Leitfaden HQ Statistik - Wasser, Klimawandel & Hochwasser

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Leitfaden - Verfahren zur Abschätzung von Hochwasserkennwerten
In der Anwendung der PWM Methode werden allerdings nur Momente der Gestalt m1,r,0 oder
m1,0,s mit jeweils ganzzahligem r und s verwendet, denn diese können unverzerrt durch Linearkombination
der geordneten Stichprobe geschätzt werden. Setzt man etwa Mk = M1,k,0
�
M
k
1
� �
n
� � n k
i�1
�n � i�
�� �� � x
� k �
( i)
�n �1�
�� �� , (3.28)
� k �
wobei x1 � x2 � … � xn die geordnete Stichprobe ist. Da sich auf der anderen Seite Mk � für
viele Verteilungen als relativ einfache Funktion der Parameter darstellen lässt, erhält man
durch Gleichsetzung und Umformung der betreffenden Gleichungen sehr einfache Schätzer
für die Parameter der Verteilung und damit auch für die Quantile und Wiederkehrzeiten. Der
Schätzer hat zwei Vorteile gegenüber den herkömmlichen Maximum-Likelihood (ML)- und
MOM-Schätzern:
• Sie lassen sich in fast allen Fällen als direkte Funktion der Datenserie ausdrücken und
sind somit wesentlich einfacher zu berechnen als die ML-Schätzer, die in der Regel
nur iterativ gefunden werden können.
• Die Daten kommen nur linear vor, während bei MOM-Verfahren zweite und dritte
Potenzen verwendet werden, was zu großer Empfindlichkeit gegenüber extremen
Werten führt.
3.6.6 L-Momente
Die Methode der linearen oder L-Momente geht in ihrer allgemein gültigen Form auf
HOSKING (1990) zurück und ähnelt vom Ansatz der PWM: Wenn X eine Zufallsvariable ist
und Xi:n die i-te Ordnungsstatistik aus einer Stichprobe vom Umfang n, dann definiert man
r �1
k
1 �r �1�
� r � �(
�1)
� E(
X r �k:
r )
r
��
k �0
k ��
r �1
(3.29)
� �
als das r-te L-Moment der Verteilung von X. Die L-Momente haben wie die PW-Momente
gegenüber den klassischen Momenten den Vorteil kleinerer Fehler und hoher Stabilität auch
für kleine Stichprobenumfänge; tatsächlich sind PW- und L-Momente insofern äquivalent, als
sich die einen als Linearkombination der anderen ergeben, sodass sich die oben angesprochenen
Eigenschaften der PWM etwa bei der Schätzung von Parametern und Quantilen der GEV-
Verteilung direkt übertragen lassen:
r�1
r�1
1 � r � �r � k �
� r � �(
�1)
� � mk
r
��
k k �� ��
k ��
(3.30)
�0
� � � �
Der Vorteil der L-Momente gegenüber den PW-Momenten liegt in ihrer größeren Anschaulichkeit
und leichteren Interpretierbarkeit: Die ersten vier L-Momente �1, �2, �3, �4 lassen sich
wie die herkömmlichen Momente in dieser Reihenfolge zur Bewertung des Orts, der Streuung,
der Schiefe (Skewness) und der Wölbung (Kurtosis) der zugrunde liegenden Verteilung
verwenden. Ebenso können L-Momentenverhältnisse als dimensionslose Größen verwendet
werden – dies sind neben dem L-Variationskoeffizienten (L-coefficient of variation, L-CV)
die L-Skewness �3 = �3 / �4 und L- Kurtosis �4 = �4 / �2.