Spannungszustand).
Die Aufstellung eines Kräftegleichgewichtes (die Schubspannungspaare sind
momentenfrei!) in vertikaler y-Achse und horizontaler x-Achse an einem solchen
Volumenelement dV = dx⋅dy⋅dz lässt sich formal zu einer einzigen Darstellung
mit m = 0, Formfaktor des ebenen Spannungszustandes, dz >
(3...6)⋅dx, und m = 1 (Formfaktor des axialsymmetrischen Spannungszustandes)
gemäß Folie 6.18 zusammenfassen.
Beide Differentialgleichungen bilden zusammen mit der für die Lösung (mindestens
3 Unbekannte!) notwendigen Beschreibung des Materialverhaltens die
Grundlage für eine umfassende Modellierung der mehrachsigen Spannungsfelder
(⇒ s. auch Charakteristiken- und FEM-Lösungsmethoden).
Betrachtet man nunmehr ein horizontal mit dz ausgedehntes Schüttgut-Prisma
gemäß Folie 6.18, dessen Querschnitt genügend klein ist, d.h.
dx ≈ (25...100)⋅d, ( 6.119)
damit sein Gewicht vernachlässigt werden kann, so gilt das Kräftegleichgewicht
in Folie 6.19.
6.2.2 Herleitung des MOHRschen Spannungskreises
Kräftegleichgewicht am prismatischer Körper der Länge dz in σα- bzw. τα-
Richtung:
∑ Fσ = 0 α
�
σx
+ σy
σx
− σy
σα = + ⋅ cos 2α
+ τxy
⋅sin
2α
( 6.120)
2 2
∑ Fτ = 0 α
�
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τ α
σ
= −
x
− σ
2
y
⋅sin
2α
+ τ
xy
⋅ cos 2α
. (6.121)
Eliminiert man aus diesen Gleichungen den Winkel α durch Quadrieren und
Addition beider Gln., so folgt in allgemeiner Form der MOHRsche Spannungskreis:

2
2
σx
+ y ⎞ 2 ⎛ σx
− σy
⎞ 2
σα − ⎟ + τα
= ⎜ ⎟ + τxy
. ( 6.122)
⎛ σ
⎜
⎝ 2
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⎟
⎠
⎜
⎝
2
⎟
⎠
Es ist nun von Interesse, wo die Spannung σα Extremwerte annimmt, d.h.
∂σα
1) Für = 0 ≡ τα
∂α
2 ⋅ τxy
⎛ π ⎞
tan 2α0
= − = tan 2⎜
+ α0
⎟
( 6.123)
σ − σ ⎝ 2 ⎠
σ
x
+ σ
y
x y x y
σα → σ1
= + ⋅ cos 2α0
+ τxy
⋅sin
2α0
( 6.124)
σ
+ σ
2
σ
− σ
2
x y x y
→ σ2
= − ⋅ cos 2α0
− τxy
⋅sin
2α0
. ( 6.125)
2
σ
− σ
2
Da auf der Fläche ds⋅dz τα = 0 sein kann, liefert dies die sog. größte Haupt-
spannung σ1 und die kleinste Hauptspannung σ2.
π
2) Für τ xy = τyx
= 0 folgen zwei im Winkel α 1,
2 = α0
± senkrecht aufei-
4
nander stehende Normalspannungen σx ⇒ σ1 und σy ⇒ σ2 sowie die Nor-
mal- und Scherspannung σα ⇒ σ und τα ⇒ τ
σ
σ 1 + σ2
σ1
− σ2
α M
R mit σ M = und σ R = . ( 6.126)
2
2
2 2 2
( − σ ) + τ = σ
Das ist die Gleichung eines Kreises (Folie 6.20). Im Koordinatensystem τ = f(σ
) liegt dessen
- Mittelpunkt bei σM = (σ1 + σ2)/2,
- der Radius beträgt σR = (σ1 - σ2)/2.
Für jede um α geneigte Fläche (im Gegenuhrzeigersinn aufgetragen!) lassen
sich die Spannungen in einer Darstellung
τ = f(σ) ⇔ in σR = f(σM) ⇔ in σ2 = f(σ1) ( 6.127)
mit Hilfe dieses MOHRschen Spannungskreises umwandeln.
In dreidimensionaler Darstellung beachte man: Spannungen (= Kraftvektoren
auf geneigte Flächen mit Normalenvektor) sind Tensoren:
⎛ σ
⎜
⎜τ
⎜
⎝ τ
x
xy
xz
τ
σ
τ
yx
y
yz
τ
τ
σ
zx
zy
z
⎞
⎟
⎟ . ( 6.128)
⎟
⎠
Im Falle eines Bruches stellt die o.g. Fläche eine Gleitfläche (Gleitebene) dar,
wobei die Neigung der Hauptspannungen abgelesen werden kann (Folie 6.20).
Aus der Darstellung in Folie 6.20 ist zu erkennen, dass die Koordinaten des
Punktes P die Beträge von σ und τ auf der Fläche mit der Neigung α liefern.
403

404
Dabei ist zu beachten, dass Druckspannungen mit positivem, Zugspannungen
mit negativem Vorzeichen aufgetragen werden. Gewöhnlich liegen für die in
Schüttgütern anzutreffenden Spannungszustände die Mittelpunkte der MOHR-
Kreise auf der positiven σ-Achse und ihr Radius ist von null verschieden (d.h.
σ 1 > 0; σ2
> 0 ).
Bei einem einachsigen (einaxialen) Spannungszustand (einachsiger Zug oder
Druck) ist nur eine Hauptspannung von null verschieden und der Kreis berührt
die Ordinate. Sind die Hauptspannungen gleich groß (σ1 = σ2; isostatischer
oder hydrostatischer Spannungszustand), dann schrumpft der Kreis zu einem
Punkt, siehe dazu auch die zweiachsigen Spannungszustände einer gescherten
Partikelpackung: Folie 6.21, Folie 6.22 und Folie 6.23.
6.2.3 Bruchhypothesen und Fließkriterien
Für die Schüttgutmechanik ist von wesentlichem Interesse, bei welchem Spannungszustand
das Fließen, d.h., der Bruch bzw. das Versagen des Schüttgutes
eintritt. Ein Fließkriterium bzw. eine Bruchhypothese muss folglich eine Aussage
über die Spannung machen, die zum Bruch, Fließen oder zu einer irreversible
plastische Verformung führt. Dazu sind nur Zug- oder Schubspannung
und keine Druckspannungen in der Lage.
1) HUBER-MIESES-HENCKY:
� Bruch nach Erreichen maximaler Gestaltänderungsarbeit,
� für Metalle,
� Vergleichsnormalspannung σV ≤ σzul als maximal aufnehmbare Normalspannung
bzw. zulässige Zugspannung gegen Zugbruch:
2 2
2
σ V = σ1
= σx
+ σy
− σxσ
y + 3⋅ τxy
≤ σzul
. ( 6.129)
Für eine große Anzahl von Stoffen reicht diese kontinuumsmechanische Bruchhypothese
nicht mehr aus, da das Versagen des Werkstoffes schon durch ge-
ringere Schubspannungen τzul < σzul verursacht wird. Der Zusammenhang
einer Schubspannung als Funktion der Normalspannung τ = f(σ) (hier werden
Druckspannungen positiv dargestellt) wird für ein gegebenes Material durch
die Einhüllende aller MOHR-Kreise dargestellt, die den Bruchzustand charakterisieren:
2) Von TRESCA:
� Bruch durch maximale Schubspannung τmax,
� Bruch- oder Scherfläche um den sog. Gleitwinkel von α = π/4 = 45°
zur Richtung der beiden Hauptspannungen geneigt,
� für zähe Werkstoffe zweckmäßig,
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10.10.2012

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� Vergleichsnormalspannung ist:
V
max
2 2
( σx
− σy
) + 4 ⋅ τxy
≤ zul
σ = 2 ⋅ τ =
σ . ( 6.130)
3) COULOMB-MOHR:
� Festkörperreibung (sog. COULOMB-Reibung) eingeführt mittels inne-
ren Reibungswinkel ϕi,
� Verhältnis aus Scherkraft zur Normalkraft = Reibungskoeffizient
F / F = µ = tan ϕ
( 6.131)
S
N
i
i
� Druckfestigkeit (im Inneren jedoch Zug- oder Scherbrüche!) wesentlich
größer als Zugfestigkeit,
� Für "bindige" bzw. "kohäsive" Böden, spröde Werkstoffe,
� Scherfläche um den Gleitwinkel
/ 4 i / 2 ϕ + π = α
σ2
α
τ ( 6.132)
zur Richtung der kleinsten Hauptspannung geneigt,
Grenzspannungsfunktion bzw. Fließort (Folie 6.23):
max
i
c
i
( σ + )
τ = τ = tan ϕ ⋅ σ + τ = tan ϕ ⋅ σ
( 6.133)
σ
− σ
2
( σ + σ )
1 2
σ R = = sin ϕi
⋅ M Z mit
σZ
τc
Z
σ1
+ σ2
σ M = . ( 6.134)
2
(dreiachsige) Zugfestigkeit im negativen σ-Bereich,
Kohäsion, d.h. Scherfestigkeit für σ = 0,
Spannungszustände, die durch Kreise gekennzeichnet sind, die die Umhüllende
schneiden, können nicht existieren, weil das Fließen schon bei niedrigeren
Spannungen eingetreten wäre. Andererseits charakterisieren MOHR-Kreise
innerhalb der Umhüllenden Spannungszustände, die noch kein Fließen, sondern
nur elastische Deformation herbeiführen.
4) JENIKE (1961):
� Grenzspannungsfunktion hat Endpunkt E und
� ist von der Schüttgutdichte ρb bzw. Porosität ε abhängig.
� Unterscheidung in beginnendes (instationäres) und
� stationäres kohäsionslosen Fließens von Schüttgütern bei σ < 100
kPa, d.h. effektiver Fließort (Folie 6.30):
σR
σ1
− σ2
= = sin ϕe
. ( 6.135)
σ σ + σ
M
1
2
ϕe effektiver (oder wirksamer innerer) Reibungswinkel
5) Gemäß MOLERUS (1978):
� Erstmalige Einführung partikelmechanischer Haftkraftmodelle zur
physikalisch begründeten Erklärung bisher nur kontinuumsmechanisch
zugänglicher Stoffgesetze.
405

