Modelling Dependence with Copulas - IFOR

Contents
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1 Motivation 1
2 Copulas 3
2.1 Mathematical Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Sklar’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 The Fréchet-Hoeffding Bounds for Joint Distribution Functions . . . 5
2.4 Copulas and Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Dependence 11
3.1 Linear Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Perfect Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Concordance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.1 Kendall’s tau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.2 Spearman’s rho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Tail Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Techniques for Construction of Multivariate Copulas 21
4.1 The Farlie-Gumbel-Morgenstern Family . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 The Marshall-Olkin Family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Archimedean Copulas 29
5.1 Convex Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3.1 Tail Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.4 Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.5 Multivariate Archimedean Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Elliptical Copulas 45
6.1 The Gaussian Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 The t-copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7 Extreme Value Copulas 53
7.1 Univariate Extreme Value Theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Multivariate Extreme Value Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8 Mixture of Extremal Distributions 59
9 Modelling Extremal Events in Practice 67
9.1 Pricing Risky Insurance Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.2 The Perfect Storm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10 Conclusions 79
11 Appendix 81
11.1 Implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Literature 87
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