BỘ 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC MÔN TOÁN NĂM 2018 - VĂN PHÚ QUỐC - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

ĐỀ SỐ 1
BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: Tìm m để phương trình m 2sin x 2mcos x 2m
1
A. 0 m
2. B. 2 m
4. C.
có nghiệm.
m
m
0 .
4
D. 0 m
4.
Câu 2: Tính tổng các nghiệm của phương trình cossin x
1 trên đoạn 0;2 .
A. 0 B. . C. 2 .
D. 3 .
Câu 3: Tìm số nghiệm của phương trình
A
. P
y1
x1
xy
P
x1
72 .
A. 8 B. 7 C. 6 D. 0
Câu 4: Một bộ bài Tây có 52 con. Rút ra 5 con, hỏi có bao nhiêu cách có ít nhất 2 con Át.
A. 108335 B. 108336 C. 108337 D. 108339
Câu 5: Một lớp học có 30 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động văn
nghệ của nhà trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là 12 . Tính số học sinh nữ của lớp.
29
A. 14. B. 15. C. 16. D. 17.
Câu 6: Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu dễ,
10 câu trung bình và 5 câu khó. Một đề thi được gọi là “tốt” nếu trong đề thi có cả ba câu dễ,
trung bình và khó đồng thời số câu dễ không ít hơn 2. Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề
trên. Tính xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi tốt.
A. 526 .
1655
B. 625 .
1566
Câu 7: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
n n
2 3
lim 3
n
2 1
C. 2 n
3 n
n
2 1
Câu 8: Tìm các giá trị của a và b để hàm số
C. 526 .
1655
B.
n n
2 3
lim 1
n
2 1
D. 2 n
3 n
n
2 1
D. 625 .
1566
1

x
khi x 0
2
x x x
f x
a sin x b cos x khi 0 x liên tục trên
2
x
1
khi x
2
A.
a 0
3 .
b
2
B.
a 0
3 .
b
2
C.
3
a
2 .
b 0
D.
3
a
2 .
b 0
Câu 9: Cho hình vuông ABCD với O là giao điểm hai đường chéo. Tìm góc để phép quay
QO ; biến hình vuông ABCD thành chính nó.
A. .
B. .
C. .
D.
6
3
2
Câu 10: Trong không gian, cho ba vectơ u, v,
w không đồng phẳng. Tìm x để ba vectơ
a u 2v 3 w; b u v w; c xu v 2w
đồng phẳng.
A. x 10
B. x 10 C. x 5
D. x 5
Câu 11: Cho hàm số
2 .
3
2
x 2x2018
y
.Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
4 2
x 3x
2
A. 1. B. 3. C. 5. D. 6.
Câu 12: Tìm m để hàm số
y
x
m
x 1
2018
luôn đồng biến trên các khoảng ; 1
và
1;
.
A.
m
1 .
m
1
Câu 13: Cho hàm số
B. 1 m 1. C. m D. 1
m 1
y x m x
4 2 2 1 2 1. Tìm giá trị của tham số m để hàm số này có 3
điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất.
A. m 0.
B. m 1.
C. m 2. D. m 2.
Câu 14: Đường thẳng y ax b cắt đồ thị hàm số
độ lần lượt bằng –1 và 0. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
a
B. 4.
b
A. a
b 2018 1.
2
1
2x
y tại hai điểm A và B có hoành
1 2x

C. 2.
ab D. a
b 2019
5 0
Câu 15: Cho hàm số
2
y x x a
2 4 . Tìm giá trị a để giá trị lớn nhất của hàm số trên
đoạn 2;1
đạt giá trị nhỏ nhất.
A. a 3.
B. a 2.
C. a 1.
D. Giá trị khác.
Câu 16: Tìm số tiếp tuyến tại điểm nằm trên đồ thị hàm số
thành một tam giác cân.
y
x 2
x 1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
cắt 2 trục tọa độ tạo
Câu 17: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
y x mx mx
3 3 1 cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ x
1, x2 , x
3
thỏa điều kiện
m
1
3
A. ; 1;
x x x
2 2 2
1
2
3
15
B. m ; 1 1;
5
; 1 ;
3
C. m
D.
m 1 5
; ;
3 3
Câu 18: Người ta tiêm một loại thuộc vào mạch máu ở cánh tay phải của một bệnh nhân. Sau
thời gian là t giờ, nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó được xác định theo
công thức Ct
2
0,28t
t 4
máy của bệnh nhân đó là cao nhất?
0 t
24 . Hỏi sau bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc hấp thu trong
A. 24 giờ. B. 4 giờ. C. 2 giờ. D. 1 giờ.
a b c d
Câu 19: Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn 2 .5 2 .5 . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. a c
B. b
d
C. a c và b d
D. a c d b
ln 2 ln 5
Câu 20: Cho x, y là các số thực thỏa mãn x y x y
nhất của biểu thức x
y .
log 2 log 2 1. Tính giá trị lớn
4 4
A. 3 B. 0 C. 1 D. 2
Câu 21: Cho a log2
5 và b log
2
3. Tính giá trị của biểu thức P log3
675 theo a,b.
A. 2a
3b
b
B. 2a
b
a
C. P 3 D.
b
P
2a
1
b
3

Câu 22: Cho hàm số y sin ln
x cosln
x
. Hãy chọn hệ thức đúng?
A.
n 2
xy x y y
' 0.
B.
2 n
x y xy y
' 0.
C.
2 n
x y xy y
' 0.
D.
2 n
x y xy y
' 0.
Câu 23: Cho
2 3 4
x 3 4 2
y 4 2 3
z
3
x
4
y x
log log log log log log log log log 0 . Tính tổng
A. 9 B. 11 C. 15 D. 24
Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y a 2 a
3 3 x
đồng biến
A. a 1
B. a 2
C. 1a
2 D. a 1 hoặc a 2
2 2 2 2
Câu 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x ln 2x 2x x e e trên 0;e
A. 1 2
B. 1 C. 1ln 1 2
D. 1ln 1 2
3
Câu 26: Thể tích CO 2 trên thế giới năm 1998 là V m . 10 năm tiếp theo, thể tích CO 2 tăng
a% sao với năm liền trước, 10 năm tiếp theo nữa, thể tích CO 2 tăng b% so với năm liền tích.
Tính thể tích CO 2 năm 2016.
A. V.
100 a100
b
10
20
10
m
3
. B. V.
100 a . 100
b
10 8
C. V V.1
a b 18 m
3
D. V.1
a b 18 m
3
Câu 27: Mệnh đề nào sau đây sai?
10
36
m
3
A.
1 1
2018 2019
x dx x dx .
0 0
'
x
dt 1
0.
2018 t
2018 x
1
B. x
C. Nếu hàm số f x liên tục trên a;
a
thì
4
a
a
f x dx 2 f x dx.
b c c
D. Nếu hàm số f x liên tục trên thì f xdx f xdx f xdx c a;
b
2
Câu 28: Cho biết
a
0
.
a b a
2
sin 2 1 . Tính giá trị của m 1
0
I x x m dx

A. 4 B. 2 C. 3 D. 5
Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x và x2y
0 bằng với diện
tích của hình nào trong các hình dưới đây?
A. Hình vuông có cạnh bằng 2.
B. Hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt là 5 và 3.
C. Hình tròn có bán kính bằng 3.
D. Diện tích toàn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng
Câu 30: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay.
3
A. 4ln 1 .
6 2
3
B. 6ln 1 .
4
2
4
2 3
3 .
1
y , y 0 , x 0, x 1 quay
1 4 3x
3
C. 9ln 1 .
6 2
3
D. 6ln 1 .
9 2
Câu 31: Cho tích phân
3
6
ln sin x 3
I dx a ln b
2
3
cos x
4
. Tính giá trị của
A log a log b :
3 6
A. –3 B. 2 C. –1 D. 1
Câu 32: Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm
đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t
200 20
t m/s. Trong đó t là khoảng
thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi thời gian khi tàu đi được quãng
đường 750 m ít hơn bao nhiêu giây so với lúc tàu dừng hẳn?
A. 5 s. B. 10 s C. 15 s D. 8 s
Câu 33: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm M, N, P là điểm biểu diễn của 3 số phức:
z 8 i; z 1 4 i; z 5 xi .Tìm x để tam giác MNP vuông tại P.
1 2 3
A. 1 và 2 B. 0 và 7 C. 1 và 7 D. 3 và 5
Câu 34: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện 2 3i z z i
A. 3 6 .
5 5 i
B. 6 3 .
5 5 i
C. 9 .
5
D. 3 5 .
5
5

Câu 35: Gọi z1; z2; z3;
z
4
là các nghiệm phức của phương trình
z
5z
4 0. Tính giá trị
4 2
của biểu thức
1 1 1 1
S :
1 z 1 z 1 z 1
z
1 2 3 4
A. 7 .
5
B. 2 .
5
6
C. 1 D. 2
Câu 36: Cho hai số phức a và b thỏa mãn a b 1. So sánh hai số
x a b i ;
ta thu được kết quả nào trong các kết quả sau?
y ab i a b
A. x y
B. x y
C. x y
D. Kết quả khác.
Câu 37: Cho số phức z a bi thỏa mãn z 2 i. z 3 3 i.
Tính giá trị của biểu thức
2017
P a b
2018 : :
A. 0 B. 2 C.
3 3
2018
5
4034 2018
.
D.
3 3
2018
5
4034 2018
Câu 38: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt
phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60 . Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm CC’. Tính
thể tích khối chóp A.BB’C’C.
A.
3
a 3 .
4
B.
3
a 3 .
2
C.
3
a 3 .
8
D.
3
a 3 .
6
Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB 2 a, AD 2a
. Hình
chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc bằng
45. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
A.
a 6 .
3
B.
a 2 .
3
C.
a 6 .
6
D.
a 3 .
6
Câu 40: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo
với đáy góc 30 . Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC.
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC.
A. a 3 . B.
a 3
2
Câu 41: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính
R 5 và chu vi hình quạt là P 8
10 , người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu
theo hai cách:
C.
a 3
6
D.
a 3
3
.

1. Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu.
2. Chia đôi tấm kim loại thành 2 phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái
phễu.
V
Gọi V
1
là thể tích của cái phễu thứ nhất, V
2
là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2.Tính 1 V .
2
A.
V1
21 .
V 7
B. V1
2 21 .
V 7
C. V1
2 .
V 6
D. V1
V
2
2
Câu 42: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân BA
BC
2
2
6 .
2
, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là a 3 , cạnh bên SB tạo với đáy một góc 60 .
Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
A.
3 3 6 . 2
a .
2
B.
3 6 . 2
a .
2
C.
3 6 . 2
a .
2
D.
3 6 . 2
a .
Câu 43: Cối xay gió của nhân vật Đôn-Ki- Hô -Tê (trong tác phẩm “Đánh nhau với cối xoay
gió” của tác Xéc-Van-Téc) phần trên có dạng một hình nón. Chiều cao của hình nón là
40 cm và thể tích của nó là
2
3
18000 cm . Tìm bán kính đáy hình nón có giá trị gần đúng nhất.
A. 12 cm .
B. 21 cm .
C. 11 cm .
D. 20 cm .
Câu 44: Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh là a, người ta gấp nó thành 4 phần đều nhau rồi
dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác đều (như hình vẽ). Từ một mảnh giấy hình vuông
khác cũng có cạnh là a, người ta gấp nó thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình
7

lăng trụ tam giác đều (như hình vẽ). Gọi V1,
V
2
lần lượt là thể tích của lăng trụ tứ giác đều và
lăng trụ tam giác đều. So sánh V
1
và V
2
.
A. V V .
B. 1 2
V1 V2
C. V1 V2
D. Không so sánh được.
x 2 y 4 z 1
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và
2 3 1
điểm M 2; 1;3
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K 1;0;0
đường thẳng d đồng thời cách điểm M một khoảng bằng 3 .
A. P :17x 5y 19z
17 0.
B. P :17x 5y 19z
17 0.
C. P :17x 5y 19z
17 0.
D. P :17x 5y 19z
17 0.
8
, song song với
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto a 1; 2;4
và b x ; y ; z
0 0 0
cùng phương với vectơ a . Biết vectơ b tạo với tia Oy một góc nhọn và b 21. Tính tổng
x0 y.0 z0
:
x y z 3.
B. x0 y0 z0
3.
A.
0 0 0
x y z 6.
D. x0 y0 z0
6.
C.
0 0 0
Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 1 0 và hai
điểm A1; 3;0 ; B5; 1; 2
. Điểm ; ;c
giá trị lớn nhất. Tính tổng ab c:
M a b trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB đạt
A. 1. B. 11. C. 5. D. 6.
Câu 48: Cho m 0 và hai đường thẳng
thì giá trị của m như thế nào trong các trường hợp dưới đây?
x
t
5
x 1 y 3 z 5
d : ; : y 2y
3. Nếu d cắt
m 1 m
z
t 3
A. Một số nguyên dương. B. Một số nguyên âm.
C. Một số hữu tỉ dương. D. Một số hữu tỉ âm.
Câu 49: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
x 1 y z 1
d: và vuông góc với mặt phẳng
2 1 3
(Q): 2x y z 0 có phương trình nào trong các phương trình sau đây?

