cahier scientifique revue technique luxembourgeoise

ilité, y, s’exprime par la formule y = (e X ) / (2 * π ) 1/2 avec
e = 2.718282 (base des logarithmes népériens) et X = – x²
/ 2 (v. fi g. 3, courbe en cloche y(x) allant de x = – 5 à x = +
5 écarts standard). La courbe cumulative ascendante Y(x),
courbe intégrale de y(x), va de 0 à 1 (1 étant la somme
de l’ensemble des probabilités). A chacune des ordonnées
Y de la courbe cumulative correspond une abscisse x bien
défi nie, ce qui permet de procéder au tirage des écarts de
la loi de Gauss par l’intermédiaire de la fonction RND, dont,
précisément, les valeurs aléatoires s’échelonnent de 0 à 1
(v. fl èches, fi g. 3). Comme la fonction y n’est pas intégrable
par des méthodes analytiques, il faut passer par sa sommation
numérique pour aboutir à un vecteur informatique («
string ») x(Y) représentatif de la courbe d’intégration Y(x).
Figure 3
La fi gure 4 fait voir la perfection avec laquelle 1 000 000
de tirages aléatoires dans le vecteur x(Y) via la fonction de
hasard RND restituent la cloche de Gauss : en rouge, les
points théoriques ; en noir, les points de la simulation. Cet
exemple, lui aussi, témoigne de la puissance remarquable
des méthodes probabilistes, dans le cadre de la loi des
grands nombres, bien entendu.
Figure 4
Y = RND
x
Distribution exponentielle
Dans ce cas, le tirage d’une des valeurs de la variable aléatoire
x se fait directement par la formule x = – x 0 * ln(RND)
où x 0 est la valeur moyenne de la variable x, RND la fonction
de hasard uniforme, ln le symbole du logarithme naturel.
Rappelons que le logarithme de toute valeur située entre 0
et 1 est négatif, d’où le signe qui précède x 0 .
Cette distribution, dite « exponentielle », est un cas limite
de la loi binomiale. Comme on l’a vu, par tirage au sort de
N boules, la probabilité y de prélever de l’urne b boules
blanches et n boules noires s’élève à y = [N! / (b! * n!)] * p n
* q b , si p et q = 1 – p sont les proportions respectives des
boules noires (p) et blanches (q). Selon cette expression, la
probabilité d’obtenir 1 boule noire et N – 1 boules blanches
est de y = N * p * q N – 1 . La probabilité du tirage d’une confi
guration bien particulière, à savoir celle où la boule noire
est la dernière à être prélevée, se réduit à y = p * q N – 1 , ce qui,
fi nalement, est la probabilité de 2 boules noires séparées
par N – 1 boules blanches.
Considérons une étendue quelconque (de temps, de
longueur d’une bande de papier, d’un fl ux, etc.) subdivisée
en unités quelconques (jours, heures, minutes, secondes, m,
cm, mm, etc.). Supposons que certains événements (v. fi g.
5, cases noires), dont chacun occupe exactement une unité
d’étendue, se produisent au hasard à des intervalles dont la
moyenne est de N 0 unités. La probabilité de l’événement de
se produire est ainsi de p = 1/N 0 , la probabilité complémentaire
(celle du non-événement) de q = 1 – 1/N 0 . La fréquence
(= l’occurrence moyenne de l’événement) s’exprime par
f = 1/ N 0 , d’où p = f et q = 1 – f. Par ailleurs, la variable
aléatoire N, inférieure ou supérieure à N 0 , est l’intervalle (ou
l’écart) x aléatoire entre deux événements.
Figure 5
CAHIER SCIENTIFIQUE | REVUE TECHNIQUE LUXEMBOURGEOISE 2 | 2010
N0
D’après notre formule, la probabilité de deux événements
successifs distants de N unités d’étendue est égale à y = p *
q N – 1 = f * (1 – f) x – 1 . Pour affi ner le modèle et réduire cha-
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