406
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� Grenzspannungsfunktion ist von der Wirkung der Haftkräfte zwischen
den Partikeln abhängig.
� Nur irreversible, rein plastische Partikelkontaktdeformation Apl betrachtet
(- Vorzeichen = Haftung, + Vorzeichen = Repulsion):
∑ F = 0 = −FH
0 − pVdW
⋅ A pl − FN
+ pf
⋅ A pl . ( 6.136)
� Diese mittleren mikroskopischen Kontaktkräfte FT und FN und die resultierenden
Spannungen im Kontinuum τ und σ lassen sich unter bestimmten
Voraussetzungen analytisch ineinander umrechnen (1-ε
Packungsdichte):
1−
ε FT
, FN
τ , σ = ⋅
( 6.137)
2
ε d
� Einführung des kohäsiven stationären Fließens kohäsiver Schüttgüter
bei σ < 100 kPa, s. Gln.( 6.51) und ( 6.52).
� Physikalischer begründeter Zusammenhang zwischen dem stationären
ϕst und dem inneren ϕi Reibungswinkel:
ϕ = ( 1+
κ ) ⋅ tan ϕ = const.
( 6.138)
tan st
p
i
� 3 physikalisch begründete Fließkennwerte plus der Einfluss eines charakteristischen
mittleren Druckes σM,st Folie 6.23:
(1) ϕi innere Festkörperreibung (Gleitreibung) versagender Partikelkontakte,
(2) ϕst stationäre Partikelreibung, charakterisiert Zunahme der
Haftkräfte (Reibung) infolge verfestigender äußerer Kräfte,
(3) σ0 dreiachsige Zugfestigkeit des unverfestigten Schüttgutes
und
(4) σM,st Einfluss der mechanischen Beanspruchungsvorgeschichte,
svw. mittlerer Vorverfestigungsdruck, im Schüttgutkontinuum;
unmittelbarer Zusammenhang zur Schüttgutdichte ρb =
f(σM,st) Gl.( 6.164).
� stationärer Fließort:
σM,st Mittelpunktsspannung bei stationärem Fließen
σR,st Radiusspannung bei stationärem Fließen (= Vorverfestigung)
σ R,
st = f ( σM,
st )
( 6.139)
τ = f ( σ)
. ( 6.140)
� Momentanfließort (beginnendes Fließen):
σ R = f [ σM
]
( 6.141)
τ = f σ . ( 6.142)
[ ]

6) NEU! (TOMAS 1987/99): Wesentliche Erweiterung bisheriger partikel-
und kontinuumsmechanischer Bruchhypothesen durch Einführung neu-
er, physikalisch begründeter Modelle der
� Momentanfließorte, stationären Fließorte und Verfestigungsorte für
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10.10.2012
407
elastisch-plastische Kontaktdeformationen und reibungsbehaftetem
Kontaktgleiten mit lastabhängiger Haftkraft sowie der
� Zeitfließorte mit viskoplastischer Kontaktdeformation (Anfang 1987
siehe Diss. B 1991, CET 2003siehe Diss. B 1991, CET 2003):
� Grenzspannungsfunktion ist von der Summe der elastischen Ael, irre-
∑
versibel plastischen Apl und zeitabhängigen viskoplastischen (svw.
viskosen) Avis Partikelkontaktdeformationen abhängig:
H0
VdW
( Ael
+ A pl + A vis ) − FN
+ FW
, el + pf
⋅ A pl + ηs
/ t A vis
F = 0 = −F
− p ⋅
⋅
( 6.143)
� Es werden sowohl geringe elastische Ael als auch plastische Kontaktab-
plattungen Apl mit dem Kontaktflächenverhältnis κA (siehe Gl. (
6.53)) berücksichtigt.
� Verallgemeinert ist die gesamte Haftkraft somit:
H,
ges
H
Ht
( 1+
κ + κ ) ⋅ F + ( κ + κ ) FN
F = F + F =
⋅ . ( 6.144)
t
H0
� Einführung einer zusätzlichen viskoplastischen Kontaktrepulsion
bzw. Kontaktverfestigung κt bei σ < 100 kPa (σa ≡ pVdW Kontaktfes-
tigkeit, siehe auch Gln.( 6.113) und ( 6.115)):
κ
t
σa
=
η ⋅ ε�
V
V
pVdW
≈ ⋅ t . ( 6.145)
η ( T)
s
ηV Volumenviskosität (viskoplastische Steifigkeit),
ε� Kontaktdeformationsgeschwindigkeitsgradient
V
� Damit folgt der Zusammenhang zwischen innerer Partikelreibung und
viskoplastischer zeitabhängiger Kontaktdeformation
ϕ = ( 1+
κ + κ ) ⋅ tan ϕ ≠ f ( t)
= const.
( 6.146)
tan st
t
it
� oder umgerechnet für den Reibungswinkel (Anstiegswinkel eines Zeitfließortes):
tan ϕi
tan ϕ it =
. ( 6.147)
tan ϕi
⋅ pVdW
⋅ t
1+
tan ϕ ⋅ η
st
s
( T)
� Zusätzlich zu den 3 Kennwerten ϕi, ϕst, σ0 in der Gl.( 6.151), 2 neue
physikalisch begründete Fließkennwerte:
(5) ϕit innere Festkörperreibung versagender Partikelkontakte
und
t

408
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10.10.2012
(6) 0t
= κt
⋅ σ0
σ dreiachsige Zugfestigkeit des Schüttgutes.
� Erheblich einfachere Gleichung (als MOLERUS) für den stationärer
Fließort, siehe Folie 6.23, erhalten. Mit dem linearen Stoffgesetz der
lastabhängigen Haftkraft FH(FN), Gl.( 6.51),
H
( 1+
κ)
⋅FH
0 + κ FN
F = ⋅ , ( 6.51)
der Grenzbedingung der Tangentialkraft im adhäsiven Partikelkontakt
(Coulomb-Reibung)
T,
C,
H
i
( 1+
κ)
⋅(
F F )
F = µ ⋅ + , ( 6.148)
H0
N
sowie mit einem näherungsweise konstantem elastisch-plastischen Kontaktverfestigungskoeffizienten
κ ≈ const., siehe Gl.( 6.52), und mit dem
Mikro-Makro-Übergang der Kontaktkräfte in Spannungen, Gl.(
6.137), folgt eine bequeme lineare Gleichung des stationären Fließortes
(Index st für stationäres Fließen)
i
( 1+
κ)
⋅ ( σ + σ ) = tan ϕ ⋅ ( σ + )
τ = tan ϕ ⋅
σ
0
und als Radius-Mittelpunkt-Funktion σR,st = f(σM,st):
σ
( σ + )
R, st = sin ϕst
⋅ M,
st σ0
st
0
( 6.149)
( 6.150)
� Momentanfließort für beginnendes Fließen nach elastisch-plastischer
Partikelkontaktverfestigung, Gl.( 6.50) und Folie 6.23:
⎡
⎞ ϕ ⎤
⎢ ⎜ ⎟ ⋅ σ + ⋅ σ ⎥
⎣
⎠ ϕ ⎦
⎜
⎛ sin ϕst
sin st
σR = sin ϕi
⋅ σM
+ −1
M,
st
0 ( 6.151)
⎝ sin ϕi
sin i
oder vereinfacht mit der Gl.( 6.150) des stationären Fließortes:
σ R = sin ϕi
⋅(
σM
− σM
, st ) + σR
, st
( 6.152)
Der Fließort hat einen positiven Anstieg (+ Vorzeichen vor σM bzw. σ),
beginnt links im Punkt der isostatischen Zugfestigkeit σZ und endet
rechts im Mohrkreis des stationären Fließens σM = σM,st:
σR
, st
σ Z =
sinϕ
i
⎛ sinϕ
⎞ st
sinϕst
− σM,
st = ⎜ −1⎟
⋅ σM,
st + ⋅ σ0
⎝ sinϕ
i ⎠ sinϕ
i
( 6.153)
Dementsprechend ist im τ = f(σ) – Diagramm:
⎡ ⎛ sin ϕ ⎞
⎤
st
sin ϕst
τ = tan ϕ ⎢ ⎜
⎟
i ⋅ σ + −1
⋅ σM,
st + ⋅ σ0
⎥
⎣ ⎝ sin ϕi
⎠ sin ϕi
⎦
( 6.154)
⎡ σR
, st
τ = tan ϕi
⋅ ⎢σ
+
⎣ sin ϕi
⎤
− σM,
st ⎥ .
⎦
( 6.155)
� Verfestigungsort als Grenzspannungsfunktion, der alle Spannungszustände
beschreibt, die zu einer Vorverfestigung - also Vorverdichtung
und Konsolidierung - eines kohäsiven Schüttgutes führen Folie 6.23:
R
i
( − σM
+ σiso
) = sinϕ
i ⋅ ( − σM
+ σM,
st ) + R,
st
σ = sinϕ ⋅
σ ( 6.156)