A. x 2y1 0. B. x 2y1 0. C. x 2y1 0. D. x 2y1 0.
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1;0;1 ,
B
1;2; 1 ,
C 1;2;3 và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính bán kính R mặt cầu (S) có
tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz):
A. R 4.
B. R 3.
C. R 5
D. R 2
Đáp án
1-C 2-D 3-A 4-B 5-A 6-D 7-D 8-C 9-C 10-B
11-D 12-D 13-A 14-B 15-A 16-C 17-C 18-C 19-D 20-A
21-A 22-C 23-A 24-D 25-B 26-B 27-C 28-C 29-D 30-D
31-C 32-A 33-B 34-A 35-A 36-A 37-B 38-A 39-A 40-D
41-B 42-A 43-D 44-A 45-B 46-B 47-A 48-C 49-C 50-D
Câu 1: Đáp án C
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
2 2 2 2
LỜI GIẢI CHI TIẾT
m 2 2m 2m 2 m 4m 0 m 0 hoặc m 4.
Câu 2: Đáp án D
cos sin x 1 sin x k2 , k .
Do 1 k2
1 và k nên k 0.
Khi đó sin x 0 x m
, m .
Vì x 0;2
nên x 0; ;2
.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 3 .
Câu 3: Đáp án A
Điều kiện:
xy
,
x
y
Phương trình đã cho tương đương với:
x
.
x 1! . x
y
!
x
y !
2
x
8
72 x 1 x 72 x x 72 0 .
1!
x
9
9

So điều kiện chọn x 8.
Do đó phương trình đã cho có nghiệm xy ; thỏa
x
8
y
8, y
Cụ thể là các nghiệm: 8;0 , 8;1 , 8;2 , 8;3 , 8;4 , 8;5 , 8;6 , 8;7 .
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là 8.
Câu 4: Đáp án B
Cách 1
Bộ bài tây có 52 con thì có 4 con Át. Để rút ra 5 con có ít nhất 2 con Át thì có ba trường hợp:
• 2 con Át và 3 con khác có
• 3 con Át và 2 con khác có
• 4 con Át và 1 con khác có
C . C cách.
2 3
4 48
C . C cách.
3 2
4 48
C . C cách.
4 1
4 48
Vậy có tất cả
Cách 2
C . C C . C C . C 108336 cách.
2 3 3 2 4 1
4 48 4 48 4 48
• Không có con Át và 5 con khác có
• 1 con Át và 4 con khác có
Vậy có tất cả là
CC 1 4
. 4 48
5 5 1 4
52 48 4 48
5
C
48
cách.
C C C . C 108336 cách chọn có ít nhất 2 con Át.
Câu 5: Đáp án A
Gọi n là số học sinh nữ của lớp n * ,n 28
.
Số cách chọn 3 học sinh bất kì là cách. Suy ra số phần tử của không gian mẫu n 3
C . 30
Gọi A là biến cố “chọn được 2 nam và 1 nữ”. Ta có
2 1
10
n A C C
30 n
n.
2 1
12 C C 12
14 45 240 0
29 C 29
30n
n
2
Theo đề P A n n n
3
30
So với điều kiện, chọn n 14.
Vậy lớp đó có 14 học sinh nữ.
Câu 6: Đáp án D
n
14
45 1065
n
.
2
5
Số phần tử của không gian mẫu là n C 30
142506.

Gọi A là biến cố: “đề thi lấy ra là một đề thi tốt”.
Vì trong một đề thi “tốt” có cả ba câu dễ, trung bình và khó đồng thời số câu dễ không ít hơn
2 nên ta xét các trường hợp sau:
• Trường hợp 1: Đề thi gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó có
• Trường hợp 2: Đề thi gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó có
• Trường hợp 3: Đề thi gồm 2 câu dễ, 1 câu trung bình và 2 câu khó có
n A C C C C C C C C C
Suy ra
3 1 1 2 2 1 2 1 2
Vậy xác suất cần tìm là P A
Câu 7: Đáp án D
Ta có
15 10 5 15 10 5 15 10 5
56875.
2
1
n n
2 3
3
lim lim
.
n n n
2 1 2 1
3 2
Câu 8: Đáp án C
Hàm số f (x) liên tục trên
Câu 9: Đáp án C
n A 56875 625
.
n 142506 1566
n
f x
liên tục tại các điểm x 0; x .
2
lim f x lim f x f 0
x0 x0
3
a
2 .
lim
f x
lim f x
f
2 b 0
x
x
2 2
Phép quay Q0; : A B; B C; C D; D A.
2
Do đó
2
Câu 10: Đáp án B
Rõ ràng a và b không cùng phương.
Ba vectơ abc , , đồng phẳng cặp số mn ; sao cho c ma nb
xu v 2w m u 2v 3w n u v w
3 1 1
C15C 10C 5
cách.
2 2 1
C15C 10C 5
cách.
2 1 2
C15C 10C 5
cách.
11

x m n u 1 2m n v 2 3m n w 0
Vì u, v,
w không đồng phẳng nên
Câu 11: Đáp án D
x m n 0
1 2m n 0 x 10.
2 3m
n 0
Hàm số đã cho có tập xác định là D ; 2 1;1 2; .
Ta có lim y 1, lim 1 suy ra y 1, y 1 là các tiệm cận ngang.
đứng.
x
x
lim y , lim y , lim y , lim y suy ra có 4 đường tiệm cận
x
2 x1 x1
x
2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 6 đường tiệm cận.
Câu 12: Đáp án D
1
m
y '
x 1
2018
2
Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 , 1;
(đồng biến) khi và chỉ khi
Câu 13: Đáp án A
y x m x
3 2
' 4 4 1 .
y m m
2018
' 0 1 0 1 1.
x
0
y ' 0
x
m
2
1
Dễ thấy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị với mọi m.
Với
xCT
2
2
m 1
giá trị cực tiểu yCT
m
2
Ta có
1 1
m 1 1 y 0max y 0 m 1 1 m 0.
2 2
CT
CT
Câu 14: Đáp án B
x 1 y 3 A 1; 3 , x 0 y 1 B 0;1
A B B
Vì đường thẳng y ax b đi qua hai điểm A và B nên ta có hệ:
a 1 b 3 a
4
.
a.0 b
1
b
1
12

a
Vậy 4.
b
Câu 15: Đáp án A
y x 2x a 4 x 1 a 5 .
2
Ta có 2
Đặt u x 1 2
khi đó x
2;1
thì u 0;4
Ta được hàm số f u u a 5.
Khi đó
2;1 u 0;4
Max y Max f u Max f 0 , f 4 Max a 5 ; a 1 .
x
• Trường hợp 1:
• Trường hợp 2:
u
0;4
a 5 a 1 a 3 Max f u 5 a 2 a 3.
u
0;4
a 5 a 1 a 3 Max f u a 1 2 a 3.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
Max y 2 a 3.
x2;1
Câu 16: Đáp án C
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến
là 1 và –1.
Do đó nên
Vậy có hai tiếp tuyến.
Câu 17: Đáp án C
1 x
0
1
x 1 2 x
2
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là nghiệm phương trình
x
1
x 1 x 3m 1 x 1
0
g x x m x
2
2
3 1 1 0 1
Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Khi đó
Giả sử x3 1:
m
1
m 1
0
1
m
1
g 1
0 3 m
3
m
1
*
Theo đề thì phương trình (1) có hai nghiệm x,x
1 2
:
13

5
2 2
2
m
x1 x2 14 x1 x2 2x1 x2
14 3
m
1
(thỏa mãn)
5
; 1 ;
3
.
Vậy m
Câu 18: Đáp án C
Xét hàm số Ct
2
0,28t
liên tục trên khoảng 0;24 .
t 4
C t
0,28t
0,28t
7 .
t 4
2 t .4 100
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
2 2
Dấu “=” xảy ra
2
t t
4 2.
Vậy sau 2 giờ nồng độ thuốc hấp thu trong máu là cao nhất.
Ngoài cách giải này, ta còn có thể lập bảng biến thiên của hàm số.
Câu 19: Đáp án D
2 a .5 b 2 c .5 d ln 2 a .5 b ln 2 c .5 d aln 2 bln5 cln 2 d ln5
Câu 20: Đáp án A
a c d b
ln 2 ln 5
Giả thiết bài toán cho ta x 0 và
2 2
x 4y
4.
Không mất tính tổng quát, giả sử y 0 . Đặt t x y . Khi đó ta có
2 2
3y 2ty 4 t 0.
2 2
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi
Do x 0 và y 0 nên t x y x y 3.
Câu 21: Đáp án A
Ta có P
3 3 2
3 3 3
2
4t 12 4 t 0 t 3.
log 5 2a 2a 3b
log 675 log 5 .3 2log 5 3 2 3 3 .
log 3 b b
Câu 22: Đáp án C
1
x
Ta có y ' cos ln x sin ln
x
2cos ln x
y '' .
2
x
14

Khi đó
2cos ln x 1
x x
2 2
x y '' xy ' y x .
x. cos ln x sin ln x sin ln x cos ln x
2
0.
Câu 23: Đáp án A
3
Ta có
2 3 4
x
3 4
x
4
x x
log log log 0 log log 1 log 3 4 .
Giải tương tự ta thu được
y
4 2
2 ; z 3 .
Khi đó 3 x
4
y z 9
Câu 24: Đáp án D
Hàm số đã cho đồng biến khi và chỉ khi
2 2
a a a a a
3 3 1 3 2 0 1 hoặc a 2.
Câu 25: Đáp án B
Do x 0;
e
2 2 2 2 2 2
nên 2
f x ln 2x 2x x e e ln x x e
ln x x e ln x x e
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn 0;e .
1
Ta có f ' x 0, x 0;
e
x
e
2 2
Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn 0;e .
Khi đó
x
0; e
min f x f 0 1.
Câu 26: Đáp án B
2 2 2 2
a a a 100
• Năm 1999, thể tích khí CO
2
là V1
V V. V 1 V. .
100 100 100
• Năm 2000, thể tích khí CO2
là
…
.
15
2 2
a a100
V2
V. 1 V. .
100 100
Từ năm 1998 đến 2016 là 18 năm, trong đó 10 năm đầu tăng a% và 10 năm sau tăng b% cho
10 8
a100 b100
100 a
100 b
nên thể tích sẽ là V. . V. .
36
100 100
10
Câu 27: Đáp án C
10 8

• 0;1
1 1
2018 2019 2018 2019
. Do đó A đúng.
x x x x dx x dx
0 0
• Gọi F là một nguyên hàm của
f t
1
. Khi đó
2018 t
x
1
dt
2018
Suy ra F ' x f x
'
x
1
F t F x F
1
t
x
dt 1
2018 t
2018 x
1
Do đó B đúng.
• C sai vì thiếu giả thiết f (x) là hàm số chẵn.
• D đúng theo tính chất của tích phân.
Câu 28: Đáp án C
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần (hoặc bấm máy tính) ta có được
2
0
xsin xdx 1
Khi đó
1 2
2
2
m
1 1
2
4 1 3.
I m xdx m m
4
0
Câu 29: Đáp án D
x
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y x và x 2y 0 y là
2
x
x
2
x
0
x
x
4
2
x
0
hoặc x 4.
Diện tích hình phẳng cần tìm là
4 4 3 2 4
x x 2 x x 4
S x dx x dx
2 2 3 4 3
0 0
0
.
Diện tích toàn phần của một khối tứ diện đều cạnh
4
2 3
3
là
S xq
2
4
2 3 3 4
4.
.
3
4 3
Câu 30: Đáp án D
Thể tích cần tìm là V
1
dx
0 1
4 3x
2
16

Đặt
t 3 2
4 3 x dt .
2 4 3x
dx dx
3
tdt
Đổi cận x 0 t 2; x 1 t 1.
2 2
2 t 2 1 1
Khi đó V
2 2
3
dt dt
1 1 3
t
1
t
1 1t
Câu 31: Đáp án C
Đặt
2
2
1 3
ln 1 t 6ln 1
3 1
t 9 2
u ln sin x cos x
du
dx
dx sin x
dv
2
cos x v
tan x
1
Khi đó
3 3
ln sin
x
3
tan .ln
2
sin
cos x
6
6 6
I dx x x x dx
3 3 1 3
3 ln ln 3 ln
3
2
2 2 3 2
4
6
1
a 3; b A 1.
6
Câu 32: Đáp án A
Khi tàu dừng lại thì v 0 200 20t 0 t 10 s .
Ta có phương trình chuyển động với tại thời điểm đang xét với t0 0;10
t0 2
20t
t
s vt
dt 100t 200t 10t
2 0
0
Khi đó
0 2
0 0
S 750 10t 200t 750 0 t 5
vì
Lệch nhau:10 5 5 s.
Câu 33: Đáp án B
2
0 0 0
t0 0;10 .
Ta có 3 điểm M 8;3 , N 1;4 , P5; x MP3; x 3 , NP 4; x 4
MNP vuông tại P MP. NP 0 12 x 3x 4
0 x 0; x 7 .
Câu 34: Đáp án A
17

