FPGA based Hardware Accleration for Elliptic Curve Cryptography ...

Contents
List of Figures
iv
1 Introduction 1
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Previous Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Goals of this Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Content of this work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
(
Field
over
Fields
in
in
in
in
2 Mathematical Background 4
2.1 Elliptic Curve Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Affine Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Projective Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 EC point multiplication ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Finite Field Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 The Finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Polynomial Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 Finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.4 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.5 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.6 Squaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.7 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.8 Polynomial Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Sequential Multiplication Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Schoolbook Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Polynomial Karatsuba Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Multi-Segment Karatsuba Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Hardware Architecture 19
3.1 PCI Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Register File . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 EC Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Finite Field Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.2 Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.3 Input Stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22