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⎡ ⎛ sinϕ
⎞
⎤
st
sinϕst
= sin ϕi
⋅ ⎢−
σM
+ ⎜ + 1⎟
⋅ σM,
st + ⋅ σ ⎥ ( 6.157)
⎣ ⎝ sinϕ
i ⎠ sinϕ
i ⎦
σR 0
409
Dieser Verfestigungsort hat einen negativen Anstieg (- Vorzeichen vor
σM bzw. σ), beginnt links im Mohrkreis des stationären Fließens σM =
σM,st und endet rechts im Punkt des isostatischen Druckes σiso:
σ
⎛ sinϕ
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
sinϕ
R,
st
st
st
σ iso = + σM,
st = + 1 ⋅ σM,
st + ⋅ σ0
( 6.158)
sinϕ
i sinϕ
i
sinϕ
i
Die Funktion τ = f(σ) ist:
⎡ ⎛ sinϕ
⎞
⎤
st
sinϕst
τ = tan ϕi
⋅ ⎢−
σ + ⎜ + 1⎟
⋅ σM,
st + ⋅ σ0⎥
⎣ ⎝ sinϕ
i ⎠ sinϕ
i ⎦
( 6.159)
⎡ σR
, st
τ = tan ϕi
⋅ ⎢−
σ +
⎣ sinϕ
i
⎤
+ σM,
st ⎥ .
⎦
( 6.160)
Mikroskopische Ursache dieser typischen makroskopischen Schüttgutverfestigung
sind die sich entwickelnden elastisch-plastischen
Partikelkontaktverfestigungen gemäß Gl.( 6.50).
� Zeitfließort, d.h. beginnendes Fließen nach zusätzlicher viskoplastischer
Kontaktverfestigung, Gln. ( 6.143) und ( 6.144):
⎡ σR
, st ⎤
σRt = sin ϕit
⋅ ⎢σMt
+ − σM,
st ⎥
( 6.161)
⎣ sin ϕit
⎦
und im τ = f(σ) – Diagramm ist:
⎡ σR
, st ⎤
τt = tan ϕit
⋅ ⎢σt
+ − σM,
st ⎥ . ( 6.162)
⎣ sin ϕit
⎦
Der Verlauf o.g. Grenzspannungsfunktionen hängt folglich ab von
• den granulometrischen Eigenschaften,
• den Bedingungen und Stoffgesetzen der Kontaktverfestigung oder Haftkraftverstärkung
der Partikel im Schüttgut und vor allem
• von den Vorverfestigungsspannung σM,st sowie
• von der Packungsdichte (Porosität).
6.2.4 Fließkennwerte von Schüttgütern
6.2.4.1 Fließfunktion
Vergleicht man ϕi bzw. ϕe mit dem vielfach zur Beurteilung der Fließfähigkeit
von Schüttgütern herangezogenen Böschungswinkel ϕB, so gilt nur für kohäsionslose
Güter ϕi ≈ ϕe ≈ ϕB Folie 6.24. Letzterer lässt sich durch Ausmessen
eines aufgeschütteten Schüttkegels gut reproduzierbar ermitteln /3.145./.

410
Für die Kennzeichnung der Festigkeitseigenschaften eines kohäsiven Schütt-
gutes ist vor allem die einaxiale (einachsige) Druckfestigkeit σc bedeutsam,
die vom Gut als Folge einer Verfestigungsspannung (größte Hauptspannung
beim Verfestigen) σ1 aufgebracht wird (Folie 6.23). Den Betrag von σc erhält
man aus dem zugehörigen Fließort, indem man einen MOHR-Kreis zeichnet,
der durch den Koordinatenursprung (σ2 = 0) verläuft und den Fließort tangiert.
Die einaxiale Druckfestigkeit σc entspricht somit der Spannung, die in einem
Schüttgutzylinder, der mit σ1 verfestigt wurde, bei einachsigem Druck zum
Bruch bzw. Fließen führt. Folglich fließt ein Schüttgut umso leichter, je gerin-
ger σc bei vorhandener Verfestigungsspannung σ1 ist. Für die Charakterisie-
rung der Fließfähigkeit kohäsiver Schüttgüter eignet sich deshalb besonders
der Quotient aus der größten Hauptspannung σ1 und der einaxialen Druckfes-
tigkeit σc, der als Fließfunktion ffc (im Sinne einer dimensionslosen Kennzahl)
bezeichnet wird:
ffc
σ
σ
1 = oder
c
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ffct
σ
σ
1 = . ( 6.163)
ct
Die von JENIKE /3.143/ vorgeschlagene Einteilung der Schüttgüter soll hier
mit einer Ergänzung bezüglich verhärteten Gutes angeführt werden, Tabelle
6.6 /3.144/.
Bei kohäsionslosem Gut (τc = 0, Fließort geht durch den Koordinatenursprung)
ist keine Druckfestigkeit vorhanden (σc = 0), so dass die Fließfunktion gegen
unendlich geht. Die Klasse "verhärtet" wird dadurch abgegrenzt, dass hier die
einaxiale Druckfestigkeit σct größer als die Verfestigungsspannung σ1 ist, Ta-
belle 6.6:
ffc Kennzeichnung Beispiele
10 ≤ ffc freifließend (rieselfähig) trockener Sand
4 ≤ ffc < 10 leichtfließend feuchter Sand
2 ≤ ffc < 4 kohäsiv trockener Zement
1 ≤ ffc < 2 sehr kohäsiv feuchte Pulver
ffc, < 1 nicht fließend, verhärtet mit
Festkörpereigenschaften
gealterter Zement
ffct
Tabelle 6.6: Fließfunktion von Schüttgütern
Dies kann nach einer Verfestigung des Schüttgutes in zeitlicher Ruhelage als
sog. Zeitverfestigung auftreten und entsteht einerseits als Ergebnis von Festkörperbrückenbindungen
(Gln.( 6.103) oder ( 6.107)). Die sind wiederum über
sog. Zeitfließorte (Folie 6.30) mit den zugehörigen Kenngrößen wie Zugfes-
tigkeit σZt, Kohäsion τct und innere Reibungswinkel ϕit beschreibbar.

Andererseits, wenn ein Pulver längere Zeit unter dem Verfestigungsdruck σ1 in
Ruhe lagert, so wird sich ebenfalls die einaxiale Druckfestigkeit σct erhöhen
und der ffct-Wert verringern (Folie 6.30). Ursache ist hier die zunehmende vis-
kose Abplattung der Partikelkontakte (siehe Abschnitt 6.1.1.3, Gl.( 6.115)).
6.2.4.2 Kompressionsfunktion
Die Kompressibilität bei Schüttgütern entspricht der Druckabhängigkeit der
Packungsdichte und wird beeinflusst von folgenden Mikrovorgängen:
(1) Umlagerung steifer Partikeln mit steifen Kontakten zu einer dichteren Zufallspackung,
(2) Deformation weicher Kontakte von harten (mineralischen) Partikeln und
(3) Deformation weicher Partikeln (z.B. Biozellen).
Siehe Folie 6.25, die typische Verdichtbarkeit oder Kompressibilität, d.h. die
Druckabhängigkeit der Schüttgutdichte kohäsiver Pulver ist durch folgende
Gleichungen beschreibbar (Herleitung siehe Kapitel 7 MVT_e_7neu-
.doc#Schüttgutdichte_Sigma_Mst):
n
M,
st
b b,
0 1 ⎟
0
⎟
⎛ σ ⎞
= ρ ⋅ ⎜ +
σ
ρ ( 6.164)
⎝ ⎠
Hierbei ist ρb0 ist die Schüttgutdichte der lockeren unverfestigten Packung beim
mittleren Druck σM,st = 0.
Diese Verdichtungs- oder Kompressionsfunktion, Gl.( 6.164), lässt sich auch
durch Ersetzen von σM,st mittels der größten Hauptspannung σ1 berechnen:
Die größte Hauptspannung σ1 ist am MOHR-Kreis des stationären Fließens:
σ1
− σ2
σ1
+ σ2
σ 1 = + = σR
, st
2 2
+ σM,
st
(6.165)
Ersetzen der Radiusspannung σR,st mit Hilfe der Gl.( 6.150) des stationären
Fließortes
σ R = sin ϕ ⋅(
σ + σ )
( 6.150)
, st
st M,
st 0
und es folgt Umrechnung σ1 = f(σM,st):
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( σM,
st + σ0
) + M,
st
σ (6.166)
1 = sin ϕst
⋅
σ
1
M,
st
( 1+ sin ϕst
) + sin ϕst
⋅σ
0
σ = σ ⋅
(6.167)
Addieren von σ0 auf beiden Seiten der Gleichung liefert:
σ1
+ σ0
= σM,
st ⋅ 1+ sinϕst
+ sinϕst
⋅ σ0
+ σ0
= σM,
st ⋅ 1+
sinϕst
+ σ0
⋅ 1+
sinϕ
σ + σ = 1+ sinϕ
⋅ σ + σ
1
0
411
( ) ( ) ( st )
( ) ( )
st
σ + σ
M,
st
0
1 0
σ M,
st + σ0
=
(6.168)
1+ sin ϕst