Gọi z a bi a,
b
Ta có 2 3 2 3 1
i z z i a b i a b i
2
2 2 2
a 2 b 3 a b 1 a 2b
3
Ta cần tìm z sao cho
a
b đạt giá trị nhỏ nhất.
2 2
2
2 2 2 2 6 9 9
Ta có
a b 2b 3 b 5 b
.
5 5 5
2 2 9 6 3 3 6
min a b b a z i.
5 5 5 5 5
Do đó
Vậy
3 6
z i .
5 5
Câu 35: Đáp án A
Giải phương trình ta được bốn nghiệm là i; i; 2 i; 2 i.
Do đó ta có:
S
1 1 1 1
1 i 1 i 1 2i 1
2i
2 2 2 2 7
.
1 1 1 2 1 2 2 5 5
i i i i
Câu 36: Đáp án A
Do a b 1 nên ta có thể đặt a cos A i sin A; b cos B i sin B
2 2
Khi đó ta có x cos A cos B sin A sin B 1
cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos cos
2 2
y A B A B A B A B A B A B
Rút gọn ta có
x 3 2cos A B 2 sin A sin B ;
y 3 2cos A B 2 sin A sin B
Do đó x y.
Câu 37: Đáp án B
Gọi z a bi . Suy ra z a bi i.
z ia b
z 2 i. z a bi 2 ia b a 2b b 2a i 3 3i
Khi đó
18

a2b
3
a b 1
b
2a
3
Do đó
2017 2018
P 1 1 2.
Câu 38: Đáp án A
Do tam giác ABC đều cạnh a và M là trung điểm BC cho nên AM
AM
BC và AA' BC A'
M BC
Góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là A' MA 60 .
BC và
a 3
AM .
2
Tam giác A’AM vuông góc tại A nên
a 3 3a
AA' AM.tan 60 . 3
2 2
Diện tích hình chữ nhật BB’C’C là
AM
S
BB ' C ' C
BC và AM BB ' AM BB ' C ' C
3a
BB '. BC
2
2 3
1 1 3a a 3 a 3
Thể tích khối chóp A.BB’C’C là: V . SBB ' C ' C
. AM . . (đvtt).
3 3 2 2 4
Câu 39: Đáp án A
Gọi M là trung điểm CD, P là hình chiếu của H lên
SM khi đó HM CD;
CD SH CD HP mà
HP SM HP SCD . Lại có AB // CD suy
ra AB // SCD
; ;
d A SCD d H SCD HP
1 1 1
Ta có suy ra
2 2 2
HP HM HS
a 6
d A SCD .
3
Vậy ;
Câu 40: Đáp án D
a 6
HP
3
BC A' H ABC A' AH 30
Gọi H là trung điểm
Ta có
a 3
AH ; A ' H AH .tan 30 a 2
2
Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC.
19
2

Gọi G là tâm của tam giác ABC, qua G kẻ đường thẳng d//A’H cắt AA’ tại E.
Gọi F là trung điểm AA’,trong mp (AA’H) kẻ đường trung trực của AA’ cắt d’ tại I I là
tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’.ABC và bán kính R
IA .
Ta có
1 a
a 3
AEI 60 ; EF AA' ; IF EF.tan 60 .
6 6 6
2 2 a 3
Vậy R AF IF .
3
Câu 41: Đáp án B
Theo cách 1: 8 chính là chu vi đường tròn đáy của cái phễu. Điều này có nghĩa là
2r
8
r 4.
Suy ra
h R r
2 2 2 2
5 4 3.
Do đó V
1
1
.3. .4
3
2
Theo cách 2: Tổng chu vi của hai đường tròn đáy của cái phễu là 8 chu vi của một
đường tròn đáy là 4 2r r 2.
Suy ra
Do đó V
h R r
2
2 2 2 2
1
3
2
1. 21.2 .
2
V1
4 2 21
Vậy
V 2 8 21
7
3
Câu 42: Đáp án A
5 2 21.
Ta có: SA AB, SA AC, BC AB,
BC SA
Suy ra, BC SAB
nên: BC SB
Do đó, tứ diện S.ABC có 4 mặt đều là các tam giác
vuông.
Ta có: AB là hình chiếu của SB lên (ABC) nên
SBA 60
SA SA a 3
tan SBA AB a
BC
AB tan SBO 3
2 2 2 2
AC AB BC a a a
2
20

2
2 2 2
SB SA AB a 3 a 2a
Do đó ta có Stp SSAB SSBC SSAC SABC
Vậy
Stp
1
SA. AB SB. BC SA. AC AB.
BC
2
1
3. 2 . 3. 2 .
2 a a a a a a a a
3 3 6
. a
2
3 3 6
. a
2
Câu 43: Đáp án D
3
Theo đề bài ta có V 18000 cm , h 40 cm.
2
2
1 2 3V
3.18000
Do đó, ta có: V r h r r 20,72 cm.
3 h
40
Vậy bán kính của hình tròn là r 21 cm.
Câu 44: Đáp án A
3
a a a
Ta có V1 a. . và V
4 4 16
Do đó V V . 1 2
2
3
1 3 3
a a a
a. . . . .
2 3 2 3 36
Câu 45: Đáp án B
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u 2; 3;1
, qua H 2;4; 1
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n A; B; C; A 2 B 2 C
2 0
Ta có d P
.
un . 0
2A 3B C 0 C 2A 3B
/ /
*
H2;4; 1 P
3A 4B C 0 C 3A 4B
Mặt khác (P) qua K 1;0;0
suy ra
Ngoài ra d M P
5A8B
;
3
2 2
A B B A
2 2
5A 22AB 17B
0
P : Ax By 3B 2 A . z A 0
3 2 2
A
B
5A
17B
21

• Với A B C B không thỏa mãn (*)
• Với 5A 17B, chọn A 17 , suy ra B 5 , do đó C 19 (nhận)
Vậy P :17x 5y 19z
17 0.
Câu 46: Đáp án B
Do b x ; y ;z cùng phương với a 1; 2;4
nên b k; 2 k;4k
0 0 0
Mà
b k k k k
2 2 2 2
21 4 16 21 nên suy ra 1
k .
Ở bài toán này cần chú ý vectơ b tạo với tia Oy một góc nhọn. Khi đó y0 0 , suy ra k 1.
Do đó x0 1, y0 2, z0
4.
Vậy x0 y0 z0 3.
Câu 47: Đáp án A
Kiểm tra thấy A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P)
Ta tìm được điểm đối xứng với B qua (P) là B ' 1; 3;4
Lại có MA MB MA MB ' AB ' const .
Vậy MA MB đạt giá trị lớn nhất khi M, A, B’ thẳng hàng hay M là giao điểm của đường
thẳng AB’ với mặt phẳng (P).
x
1t
z
2t
Đường thẳng AB’ có phương trình tham số là y 3 t
Tọa độ điểm M ứng với tham số t là nghiệm của phương trình
Suy ra a 2, b 3, c 6
1 t 3 2t 1 0 t 3 M 2; 3;6
.
Vậy a b c
1.
Câu 48: Đáp án C
Ta có hệ giao điểm như sau
1 mt ' t 5
3 t' 2t
3
5 mt ' t 3
t' 2t
2m1t
4
2mt
1 t 5
.
2m1t
8
2mt
5 t
3
22

Hệ có nghiệm duy nhất
Vậy m là một số hữu tỉ dương.
Câu 49: Đáp án C
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
2x y z 0 có phương trình là:
4 8 3
m .
2m1 2m1 2
x 1 y z 1
d: và vuông góc với mặt phẳng (Q):
2 1 3
Đường thẳng (d) có VTCP là a 2;1;3
đi qua điểm A1;0; 1
VTPT của mặt phẳng là: n 2;1; 1
Q
d
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (Q) có VTPT là
nP ad , n
Q
4;8;0 4 1; 2;0
Phương trình mặt phẳng (P) là: 1
x 1
2y 0 x 2y
1 0
Câu 50: Đáp án D
Phương trình mặt phẳng (ABC) là 2x y z 1 0 .
Gọi I (x; y; z) là tâm của mặt cầu.
và I ABC
Do IA IB IC
Do đó I 0;2;1
Vậy bán kính của mặt cầu là R d I Oxz
cho nên ta xây dựng được hệ phương trình sau
x y z 1 0 x
0
y z 3 0 y
2
2x y z 1 0
z
1
; 2.
23

ĐỀ SỐ 2
BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2 2
3sin x 1
4sin x
y trong khoảng 0;
4
cos x
6 .
A. 1 .
2
B. 1 .
3
C. 1 .
4
D. 1 .
5
Câu 2: Tìm nghiệm của phương trình
2 2
sin x 2 sin x sin x 2 sin x 3
A. x k . B. x k.
C. x k2 .
D. x k4 .
2 2
2
2
2
(Ở đây k là số nguyên).
n
Câu 3: Cho khai triển
trị của
6
3 994 2
n 3 1
2 14
0 1 2 14
1 2x x x 1 a a x a x ... a x . . Tìm giá
a biết n thỏa mãn 3C 1 3 3 5 5 2 1 2 1 2
2
3
2
3
2
... 3 n n 2
2048 2 n
n
C
n
C
n
C
n
1
.
A. a6 41748. B. a6 41784. C. a6 41847. D. a6 41874.
Câu 4: Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người
để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.
A. 111300. B. 111400. C. 300111. D. 400111.
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ở góc phần tư thứ I, II, III, IV lần lượt lấy 3 ; 4 ; 5 ; 6
điểm phân biệt. Các điểm đó không nằm trên hệ trục tọa độ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối
hai trong 18 điểm đó cắt cả hai trục tọa độ.
A. 13 .
50
B. 23 .
50
C. 13 .
51
D. 23 .
51
Câu 6: Trong một cuộc thi „„Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn
An, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí
chơi, Ban tổ chức chia thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được ?
thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ cùng thuộc 1 nhóm.
A.
7
3876
B.
3
3876
C.
5
3876
D.
1
3876
1

Câu 7: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn 2 a, 2 a b, 2b
1 theo thứ tự lập thành một
2 2
cấp số cộng và b 3 , ab 4, a
1
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng ?
A. a
b
5 9 B.
Câu 8: Tìm giới hạn của hàm số
a 4 .
b 13
C. 20 .
9
3x
5
lim .
x
x x
2
9 2 1
ab D. a
b
A. –3 B. 3 C. –1 D. 1.
Câu 9: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn ;
ab thỏa mãn
9 5.
f a
b , f b
a với
ab , 0. Hỏi phương trình nào trong các phương trình dưới đây có nghiệm trong khoảng
ab ; ?
A. f x 0. B. f x
x C. f x ax b.
D. f x a b x.
Câu 10: Cho hàm số
x
f '
0 .
4
x x1
f
x
1
2
x x1 2
. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
A.
S
1 ;
2
Câu 11: Đồ thị hàm số
B.
S
1 ;
2
C. S ; 3
D. S 3;
3 2
3 2 có 2 điểm cực trị là 2;2
y x x
M và 0; 2
N . Tìm giá
trị của m thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng d : y m tại 3 điểm phân biệt.
A. 2 m 0. B. 0 m
2. C. 2 m 2. D.
m
2
m
2
Câu 12: Cho đường cong C
M
4;7
C
x t
:
2
3
y t
. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
1
là phương trình nào trong các phương trình dưới đây ?
A. x y 5 0.
B. 3x y 5 0.
C. 4x7 y 0
D. 4x 7 y12 0
y x 3 a 1 x 3a a 2 x 1. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề
3 2
Câu 13: Hàm số
đúng ?
2

A. Hàm số luôn đồng biến x
.
B. Hàm số luôn có cực trị với mọi a.
C. Hàm số luôn nghịch biến x
.
D. Hàm số nghịch biến từ ; a 2 a;
Câu 14: Tìm giá trị của m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị hàm số
điểm A, B tạo thành tam giác OAB thỏa mãn
y
1 1
1 với O là gốc tọa độ.
OA OB
A. m 2. B. m 2.
C. m 1. D. m 1.
x 2
tại hai
x 1
Câu 15: Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng như hình dưới. Hai
mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 m, rộng 5 m. Gọi x (mét) là
độ dài cạnh BC. Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất.
A. 5 2. B. 2 5. C. 10 D. 2
Câu 16: Cho hàm số
m
mx m
7
y
5xm3
của H . Tìm quỹ tích điểm I.
có đồ thị H
m
. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận
A. 5x 5y 3 0.
B. 15x15y1 0.
C. x y 3 0.
D. x 3y1 0.
Câu 17: Cho hàm số
m.
2 2
mx 1
y . Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi
x
A. 0;1 . B. 1;1 . C. 2;1 . D. Không có.
3 3
Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 1 x 1 x .
A. 3 2 B.
Câu 19: Biết đồ thị hàm số
3
2 6
C. 1 D. 2
chỉ có một cực trị là điểm có tọa độ 0; 1
4 2
y x mx n
Hỏi m và n thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau đây ?
A. m 0 và n 1.
B. m 0 và n 1.
C. m 0 và n 0.
D. m 0 và n .
.
Câu 20: Cho hàm số
3
y x x
3 1 có đồ thị như hình
bên. Bằng cách sử dụng đồ thị dưới đây, tìm các giá trị của
3

m để phương trình
3
x x m
3 1 log 2
có ba nghiệm phân biệt.
A. 1 m 8. B. 1 m 4.
2
4
C. 1 m 8. D. 1 m 4.
2
4
Câu 21: Cho 0a
1 và b 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
2 4 4
log b log b log b .
B. log b log 2 b log b .
2 4 4
A.
a 2 2
a a
2 4 2
2 4
C. log b log 2 b 6log b .
D. log b log 2 b log b.
a
a
Câu 22: Đạo hàm của hàm số log 5 x
x
5
a
y là :
a
a
a
a
a
a
A.
x
5 ln 5
y '
.
x
5 5 ln
B.
x
5
y ' .
x
5 5
C.
y '
5
x
x
5 5 ln
D.
x
5 ln 5
y ' .
x
5 5
Câu 23: Tìm tập xác định của hàm số
y
2018
log 3 log x log x
2
6 1 5
5
5
A. D 0;1
B. 1;
C. D ;0
D. 1;
Câu 24: Cho hàm số f x 2018 x
. Tính giá tị của biểu thức
P
. 1 . 2 . 3 . 4
f 5x
f x f x f x f x f x
A. 10.2018 B.
2018
2018 C.
10
2018 D.
2018 2019
x x x
2
7 8 15 x 10x11
Câu 25: Tìm số nghiệm của phương trình
log 10
x1
2018
10
0.
A. Vô nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 2 nghiệm. D. 3 nghiệm.
Câu 26: Cho a log30
3 và b log30
5 . Tính giá trị log30
1350 theo a và b:
A. a2b 1. B. a2b 2. C. 2ab 1. D. 2ab
2.
Câu 27: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình
Hỏi tập S có đặc điểm gì?
2
ln ex
2 1
2
x x x
6 ln 2ln 4 2 ln 2
.
2
4

