Formeln und Tabellen Maschinenbau - REDITECH Automation GmbH

1.31 Differenzialrechnung: Grundregeln
Mathematik
Differenzialrechnung: Grundregeln
Funktion Ableitung Beispiele
Funktion mit
konstantem Faktor
y = a f (x) y' = a f' (x)
Potenzfunktion:
y = x n y' = nxn–1 y = x =
y = 3 x 2 y' = 6 x
y = – 3 x 4 y' = – 12 x 3
1
x 2 ; y' = 1
2 x
Konstante y = a y' = 0 y = 50 y' = 0
Summe
oder Differenz
y = u (x) � v(x) y' = u' (x) � v' (x) y = x � x 3 y' = 1 � 3 x 2
y = 5 – 2 x � x 2
y' = – 2 + 2 x = 2 (x – 1)
Produktregel:
y = u (x) · v(x) y' = u' v � uv' y = sin x · cos x
y' = sin (x) · (– sin x) � cos x · cos x
= cos 2 x
bei mehr als zwei
Faktoren:
y = u · v · w · z = f(x) y' = u' v w z � uv'w z �
� uvw'z� uvw z'
Quotientenregel:
ux ( )
y =
v( x)
Kettenregel:
y = f [u (x)]
u' v −uv'
y' =
2 v
y' = f' (u) · u' (x) =
dy du
= ⋅
du dx
Umkehrfunktion:
dy1 x = � (y) y' = =
d x ϕ'(
y)
logarithmische
Regel
Erst logarithmieren, dann
nach der Kettenregel
differenzieren
y = ex arcsin x x4 y' = 4 1
exarcsin xx + ex x4
�
1−
x2
� ex arcsin x 4 x3 ⎛ ⎞
y' = x 3
x
e x ⎜ ⎜xarcsin x+ + 4arcsin x ⎟
⎝ 1−
x2
⎠
y = +
=−
− − 2
x 1 2
y'
x 1 ( x 1)
y = cos (3x � 5), also u = 3 x � 5
und damit
y' = – sin (3 x � 5) · 3 = – 3 sin x (3 x � 5)
y = tan x x = arctan y
1
�' (y) =
1+ tan
1
=
x 1+
y
2 2
y' = = + 2 1
1 y
ϕ'y
( )
y = (2 x) sin x
ln y = ln (2 x) sin x = sin x · ln (2 x)
1 1
⋅ y' = sin x ⋅ ⋅ 2 + ln(2 x) ⋅cos
x
y 2 x
⎡ ⎤
y' = sin x sin x
(2 x) ⎢ + cosx⋅ln(2 x)
⎣ x
⎥⎦
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1