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Formeln und Tabellen Maschinenbau - REDITECH Automation GmbH

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Mathematik<br />

Wurzel-, Exponential-, Logarithmische <strong>und</strong> Goniometrische Gleichungen in Beispielen<br />

Beispiel<br />

2<br />

2<br />

70 ⎛70⎞ 13<br />

25x − 70x+ 13 = 0⎫<br />

x1,2<br />

=+ ± −<br />

⎪<br />

⎜ ⎟<br />

50 ⎝50⎠ 25<br />

2 70 13 ⎬<br />

x − x+<br />

= 0⎪ 25 25 ⎭ 7 49 13 13 1<br />

x1=+ + − = ; x2<br />

=<br />

5 25 25 5 5<br />

Kontrolle der Lösungen (Viéta)<br />

x1 � x2 = – p Im Beispiel ist p = 70<br />

− <strong>und</strong> q =<br />

25<br />

13<br />

, also<br />

25<br />

13 1 14 70<br />

x1+ x2 = + = = =−p<br />

5 5 5 25<br />

x1 · x2 = q<br />

13 1 13<br />

x1⋅ x2 = ⋅ = = q<br />

5 5 25<br />

1.10 Wurzel-, Exponential-, Logarithmische <strong>und</strong> Goniometrische Gleichungen in<br />

Beispielen<br />

Wurzelgleichungen: Logarithmische Gleichungen:<br />

a) 11− x + 3 = 6<br />

a) log7 (x<br />

x + 3 = 11−6 x � 3 = 25 x = 22<br />

2 � 19) = 3<br />

x2 � 19 = 73 b) log3 (x � 4) = x<br />

x � 4 = 3<br />

x1,2 = � 18<br />

x<br />

b) 2x− 3+ x + 5= 0<br />

3 + x =2 x � 5<br />

3 � x = 4 x2 � 20 x � 25<br />

2 19 11<br />

x + x+<br />

4 2<br />

= 0<br />

x1 = – 2 x2 = 11<br />

−<br />

4<br />

Nur x1 ist Lösung der gegebenen Gleichung.<br />

Goniometrische Gleichungen:<br />

a) sin x = sin 75°<br />

x = arc 75° � 2 n � <strong>und</strong><br />

x = arc (180° � 75°) � 2 n � mit<br />

n = 0 � 1; � 2; � 3; ... oder<br />

x = arc (90° � 15°) � 2 n �, also<br />

π π<br />

x = ± +2nπ 2 12<br />

b) sin2 x � 2 cos x = 1,5<br />

Man setzt sin2 x = 1 – cos2 x <strong>und</strong> erhält<br />

eine quadratische Gleichung für cos x:<br />

1 – cos2 x � 2 cos x = 1,5<br />

cos x 1,2 = 1± 1−0,5 cos x 1 =<br />

1 + scheidet aus, da | cos x | � 1<br />

2<br />

1 2<br />

1<br />

cos x2 = 1− 2 ≈0,293<br />

2<br />

x2� 73,0° � 1,274 rad ist Hauptwert<br />

Die Gleichung ist nicht geschlossen lösbar.<br />

Näherungslösung durch systematisches Probieren,<br />

z. B. mit Hilfe des programmierbaren Taschenrechners.<br />

x � 1,561919<br />

Exponentialgleichungen:<br />

lg5<br />

2x = 5; x = log25= log105 : log102= lg2<br />

lg5 0,699<br />

x = = = 2,32<br />

lg2 0,301<br />

c) sin x + cos x – 0,9 x = 0<br />

Diese transzendente Gleichung ist nicht geschlossen<br />

lösbar. Näherungslösung durch Probieren<br />

(Interpolieren in der Nähe der Lösung), z. B. mit<br />

dem programmierbaren Taschenrechner.<br />

x = 76°39' = 1,3377 rad ist näherungsweise die<br />

einzige reelle Lösung.<br />

9<br />

1

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