A. Tập S có hữu hạn phần tử.
B. Tồn tại ít nhất một phần tử thuộc tập S là số nguyên tố.
C. Tồn tại vô số phần tử thuộc tập S là vô số tỉ.
D. Tập S là tập rỗng.
Câu 28: Thầy Quốc dự trù cho việc học tập của con trong tương lai bằng cách gửi tiền bảo
hiểm cho con từ lúc con tròn 6 tuổi, hằng tháng Thầy Quốc đều đặn gửi vào cho con 300 000
đồng với lãi suất 0,52% một tháng. Trong quá trình đó Thầy Quốc không rút tiền ra. Đến khi
con tròn 18 tuổi số tiền đó sẽ dùng cho việc học nghề và làm vốn cho con.
Hỏi khi đó số tiền Thầy Quốc rút ra là bao nhiêu đồng?
A. 64 392 497. B. 65 392 497. C. 66 392 497. D. 67 392 497.
Câu 29: Cho tích phân x 1
4
2018 2017 2019
P m m .
m
2
2x
3 e
e dx với m 0
4
0
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
dx a b
Câu 30: Cho I
2 dx
2x
x1
x 1 c2x
1
. Tìm giá trị của biểu thức
. Tính giá trị của biểu thức
2 2 4 4 2019 2020
2018 2022
P 5 a b 6ab b a 2a b c 2021 :
A. 1 B. 3 .
2
C. 3. D. 0.
Câu 31: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y
2
x 1 và y x 5
.
A. 73 .
6
B. 73 .
3
Câu 32: Mệnh đề nào là sai trong các mệnh đề sau ?
A. Hàm số Fx
2
x 6x1
và Gx
2x
3
2
B. Hàm số F x 5 2sin x và G x 1 cos 2
C. 12. D. 14
2
x 10
là các nguyên hàm của cùng một hàm số.
2x
3
x là các nguyên hàm của cùng một hàm số.
C. Hàm số F x x 1 2
1 là một nguyên hàm của hàm số f x
x 1
.
1 1
x 2
D. Hàm số F x sin x là một nguyên hàm của hàm số cos
f x x .
5

Câu 33: Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
x
x 2
x 0, x 2, y e và y e quanh trục Ox gần nhất với giá trị nào trong các giá trị
dưới đây ?
A. 128,23. B. 128,24. C. 128,25. D. 128,26.
Câu 34: Cho f (x) là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 . Trong các công thức sau,
công thức nào đúng ?
1
1
f x
f x dx f x dx .
4
2
1
A. 2
1
0 0
1
B.
2
f xdx f f
0
1
' 0 .
2
2 1
1
2
C. 2
2
f x dx 2 xf x dx f x dx.
0 0 1
x x
f x f dx f x f dx.
2
2
1 1
D.
0 0
Câu 35: Một xe tải đang chạy với vận tốc 60 km h thì tài xế đạp thắng (đạp nhanh). Sau khi
đạp thắng, xe tải chuyển động chậm dần đều với vậ tốc vt 27t 24 m s
2
, trong đó t là
khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp thắng. Hỏi từ lúc đạp thắng đến khi
dừng hẳn, xe tải còn di chuyển khoảng bao nhiêu mét ?
A. 2 m. B. 5 m. C. 8 m. D. 11 m.
Câu 36: Tìm phần ảo của số phức
n
2 2 3i
z
3 i
, với n là số nguyên dương thỏa
4
mãn n
log 3 log n 9 3:
4 2
A. 64 3.
B. 64i . C. 64 D. 64 3
Câu 37: Cho số phức z a bi thỏa mãn
A. – 5 B. 3 .
5
A. Một hình tròn. B. Một hình viên phân.
6
2
z 2 z
i
2iz
0. Tính tỉ số a z 1
i
b .
C.
3
.
D. 5.
5
Câu 38: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng
thỏa mãn z 2 3i 41
i 2 i 4 i 6 i
8
với phần thực không âm.

C. Một hình vành khăn. D. Một hình quạt.
Câu 39: Cho u, v là các số phức ta có các mệnh đề sau :
(I). u
v và u v là hai số phức liên hợp của nhau.
(II). uv và uv là hai số phức liên hợp của nhau.
(III). u
v và u v là hai số phức liên hợp của nhau.
Tìm số mệnh đề đúng ?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB 2 a,
AD a . Hình
chiếu vuông góc của S lên mặt đáy (ABCD) là trung điểm H của AC, góc giữa mặt bên (SAD)
và mặt đáy (ABCD) bằng 60 . Gọi M là trung điểm của SA. Thể tích khối chóp S.ABCD
A.
3
4a
3
3
B.
3
2a
15
3
C.
3
8a
5
3
D.
3
2a
3
3
Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc BAC 60, hình
chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc tạo bởi hai
mặt phẳng (SAC) và (ABCD) là 60 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.
A. 3 a
7
B.
3a
2 7
a
C.
2 7
Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N,
P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn SA 2SM
; SB 3SN
;
SC 4SP
; SD 5SQ
. Tính thể tích khối chóp S.MNPQ
A. 2 .
5
B. 4 .
5
C. 6 .
5
D.
9a
2 7
D. 8 .
5
Câu 43: Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Gọi
V1,
V
2
lần lượt là thể tích khối trụ và thể tích của hình lăng trụ đều nội tiếp bên trong hình trụ
đã cho. Tính tỉ số
V
V
A. B. .
2
2
1
C. 1 .
D. 2 .
7

Câu 44: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB c,
AC b . Gọi V1 , V2 , V
3
là thể tích các khối
1
tròn xoay sinh bởi tam giác đó khi lần lượt quay quanh AB, CA, BC. So sánh
2
V
3
và
1 1
.
V V
2 2
1 2
1 1 1
1 1 1
. B.
2 2 2
V V V
A.
2 2 2
V3 V1 V2
C.
2 2 2
V3 V1 V2
3 1 2
1 1 1
1 1 1
D.
2 2 2
V V V
3 1 2
Câu 45: Một thùng hình trụ chứa nước, có đường kính đáy (bên trong) bằng 12,24 cm. Mực
nước trong thùng cao 4,56 cm so với mặt trong của đáy. Một viên bi kim loại hình cầu được
thả vào trong thùng nước thì mực nước dâng cao lên sát với điểm cao nhất của viên bi. Tính
bán kính gần đúng nhất của viên bi biết rằng viên bi có đường kính không vượt quá 6 cm.
A. 2,59 cm. B. 2,45 cm. C. 2,86 cm. D. 2,68 cm.
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 2;0;1
và hai mặt phẳng
P : x y 2z
1 0 ; Q : 3x y z 1 0
.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
A. : 3x 5y 4z10 0.
B. : 3x 5y 4z
10 0.
C. : x 5y 2z
4 0.
D. : x 5y 2z
4 0.
Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x 1 2 y 2 2 z
1
2
9 và điểm A3;4;0
S
Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện với (S) với A.
A. 2x 2y z 2 0.
B. 2x 2y z 2 0.
C. 2x 2y z 14 0.
D. x y z 7 0.
Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;4;5 , B0;3;1 , C 2; 1;0
và mặt phẳng (P) có phương trình là 3x 3y 2z
15 0 .Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt
phẳng (P) sao cho
2 2 2
MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M 4; 1;0 B. M 4; 1;0 C. M 4;1;0
D. M 1; 4;0
8

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 2; 1;1
và hai đường thẳng
x 2 y 1 z 1
d1
:
1 2 2
; d2
x 2 y 3 z 1
: . Lập phương trình đường thẳng biết
2 1 1
cắt d1,
d
2
lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
A.
x
2
y 1 t
z
1
B.
x
2
y 1 t
z
1
C.
x
2
y
1 t
z
1
D.
x
2
y 1 t
z
1
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm M 2;0;0 , N 1;1;1
. Mặt phẳng
(P) thay đổi qua M, N cắt trục Oy, Oz lần lượt tại 0; ;0 , 0;0;c
nào trong các hệ thức sau đây là đúng?
A. bc
2 2 c.
B.
2 2
b c b c
B b C với bc , 0. Hệ thức
. C. bc
1 c.
D. cb
1 b.
Đáp án
1-C 2-B 3-A 4-A 5-C 6-D 7-A 8-C 9-B 10-A
11-C 12-B 13-B 14-B 15-A 16-A 17-D 18-D 19-A 20-A
21-B 22-A 23-A 24-C 25-A 26-C 27-A 28-A 29-A 30-D
31-B 32-D 33-B 34-C 35-D 36-C 37-B 38-B 39-D 40-D
41-B 42-D 43-D 44-B 45-A 46-D 47-C 48-B 49-A 50-A
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án C
Vì x 0;
6
2
nên x x x
1 4sin 1 2sin 1 2sin 0.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x x
1
max 3sin 1 4sin
4
2 2
y x x
2 1 1
cos 2x
1 5
sin x cos 2 x
.
7 2 7 7
Câu 2: Đáp án B
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có
9
2 2 4
2 2 3sin x 14sin x cos x
3sin 1 4sin
.
2 4

1.sin 2 sin sin 2 sin 2
2 2 2
VT x x x x
2 x 2 x 2 x 2 x
1 2 sin sin sin 1 2 sin 9.
Suy ra VT 3.
.
2
Dấu “=” xảy ra sin x 1 x k
k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x k
k
Câu 3: Đáp án A
2
n n n n n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
1 x C C x C x C x C x C x ...
C x C x
Xét khai triển 2 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2 1 2 1 2 2
• Chọn x 3 ta được
C 3C 3 C 3 C x 3 C 3 C ... 3 C 3 C 4
0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2n1 2n1 2n 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
• Chọn x 3 ta được
C 3C 3 C 3 C x 3 C 3 C ... 3 C 3 C 2
0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2n1 2n1 2n 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được:
2 3C 3 C 3 C ... 3 C 4 2
1 3 3 5 5 2 1 2 1 2 2 2n 2n 2n 2n
2n 2n 2n
2 2048 2 1 4 2 n 6
Với n 6 ,thay vào khai triển đã cho ta được:
Ta có x x 1 1 2x 2
2
2 1 3
nên
4 4
10 2 2 14
0 1 2 14
1 2x x x 1 a a x a x ...
a x
2
1 2x x x 1 1 2x 1 2x 1 2x
10 2 1 14 3 12 9
10
.
16 8 16
Trong khai triển 1 2x 14
hệ số của
2 C và trong khai triển 1 2x 10
6 6
12
Vậy hệ số
Câu 4: Đáp án A
Cách 1
6
x là:
hệ số của
2 C ; trong khai triển 1 2x 12
6 6
14
6
x là
1 6 6 3 6 6 9 6 6
a6 2 C14 2 C12 2 C10
41748 .
16 8 12
+ Trường hợp 1: Chọn 1 nữ và 4 nam.
10
6 6
2 C
10
hệ số của
6
x là:

- Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có
- Bước 3: chọn 2 trong 13 nam còn lại có
Suy ra có
2 2
15 13
2
C
13
cách.
5 A . C cách chọn cho trường hợp 1.
+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.
- Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có
2
C
5
cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có
- Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách.
2 2
Suy ra có 13 A . C cách chọn trong trường hợp 2.
15 5
+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam.
- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có
3
C
5
cách
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có
2
A
15
cách.
2
A
15
cách.
2
A
15
cách.
Suy ra có
A . C cách chọn cho trường hợp 3.
2 3
15 5
Vậy có
Cách 2
5 A . C 13 A . C A . C 111300 cách.
2 2 2 2 2 3
15 13 15 5 15 5
+ Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có
+ Bước 2: chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ.
- Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam có
- Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có
- Trường hợp 3: chọn 3 nữ có
2 2 2 3
Vậy có A15 C13 C5 C5
Câu 5: Đáp án C
3
C
5
cách.
2
5C
13
cách.
2
13C
5
cách.
. 5 13 111300 cách.
2
A
15
cách.
Chọn 2 trong 18 điểm có
C cách chọn. Suy ra
2
2
18
253
n C 18
153.
Gọi A là biến cố: “đoạn thẳng nối 2 trong 18 điểm cắt cả hai trục tọa độ”.
Để đoạn thẳng nối hai điểm cắt cả hai trục tọa độ thì hai điểm đó phải ở góc phần tư thứ I và
III hoặc ở góc phần tư thứ II và IV.
Có tất cả C C
1 1 1 1
3 5
C4C6 39
n A .
đoạn như vậy. Suy ra 39
11

Vậy xác suất cần tìm là P A
Câu 6: Đáp án D
Có
n A 39 13
.
n 153 51
5 5 5 5
C20C15 C10C 5
cách chia 20 bạn thành 4 nhóm A,B,C,D.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là:
5 5 5 5
n
C C C C .
Gọi X là biến cố: “có 5 bạn nữ cùng thuộc một nhóm”.
Với 5 bạn nữ thuộc nhóm A sẽ có
Do vai trò các nhóm như nhau nên sẽ có
D trong đó có 5 bạn nữ cùng thuộc một nhóm.
n X
4. C C C
Suy ra
5 5 5
15 10 5
Vây xác suất cần tìm là: P X
Câu 7: Đáp án A
Giả thiết bài toán cho ta
a b a b
a b
2 2 2
b 3 a 1 ab
4
12
20 15 10 5
5 5 5
C15C 10C 5
cách chia các bạn nam vào 3 nhóm còn lại.
5 5 5
4.C15 C10C 5
cách chia các bạn vào các nhóm A, B, C,
4. C C C 4 1
C C C C
3876
.
5 5 5
15 10 5
5 5 5 5 5
20 15 10 5
C20
2 1 2 1 2 2 2 1
b 3 a 1 ab 4
13
a 2b 1
a
a12b
5
2 .
b 3 2b b 2b
4 5b
4 4
b
5
Do đó 5ab
9.
Câu 8: Đáp án C
Ta có
5 5
x 3
x 3
3x 5
x x
lim lim
lim x
1.
x x
2 1 2 1
x x x x
x 2
x x
9 2 1
x 9 x 9
2 2
Câu 9: Đáp án B
Xét hàm số g x f x
x .
Do
f x liên tục trên đoạn ;
ab nên
Ta có
g x cũng liên tục trên đoạn
g a f a a b a; g b f b b a b.
ab ; .

