Modelling Dependence with Copulas - IFOR

4.2 The Marshall-Olkin Family
Marshall-Olkin
Y
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
X
Figure 4.1: Samples from the Marshall-Olkin copula. λ 1 =1.1,λ 2 =0.2 andλ 12 =
0.6
Using the result in Theorem 3.3 and the theorem above yields:
∫∫
τ α1,α 2
= 4 C α1,α 2
(u, v)dC α1,α 2
(u, v) − 1
I
( 2 ∫∫ 1
= 4
2 − ∂
I ∂u C α 1,α 2
(u, v) ∂
)
∂u C α 1,α 2
(u, v)du dv − 1
= ...
2
α 1 α 2
=
.
α 1 + α 2 − α 1 α 2
Thus all values in the interval [0, 1] can be obtained for ρ α1,α 2
and τ α1,α 2
. The
Marshall-Olkin copulas have upper tail dependence. Without loss of generality
assume that α 1 >α 2 .
C(u, u)
lim
u→1− 1 − u
1 − 2u + u 2 min(u −α1 ,u −α2 )
= lim
u→1−
1 − u
1 − 2u + u 2 u −α2
= lim
u→1− 1 − u
= lim (2 − + α
u→1− 2u1−α2 2 u 1−α2 )=α 2 ,
and hence
λ U =min(α 1 ,α 2 ).
We now present the natural multivariate extension of the bivariate Marshall-
Olkin family.
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