412
Einsetzen von Gl.(6.168) in Gl.( 6.164) liefert die Verdichtungsfunktion als
Funktion ρb = f(σ1), wie sie für die Trichterauslegung benutzt wird:
ρ
ρ
b 1 0
1
b,
0
ρ
ρ
b,
0
⎛
=
⎜
⎝
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( 1+
sin ϕ )
n
1
⎜
st 0 1 sin
⎜
σ + σ ⎞ ⎛
⎟ =
⋅σ
⎠ ⎝ + ϕ
⎛ 1
⎜
⎝1+
sin ϕ
b =
⋅ 1
st
⎞
⎟
⎠
n
⎛
⎜
⎝
σ
+
σ
1
0
⎞
⎟
⎠
n
st
⎞
⎟
⎠
n
⎛
⋅
⎜
⎝
σ
+
σ
1
0
n
⎟ ⎞
⎠
(6.169)
Dies kann man auch mit einer modifizierten Schüttgutdichte der lockeren un-
verfestigten Packung ρb,0* ausdrücken:
n
* ⎛ 1 ⎞
ρ b,
0 = ρb,
0 ⋅ ⎜
1 sin ⎟
(6.170)
⎝ + ϕst
⎠
n
*
1
b b,
0 1 ⎟
0
⎟
⎛ σ ⎞
= ρ ⋅ ⎜ +
σ
ρ . ( 6.171)
⎝ ⎠
Der Exponent n lässt sich als Kompressibilitätsindex physikalisch sinnvoll
interpretieren. Kohäsive Pulver haben bei geringen Verfestigungsspannungen σ
1 < 100 kPa meist Werte um n ≈ 0,1 (siehe Tabelle 6.7).
Kompressibilitätsindex Bewertung Beispiele
0 ≤ n < 0,01 inkompressibel trockener Sand
0,01 ≤ n < 0,05 wenig kompressibel feuchter Sand
0,05 ≤ n < 0,1 kompressibel kohäsive Pulver
0,1 ≤ n < 1 sehr kompressibel sehr kohäsive Pulver
Tabelle 6.7: Charakterisierung der Kompressibilität von Schüttgütern
Die Packungsdichte kohäsionsloser Schüttgüter sollte wegen σ0 → 0 durch
folgende halbempirische Formel beschrieben werden:
n
1 1
1 ⎟ ⎛ σ ⎞
⎜
− ε =
2⎜
. ( 6.172)
⎝ σ1/
50 ⎠
Für 1 1/
50 σ =
σ ist 5 , 0 1 = ε − , d.h., es wird annähernd die Packungsdichte einer
kubischen Packung erreicht 1 − ε = π = 0,
5236 .
6
Für die praktische Charakterisierung des Verdichtungsverhaltens von Pulvern
bei nicht zu großen Drücken hat sich diese Vorgehensweise sehr bewährt.
Wenn ein Schüttgut entlang einer Wand gleitet, dann kann die Wandreibung
mittels eines Wandfließortes gekennzeichnet werden (Folie 6.30). Der wichtigste
Parameter ist hierbei der Wandreibungswinkel ϕW, der wie folgt definiert
ist /3.143/:

W
ϕ W = arctan . ( 6.173)
σW
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τ
ϕW hängt vor allem vom Wandmaterial und dessen Rauhigkeit sowie von den
Fließeigenschaften des Schüttgutes (Feuchte, Partikelgröße u.a.) ab.
6.2.5 Messung der Fließeigenschaften von Schüttgütern
Die Fließeigenschaften kohäsiver Schüttgüter sind überschlägig mit Hilfe sog.
Schnelltests Folie 6.26 und, physikalisch begründet, mittels der Ergebnisse von
Schertests charakterisierbar /3.143.//3.146./ (Folie 6.27).
Ein Translationsschergerät (Folie 6.27a) besteht aus einem oberen linear verschiebbaren
Ring, einem unteren bodenseitig geschlossenen Ring und einem
Deckel. Der Innenraum wird mit der Schüttgutprobe gefüllt und durch Aufbringen
einer Normalspannung σ = Normalkraft FN/Querschnittsfläche A auf
eine bestimmte Porosität ε verdichtet. Durch Verschieben des oberen gegen den
unteren Ring wird die Probe bei einer festgelegten Anschernormalspannung σA,
die auf den Deckel aufgebracht wird, mittels der erforderlichen Schubspannung
τ = FS/A angeschert (Folie 6.29). Dabei muss die Probe gemäß der Grenzbedingung
ideal-plastischer Deformation unter Volumenkonstanz, d.h. dV = 0,
bzw. ε = const. oder ρb = const., und damit auch stationär, d.h. mit zeitlich konstanter
Schubspannung fließen.
- Unter-, Überverfestigung und kritische Verfestigung beim Scherversuch
(Folie 6.28)
- beginnendes und stationäres Fließen (Folie 6.29)
Wird die Probe dann unter schrittweise verminderter Normalspannung σ =
FN/A abgeschert, so erhält man mit der jeweils zugehörigen Schubspannung τ =
FS/A Wertepaare, die das beginnende Fließen (bei Auflockerung bzw. Porositätszunahme)
auf dem Fließort charakterisieren (Folie 6.29).
Wird das Schüttgut zwischen dem An- und Abschervorgang einer Lagerzeit
unter Belastung mit einer Normalspannung σ ausgesetzt, so erhält man den
entsprechenden Zeitfließort, siehe Folie 6.30 links.
Mit Hilfe der in Folie 6.27b dargestellten Anordnung ist die Ermittlung von
Wandfließorten möglich.
Neben der Translationsscherzelle haben sich auch andere Geräte, wie die Torsionsscherzelle
(Folie 6.27c) und die Ringscherzelle (Folie 6.27d), eingeführt,
die auf dem Prinzip der Scherung mittels Drehbewegung - das Drehmoment Mt
wird gemessen - beruhen.
Mit einem Triaxialgerät (Folie 6.27e) sind die Hauptspannungen σ1 und σ2
direkt messbar, wobei sich dann die zugehörigen Normalspannungen σ und
Scherspannungen τ als innere Spannungen an den Gleit- bzw. Scherebenen
entsprechend der Fließbedingung einstellen.
413

414
• Gesamtdarstellung momentaner und stationärer Fließorte, Zeit- und
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Wandfließort Folie 6.30
Die einaxiale Druckfestigkeit σc von kohäsiven Schüttgütern kann auch direkt
mit der in Folie 6.27f dargestellten Anordnung gemessen werden. Sie besteht
aus einer zylindrischen Form, in die die Schüttgutprobe eingebracht und mit
der größten Hauptspannung σ1 weitestgehend wandreibungsfrei verdichtet
wird. Danach wird die Form entfernt und die stabile Probe auf Druck bis zum
Bruch belastet und den σc-Wert liefert.
Der Zusammenhang zwischen σc = f(σ1) wird Verfestigungsfunktion genannt
und wird in der Folie 6.31 beispielhaft für ein ultrafeines bis nanoskaliges, sehr
kohäsive TiO2-Pulver gezeigt.
Das steife bis nachgiebige Partikelkontaktverhalten und das daraus resultierende
freifließende bis sehr kohäsive Pulverfließverhalten sowie das inkompressible
bis sehr kompressible Verdichtungsverhalten feinkörniger (d < 100
µm), ultrafeiner (d < 10 µm) bis nanoskaliger (d < 0,1 µm) kohäsiver Pulver
wird in der Folie 6.32 zusammengefasst dargestellt.
6.3 Lagerung von Schüttgütern
Verfahrenstechnische Aufgaben einer Speicheranlage (Folie 6.33)
6.3.1 Verfahrenstechnische Probleme mit Silos und Bunkern
Schacht- und Brückenbildung (Folie 6.34)
Schüttgutfluss in Bunkern, Massen- und Kernfluss (Folie 6.35)
Entmischungen (Folie 6.34)
ungünstige Verweilzeitverteilungen (Folie 6.36)
Überlastungen und Havariegefahr (Folie 6.37)
6.3.2 Auslegung von Silos und Bunker
6.3.2.1 Auslegungsschritte einer Speicheranlage
wirtschaftliche Zielstellung (Folie 6.38)
Auslegung Schaft und Trichter (Folie 6.39)

Hilfs- und Nebenanlagen (Folie 6.40)
Verfahrenstechnische Bunkerauslegung:
- Der Speicherbedarf hat übergeordnete Bedeutung für die Gesamtkosten
der Anlage, z. B. in T€/m 3 Lagervolumen, ⇒ z.B. Haus ≈ 400 €/m 3
umbauter Raum.
- Gewöhnlich Auslegung für den ungünstigsten Fall, d.h.,
+ Häufung der Anfuhr und Verzögerung der Abfuhr oder
+ Häufung der Abfuhr ohne Anfuhr.
- Ermittlung mit den Massebilanzen verfahrenstechnischer Prozesse:
E d m m
dm
= � − �
( 6.174)
dt
m gespeicherte Masse
m� d , m� E Auslaufmassestrom (discharge), Einlaufmassestrom (Aufgabe)
∫
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∫
∫
= m�
dt − m�
dt . ( 6.175)
dm E
d
→ Für den Stillstand des Einlaufes, m� E = 0 , ergibt sich die notwendige
Speichermasse)
m = m�
⋅ ∆t
. ( 6.176)
Füll,
1
∆tE,max
d
E,
max
maximales Zeitintervall des Stillstandes des Einlaufstromes,
d.h. der Austrag muss nachgeschaltete Prozesse versorgen
→ Für den Stillstand des Auslaufes, m� d = 0 , muss der Speicher noch
aufnahmebereit sein, d.h.
m = m�
⋅ ∆t
. ( 6.177)
Füll,
2
∆td,max
E
d,
max
maximales Stillstandszeitintervall des Austrages
→ Es muss der ungünstigste beider Fälle, d.h. die maximal notwendige Füllmenge,
ermittelt werden:
m = k ⋅ m�
⋅ ∆t
. ( 6.178)
Füll
V
max
mFüll gesamte notwendige Füllmenge
kv = 1,2...1,3 sog. Vorratskoeffizient zur Sicherheit
6.3.2.2 Auslegung eines Massenflusstrichters
415