Khi đó g a. g b a b 2
0. Suy ra c a b g c
; : 0.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng ab ; .
Câu 10: Đáp án A
Ta có
Do
nên
f '
x
2 2x
1
2
x x 1 0, x
2
x x1 3
và
x
f ' 1
0 2x1 0 x .
4
x x1 2
2 2
4 2 1 1 1
x x 1 x x 0, x
2 2 2
x
f '
Do đó tập nghiệm của bất phương trình 0 là S
4
x x1
Câu 11: Đáp án C
Điểm cực trị là M 2;2
và N 0; 2
yC
D
2; yCT
2.
Đường thẳng d:y
y m y 2 m 2.
CT
CD
Câu 12: Đáp án B
x
t
2
m cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt
C : M 4;7 C
3
y t
1
2
4 t
M C
t t
Ta có:
2
7 1 2
2
dy dy dx 3t 3t
f ' x
:
dx dt dt 2t
2
Hệ số góc tiếp tuyến tại M là:
3.2
f ' 4
3.
2
Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là:
Câu 13: Đáp án B
Ta có y ' 3x 2 6a 1 x 3a a
2
1 ;
2
y 7 3 x 4 3x y 5 0
13

xa2
y ' 0
x
a
Vậy hàm luôn luôn có cực trị, đồng biến trên , a 2 , 2;
a 2; a .
Câu 14: Đáp án B
và nghịch biến trên
Xét phương trình hoành độ:
x 2
x 1
x
m 2
x 1
x mx m 2 0 *
Phương trình (*) có
với mọi m .
2
m 4m 8 0, m
. Suy ra (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1
Vậy d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A,B với mọi m.
Gọi ; , ;
A x1 y1 B x2 y
2
với
1,
2
x x là hai nghiệm của (*). Khi đó y1 x1 m ; y2 x2
m
Ta có
OA 2x 2mx m m 2m
4
2 2 2
1 1
Từ
2
OB m m
2 4
1 1
1 ta có
OA OB
m
2
2
2
m
0
1 m 2m 4 2
2m4
m
2.
Vì O, A, B tạo thành tam giác nên giá trị thỏa mãn là m 2.
Câu 15: Đáp án A
Ta có đáy ABC là tam giác có các cạnh là 5;5;x.
1 1
SABC 10 x . x. x 10 x x 100 x , x 0;10
4 4
2
Ta có thể tích lăng trụ V x S AA x x 2 f x
ABC . ' 5 . 100
14

Hình lăng trụ có thể tích lớn nhất hàm số
f x đạt GTLN với 0;10
x .
Ta có
2 2 2
f ' x 0 100 x x x 50 x 5 2.
Bảng biến thiên:
Vậy
max V 250
x .
3
m khi và chỉ khi 5 2
Câu 16: Đáp án A
Ta có
lim
m
x
3
5
m
y và lim y .
x
5
m
Suy ra đồ thị H có hai đường tiệm cận là
Khi đó giao điểm của hai tiệm cận là
m
3 m
I ;
5 5 .
Vậy quỹ tích điểm I là đường thẳng có phương trình
Câu 17: Đáp án D
m
3 m
x ; y .
5 5
Thay từng tọa độ ở các phương án A, B, C thấy không thỏa.
Do đó phương án D là phương án đúng nhất.
Câu 18: Đáp án D
- Tập xác định của hàm số là .
- Đạo hàm
1 1
y ' .
3
2
3
2
3 1 1
x x
3 3
- Ta có
2 2 2 2
3
y x 5x 5y
3 0.
5
y ' 0 1 x 1 x 1 2x x 1 2x x x 0 .
Lập bảng biến thiên ta tìm được giá trị lớn nhất của hàm số là 2 khi và chỉ khi x 0 .
Câu 19: Đáp án A
15

Hàm số đã cho có a 1 0 nên để đồ thị của nó có một điểm cực điểm thì phương trình
3 2
y ' 4x 2mx 2x 2x m
có nghiệm duy nhất. Điều này có nghĩa là phương trình
vô nghiệm hoặc có nghiệm x 0 . Khi đó m 0 .
2
2x
m 0
Do đồ thị hàm số chỉ có một cực trị là điểm có tọa độ 0; 1
nên ta tìm được n 1.
Câu 20: Đáp án A
Theo hình bên phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
Câu 21: Đáp án B
1
yCT
log2m yCD
1 log
2m 3 m 8.
2
2 4 2 2 2 4
Ta có log b log 2 b log b log b 2log b log b .
a a
a a 2
a
Câu 22: Đáp án A
Ta có
y '
Câu 23: Đáp án A
x
x
x
x
5 5 ' 5 ln 5
.
5 5 ln 5 5 ln
x
0
log log
5
5
2 log13
5
Hàm số xác định khi và chỉ khi x x
Ta có x x
log log 2 log 3
5
5 1
5
log x log x 2 log x log 3 log x 2
2 2
5 5 5 5 5
2
log 2
2
53x log5
x 2 3x x 2 0 x 1
3
Kết hợp điều kiện suy ra 0x
1 .
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D 0;1
Câu 24: Đáp án C
Ta có
P
. 1 . 2 . 3 . 4
f 5x
f x f x f x f x f x
x x1 x2 x3 x4
2018 .2018 .2018 .2018 .2018
2018
5x
2018
Câu 25: Đáp án A
10
16

Điều kiện
x
10
x
1 1 1 x 2
log x110 0
x x x
- Phương trình 2018
7 8 15 0 có nghiệm duy nhất là x 1 (giải bằng hàm số).
2
- Phương trình 2019
x
10x11 0 có 2 nghiệm là x 1; x 11
So điều kiện ta suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 26: Đáp án C
Ta có
2 3
log30 1350 log5.3.2
5 .3 .2 b 2a 1.
Câu 27: Đáp án A
1
Điều kiện x
2
e
2
Ta có
2
x
x
2
x x x
2 ln 2ln 4 1
6 ln x 2ln x 4 2 ln x 2 0, x
2
6 ln 2ln 4 2 ln 2 e
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
x 2 x x x
2 ln 2 2 6 ln 2ln 4 2 ln 2
2
2 ln x 2 2ln x 12 ln x 2 6ln x *
1
Rõ ràng x không phải là nghiệm của bất phương trình (*).
2
e
1
Khi x , chia cả hai vế của bất phương trình (*) cho ln x 2 ta được
2
e
2ln x ln x
2 12 6
ln x2 ln x2
2
Đặt
t
ln x
ln x 2
. Bất phương trình thành 2
2 2t
0
t 1
2 2
t t t t
2 2t 12 6t
2
t 2.
4 8 4 12 6
2 2 0
Với t 2 thì
ln x
ln x 2
ln x 0
2
ln x 2 2 3 x e
2
ln
x 4ln x8 0
22 3
17

Vậy S e
22
3
(tập S có hữu hạn phần tử).
Câu 28: Đáp án A
Gọi T là số tiền mà thầy Quốc rút ra. Ta có
300000
186 .12
T 1 0,52% 1 1 0,52% 64 392 497 .
0,52%
Câu 29: Đáp án A
du dx
u x
Đặt
2x
1 2
dv
e dx v
e 2
m
Khi đó
x
m m
2
2x x 1 2x 2x 2 m 3 2 m 3 3
e
1 1
.
x e dx e e dx e m
2 4 4 4
0 0 0
Thay vào biểu thức P ta thu được P 0.
Câu 30: Đáp án D
2x1 2x1
dx
dx
I
x x
x x
x x
2
2 1 1 2 1 1 2 1
1 1 2 1 2
dx ln x 1 ln x 1
C
3 x1 2x1
3 3
.
Khi đó
1 2
a , b , c 1 2a b 0 .
3 3
Câu 31: Đáp án B
dx
Ta có
y
2
2 x khi x x
x 1
2
x 1 khi 1 x 1
1 1, 1
x
5 khi x 0
và y x 5
x 5 khi x 0
Ta có đồ thị
Hoành độ giao điểm dương của hai đường đã cho
là nghiệm của phương trình:
2 2 x
2
x 1 x 5 x x 6 0
x
3
Do tính chất đối xứng, diện tích S cần tìm bằng hai lần diện tích của S 1 , mà S1
SOMNP
I J
với I là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
18
2
y x x y x x
; 0; 0; 1.

và J là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y x y x x
1; 0; 1; 3
1 3 1 3
3
3
x 2 x 20
3 3 3 3
2 2
Khi đó I x 1 dx x ; J x 1
dx x
.
và
S OMNP
0 0 1
1
8 5 39
.3
2 2
39 22 73
Do đó S1
2 3 6
73
Kết luận S 2S1
.
3
Câu 32: Đáp án D
- Xét mệnh đề A ta thấy F ' x G ' x
2
2 6 20
x
2x
3
19
x
- Xét mệnh đề B ta thấy F ' x 2.2sin x. sin x ' 2sin 2 x f x
và G ' x 2sin 2x f x
. Do đó mệnh đề A đúng.
- Xét mệnh đề C ta thấy G'
x
Vậy ta chọn mệnh đề D.
Câu 33: Đáp án B
x1 x1
x x x
2 2 2 2 2 1 2
1
2 2
Ta có công thức quen thuộc
2
2
Ta có
b
V f x g x
dx
.
2 2
x x 2 2x 4 2x
V e e dx e e . e dx
0 0
4x
4
e e
. , 0 với 1
2x
e
2x
4 2x
Vì f x e e e f x
nên 1
2 x 4 2 x
2
2 x 2 x
4
V e e dx e e dx
0 1
a
2
. Do đó mệnh đề A đúng.
x và 0
. Do đó mệnh đề C đúng.
f x với x 1
2x4 2x 1 2x 2x4 2
2 2 4 4 2 2
e e e e e e e 1 e 1 e e
2
2
2 2
0 1
2
e
1 2
Bấm máy tính ta thu được kết quả gần đúng nhất là 128,24.
Câu 34: Đáp án C

Để ý rằng:
b
a
b
a
f x dx f x dx (1) ;
b
a
2
a
2
b
f x dx f x dx (2) ;
b
a
b
a
f x dx f x dx (3) .
• (1) xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi
f
• (3) xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi f x 0 .
x không đổi dấu.
2
• Ở (2) ta chọn hàm số f x x thì không xảy ra dấu “=”.
1
1 1 1
2
Khẳng định C đúng bởi vì: 1
Câu 35: Đáp án D
f x dx f x dx f x dx f x dx
0 0 0
2 1
2
2
2
2 xf x dx f x dx
0 1
Lấy mốc thời gian là lúc xe tải bắt đầu được thắng. Gọi T là thời điểm xe tải dừng hẳn. Ta có
vT 0 suy ra
khi dừng hẳn của xe tải là 24
27
24
24
27T
24 0 T . Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp thắng đến
27
27
27
2
đường là S 24 27t dt 24t t m
Câu 36: Đáp án C
Điều kiện: 3 n
4
Ta có n
0
4 2
giây. Trong khoảng thời gian đó, xe tải di chuyển được quãng
log 3 log n 9 3
n
n
log 3 log 9 6
2 2
n
n
log2
3 9
6
2
24
27 32
2 3
n 3 n 9 64 n 6n
27 64 0
n
7
n
13
0
20
2

