Formeln und Tabellen Maschinenbau - REDITECH Automation GmbH

1.8 Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
imaginäre Einheit i und
Definition
rein imaginäre Zahl
komplexe Zahl z
a Realteil
b Imaginärteil
goniometrische
Darstellung der
komplexen Zahl
Darstellungsbeispiel
Addition und Subtraktion
Multiplikation
z 1, z 2 sind konjugiert
komplex
z 1, z 2
in goniometrischer
Darstellung
z 1, z 2
in Exponentialform
Division
i = �1
i 2 = – 1
also auch: i 3 = – i; i 4 = 1; i 5 = i usw.
bzw. i –1 = 1/i = – i; i –2 = –1
i –3 = i; i –4 = 1; i –5 = – i usw.
allgemein: i 4 n + m = i m
Mathematik
Komplexe Zahlen
ist darstellbar als Produkt einer reellen Zahl mit der imaginären Einheit
z.B.: − 4 == 4 − 1= 2i
ist die Summe aus einer reellen Zahl a und einer imaginären
Zahl b i (a, b reell):
z = a−bi⎫konjugiert komplexes
z = a + b i
⎬
z = a+ bi⎭Zahlenpaar
z = a + b i = r (cos � + i sin �) = r e i�
r = a2+ b2 = | z | absoluter Betrag
oder Modul
tan � = ;
b
� Argument
a
a = r cos �; b = r sin �
z = 3 + 4 i = 5( cos 53° 8' + i sin 53° 8')
= 5(0,6 + 0,8 i)
z1+ z2 = ( a1+ b1i) + ( a2+ b2i) = ( a1+ a2) + ( b1+ b2)i
z − z = ( a + b i) − ( a + b i) = ( a − a ) + ( b −b
)i
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
Beispiel: (3 + 4 i) – (5 – 2 i) = – 2 + 6 i
z ⋅ z = ( a + b i) ⋅ ( a + b i) = ( aa − bb ) + i( ba + ba )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
(3 + 4i) ⋅(5− 2i) = 23 + 14 i
1⋅ 2 = ( 1+ 1i) ⋅( 1− 1⋅
i) = 2+ 2 =
= (3 + 4i) ⋅(3 − 4i) = 25
z z a b a b a b
z1 · z2 = r1(cosϕ1+ isin ϕ1) ⋅ r2(cosϕ2+
isin ϕ2)
=
r r [cos( ϕ + ϕ ) + isin( ϕ + ϕ )]
= 1 2 1 2 1 2
o o o o
5(cos30 + isin30 ) ⋅ 13(cos60 + isin60 ) =
= 65(cos 90° + i sin 90°) = 65 i
iϕ z1 · z2 = 1 iϕ2 i( ϕ1+ ϕ2)
r1e ⋅ r2e = r1r2e =
o o o
= 3ei25⋅ 5ei30 = 15ei55
z a b a b a b
z a b a b a b
1
=
2
1+ 2+ 1i ( 1+ =
2i ( 2+ 1i)( 2− 2i)( 2 −
2i)
=
2i)
= 1 2 1 2 2 1 1 2
aa + bb a b −ab
+ i
2 2 2 2
a2 + b2 a2 + b2
(3 + 4i) (3 + 4i)(5 + 2i) 7 26
= = + i
(5 −2i) (5 − 2i)(5 +
2i) 29 29
7
1