416
- fließgerechte Auslegung der Apparatehauptabmessungen des Trichters für
Massenfluss zur Vermeidung von Schacht- und Brückenbildung Folie 6.41,
- Neigungswinkel Θmax, (Folie 6.42, Folie 6.43)
- entscheidend für das gewünschte Massenflussprofil ist die fließgerecht gestal-
tete Trichterform, (Folie 6.44, Folie 6.45)
daher nur Spannungen in Auslaufnähe betrachtet, siehe Folie 6.46.
� unabhängig von den Bedingungen des Schüttgutfüllniveaus
� aber typische Abhängigkeit der wesentlichen Fließkennwerte der Schüttgü-
ter von der Verfestigungsspannung σ1, siehe Folie 6.47
� Es wird ein radiales Spannungsfeld als einfacher Modellansatz angenom-
men:
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• Polarkoordinaten r und θ
• in der Trichterspitze r = 0 sind alle Spannungen σr = 0
� Kräftegleichgewicht am Schlitzauslauf:
Σ F ↓ = 0 = dFG - dFV dFT = dFF = 0 vernachlässigt
Mit der wirksamen Hauptspannung an der Trichterwand σ1‘ oder Auflager-
spannung ist:
ρ ⋅g⋅b⋅
l⋅
dh
b
' ρb
⋅g⋅b
σ1
=
sin2δ
B
oder Kreisöffnung:
π 2
ρb
⋅g⋅
⋅ b ⋅ dh
4
' ρb
⋅g⋅b
σ1=
2⋅
sin 2δ
'
= σ ⋅2
⋅ l⋅
dh
B
1
'
= σ
1
⋅π
⋅
oder zusammengefasst:
B
⋅ sinδ⋅cosδ
b⋅
dh
B
⋅ sinδ⋅cosδ
( 6.179)
( 6.180)
' ρb
⋅g⋅b
σ1
=
. ( 6.181)
( 1+
m)
⋅ sin2δ
m = 0 keilförmiger Trichter
m = 1 konischer Trichter
→ vergleiche auch in der Folie 6.18 die Differentialgleichungen des ebenen
und axialsymmetrischen Spannungsfeldes
b oder D = 2⋅r⋅sinθ eingesetzt in Gl.( 6.181) (in der Trichterspitze sei voraus-
setzungsgemäß σ1 = σ ' 1 = 0, d.h., Hauptspannung und wirksame Hauptspan-
nung an der Wand sind gleich)
⇒ wegen des linearen Verlaufes des radialen Spannungsfeldes gilt dann (δ = θ
+ ϕw)

σ1
r ⋅ g ⋅ ρb
⋅1
+ sin ϕe
) ⋅ s(
θ*)
⋅ ( m + 1)
⋅ sin 2δ
= ff =
( 6.182)
'
σ
2 ⋅ r ⋅ g ⋅ ρ ⋅ sin θ
1
bzw.
ff
=
( 1
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+
b
( 1+
sin ϕw
)
m)
⋅ sin 2(
θ + ϕw
) ⋅ s(
θ*)
⋅
( 6.183)
2 ⋅ sin θ
in dimensionsloser Darstellung von JENIKE gelöst; dabei ist die Funktion
s(θ*) = f(θ, ϕw, ϕe), dafür
� Aufstellung von 2 gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen erster
Ordnung und deren Lösung notwendig,
� Lösungsgrenzen, d.h., Randbedingung ob an der Wand Fließen oder nicht
eintritt ergibt die folgenden Massenfluss/Kernflussgrenzen (Folie 6.42, Folie
6.43),
� entsprechend Gl.( 6.183) ist ebenfalls ff = f (θ, ϕw, ϕe) Folie 6.48,
� komplett s. alte Umdrucke der BAF bzw. JENIKE’s Bull. 123 (1964).
Kriterium der Brückenbildung, siehe Folie 6.46:
σc > σ'1 Brückenbildung!
σc < σ'1 keine Brückenbildung!
Aus der Gl.( 6.181) folgt für den kritischen Punkt
σc = σ ' 1
die minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken (Folie 6.41):
b
min
( m + 1)
⋅σckrit⋅sin2(
θ + ϕw
)
= . ( 6.184)
ρ ⋅g
b
Die ausgeführte Öffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbildung muss
b ≥ bmin sein!
Gelingt dies nicht, muss an dieser Stelle die Austraghilfe angesetzt werden!
Als Grundlage einer numerischen Berechnung ist mit der neuen allgemeinen
Fließortgleichung ( 6.151) die charakteristische, physikalische begründete
Materialeigenschaftsfunktion, siehe Folie 6.47, anzusetzen (siehe auch 6.1):
c
2 ⋅ ( sin ϕst
− sin ϕi
)
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( 1−
sin ϕ )
st
i
1
2 ⋅sin
ϕst
⋅ ( 1+
sin ϕi
)
⋅ σ0
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( 1−
sin ϕ )
σ =
⋅ σ +
( 6.185)
und dazu analog für Zeitverfestigungen mit der neuen allgemeinen Gleichung
für Zeitfließorte ( 6.162):
ct
2 ⋅ ( sin ϕst
− sin ϕit
)
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( 1−
sin ϕ )
st
it
1
st
2 ⋅ sin ϕst
⋅ ( 1+
sin ϕit
)
⋅ σ0t
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( 1−
sin ϕ )
σ =
⋅ σ +
. ( 6.186)
Diese linearen Funktionen, wie sie auch durch lineare Regression der Messergebnisse
der Scherversuche gewonnen werden können, sind folgenden Typs:
st
i
it
417

418
σ c = a1⋅ σ1
+ σc,
0
( 6.187)
a1
σc,0
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Anstieg der Eigenschaftsfunktion
Ordinatenabschnitt der Druckfestigkeitsfunktion für σ1 = 0
Mit den beiden Gln.( 6.182) und ( 6.187) lässt sich die kritische Druckfestigkeit
'
σ = a ⋅σ
⋅ff
+ σ
im Schnittpunkt beider Funktionen ermitteln σc = σ1’: c 1 1 c,
0
σc,
0
σ c,
krit =
( 6.188)
− a ⋅ff
1 1
und eingesetzt in Gl.( 6.184) folgt:
b
min
( m + 1)
⋅σ
c,
0⋅sin2(
θ+
ϕw
)
= . ( 6.189)
ρ ⋅g⋅(
1−a
⋅ff
)
b
1
6.3.2.3 Auslegung eines Kernflusstrichters
� Ermittlung der Mindestauslaufweite bmin zur Vermeidung einer stabilen
Schachtbildung! (Folie 6.49)
� da gewöhnlich bmin Schacht > bmin Brücke, hier keine Berücksichtigung der Brü-
ckenbildung notwendig!
� Nichtsdestotrotz in mangelhaft ausgelegten Kernflussbunkern kann natür-
Daher:
lich Brückenbildung auftreten, z. B. → Baustellensilos für Zement.
� Abschätzung des maximalen Verfestigungsdruckes σ1, d.h. des wirksamen
Vertikaldruckes pv ≈ σ1 in einem möglichen Schacht mit Hilfe der Schei-
ben-Element-Methode (Folie 6.50)
� Funktion G(ϕi) als „Sicherheitsbeiwert“ (Folie 6.51)
6.3.2.4 Austraggeräte und Austraghilfen
Anforderungen an Austraggeräte, Förderer und Dosierer:
Schüttgutförderer, sind im Allgemeinen einfache - daher auch oft unterschätzte
- allerdings sehr wesentliche Strukturelemente von Haupt-, Hilfs- und Nebenanlagen
verschiedener Zweige einer stoffwandelnden Industrie oder Stoffwirtschaft.
Ihre auf die Gewährleistung der Qualität des Fördergutes bezogenen
und somit verfahrenstechnischen Hauptaufgaben sind:
• Vermeidung von
∗ Materialflussstörungen,
∗ Betriebsstörungen,
zur Gewährleistung der Funktion und Verfügbarkeit der Gesamtanlage;