Suy ra n 7
2 2 3i
Ta có
7 7
7
z
3 i 2 cos i sin
3 i
6 6
7
7
128cos isin 64 3 64i
6 6
Do đó phần ảo của số phức z là 64.
Câu 37: Đáp án B
Phương trình đã cho tương đương với
Gọi z a bi với ab ,
Khi đó a bi 2i a bi a bi i1 i 0
z i i
1
1
zz . 2 1
2iz
0
z i i
z 2iz z i 1 i 0.
1
a
2a
3b1 0 3
2a 3b 1 3a 1i
0
3a
1 0 5
b
9
Vậy
a 3 .
b 5
Câu 38: Đáp án B
Giả sử z x yi (với xy , và x 0 )
Khi đó z 2 3i 41 i 2 i 4 i 6 i
8
x y i x y
2 2
2 3 4 2 3 16
Suy ra tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là phần hình giao nhau giữa hình tròn tâm
I 2; 3
, bán kính 4 và nửa mặt phẳng bờ là trục ảo chứa các
điểm có phần thực không âm.
Vậy tập hợp điểm là một hình viên phân.
Câu 39: Đáp án D
Ta có u v u v u v . Do đó mệnh đề (I) đúng.
uv uv uv . Do đó mệnh đề (II) đúng.
21

u v u v u v . Do đó mệnh đề (III) đúng.
Câu 40: Đáp án D
Ta có
SABCD
2a
2
Do N là trung điểm của AD suy ra HN // CD .
Suy ra HN AD
Lại có AD SH AD SHN SNH 60
SNH có:
1
HN CD a SH HN 3
a 3
2
3
1 a 3 2 2a
3
Do đó: VS . ABCD
SH. S
ABCD
.2a
.
3 3 3
Câu 41: Đáp án B
Trong mặt phẳng (SBD) kẻ OE song song SH và cắt SD
tại E. Khi đó ta có tứ diện OECD là một tam diện
vuông tại O.
Ta có
Khi đó
3 3
OC a ; OD a ; OE a .
2 2 8
1 1 1 1 3a
;
d O SCD
2
2 2 2
d O; SCD OC OD OE
4 7
; 2 d O;
SCD
Vậy d B SCD
Câu 42: Đáp án D
Áp dụng tỉ số thể tích ta có
3a
.
2 7
V V
SMNP SMQP SM SN SP SM SQ SP 1 1 1 1 1 1
. . . . . . . .
V V SA SB SC SA SD SC 2 3 4 2 5 4
SABC
SADC
VSMNPQ
1 V
VSMQP
SMNP
1 1 1 1 1 1 1
. . . . . .
VSABCD 2 VSABC VSADC
2 2 3 4 2 5 4
3 8
Vậy VSMNPQ
1 .
5 5
Câu 43: Đáp án D
22

Vì thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông
2 3
nên V1 r .2r 2r
.
Lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ đã cho có đáy là
hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy nên độ dài
cạnh hình vuông bằng r 2 . Do đó thể tích của hình trụ
nội tiếp trong hình trụ
đã cho là 2 3
Vậy
V
V
2
1
V2 r 2 .2r 4r
.
3
4r
2
3
2r
.
Câu 44: Đáp án B
1 2 1 2
Ta có V1 b c,
V2
c b
3 3
1 2 1 2 1 2 1 b c 1 b c
và V3 . AH . BH . AH . CH . AH . BC . . a
2
3 3 3 3 a 3 a
Do đó
2
1 1 a
2 .
4 4
V
1
3
b c
và 1 1 1 1 1
2 2 1
V 4 2 2 4
1
V2
b c b c
3
3
Vì tam giác ABC vuông tại A nên
Mặt khác
Vậy
2 2 2
V3 V1 V2
2 2 2
a b c .
2 2 2
1 1 1 1 1 1 b c a
.
b c b c b c b c b c b c b c
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4
1 1 1
.
Câu 45: Đáp án A
2 2 2 2
Gọi R là bán kính của viên bi và r,h tương ứng là bán kính đáy, chiều cao của hình trụ.
Thể tích nước khi chưa có viên bi là:
Thể tích nước sau khi có viên bi là:
nhất của viên bi).
2
rh.
2
2 rR(do lúc này chiều cao mực nước bằng vị trí cao
Mặt khác, thể tích nước lúc này bằng tổng thể tích nước ban đầu và thể tích viên bi
3 3
2 4R
2 4R
2
r h r h 2
r R .
3 3
Thay số với h4,56; r 6,12 và lưu ý rằng R 6 nên R 2,59 cm .
23

Câu 46: Đáp án D
Vec tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là nP
1; 1;2 ; nQ
3; 1;1
Suy ra nP; nQ
1;5;2
Chọn vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
là 1;5;2
n .
Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là x 5y 2z
4 0.
Câu 47: Đáp án C
Mặt cầu (S) có tâm I 1;2; 1
.
.
Mặt phẳng tiếp diện với (S) tại A đi qua A 3;4;0
và nhận 2;2;1
tuyến nên có phương trình
Câu 48: Đáp án B
Gọi G là trọng tâm ABC . Suy ra G 1;2;2
.
2 x 3 2 y 4 z 0 2x 2y z 14 0.
IA làm vec tơ pháp
Ta có
2 2 2
2 2 2
MA MB MC MA MB MC
MG GA MG GB MG GC
2 2 2
.
2 2 2 2
3MG GA GB GC
Do G cố định nên
hình chiếu vuông góc của I trên (P).
2 2 2
MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất MI đạt giá trị nhỏ nhất M là
Đường thẳng d qua G 1;2;2
và vuông góc với (P) có phương trình là
Tọa độ hình chiếu M của I trên (P) thỏa mãn hệ phương trình
x 1 y 2 z 2 x
4
3 3 2
y
1
3x 3y 2z 15 0
z
0
Vậy M 4; 1;0
Câu 49: Đáp án A
A d1 A 2 t;1 2 t;1 2t
.
Do M là trung điểm AB nên B t 2;2t 3; 2t
1
t 2 2 2t 3 3 2t
11
Bd2
t 0
2 1 1
24
x 1 y 2 z 2
.
3 3 2

Suy ra A2;1;1 , B2; 3;1
Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nên có phương trình là
Câu 50: Đáp án A
x
2
y
1 t
z
1
(P) cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại M 2;0;0 , B0; b;0 , C 0;0;c
nên có phương trình là:
x y z
1.
2
b
c
x y z
1 bc 2 b c b c 2 2c
2
b
c
.
Do N1;1;1
P
nên
25

ĐỀ SỐ 3
BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
n
2
1sin x 1cos
x
y 2 2
sin x cos x
n
.
n
A. 2.
n
B. 3 .
C. 2.3 n D. 3.2 n
Câu 2: Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình
2 x
2
3
4sin 3 cos 2x
1 2cos x
2 4 .
A. 37
18
B. C. 37
17
D. 3
2
Câu 3: Tìm các họ nghiệm của phương trình:
2
tan x tan x 2
2
sin
x
tan x 1
2 4
A.
x k
4 2
x k2
6
5
x k2
6
B.
x k
4
x k2
6
5
x k2
6
x k
4
C.
x k2
D.
6
5
x k2
6
x k
4
x k2
6
5
x k2
6
Câu 4: Cho x bông hồng trắng và y bông hồng nhung khác nhau. Cho biết x, y là nghiệm của
hệ bất phương trình
9 19
C C A
2 2
Py
1
720
đó có ít nhất 3 bông hồng nhung.
x2 2 1
x y3
x
. Tính xác suất để lấy được 5 bông hồng trong
A. 193 .
442
B. 319 .
442
C. 139 .
442
D. 391 .
442
1

Câu 5: Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô
hàng đó. Tìm xác suất để trong 6 sản phẩm đó có không quá 1 phế phẩm.
A. 2 .
3
B. 2 .
5
C. 3 .
5
D. 5 .
7
Câu 6: Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản
trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy
viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ.
A. 5502. B. 5520. C. 5250. D. 5052.
Câu 7: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
A
6C
294 .
3 3
n3 n1
Tìm số hạng mà tích số mũ của x và y bằng 18 trong khai triển nhị thức Newton:
6 n.
x
3y
y
2
x
4 2
n
(với x 0, y 0 ).
A.
9 2
160 xy . B.
2 9
160 xy . C.
3 6
160 xy . D.
6 3
160 xy .
Câu 8: Tìm giới hạn
n 4 3 2
k 10k 35k 50k
23
lim
n k 4!
k 1
A. 24 .
41
B. 41 .
24
2
C. 1 D. 0
Câu 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi G là trọng tâm của tứ diện BCC’D’. Đặt
AB a , AD b, AA'
c . Biểu diễn vectơ AG theo các vectơ abc. , ,
A. AG 1
a 5b 2c
. B. AG 1 3 a 5 b c
4
C. AG 1 3 a 3 b 2 c
D. AG 1 3 a b 2 c
4
Câu 10: Cho hàm số
y
2
1 x . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
2 n
2
A. 1 x y x. y ' y 0.
B.
2 n
2
C. 1 x y x. y ' y 0.
D.
4
4
1 x y n x. y ' y 0.
1 x y n x. y ' y 0.
Câu 11: Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu v0 0 từ một nòng súng đặt ở gốc
tọa độ O nghiêng một góc với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy
và tạo với trục hoành Ox góc ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol

g
(với g là gia tốc trọng trường) và giả sử rằng quỹ đạo
2 2
: y 1 tan x x tan
2
2v0
2
lấy luôn tiếp xúc với parabol an toàn g 2 v0
: y x
2
2v
2g
. Tìm tọa độ tiếp điểm khi
0
0;
2 .
v
2 2
0 0
2
A. M
; 1 cot
g g
v
tan
2
B.
2 2
v0 v0
1
M ; 1
g
2
tan 2 g tan
C.
2 2
v 0 0
;
v
M
g
2
tan
2 tan
1
g
D.
2 2
v 0 1
0
;
v g
M
tan
2 g tan
Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số
khoảng
;1
và 1; .
y
2
x m m
1
x 1
đồng biến trên từng
A. m 1
B. m 1
C. m 1
D. m
2
x 1
Câu 13: Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn
x 1
1;2 . Tìm giá trị của biểu thức 3M 4m 8m 3M
4
2018 2019
.
A. 1 B. –1 C. 0 D. 2
4 2
y x m x m
2 2 4
Câu 14: Tìm số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
không có điểm chung với trục hoành.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
3

(với x 0;2
Câu 15: Hàm số y asin x bcos x x a b 3
x ; x . Tính tổng a
b 3
3
A. 3 B. 3 1
C. 4 D. 3
1
Câu 16: Tìm các hệ số a, b, c để đồ thị hàm số
A.
1
a ; b 3; c 3.
4
B. a 1; b 2; c 3.
C. a 1; b 3; c 3.
D. a 1; b 3; c 3.
Câu 17: Cho hàm số
2x
1
y
2x
m
) đạt cực trị tại
4 2
y ax bx c có dạng như hình vẽ.
có đồ thị (C) và hai điểm A
2;3 ; C4;1
. Tìm m để
đường thẳng d : 3x y 1 0 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt B, D sao cho tứ giác
ABCD là hình thoi.
A. 8 3
B. 3 8
C. 4 3
D. 3 4
Câu 18: Tìm m để bất phương trình
x
0;1 .
x 2
x 6
m 1 6 2m
1
x
6
0
2
ex
x 2018
1 x
đúng
A.
1
m .
B.
2
1
m .
C.
2
Câu 19: Viết phương trình tiếp tuyến của C
4
: y
1
0 m . D.
2
tiệm cận của (C) một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
1
0 m .
2
x 2
biết tiếp tuyến tạo với hai đường
x 1
A. y x 2 2 3; y x 2 3. B. y x 2 2 3; y x 2 3.
C. y x 2 2 3; y x 2 3. D. y x 2 2 3; y x 2 3.
Câu 20: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc của
dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu
E v
hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức
3
cv t , trong đó c là một hằng số và E

được tính bằng Jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít
nhất.
A. 6 km/h B. 9 km/h C. 12 km/h D. 15 km/h
Câu 21: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn
mệnh đề sai?
2log a b 4 log a log b . B.
A.
2 2 2
a b
C. 2log log a log b
4
Câu 22: Cho
5
2 2
a b 14ab
. Mệnh đề nào sau đây là
a b ln a ln
b
ln .
4 2
D.
k
giá trị nhỏ nhất.
3
ab với , 1
log a
ab và
2log a b 4 log a log b
2
a
4 4 4
P log
b 16log a . Tìm k để biểu thức P đạt
A. k 1.
B. k 2
C. k 3
D. k 4
Câu 23: Chuyện kể rằng: “Ngày xưa, ở đất nước Ấn Độ có một vị quan dâng lên nhà vua một
bàn cờ có 64 ô kèm theo cách chơi cờ. Nhà vua thích quá, bảo rằng: “Ta muốn dành cho
khanh một phần thưởng thật xứng đáng. Vậy khanh thích gì nào?” Vị quan tâu “Hạ thần chỉ
xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: “Bàn cờ có 64 ô thì với ô thứ
nhất thần xin nhận một hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai, ô sau
nhận số hạt gạo đôi phần thưởng dành cho ô liền trước.” Thoạt đầu nhà Vua rất ngạc nhiên vì
phần thưởng quá khiêm tốn nhưng đến khi những người lính vét sạch đến hạt thóc cuối cùng
trong kho gạo của triều đình thì nhà Vua mới kinh ngạc mà nhận ra rằng: “Số thóc này là một
số vô cùng lớn, cho dù có gom hết số thóc của cả nước cũng không thể đủ cho một bàn cờ chỉ
có vọn vẹn 64 ô!”. Bạn hãy tính xem số hạt thóc mà nhà vua cần để ban cho vị quan là một số
có bao nhiêu chữ số?
A. 19. B. 20. C. 21. D. 22.
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số
A.
ln x .
x
B. ln x
x
.
f
x
1 ln x
x
x
.
ln x
C.
4 .
x
x
b
D.
3 7 7
2
ln x .
x.log x
3.log
7
x1
Câu 25: Cho x thỏa mãn điều kiện log140
63
. Tìm giá trị
log 3.log 5.log x xlog x 1
của x:

