Formeln und Tabellen Maschinenbau - REDITECH Automation GmbH

Mathematik
Wurzel-, Exponential-, Logarithmische und Goniometrische Gleichungen in Beispielen
Beispiel
2
2
70 ⎛70⎞ 13
25x − 70x+ 13 = 0⎫
x1,2
=+ ± −
⎪
⎜ ⎟
50 ⎝50⎠ 25
2 70 13 ⎬
x − x+
= 0⎪ 25 25 ⎭ 7 49 13 13 1
x1=+ + − = ; x2
=
5 25 25 5 5
Kontrolle der Lösungen (Viéta)
x1 � x2 = – p Im Beispiel ist p = 70
− und q =
25
13
, also
25
13 1 14 70
x1+ x2 = + = = =−p
5 5 5 25
x1 · x2 = q
13 1 13
x1⋅ x2 = ⋅ = = q
5 5 25
1.10 Wurzel-, Exponential-, Logarithmische und Goniometrische Gleichungen in
Beispielen
Wurzelgleichungen: Logarithmische Gleichungen:
a) 11− x + 3 = 6
a) log7 (x
x + 3 = 11−6 x � 3 = 25 x = 22
2 � 19) = 3
x2 � 19 = 73 b) log3 (x � 4) = x
x � 4 = 3
x1,2 = � 18
x
b) 2x− 3+ x + 5= 0
3 + x =2 x � 5
3 � x = 4 x2 � 20 x � 25
2 19 11
x + x+
4 2
= 0
x1 = – 2 x2 = 11
−
4
Nur x1 ist Lösung der gegebenen Gleichung.
Goniometrische Gleichungen:
a) sin x = sin 75°
x = arc 75° � 2 n � und
x = arc (180° � 75°) � 2 n � mit
n = 0 � 1; � 2; � 3; ... oder
x = arc (90° � 15°) � 2 n �, also
π π
x = ± +2nπ 2 12
b) sin2 x � 2 cos x = 1,5
Man setzt sin2 x = 1 – cos2 x und erhält
eine quadratische Gleichung für cos x:
1 – cos2 x � 2 cos x = 1,5
cos x 1,2 = 1± 1−0,5 cos x 1 =
1 + scheidet aus, da | cos x | � 1
2
1 2
1
cos x2 = 1− 2 ≈0,293
2
x2� 73,0° � 1,274 rad ist Hauptwert
Die Gleichung ist nicht geschlossen lösbar.
Näherungslösung durch systematisches Probieren,
z. B. mit Hilfe des programmierbaren Taschenrechners.
x � 1,561919
Exponentialgleichungen:
lg5
2x = 5; x = log25= log105 : log102= lg2
lg5 0,699
x = = = 2,32
lg2 0,301
c) sin x + cos x – 0,9 x = 0
Diese transzendente Gleichung ist nicht geschlossen
lösbar. Näherungslösung durch Probieren
(Interpolieren in der Nähe der Lösung), z. B. mit
dem programmierbaren Taschenrechner.
x = 76°39' = 1,3377 rad ist näherungsweise die
einzige reelle Lösung.
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