• Gewährleistung einer hohen Konstanz der Schüttgutmengenströme und
Qualitätskenngrößen hinsichtlich
∗ Momentangenauigkeit bei Messzeitintervallen ∆t = 1 s für Messzeiten tm
= 1 min,
∗ Kurzzeitgenauigkeit bei Messzeitintervallen ∆t = 1 min für Messzeiten tm
= 1 h,
∗ Langzeitgenauigkeit bei Messzeitintervallen ∆t = 1 min für Messzeiten tm
> 10 d;
• dem entsprechend Vermeidung von Schwankungen der
∗ Feststofffüllvolumenanteile oder -beladungen,
∗ Partikelgrößenverteilungen und Dichten,
∗ chemisch-mineralogischen oder biologischen Zusammensetzungen,
∗ Vermeidung von Stoffumwandlungen während des Förderns,
∗ Vermeidung von Staubbildung, Stör- oder Schadstoffemissionen,
∗ Vermeidung von Anbackungen oder Bildung von Agglomeraten,
∗ Vermeidung von Verunreinigungen durch Abrieb oder Verschleiß,
zwecks Gewährleistung der Fördergutqualitäten;
• Ausreichende Flexibilität beim Verwenden verschiedener Produkte und
Mengenströme.
Leider werden Schüttgutförderer ihrer eigentlichen Aufgabenstellung oftmals
nicht gerecht und bringen darüber hinaus noch zusätzliche funktionelle Probleme
durch Fließstörungen infolge Anbackungen, schwankende Mengenströme,
Entmischungen, breite Verweilzeitverteilungen verbunden mit der Gefahr von
Zeitverfestigungen, Stoffumwandlungen, Explosionsgefahr, Verderbgefahr,
mangelhafte Mengenstrom- bzw. Qualitätskontrolle sowie Havariegefahr durch
Überlastungen der Bauwerke und Fördertechnik und letztlich mangelhafte Verfügbarkeit
des Verfahrens bzw. der gesamten Anlage.
� Austraggeräte für Massenfluss (Folie 6.52, Folie 6.53)
� Druck auf Austraggeräte (Folie 6.54)
6.4 Verweilzeitverhalten bei stationärem Partikeltransport
6.4.1 Verweilzeitverteilungsfunktion und –verteilungsdichte
In der Verfahrenstechnik strebt man kontinuierliche Prozesse an - Fließprozessketten,
z.B. bestehend aus: Rohstofflagerung, Dosieren, Fördern, Vorklassieren,
Zerkleinern, Nachklassieren, Zwischenlagern, Dosieren, Fördern, Sortieren,
Lösen, Sedimentieren, Filtrieren, Trocknen, Produktlagerung. Deshalb
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10.10.2012
419

420
werden kontinuierlich arbeitende Apparate und Maschinen bevorzugt (Durch-
flussapparate und -maschinen).
Dann unterscheidet sich im Allgemeinen die Aufenthaltszeit der einzelnen Par-
tikelvolumenelemente im Prozessraum. Was ist die Folge?
Im Allgemeinen genügt es für die Prozessführung nicht, nur die mittlere Ver-
weilzeit zu kennen, während der sich die Partikeln im Prozessraum aufhalten:
dm
dt
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1
m
= m�
→ ∫ dm = ∫ dt → τm
= . ( 6.190)
m�
m�
Die Verweilzeitverteilungsfunktion F(τ) liefert eine Aussage darüber, wel-
cher Anteil der zu einem Zeitpunkt τ = 0 in den Prozessraum eingetretenen
Partikelmasseelemente nach der Zeit τ wieder ausgetreten ist - auf den Index r
= 3, d.h. Mengenart Masse, kann hier deshalb verzichtet werden, da ohnehin
masse- oder volumenbezogene Partikelkonzentrationen verwendet werden. Die
Verweilzeitverteilungsdichte f(τ) - auch Verweilzeitspektrum genannt - ist
nach
dF(
τ)
f ( τ)
= F�
( τ)
=
( 6.191)
dτ
mit der Verweilzeitverteilungsfunktion verknüpft. Sie vermittelt folglich eine
Aussage über die Verteilung der austretenden Partikelvolumenelemente auf
die verschiedenen Verweilzeiten.
Bei einem diskontinuierlichen Prozess sind alle Partikelvolumenelemente die
gleiche Zeit τR den Wirkungen des Prozesses unterworfen. Die Verweilzeitverteilungsfunktion
F(τ) entspricht folglich der gewählten Verweildauer t = τR
im Prozessraum (Θ-Funktion, Folie 6.55.1):
⎩ ⎨⎧
0 für τ<
τR
F ( τ)
= Θ(
τ)
=
( 6.192)
1 für τ≥τ
R
und die Verweilzeitverteilungsdichte f(τ) der Dirac-schen δ-Funktion (δ - Impuls):
⎧0
für τ≠τ
R
f ( τ)
= F�
( τ)
= δ(
τ)
= ⎨ . ( 6.193)
⎩∞
für τ=
τR
Bei kontinuierlichen Prozessen wird die Verweilzeit der
Partikelvolumenelemente meist unterschiedlich sein. Dabei kann sich weiterhin
die Verweilzeitverteilung des dispersen (körnigen) Stoffes von der kontinuierlichen
Phase (Dispersionsmittel Fluid) unterscheiden. Man kann weiterhin sagen,
dass sich vielfach sogar das Verweilzeitverhalten der einzelnen
Partikelgrößenklassen unterscheiden wird.
Will man nun die Verweilzeitverteilung ermitteln, so geht man wie folgt vor:

Zunächst ist es erforderlich, eine Probe des zu verarbeitenden Stoffes so zu
markieren (z.B. farblich), dass sich Anteile dieser Probe im gesamten Mengenstrom
mit genügender Genauigkeit erfassen lassen. Dann setzt man diese Probe
stoßartig dem Aufgabemengenstrom zu, ohne diesen wesentlich zu stören, und
verfolgt den Austritt der markierten Probe aus dem Prozessraum als Funktion
*
der Zeit. Bezeichnet man mit m� A = m�
0 den bei τ = 0 zugesetzten Indikator-
*
mengenstrom (Aufgabe) und mit m�
d = m�
( τ)
die nach der Zeit τ insgesamt aus
*
dem Prozessraum austretenden Teilmengenstrom (Austrag) von m� 0 , so erhält
man die Verweilzeitverteilungsfunktion nach:
*
*
m�
( τ)
m ( τ)
F(
τ)
= = . ( 6.194)
m�
m
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*
0
*
0
Für die Verweilzeitverteilungsdichte folgt:
dF(
τ)
1 dm *
( τ)
= = . ( 6.195)
dτ
m dτ
f *
0
Da man die Messung im Austragsmengenstrom meist diskretisiert nach den
Zeiten τi (i = 1, 2, 3 ...) vornehmen wird, so folgt aus der letzten Gleichung (
6.195):
f ( τ
i−1
F(
τi
) −F(
τ
... τi
) =
τ −τ
i
i−1
i−1
*
mτ
m i − *
) m0
m
=
τ −τ
i
*
τi−1
*
0
i−1
1
=
m
*
0
∆m
∆τ
*
i
i
. ( 6.196)
Mit den zuletzt errechneten Werten erhält man für die Verweilzeitverteilungsdichte
zunächst ein Histogramm, das sich durch Flächenausgleich in eine stetige
Kurve überführen lässt.
Einerseits liefert das erste vollständige Anfangsmoment der Verweilzeitverteilungsfunktion
(siehe auch Gl.(1.27) im Abschnitt 1.2.2.2 (MVT_e_1neu.doc#mittlere_Partikelgröße)
die Schätzung des Erwartungswertes und damit
die mittlere Verweilzeit τm
∞
∫
0
1
M = τ = τ ⋅ f ( τ)
dτ
( 6.197)
1,
3
m
mit der Gl. ( 6.195)
*
∞
dm�
1
m�
*
0
τm = ∫ τ ⋅ ⋅ dτ
= dm�
*
* ∫ τ ⋅
dτ
m�
0
0 0
( 6.198)
und wiederum für die numerische Auswertung diskretisiert ergibt sich:
τ
m
1
≈
m�
*
0
⋅
N
∑
i=
1
τ
m,
i
⋅
N
* * 1
( m�
i − m�
i−1
) = ⋅∑
τm,
i ⋅ ( cs,
i − cs,
i−1
)
c
s,
0
i=
1
. ( 6.199)
τm,i Mittelwerte der Verweilzeitklassen i = 1, 2, 3 ... N
421

422
c
*
= m�
/ V gemessene Partikelkonzentration der Verweilzeitklasse i
s,
i
i
Andererseits gilt aber auch unter Beachtung, dass das dV� τ das Füllvolumen
VFüll bzw. ∫ dm� τ die Füllmasse mFüll darstellt:
mFüll VFüll
τ m = = . ( 6.200)
m�
V�
Von Bedeutung ist weiterhin das zweite zentrale Moment. Es bezieht sich auf
die Abweichungen von der mittleren Verweilzeit und stellt die Varianz der
Verweilzeitverteilung dar:
τm
s
2
2 1
2
M 2,
3=
σ ( τ)
= ∫ ( τ−τ
m ) ⋅ f ( τ)
dτ
= ⋅ ∫ ( τ−τ
m ) dcs
. ( 6.201)
c
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∞
0
Wiederum für die numerische Auswertung diskretisiert, ergibt sich:
s,
0
c
cs
, 0
2 1
σ ( τ ) ≈ ⋅
�
τ
�
N
N
2 * * 1
2
∑ ( τ m,
i −τ
m ) ⋅ ( m�
i − mi−1
) = ⋅∑
( τ m,
i − m ) ⋅ ( cs,
i − cs,
i−1
)
*
m0 i=
1
cs,
0 i=
1
∫
( 6.202)
6.4.2 Charakteristische Prozessmodelle des Verweilzeitverhaltens
Bei der Kennzeichnung des Verweilzeitverhaltens kontinuierlicher Prozesse
lassen sich typische Idealmodelle abgrenzen (Folie 6.55.2) und zwar
- das ideale Strömungsrohr (Pfropfenströmung Folie 6.55.2a),
- der ideale Durchlaufmischer (Folie 6.55.2b) und
- die ideale Mischerkaskade, Reihenschaltung ideal. Mischer
(Folie 6.55.2c).
Das ideale Strömungsrohr entspricht hinsichtlich des Charakters der
Verweiltzeitverteilung einem diskontinuierlichen Prozess.
Beim idealen Durchlaufmischer erfasst die Mischwirkung das gesamte Volumen,
und sie ist so intensiv, dass jedes neu eintretende Partikelvolumenelement
sofort gleichmäßig über das Gesamtvolumen des Prozessraumes verteilt wird
und somit die stoffliche Zusammensetzung des Austragsmengenstromes der
momentanen Füllung des Prozessraumes entspricht.
Zur Ableitung der Verweilzeitverteilung für den idealen Durchlaufmischer
verhelfen folgende Überlegungen. Während eines differentiellen Zeitelementes
dτ verlässt das Partikelvolumenelement Vdτ � den Prozessraum, und somit beträgt
die äquivalente Änderung der gespeicherten und markierten Probemenge
dmp* im Prozessraum mit deren Massenanteil µP* in Form einer Komponentenbilanz
geschrieben:

dm
*
p
dτ
dm
m
*
p
*
p
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= −m�
A,
p
= −m�
A
*
mp
( τ)
⋅ = −m�
m
Füll
A
⋅ µ
*
p
bzw.
m�
A 1
= − ⋅ dτ
= − ⋅ dτ
. ( 6.203)
m τ
Füll
m
mp* zur Zeit τ noch im Prozessraum vorhandene markierte Probemenge
Die Integration in den Grenzen von τ = 0 und mP * = m 0 * bis τ liefert dann die
nach τ noch im Prozessraum verbliebene Restmenge bzw. -konzentration an
markierter Probe:
*
* ⎡ τ ⎤
m p(
τ)
= m0
exp⎢−
⎥ . ( 6.204)
⎣ τm
⎦
Die Verweilzeitverteilungsfunktion F(τ) (Folie 6.56.5) macht demgegenüber
eine Aussage über den nach der Zeit τ bereits aus dem Prozessraum ausgetra-
genen Anteil der markierten Probe, also:
*
*
m ( τ)
mp
⎡ τ ⎤
F ( τ)
= = 1−
= 1−exp⎢−
*
*
⎥ bzw. ( 6.205)
m0
m0
⎣ τm
⎦
1 ⎡ τ ⎤
f ( τ)
= exp⎢−
⎥ . ( 6.206)
τm
⎣ τm
⎦
τ ⋅f
( τ)
bezeichnet man als normierte Verweilzeitverteilungsdichte. Sie ist für
m
den idealen Durchlaufmischer in Folie 6.56.4 mit dargestellt (n = 1).
Dem ungünstigen Verweilzeitspektrum eines idealen Durchlaufmischers - sog.
Kurzschlussströmung, da meist eine bestimmte Verweildauer gefordert wird -
kann man durch Hintereinanderschalten mehrerer Durchlaufmischer zu einer
Kaskade idealer Mischer begegnen (Folie 6.55.2). Für deren Verweilzeitver-
teilungsfunktion ergibt sich:
n 1 ⎛
F(
τ)
= 1−
∑ ⋅⎜
⎜
i = 1 ( i −1)!
⎝
τ
τ
m
, n
⎞
⎟
⎠
i−1
⎡ τ
⋅exp⎢−
⎢⎣
τm
i = 1, 2, 3, ... n Stufenzahl
Vn V τm
τm,
n = = = mittlere Verweilzeit in einer Stufe
V�
n ⋅ V�
n
und die normierte Verweilzeitverteilungsdichte
τ
m
n−1
, n
⎤
⎥ ⎥ ⎦
( 6.207)
n ⎛ ⎞ ⎡ ⎤
⎜
τ
τ
⋅f
( τ)
= ⋅ ⎟
⎜ ⎟
⋅ exp⎢−
⎥ . ( 6.208)
( n −1)!
⎝ τm,
n ⎠ ⎢⎣
τm,
n ⎥⎦
In Folie 6.56.4 sind die normierten Verweilzeitverteilungsdichten von
Mischerkaskaden als Funktion der dimensionslosen Verweilzeit τ/τm mit ver-
schiedener Stufenzahl n dargestellt, wobei vorausgesetzt wurde, dass der Ge-
423

424
samtinhalt der Kaskade und damit ihre mittlere Gesamtverweilzeit τm = n⋅τm,n
konstant bleibt. Man erkennt deutlich, dass sich mit wachsender Stufenzahl die
Verweilzeitspektren immer mehr an die mittlere Verweilzeit anschmiegen.
Eine Mischerkaskade mit n → ∞ ist dem idealen Strömungsrohr gleichwertig.
Muss man für einen Prozess eine genügend enge Verweilzeitverteilung reali-
sieren, so ist bei gleich bleibendem Gesamtprozessraumvolumen eine ausreichende
Stufenzahl vorzusehen, z.B. für:
* mechanische und thermische Stofftrennprozesse,
* chemische Reaktionen.
Sowohl der ideale Durchlaufmischer als auch die reine Pfropfenströmung sind
in der Praxis kaum verwirklicht. Vielfach überlagern sich beide. In diesem Sinne
lässt sich das Strömungsrohr mit axialer Vermischung (Rückvermischung
durch Turbulenz) abgrenzen (Folie 6.56.6), das für eine Reihe von mechanischen
Prozessen typisch ist (z.B. Mahlen in Trommelmühlen).
In diesem Zusammenhang ist eine dimensionslose Kenngröße von Bedeutung,
die das Verhältnis aus gerichtetem konvektiven Partikeltransport v⋅L (L -
Länge des Prozessraumes, v - Partikelgeschwindigkeit) zum zufälligen
diffusiven Partikeltransport DP (= axialer Diffusionskoeffizient, z.B. Dt im
Falle der Turbulenz) charakterisiert und BODENSTEIN-Zahl Bo genannt
wird:
v ⋅ L
Bo = . ( 6.209)
D
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P
Sie kennzeichnet den Mischungszustand eines strömenden Partikelkollektives;
und zwar gilt
• Bo → 0: D → ∞ großer Diffusionskoeffizient, ideale Mischung,
• Bo → ∞: D → 0 ideale Verdrängung (Pfropfenströmung).
Deshalb kann man auch die Frage aufwerfen, ob sich ein gegebener kontinuierlicher
Prozess nicht angenähert mit einer Mischerkaskade von n Stufen vergleichen
lässt. Dadurch gelangt man zur äquivalenten Rührstufenzahl näq:
n
äq
2 ( 1+
Bo + 1)
1
= ⋅
. ( 6.210)
2
• näq =1: Bo → 0, D → ∞, ideale Mischung,
• näq → ∞: Bo → ∞, D → 0, ideale Pfropfenströmung.
Praktisch lässt sich die BODENSTEIN-Zahl über ein Modell des diffusionsgesteuerten
axialen Partikeltransportes in einem Apparat gewinnen:
Dem konvektiven axialen Partikeltransport durch den Prozessraum ist eine diffusionsgesteuerte
axiale Partikelvermischung überlagert. Konzentrations- und
Geschwindigkeitsunterschiede quer oder radial dazu werden vernachlässigt.

6.4.3 Lösung der zweiten KOLMOGOROFF-Differentialgleichung
Einerseits lässt sich dieses vereinfachte eindimensionale
Partikeldispersionsmodell aus dem allgemeinen Modell mechanischer Prozesse
Gl.(2.82) im Abschnitt 2.4 MVT_e_2.doc gewinnen. Andererseits kann man es
auch aus einer integralen Modellgleichung für den Transport oder die „Verschiebung“
molekularer Fluidteilchen ableiten - FOKKER-PLANCK-
Gleichung der statistischen Physik – (siehe Abschnitt 4.3.1
MVT_e_4neu.doc#Fokker_planck, Gl. (4.153)):
2
3
∂q(
x,
t)
u ( x)
∂q(
x,
t)
u 2(
x)
∂ q(
x,
t)
1 ∂
= − ⋅ + ⋅ − ⋅
2
∂t
1!
∂x
2!
∂x
3!
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[ q(
x,
t)
⋅ u ( x)
]
1 3 +
3
∂x
...
( 6.211)
Dabei wird vorausgesetzt, dass sich der dem Fluidteilchentransport zugrunde
liegende physikalische Grundvorgang bei jedem Schritt δx nicht ändert und nur
vom Zustand des Stoffsystems zum Zeitpunkt t abhängt. Ein derartiger stochastischer
Prozess wird in der statistischen Physik stetiger MARKOFF-Prozess
genannt. Höhere Ordnungen werden gewöhnlich u n>
2(
x)
≈0
gesetzt und man
erhält die sog. zweite KOLMOGOROFF-Differentialgleichung für die
Wahrscheinlichkeit q( x,
t)
⋅ dx dafür
∂q(
x,
t)
∂
= −
∂t
2
[ u ( x)
⋅ q(
x,
t)
] 1 ∂ [ D(
x)
⋅ q(
x,
t)
]
1
∂x
+ ⋅
2
∂x
2
, ( 6.212)
dass sich das betrachtete Fluidteilchen zum Zeitpunkt t im Intervall x bis x + dx
befindet ( D( x)
≡ 2 ⋅ D * ). Mit der Partikelkonzentration c(x, t) und der
Partikelgeschwindigkeitsverteilung v(x, t) lautet Gl.( 6.212) nunmehr in
normierter Schreibweise:
∂C(
X,
θ)
∂C(
X,
θ)
= − +
∂θ ∂X
0
1
Bo
ax
2
∂ C(
X,
θ)
⋅ . ( 6.213)
2
∂X
C ( X,
θ ) = c(
x,
t)
/ c normierte Partikelkonzentration ( 6.214)
X = x / L
normierte Apparateaxialkoordinate ( 6.215)
θ = τ / τm
normierte Verweilzeit ( 6.216)
Boax = v ⋅ L / Dax
axiale BODENSTEIN-Zahl ( 6.217)
v = L / τ
mittlere Partikeltransportgeschwindigkeit ( 6.218)
m
Dax axialer Partikeldispersionskoeffizient
Diese Differentialgleichung lässt sich mit den Randbedingungen
1) an der Partikelaufgabe bei x < 0 findet keine „Rückdiffusion“ aus dem
Bilanzraum 0 ≤ x ≤ L heraus statt, d.h. für x = 0 und t > 0 ist:
425