A. x 2.
B. x 4.
C. x 3.
D. x 5.
x x
Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình 3.9 10.3 3 0
trị của b a.
A. 1. B. 3 .
2
Câu 27: Cho a log 2
15, b log10
2 . Tính log8
75 theo a và b.
A.
ab b
1
3b
B.
ab b
1
3b
6
có dạng S a;
b
C. 2. D. 5 .
2
C.
ab1
3b
Câu 28: Cho
2 3 4
x 3 4 2
x 4 2 3
z
D.
ab b
1
3b
. Tính giá
log log log log log log log log log 0 . Tính giá trị
của biểu thức 3 x
4
y z : :
A. 9. B. 8. C. 7. D. 6.
Câu 29: Tìm a,b,c,d để cos
f x x cos x :
F x ax b x cx d sin x là một nguyên hàm của hàm số
A. a b 1, c d 0.
B. a d 0, b c 1.
C. a 1, b 2, c 1, d 2.
D. a b c 0, d 1.
Câu 30: Cho hàm số
2
(I). sin 2 . sin
(II).
0 0
f x có nguyên hàm trên . Xét các mệnh đề sau đây:
x f x dx f x dx
1 x e
f e f x
dx
x 2
e
0 1
a
x
2
a
1
dx
1
x f x dx xf x dx
2
3 2
(III).
0 0
Những mệnh đề nào trong các mệnh đề đã cho là đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Chỉ (III). D. Cả (I), (II) và (III)
Câu 31: Cho hàm số
1
x f ' x
2dx f 1
.Tính giá trị của
0
f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 và thỏa mãn
1
I f x dx :
0

A. –1 B. 1 C. 0 D.
Câu 32: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x0;
x , biết rằng thiết diện
của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0;
giác đều có cạnh là 2 sin x .
là một tam
A. 3. B. .
3
C. 2 3 D. 2
Câu 33: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y x x
1 và
4
y x x
1 là:
A. 4 .
15
B. 15 .
4
C. 4,15. D. 4,05.
Câu 34: Tốc độ sinh sản trung bình sau thời gian t năm của loài hươu Krata được mô tả bằng
v t
2.10
hàm số
3
t
e t
. Tính số lượng con hươu tối thiểu sau 20 năm biết rằng ban đầu có
17 con hươu Krata và số lượng hươu L(t) con được tính qua công thức
dL t
dt
vt
A. 2017. B. 1000 C. 2014. D. 1002.
P : y x 2x
và
Câu 35: Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
d : y mx m 0 bằng 27.
A. m 1.
B. m 2.
C. m .
D. m .
Câu 36: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn là đường thẳng z 1 i z 1
2i
là đường thẳng : ax by c 0. Tính ab c .
A. 15. B. 9. C. 11. D. 6.
2
Câu 37: Cho phương trình z 2 z z 2 z
4 3 4 40 0. Gọi z1 , z2,
z
3
và z
4
là bốn
nghiệm của phương trình đã cho. Tính giá trị của biểu thức
2 2 2 2
1 2 3 4
.
P z z z z
A. 33. B. 34. C. 35. D. 36.
m 1
2 m 1
i
Câu 38: Tính tổng các giá trị của tham số m để số phức z
1
mi
7
là số thực.
A. –3 B. –2 C. –1 D. 0
Câu 39: Trong mặt phẳng (Oxy) cho các điểm A,B,C tương ứng biểu diễn cho các số phức
2
z 1 i, z 1 i , z m i (với m ). Tìm m để ABC vuông tại B.
1 2 3

A. –3 B. –2 C. 3 D. 4
Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S
lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA 2HB
. Góc giữa đường thẳng
SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
a 3 .
3
B.
a 42 .
12
C.
a
42 .
8
D.
a 3 .
12
Câu 41: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc ABC bằng 60 , cạnh
bên SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
3
a
.
2
B.
3
a
.
3
C.
3
a
.
5
D.
3
a 2 .
2
Câu 42: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao của hình chóp
bằng
a 3
2
. Tính số đo góc giữa mặt bên và đáy.
A. 30 .
B. 45. C. 60 .
D. 90 .
Câu 43: Cho khối cầu (S) tâm O, bán kính R ngoại tiếp khối lập phương (P) và nội tiếp khối
trụ (T). Gọi V1,
V
2
lần lượt là thể tích của khối lập phương (P) và khối trụ (T). Tính giá trị gần
đúng của tỉ số
V
1
V .
2
A. 0,23 B. 0,24 C. 0,25 D. 0,26
Câu 44: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều và độ dài 9 cạnh đều
bằng a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
A.
a 21
R . B.
6
a 42
R . C.
12
Câu 45: Trên một mảnh đất hình vuông có diện
tích
2
81m người ta đào một cái ao nuôi cá hình
trụ có 2 đáy là hình tròn (như hình vẽ bên) sao
cho tâm của hình tròn trùng với tâm của mảnh
đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để
a 3
R . D.
3
a 3
R .
6
lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao và mép mảnh đất là
x m . Tính thể tích V lớn nhất của ao. (Giả sử chiều sâu của ao cũng là x (m))
8

3
3
3
3
A. V 27
m
B. V 13,5
m
C. V 144
m
D. V 72
m
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A1;1;0 , B1;0;1 , C 0;1;1 , D 1;2;3
. Viết
phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A.
C.
2 2 2
x y x x y z
3 3 3 6 0. B.
2 2 2
x y x x y z
3 3 3 0. D.
2 2 2
x y x x y z
3 3 3 5 0.
2 2 2
x y x x y z
3 3 3 3 0.
Câu 47: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
P : x y z 3 0
và điểm 1;2; 1
d và song song với mặt phẳng (P).
A.
C.
x 1 y 2 z 1 .
1 2 1
x 1 y 2 z 1 .
D.
1 2 1
x 3 y 3
z
d : , mặt phẳng
1 3 2
A . Viết phương trình đường thẳng biết qua A cắt
B.
x 1 y 2 z 1 .
1 2 1
x 1 y 2 z 1 .
1 2 1
Câu 48: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm M 3;1;1 , N 4;8; 3 , P2;9; 7
Q : x 2y z 6 0
và mặt phẳng
. Đường thẳng d đi qua trọng tâm G của MNP , vuông góc với (Q).
Tìm giao điểm A của mặt phẳng (Q) và đường thẳng d.
A. A 1;2;1 .
B. A1; 2; 1 .
C. A1; 2; 1 .
D. A
Câu 49: Trong không gian Oxyz cho các điểm A3; 4;0 , B0;2;4 , C 4;2;1
điểm D trên trục Ox sao cho
AD
BC .
A. D 6;0;0 , D0;0;0 .
B. D D
6;0;0 , 0;0;0 .
C. D6;0;0 , D 0;0;2 .
D. D D
6;0;0 , 0;0;1 .
1;2; 1 .
. Tìm tọa độ
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x y 1 z 2
: . Viết
1 2 2
phương trình mặt phẳng (P) đi qua và cách A 1;1;3
một khoảng cách lớn nhất.
A. P : 15x 12y 21z
28 0.
B. P :15x 12y 21z
28 0.
C. P :15x 12y 21z
28 0.
D. P :15x 12y 21z
29 0.
Đáp án
9

1-C 2-A 3-D 4-C 5-A 6-B 7-D 8-B 9-C 10-D
11-B 12-D 13-B 14-C 15-C 16-C 17-A 18-B 19-D 20-B
21-D 22-A 23-B 24-A 25-A 26-C 27-A 28-A 29-B 30-D
31-A 32-C 33-A 34-A 35-A 36-C 37-B 38-C 39-A 40-C
41-A 42-C 43-C 44-A 45-B 46-C 47-B 48-D 49-B 50-A
Câu 1: Đáp án C
Điều kiện
LỜI GIẢI CHI TIẾT
sin x 0
sin 2x 0 x k , k
cos x 0 2
n n n
2 2 2 2
Ta có y 2cot x 2 tan x 2 2 cot x 2 tan x
2 2
x x
n n n
2
5 2 tan cot
2 5 4 2.3
y x x x x k
k
4
n
2 2
min 2.3 tan cot tan 1 ,
Câu 2: Đáp án A
Phương trình đã cho tương đương với
Do x 0;
nên
5 17 5
x ; ;
18 18 6 .
Vậy tổng các nghiệm là 37
18
3
2 1 cos x 3 cos 2x 11 cos2x
2
2cos x 3 cos 2x sin 2x
3 1
cos x cos 2x sin 2x
2 2
cos
x
cos2x
6
5
2
x
k
18 3
, k
7
x k2
6
10

Câu 3: Đáp án D
.
2
Điều kiện cos x 0 x k,
k
Phương trình đã cho tương đương với: tan x tan xcos x sin x cos x
sin sin cos sin cos
2
2 1
x x x x x
2 2 1
2
2sin x sin 2x sin x cos x 2sin x sin x cos x sin x cos x
sin xcos x0
sin x cos x2sin x 1
0
2sin x 1 0
x k
4
tan x 1
1 x k2
k
sin
x 6
2
5
x k2
6
Câu 4: Đáp án C
Trước hết ta giải hệ bất phương trình để tìm x, y
Phương trình trong hệ cho ta
Thay y 7 vào bất phương trình trong hệ ta được:
y 1 ! 720 y 1 ! 6! y 1 6 y 7
2
x 9 19
C x
C A
2 2
Với điều kiện x2,
x , bất phương trình tương đương với:
x! 9 19 x x1
9 19
45 x 45 x
2! x 2 ! 2 2 2 2 2
2
x 20x 99 0 9 x 11. Vì x nên x 10.
2 2 1
10
x
Như vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung. Để lấy được ít nhất 3 bông hồng
nhung trong 5 bông hồng ta có các trường hợp sau:
• Trường hợp 1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có
C . C 1575 cách
3 2
7 10
• Trường hợp 2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có
C . C 350 cách
4 1
7 10
• Trường hợp 3: 5 bông hồng nhung có
Suy ra có tất cả 1575 350 21 1946 cách.
5
C7 21 cách
11

Số cách lấy ra 5 bông hồng bất kì là
1946 139
Vậy xác suất cần tìm là P .
6188 442
Câu 5: Đáp án A
5
C17 6188 .
6
Số cách chọn 6 sản phẩm bất kì trong 10 sản phẩm là: C10 210.
Số cách chọn 6 sản phẩm mà có 1 phế phẩm là:
Số cách chọn 6 sản phẩm mà không có phế phẩm nào:
1 5
CC
2 8
112.
6
C8 28.
Suy ra số cách chọn 6 sản phẩm mà có không quá 1 phế phẩm là: 112 28 140.
Vậy xác suất cần tìm là:
Câu 6: Đáp án B
140 2
P .
210 3
+ Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ)
- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có
- Bước 2: bầu 2 ủy viên có
Suy ra có
2 2
12 10
2
C
10
cách.
A . C cách bầu loại 1.
+ Loại 2: bầu 4 người toàn nam.
- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có
- Bước 2: bầu 2 ủy viên có
2
C
5
cách.
2
A
12
cách.
2
A
7
cách.
Suy ra có
A . C cách bầu loại 2.
2
7
2
5
Vậy có
A . C A
.C 5520 cách.
2 2 2 2
12 10 7 5
Câu 7: Đáp án D
Điều kiện: 2 n
Ta có
A
6C
294
3 3
n3 n1
n3 ! n1 !
n n
6 294
! 3! 2 !
n n n n nn
3 2 1 1 1 294
2 n
6
n 2n 48 0 .
n
8
12

So với điều kiện chọn n 6.
Với n 6 ta có
4 2
6
4
6k
6 2
k
6
k k 6k 246k 63k
2 C0 C
2 02
x y
k0 k0
2x y 2x y
y x y x
Giả thiết bài toán cho ta 2
24 6k 6 3k 18 k 3 0 k 3
Khi k 3 ta thu được số hạng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
Câu 8: Đáp án B
Ta có
n 4 3 2
k 10k 35k 50k
23
lim
n k 4!
k 1
k 1
k k k k
k
4!
n
1 2 3 4 1
lim
n
n
1 1
lim
n k
1 k! k
4 !
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
lim ...
n
1! 5! 2! 6! 3! 7! 4! 8! n! n
4 !
1 1 1 1 1 1 1 1
lim n
1! 2! 3! 4! n 1 ! n 2 ! n 3 ! n
4 !
1 1 1 1 41
.
1! 2! 3! 4! 24
Câu 9: Đáp án C
13
C 2 x y 160x
y
6
3 2 6 3 6 3
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và C’D’. Khi đó G là trung điểm IJ.
1 1
Ta có AG AI AJ AB BI AD DD ' D ' J
Câu 10: Đáp án D
Ta có
2 2
1 1 1 1
a b b c a 3 a 3 b 2 c
2 2 2 4
x
1
y' ; y''
1
x 1
x
2 2
3
Khi đó
1
2 '' 2 2
1 x y x. y ' y 1 x . x. 1 x 0.
2
3 2
1
x
x
1
x

Câu 11: Đáp án B
g
f x x x
Xét
và : g x
2 2
: 1 tan tan
2
2v0
tiếp xúc
2
g 2 v0
x
2v
2g
khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
2
0
1
' ' 2
f x g x
f x g x
g
g
2 1 tan x tan
v
v
2
Ta có
2 2
0 0
x
2
g 2 v0
tan x tan
0 x
v
gtan
2
0
Câu 12: Đáp án D
Ta có
m m
y '
2
x 1
2
1 1
Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng
;1
và 1; khi và chỉ khi
2 2 1
7
m m 2 0 m m 2 0 m 0 m
.
2
4
Câu 13: Đáp án B
Ta tính được
2
2x x 1 x 1 2
x 2x1
y' 0, x
1;2
x1 x1
2 2
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn 1;2 .
5
y 1 y y 2 1 y .
3
Do đó
Điều này có nghĩa là
5
m1;
M .
3
Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng –1
Câu 14: Đáp án C
2
x
0
Ta có a 1 0 và y ' 0 nên dựa vào hình dáng của đồ thị hàm số ta xét các
2
x
m2
trường hợp sau để đáp ứng yêu cầu bài toán.
14

