Formeln und Tabellen Maschinenbau - REDITECH Automation GmbH

Einsetzregel (Substitutionsmethode)
1. Form: In den Integranden wird eine Funktion
z(x) so eingeführt, dass deren Ableitung z' als
Faktor von dx auftritt:
∫fx ( )d x = ∫ϕ(
z) ⋅z'⋅ dx
= ∫ ϕ ( z)dz 2. Form: Eine neue Funktion z einführen; aus
der Substitutionsgleichung dx berechnen und
alles unter dem Integral einführen:
Sonderregeln
Ist der Zähler eines Integranden die Ableitung
des Nenners, so ist das Integral gleich dem
natürlichen Logarithmus des Nenners:
∫ =
( ) f' x
dx ln f( x)
fx ( )
Produktregel (partielle Integration)
Lässt sich der Integrand als Produkt zweier
Funktionen f(x) und g(x) darstellen, so kann der
neue Integrand einfacher zu integrieren sein:
∫ ∫
fxgx ( ) ( )dx = udv = u⋅v −∫v du
Flächenintegral (bestimmtes Integral)
∫
∫ ∫
Mathematik
Integrationsregeln
dz
sin xcos xd x; sin x = z; z' = = cos x
dx
sin xcos xdx = z⋅ z'dx =
∫ ∫
z2 sin2x
= ∫zdz
= =
2 2
1 1
dx = coszdz = arcsinx
1−
x2
cosz
2 2
x = sin z; 1− sin z = 1− x = cosz
dx = cos z dz; z = arcsin x
∫ ∫
+ = ϕ
1
fax ( b)d x
a
( z)dz ( ax+ b) = z; dz dz
= a⇒ dx=
dx
a
∫
2ax+
b
dx = ln( ax2+ bx)
ax2 + bx
∫ = +
+
1 dx ln( x a)
x a
Ist A der Flächeninhalt unter der Kurve y = f(x), begrenzt durch
die Ordinaten x = a und x = b, so gilt
b
b
A = ∫ fx ( )d x = [ Fx ( ) ] = Fb ( ) −Fa
( )
a
a
d.h. das bestimmte Integral f(x) dx stellt den Flächeninhalt unter
der Kurve y = f(x) bis zur x-Achse im Intervall von a bis b dar
(a � x � b)
Integrieren einer Konstanten k
b
b
∫k⋅ d x = [ kx] = k( b−a) a
Vorzeichenwechsel
b a
∫fx ( )d x =−∫fx
( )dx
a b
a
∫ ∫
xcosxdx = x⋅sin x− 1⋅sin xdx = x · sin x � cos x
⎛u = x; v' = cosx⎞
⎜ ⎟
⎝u'= 1; v = sinx
⎠
Vertauschen der Grenzen
bedeutet Vorzeichenwechsel
(Integrieren von anderer
Richtung kommend)
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