Formeln und Tabellen Maschinenbau - REDITECH Automation GmbH

Funktionen dreier Winkel
α β γ ⎫
sinα+ sin β+ sin γ = 4cos cos cos ⎪
2 2 2 ⎪⎪
α β γ
cosα+ cos β+ cos γ = 4sin sin sin + 1
2 2 2
⎪
tanα+ tan β+ tanγ = tanα⋅tan β⋅tan γ
⎪
⎬ gültig für � � � � � = 180°
α β γ α β γ ⎪
cot + cot + cot = cot ⋅cot ⋅cot
⎪
2 2 2 2 2 2 ⎪
sin2α 2 + sin β 2 + sin γ = 2(cosαcos βcos γ + 1) ⎪
⎪
sin 2 α+ sin 2 β+ sin 2 γ = 4 sinαsin β sin γ ⎪⎭
1.20 Arcusfunktionen
Die Arcusfunktionen sind invers zu den Kreisfunktionen.
Invers zur
Kreisfunktion
y = sin x
y = cos x
y = tan x
y = cot x
ist die
Arcusfunktion
y = arcsin x
y = arccos x
y = arctan x
y = arccot x
mit der Definition
(y in Radiant)
x = sin y
x = cos y
x = tan y
x = cot y
Hauptwert der
Arcusfunktion im
Bereich
−π
2
� y � π
2
0 � y � ��
−π
� y �
2
π
2
0 � y ��
Mathematik
Arcusfunktionen
Definitionsbereich
– 1 � x � 1
– 1 � x � 1
– ��x ���
– ��x ���
Beziehungen zwischen den Arcusfunktionen (Formeln in eckigen Klammern gelten nur für
positive Werte von x)
π
=− − = − = − 2
⎡ 2
x 1−
x
⎤
arcsin x arcsin( x) arccos x [arccos 1 x ] = arctan = ⎢arccot ⎥
2
1−
x2
⎢⎣ x ⎥⎦
π
= π − − =− − = − 2
⎡
1−
x2⎤ x
arccos x arccos( x) arcsin x [arcsin 1 x ] = ⎢arctan ⎥= arccot
2
⎢⎣ x ⎥⎦ 1−
x
Beispiel: Der Kosinus eines Winkels x beträgt: cos x = 0,88.
Lässt sich der Winkel x nur mit der Arcus-Tangensfunktion berechnen (z.B. auf dem PC) gilt:
⎛
−
⎞
⎜ 1 0,882
x = arctan
⎟
⎜ ⎟
= 29,36°
⎝ 0,88 ⎠
Beziehungen zwischen den Arcusfunktionen (Formeln in eckigen Klammern gelten nur für
positive Werte von x)
π
x
arctan x =−arctan( − x) = − arccot x = arcsin
2 1 x =⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢⎣ ⎥
⎣ + ⎦
⎦
2
1 1
arccos arccot
1 x
x
π
⎡ 1 ⎤ x ⎡ 1⎤
arccot x = π −arccot( − x) = − arctanx = ⎢arcsin ⎥= arccos = ⎢arctan 2 ⎣
⎥
⎣ 1+ x2 ⎦ 1+
x2
x ⎦
+ 2
2
23
1