Modelling Dependence with Copulas - IFOR

More documents

Recommendations

Info

9 Modelling Extremal Events in Practice The preceding results show that when pricing contracts which depend on simultaneous exceedences of high thresholds, knowledge of pairwise correlations and marginal distributions is not enough. The results could easily be generalized to the case with different margins, different pairwise correlations and l
9.2 The Perfect Storm • • ••• • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • •• • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • •• • • • • • • •• • •• • •• • •• • • • • • • • •• • • • •• • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • •• • • •• • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • ••• • • • • ••• •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • ••• • • • • ••• • • ••• • • • • • • •• • •• •• • • • • •• •••• • • •• • • • • • • • • • •• • • • ••• •• • •• •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • ••• • •• • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • •• • • • • •• • • ••• ••• • • • • • • •• •• •• •• • • •• • • • ••• • •• • • • • •• • • • • • • • •• • •• • • • •• • •• • •• • • • • • • •• •• • • • • • •• ••• • • • • • • • • • •• •• •• • • •• • • • • • • • • •• • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • •••• • • • • • •• • •• • • • •• •• • • ••• • • • • • ••• •• • •• • • • • • • ••• •• • • ••• • • • • • • • ••• • • • • • • • • •• • • ••• • •• • ••••• • • ••• •• •• •• • •• • • •• • •• • • • • • • • • • •• • • • • •• •• • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • •• • • •• • • • • • •• • •• • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • ••• • • • •• • • •• • • • • • • • •• • • • •• • • • • •• • • • •• •• • • •• • • • • • ••• • ••• • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • •• •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •••• • •• •• • • • ••• • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • •• • • • • • • • • • •••• • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• •••• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • •• • •• • • • • •• •• • • • ••• • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• •• ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • •• • • • • • •• • •• •• • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • •• • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• •• •• • • • •• • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • •• • • • •• • • •• • • • • • • • •• • •• • • • • • • • •• ••• • • • • • •• • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • •• • •• ••• • •• •• • •• • • • • •• •• • • • ••• • • • ••• • • •• • • • •• • • • •• • •••• • • • • • • • • •• • • • • •• • •• • • • •• • • • • • • • •• • • • • • ••• ••• •• • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • ••• • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• •• •• • •• • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • •• • • •••• • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • •• •••• • •• • • • • •• • • • • • • ••• • • • • • ••• • • • • •• • • • • •• •• • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • •• • • • • • •• • • • • • • • • •• • ••• • • • ••• • • •• • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• •• ••• • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • •• • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • ••• • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • •• •• •• • • • • • •• • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• •• • • • •• • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • •• • • • • • • • •• • •• • •• • • • • • • •• • • • •• • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• •• • • • • •• • • • • • • • • • •• • •• • • • • •• • • • •• • • • •• • • • • • • • •• • •• • • • • • ••• ••••• • ••• • •• • •• • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • •• •• • •• • •• • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • •• •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• ••• • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • •• •• • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • •• • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • •• ••• •• • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • •• • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • •••• • • • •• • • • •• • • • •• • • • • • • • • •• • • • • •• ••• • • • • • • • • • •• • • • •• •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• ••• • • • • • • ••• ••• • • • • • • • • • • • • • ••• • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • •• • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • •• • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• •••• • • •• • •• • • • • • • • ••• • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • •• • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • ••• • • • • • • ••• •• •• •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • ••• • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • •• • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• •• • • • •• •• •• • • •• • • • • • • • • • ••• • • • • ••• • • • • • • •• • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • BMW Siemens -0.15 -0.10 -0.05 0.0 0.05 0.10 0.15 -0.15 -0.05 0.05 •• • • • • • • • • • •• • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • •• • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• ••• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • •• • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • ••• •• • •• • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • •• • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• ••• • • • • •• •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • •• • •• • • •• • • •• • • • •• • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • ••• •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • •• • • • • • • •• • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • •• • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• •• ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • ••• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • •• • • • • •• • • • •• • •• • • • • • • •• • • • • • ••• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • •• • •• • • • • • •• •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • •• • • •• •• • • • • • • • • • •• • • •• • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • •• • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • •• • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • •• • ••• • • •• • • •• • • • • • • • • • •• • •• •• ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • X1 Y1 -15 -10 -5 0 5 10 15 -15 -10 -5 0 5 10 • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • •• • •• • • • • • • • •• • • • • • •• •• • • • • • • • •• ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• ••• • • • • • ••• • • • •• • • • • • • • • •• • • ••• • • • • • • • • •• • • • • • ••• • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• •• • ••• •• • • • • • •••• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • •• • • • • • •• • • •• • • •• • • •• • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • ••• • • • • • • • •• • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • •• • • • • • • • • • • •• • •• • • • •• • • •• • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • •• • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • •••• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • ••• •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • ••• • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • •• • • •• • • • • • •• • • • •• • • •• • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •••• • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • •• • • ••• • • • •••• • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • •• • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •••• • • • • • • •• • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • •• •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • ••• • • • •• • • • • • • • • • • •• • • •• ••• • • • • • • •• • • • • •• • • • • ••• •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • •• •• • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • •• •• • • • •• ••• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • X2 Y2 -15 -10 -5 0 5 10 15 -15 -10 -5 0 5 10 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• •• • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • ••••• • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • •••• •• • • • • • • ••• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • ••• • •• • • • • •• •• • • •• • • •• • • •• • • • • • •• • •• • • • • • • • • •• • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• •• • • • • • • •• • • •• • • • • •• •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• •• • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • ••• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • •• •• •• • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• •• •• • • • •• • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • •• ••• • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• •• • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • ••• • • • • • • •• • • • • • • • • •• •• • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • •• •• • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • •• • • •• • • • • ••• • • •• • • • • • • •• • • • • •• • •• • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • •• • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••••• • • • • ••• • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • •• •• • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • •• • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• ••• • • • • • • •• • • • •• • • • • • • •• • • • • •• •• •• • • •• • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • ••• • • •• • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • ••• • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • ••• • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • •• • • • • • • •• • • • • • • • •• • • •• ••• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • •• • • • • ••• • • • • ••• • •• • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • ••• • • • • • •• • • • • • •• • • • • •• • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • ••• • X3 Y3 -15 -10 -5 0 5 10 15 -15 -10 -5 0 5 10 Figure 9.6: The first figure shows daily stock returns for BMW-Siemens. (X1,Y1) have a t 2 -copula, (X2,Y2) have a Gaussian copula and (X3,Y3) have a Clayton copula. All margins are t 4 -distributed and all pairs have linear correlation 0.64. 9.2 The Perfect Storm The upper left plot in figure 9.6 shows daily stock returns during a 4000 day period for BMW and Siemens stocks. It appears that a big fall in the stock price for e.g. the BMW stock also means a simultaneous big fall in the stock price for the Siemens stock. The understanding of how to model such phenomena is highly relevant. Extreme, synchronized rises and falls in financial markets occur infrequently – but they do occur. The problem with most models used is that they do not assign a high enough chance of occurrence to the scenario in which many things go wrong at the same time – the “perfect storm” scenario. In this chapter we will measure the “risk” of a linear portfolio of hypothetical equities. We will do this by considering risk measures which describe the tail of the distribution of the linear sum. To model a risky scenario such as the one shown in figure 9.6 we clearly need copulas with lower tail dependence, since the dependence structure of the observed data seems to have that property. The plots apart from the upper left plot show samples from bivariate distributions with t 4 -margins but different dependence structures. We have chosen t 4 -margins because heavy tailed margins seems to fit the data and we want the margins to have finite third moments since this is in line with what is often observed. Furthermore, all four plots show data with linear correlation 0.64, which is the empirical estimate for the data. One relevant question is the following: Given that a loss exceeds a high threshold, by how much can that threshold be exceeded? To try and answer this question, we will consider measuring the tail risk for a linear portfolio of stocks using a risk 73
Page 1:
Eidgenössische Technische Hochschu
Page 5:
Contents Contents 1 Motivation 1 2
Page 8 and 9:
1 Motivation distributions. Hence w
Page 10 and 11:
2 Copulas 1. DomC ′ = S 1 × S 2
Page 12 and 13:
2 Copulas Theorem 2.3. If C ′ is
Page 14 and 15:
2 Copulas Here C α1(X 1),α 2(X 2)
Page 16 and 17:
2 Copulas . • Simulate a value u
Page 18 and 19:
3 Dependence 3.2 Perfect Dependence
Page 20 and 21:
3 Dependence Thus ∫∫ P[(X 1 −
Page 22 and 23:
3 Dependence Proof. For both Kendal
Page 24 and 25:
3 Dependence Definition 11. Let X a
Page 26 and 27:
3 Dependence Furthermore if C is a
Page 28 and 29: 4 Techniques for Construction of Mu
Page 35 and 36: 5 Archimedean Copulas In this chapt
Page 37 and 38: 5.2 Definitions (since ϕ and ϕ [
Page 39 and 40: 5.3 Properties 5.3 Properties For c
Page 41 and 42: 5.3 Properties Example 5.8. Conside
Page 43 and 44: 5.4 Order Theorem 5.7. Let ϕ be a
Page 45 and 46: 5.5 Multivariate Archimedean Copula
Page 47 and 48: 5.5 Multivariate Archimedean Copula
Page 49: 5.5 Multivariate Archimedean Copula
Page 52 and 53: 6 Elliptical Copulas Example 6.2. F
Page 54 and 55: 6 Elliptical Copulas We now address
Page 56 and 57: 6 Elliptical Copulas • • •
Page 59 and 60: 7 Extreme Value Copulas 7.1 Univari
Page 61 and 62: 7.2 Multivariate Extreme Value Theo
Page 63: 7.2 Multivariate Extreme Value Theo
Page 66 and 67: 8 Mixture of Extremal Distributions
Page 74 and 75: 9 Modelling Extremal Events in Prac
Page 85: 10 Conclusions In this paper we hav
Page 88 and 89: 11 Appendix { if(rcor[row,col] == 1
Page 90 and 91: 11 Appendix lognormal
Page 93: References References [1] Dhaene J.
show all

Modelling Dependence with Copulas - IFOR

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?