426
∂C(
0,
θ)
∂C(
0,
θ)
= 0=
− +
∂θ
∂X
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1
Bo
ax
2
∂ C(
0,
θ)
⋅ , ( 6.219)
2
∂X
2) am Partikelaustrag bei x = L findet keine „Rückdiffusion“ in den Bilanz-
raum 0 ≤ x ≤ L hinein statt:
2
∂ C(
L,
θ)
0 = , ( 6.220)
2
∂X
analytisch durch die Berechnung des axialen Dispersionskoeffizienten Dax
(Partikeltransportkoeffizient) mit Hilfe des zweiten zentralen Momentes einer
gemessenen Verweilzeitverteilung gemäß Gl.( 6.201) berechnen
⎪⎧
⎡
⎤⎪⎫
2 2 ⋅ D
⎛ ⎞
ax Dax
v ⋅ L
σ ( τ,
L)
= ⋅ ⎨L
− ⋅ ⎢1−exp
⎜
⎜−
⎟
3
⎥⎬
( 6.221)
v ⎪⎩
v ⎣ ⎝ Dax
⎠⎦⎪⎭
oder mit der BODENSTEIN-Zahlen Boax = v ⋅ L / Dax
und der mittleren Strö-
v = L / τ nach Gl.( 6.218)
mungsgeschwindigkeit m
[ ( ) ] ⎬
⎭ ⎫
2
2 ⋅ τ ⎧ m 1
( τ,
L)
= ⋅ ⎨1
− ⋅ 1−
exp − Bo . ( 6.222)
Boax
⎩ Boax
2
σ ax
2
Dax gewinnt man iterativ mit Hilfe der numerisch berechneten Varianz σ ( τ,
L)
gemäß Gl.( 6.202) zweckmäßig durch quadratische Auflösung:
⎪⎧ 2 2
v ⋅ L
2 ⋅ v ⋅ σ ( τ,
L)
⎪⎫
D ax = ⋅ ⎨1
− 1−
⋅ [ 1−
exp(
−Boax
) ] 2
⎬ .
2 ⋅ [ 1−
exp(
−Boax
) ] ⎪⎩
L
⎪⎭
Für große 3
Boax > ist der Term 1 exp(
− Boax
) = 0,
95 ≈ 1
( 6.223)
− vernachlässigbar
und es folgt vereinfachend:
v ⋅ L ⎪⎧
D ax ≈ ⋅ ⎨1
−
2 ⎪⎩
2
⎪⎫
2
2 ⋅ v 2 L
1−
⋅ σ ( τ,
L)
⎬ =
2
L ⎪⎭
2 ⋅ τm
⎪⎧
⋅ ⎨1
−
⎪⎩
2
σ ( τ,
L)
⎪⎫
1−
2 ⋅ 2 ⎬ .
τm
⎪⎭
( 6.224)
Der letzte Term unter der Wurzel stellt eine auf den geschätzten Erwartungs-
wert bezogene Varianz σ 2 (τ, L) oder Standardabweichung σ(τ, L) dar. Dies
lässt sich somit auch als eine dimensionslose statistische Kennzahl - sog. Va-
riationskoeffizient der Verweilzeitverteilung vvk - aufschreiben:
v
vk
σ(
τ,
L)
( τ , L)
= . ( 6.225)
τ
m
Daraus gewinnt man nun die Beziehungen der dimensionslosen Kennzahlen
und zwar aus der Gl.( 6.222)
[ ( ) ] ⎬
⎭ ⎫
2 2 ⎧ 1
v vk ( τ, L)
= ⋅ ⎨1
− ⋅ 1−
exp −Boax
( 6.226)
Boax
⎩ Boax

und angenähert für die BODENSTEIN-Zahl
Bo
ax
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2
≈ . ( 6.227)
2
1−
1−
2 ⋅ v ( τ,
L)
vk
Betrachtet man darüber hinaus in Gl.( 6.226) vereinfachend nur den ersten
Term vor der geschweiften Klammer, erhält man den unmittelbare Zusammenhang
zwischen der BODENSTEIN-Zahl und dem Variationskoeffizienten der
Verweilzeitverteilung:
2
= . ( 6.228)
v ( τ,
L)
Boax 2
vk
Der axiale Partikeldispersionskoeffizient Dax ist folglich:
D
ax
2
3 2
2 2
σ ( τ,
L)
⋅ v σ ( τ,
L)
⋅ L vvk
( τ,
L)
≈ =
= ⋅ ( v ⋅ L)
3
. ( 6.229)
2 ⋅ L 2 ⋅ τ 2
m
Mit Hilfe der Gln.( 6.228) und (6.92) wird auch der in der statistischen Analogiebetrachtung
der turbulenten Diffusion im Abschnitt 4.2.2.1 MVT_e_4neu-
.doc#Diffusionskoeffizient_turb benutzte Zusammenhänge zwischen dem turbulenten
Diffusionskoeffizienten Dt, einer mittleren Partikelgeschwindigkeit
und charakteristischen Fluidgeschwindigkeit 0 u v ≈ sowie einer für den Partikeltransport
längs des Weges L wesentlichen Apparateabmessung 0 D L ≈
deutlich:
D ≈ D ∝ v ⋅ L ≈ u ⋅ D . ( 6.230)
t
ax
0
0
Neben der idealen Mischung und Verdrängung können zusätzliche Beeinflussungen
des Verweilzeitverhaltens durch
- Toträume (d.h. Bereiche, die sich der Mischwirkung entziehen ⇒lange
Verweildauer, sehr flaches F(τ)),
- Kurzschlüsse zwischen Aufgabe- und Austragöffnung ⇒ sehr kurze Verweildauer
("Schnelldurchläufer", großer Anstieg von F(τ)) sowie
- Rückvermischen
bei mehrstufigen Anordnungen eintreten. Diese Einflüsse wirken sich auch in
charakteristischer Weise auf die Kurvenverläufe aus und lassen sich angenähert
durch Korrekturglieder erfassen. So kann man für die Verweilzeitverteilungsfunktion
F(τ) einer Rührstufe setzen:
⎡ ( τ−τ
⎤ ε )
F ( τ)
= 1−
exp⎢−
η ⋅ ⎥ mit F(τ) ≥ 0. ( 6.231)
⎣ τm
⎦
Der Parameter η macht folglich eine Aussage über die Vollkommenheit, d.h.
den Wirkungsgrad der Mischung. Bei vollständiger Mischung ist η = 1; mit
427

428
positiven oder negativen Abweichungen. Der Parameter τε ist ein Maß für die
Phasenverschiebungen im System (Tabelle 6.8)
* τε/τm > 0 Pfropfenströmung;
* τε/τm < 0 Kurzschluss.
Problematisch ist jedoch die praktische Handhabbarkeit dieses Models.
η τε/τm
Vollständige Vermischung 1 0
Pfropfenströmung > 1 > 0
Totraum vorhanden > 1 0
Kurzschluss vorhanden < 1 < 0
Beispiele:
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Tabelle 6.8: Physikalische Bedeutung von η und τε
- Massenflussbunker (Folie 6.35)
* Pfropfenströmung dicht gepackten Schüttgutes
- Kernflussbunker (Folie 6.35) und Probleme damit (Folie 6.34)
* Totzonen an den Wänden
Zeitverfestigung von empfindlichen Materialien ⇒ Tendenz zu Festkörperbrückenbindungen
(Folie 6.36)
* Kurzschlüsse im fließenden Kern (Folie 6.36)
mangelhafte Entgasung pneumatisch geförderter Güter
6.5 Schwerpunkte und Kompetenzen
Anhand dieser Schwerpunkte können Sie Ihr Wissen und Ihre verfahrenstechnischen
Kompetenzen überprüfen:
• Mikromechanische Grundlagen der Partikelhaftung und Makromechanik
des Fließens kohäsiver Pulver:
Haftkräfte zwischen feinen Partikeln, Fliessorte und Fließkennwerte
kohäsiver Schüttgüter anhand eines τ=f(σ)-Diagramms,
• Produktbewertung:
Fließfähigkeit und Kompressibilität kohäsiver Pulver, Wirkprinzipien
der Schergeräte, Methodik eines Scherversuches;
• Prozessauslegung:
Verfahrenstechnische Probleme, Vor- und Nachteile der Kern- und
Massenflussbunker, Methodik der fließgerechten Auslegung eines Massenflussbunkers
(Verfestigungsfunktionen und Auslegungsdiagramme);