• Hàm số chỉ có một cực trị âm
m 20
4 m 2.
y 0
0
• Hàm số có ba cực trị và giá trị cực đại âm
Qua hai trường hợp trên ta thu được 4 m 0.
Do m nên m3; 2; 1
.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 15: Đáp án C
Ta có y ' a cos x bsin x 1.
Do hàm số đạt cực trị tại các điểm x ; x nên
3
' 0 1 3
y
a
b1
0
a 1
3 2 2 .
b 3
y '
0 a 1 0
Do đó ab
3 4.
Câu 16: Đáp án C
Nhìn đồ thị suy ra:
• a 0
• Đồ thị qua điểm A0; 3
nên c 3
• Đồ thị có 3 cực trị nên a và b trái dấu nhau.
Do đó lựa chọn a 1; b 2; c 3 như phương án C đã nêu.
Câu 17: Đáp án A
Đường thẳng AC qua A 2;3 ; C4;1
nhận 6; 2
phương trình là:
x 2 y 3 1 7
y x
.
6 2 3 3
m 20
2 m 0.
y m 2
0
Tọa độ giao điểm của AC và BD là nghiệm của hệ phương trình
3x
y1 0
x
1
1 7 I 1;2
.
y
x y
2
3 3
15
AC làm vec tơ chỉ phương nên có

Để ý rằng AC
BD và I là trung điểm AC.
Khi đó ABCD là hình thoi thì I 1;2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:
2x
1 x x m x m
2x
m
2
3 1 6 3 4 1 0 *
2 2
Do
và D.
I là trung điểm của BD.
3m 4 4.6 m 1 9m 24 0, m nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt B
x1
x2 3m
4
Gọi x1,
x
2
là hai nghiệm của phương trình (*). Theo định lý Viet ta có .
2 12
Để I là trung điểm của BD thì 3 m 4 1 8 m .
12 3
Câu 18: Đáp án B
Vì x 1 thì bất phương trình đã cho đúng với mọi x nên chỉ cần tìm m để bất
phương trình đúng với x 0;1
.
1
Xét hàm số: f x x 6 x
với x 0;1
1
x
Ta có: f ' x 1 6 ln 6 0 x
0;1
f x đồng biến trên 0;1
1 0 0;1 0 0;1
f x f x f x x
Hơn nữa ex 2 x 2018 0 x 0;1
.
Vậy bài toán quy về tìm m để bất phương trình: m
Đặt
t 6 x
thì t 1;6
. Bất phương trình thành
2
x
6
x
1
6 2m1 0 với 0;1
x .
2
2 t t2
2
2 t 1;6
m 1 t 2m 1 0 m m min g t
t t t
2
t t2 2 , 1;6 ).
t 2t
(với g t t
2
2
3t
4t
4
t
Ta có g ' t
; g ' t
0 3
2 2
t
2t
t
2
Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên ta tìm được:
16
1
min gt
.
2
t
1;6

Vậy
1
m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
Câu 19: Đáp án D
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
3
x
y x x
0
2 0
x 1
x0
0
2
1
( x0 1 là hoành độ tiếp điểm)
Gọi I là giao điểm hai tiệm cận và A,B lần lượt là giao điểm của với hai tiệm cận.
0
Ta có I 1;1 , A 1; , B 2x
1;1
x
x
0
5
1
6
Suy ra IA ; IB 2 x0
1
.
x 1
0
0
.
IA. IB IA. IB IA. IB
6
r .
IA IB AB 2 2
IA IB IA IB
2 IA. IB 2 IA. IB
2 3 6
6
2
0
1
0
1 3
x 1
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi IA IB x x 2
0
x
2
x0 2x0
2 0
x
0
0
1
3
1
3
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y x 2 2 3; y x 2 3 .
Câu 20: Đáp án B
Vận tốc của cá bơi khi ngược dòng là v 6 (km/h).
Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300 km là
Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là
3
3 300 v
E v
cv . 300 c. J , v 6.
v6 v6
Ta có
E ' v 600cv
2
v 9
v 6
E' 0 v 9 (do v 6 ).
2
17
300
t h
.
v 6
Lập bảng biến thiên và đi đến kết luận 9 km/h chính là vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên
để năng lượng tiêu hao ít nhất.

Câu 21: Đáp án D
Với mọi 0 k 1
a b 14ab a b 16ab
2 2
ta có 2
a b 2
ab
log log 16
k
2
k
2log a b log 16 log a log b
k k k k
Thử từng cơ số của k ta thấy đáp án D cho ra kết quả không chính xác.
Câu 22: Đáp án A
Ta có
P log
b 16log a
2
a
b
Đặt
t log a
b.
Xét hàm số
2 16
f t
Với t 2 ta có
t
t
16
f ' t 2t 0 t 2 .
2
t
log 2 .
b a 2
b
a
Thay
b
2
a vào k ta được
k ab a a
3
3 2
log
a
log
a
. 1.
Câu 23: Đáp án B
Số thóc ở ô thứ n là
1
2 n hạt.
64
64
n
2 63 2 1
64
Tổng số thóc ở các ô là S 2 1 2 2 ... 2 2 1
hạt.
21
1
Lưu ý rằng số các chữ số của một số chính là giá trị nguyên nhỏ nhất lớn hơn loga của số đó.
64
Sử dụng máy tính ta tính được
Do đó số thóc là một số có 20 chữ số.
Câu 24: Đáp án A
Ta có
log 2 1 19,26591972.
1 ln x '. x ln x . x'
1 1
ln x ln x
y ' .
2 2 2 2 2
x x x x x
Câu 25: Đáp án A
Sử dụng chức năng CALC trong máy tính Casio và nhập từ giá trị ta thấy x 1 thỏa.
Câu 26: Đáp án C
Bất phương trình tương đương với
2x
x
3.3 10.3 3 0.
18

x
Đặt t 3 0. Bất phương trình trở thành
Với 1 3
3 t
, ta được 1 x
3 3 1 x 1.
3
Do đó tập nghiệm của bất phương trình là S
1;1
Vậy ba
2.
Câu 27: Đáp án A
1 1
3 3
Ta có log 75 log 15.5 log 15 log 5
Câu 28: Đáp án A
8 2 2 2
Ta có
1
log
2 15 log
2 5 log
2 2 1
3
1
log
2 15 log
2 10 1
3
3t 10t 3 0 t 3 .
3
2 1
1 1 1 1 ab b
1
log2
15 1 a 1
3 log10
2 3 b 3 b
x
4
log2 log3 log
4
x log3 log 4 log 2
x log
4 log 2 log3
z
0 y
2
z
3
Khi đó 3 x
4
y z 9
Câu 29: Đáp án B
Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số
f x nên
19
F ' x f x , x
a d cos x cx cos x c b sin x axsin x x cos x,
x
cd
0
c 1 a d 0
.
c b 0 b c 1
a
0
Câu 30: Đáp án D
2 2
* Xét mệnh đề (I).Ta có x f xdx x f xd x
sin 2 . sin 2 sin . sin sin .
0 0
3
2
4

Đặt
t sin x.
Đổi cận x 0 t 0 và x t 1.
2
2
1 1
Khi đó sin 2 . sin 2 2
x f x dx tf t dt xf x dx
0 0 0
Do đó mệnh đề (I) đúng.
x
* Xét mệnh đề (II). Đổi biến t e , suy ra mệnh đề (II) đúng.
* Xét mệnh đề (III). Đổi biến t x
Câu 31: Đáp án A
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có
1 1 1
2
, suy ra mệnh đề (III) đúng.
' 2 1 ' 2 1
x f x dx f xf x dx xdx f
0 0 0
1
0
2 1
0 1 1 1
xd f x x f f
1 1
1
xf x f x dx 1 f 1 f x dx 1
Câu 32: Đáp án C
Gọi
0
0 0
S x là diện tích thiết diện đã cho thì 2 3
Thể tích vật thể là V S x dx 3 sin xdx 2 3
Câu 33: Đáp án A
0 0
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là
2 4 2 4
x x x x x x x
1 1 0 0;1; 1
Khi đó diện tích cần tìm là
1 0 1
2 4 2 4 2 4
S x x dx x x dx x x dx
1 1 0
3 5 0 3 5 1
x x x x 4
.
3 5 3 5 15
1
0
Câu 34: Đáp án A
S x 2 sin x . 3 sin x
4
20

x
dL v t
3 3 t
2.10 e t L x L 0 2.10 . e
tdt
t
Ta có
dt
Khi đó 0 2.10
3
Với 20
x
t x t
L x L te
0
e dt
0
3
0 2.10
L xe e
x t x
0
3
0 2.10 x x
1
L xe e .
x và L 0
17 ta đi đến
Câu 35: Đáp án A
L 20 2017 .
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là
x
x 2 2x mx x 2 2 m
x 0 0
.
x
2 m 0
2m
2
Khi đó 2 m
2 2 2
Do đó
S x x mx dx x x mx dx
0 0
3 2 2m
x 2 mx
3 2
x m 6m 12m
8 27
3 2 0
3 2
m m m
6 12 19 0.
Giải phương trình này, ta tìm được m 1 là giá trị thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 36: Đáp án C
Giả sử z x yi x,
y
có điểm M (x;y) biểu diễn z trên mặt phẳng (Oxy).
Ta có 1 1 1 ; 1 2 1 2
z i x y i z i x y i
Theo đề bài z 1 i z 1 2i x 1 y 1 x 1 y
2
0
2 2 2 2
x 1 y 1 x 1 y 2
2 2 2 2
2 2 2 2
x x y y x x y y
2 1 2 1 2 1 4 4
4x 2y 3 0.
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng : 4x 2y 3 0.
Suy ra a 4, b 2, c 3. Vậy ab c
11.
Câu 37: Đáp án B
21

Phương trình đã cho tương đương với
z
2
i
2 2
z 4z 5 z 4z
5 0
z 2 2 2
2
2
z 4z 8 z 4z
8 0
z
2 2 3
Khi đó
2 2 2 2
1 2 3 4
34
P z z z z
Câu 38: Đáp án C
Ta có
z là số thực
m 1 2m 1i1
mi
mi mi mi
m 1
2 m 1 i
z
1 1 1
2 2
2m 3m 1 m m 2
2 2
1m
1m
Câu 39: Đáp án A
2 m
1
m m 2 0
m
2
Để ý rằng A1;1 , B 0;2 , C m; 1
Khi đó AB 1;1 , BC m; 3
.
ABC vuông tại B AB. BC 0 m 3 0 m 3.
Câu 40: Đáp án C
i
Trong mặt phẳng (ABC), qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Kẻ HI
AI SHI . Trong tam giác vuông SHI kẻ HK SI
d SA BC d B SIA 3 d H SIA
3 HK
2 2
Ta có , , ,
, nhận thấy HK SIA
.
d , dễ thấy
Ta tính được
HI
a 3
HA.sin 60 .
3
Ta có SCH SC ABC
; 60 , suy ra
SH
a
21
3
1 1 1
ta thu được
HK SH HI
Từ
2 2 2
3 a 42
d , HK .
2 8
Suy ra SA BC
Câu 41: Đáp án A
a 42
HK
12
22

Ta có AC a SA AC tan 60 a 3
3
BD 2BI 2. BC.sin 60 2. a a 3.
2
1 1 1
V SA. SABCD
. SA. . AC.
BD
3 3 2
3
1 1 a
a 3. a. a 3
3 2 2
Câu 42: Đáp án C
Ta có
a 3 a
SI ; IH
2 2
SI
tan IHS 3
HI
SBC ; ABCD IHS 60
Câu 43: Đáp án C
Để ý rằng đường chéo của hình lập phương chính là đường kính của khối cầu. Mặt khác ta lại
có công thức: “Bình phương độ dài đường chéo của hình lập phương bằng ba lần bình
phương của độ dài cạnh hình lập phương”. Khi đó
2 2 2R
3
R a a
2 3 .
3
2 3 8 3 3
Suy ra V1
R R
3
.
9
3
Vì khối cầu có bán kính R nên ta có thể tính được bán kính và chiều cao của khối trụ ngoại
tiếp ngoài khối cầu lần lượt là R và 2R.
Do đó V2 R .2R 2R
Vậy ta có tỉ số
2 3
V
V
Câu 44: Đáp án A
1
2
8 3 3
R
9 4 3
0, 245
3
2 R 9
Gọi I,I’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC, A'B'C'. Khi đó I và I’ đồng thời cũng là
tâm của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ấy và nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông
23

góc với đường thẳng II’. Suy ra trung điểm O của đoạn II’ chính là tâm của mặt cầu ngoại
tiếp đi qua 6 đỉnh của lăng trụ đã cho.
Do đó
2 2
2 2 2 a 3 a
21
R OA AI OI
. a .
3 2
2 6
Câu 45: Đáp án B
Cạnh của mảnh đất hình vuông là 9 (m).
2
Thể tích của cái ao V r x .
Mà
9
2x
r 4,5 x cho nên V
4,5 x 2
x.
2
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
4,5 x 4,5 x 2x
V . 4,5 x. 4,5 x2 x .
13,5
2 2 3
Dấu “=” xảy ra 4,5 x 2. x x 1,5.
3
Vậy thể tích lớn nhất của cái ao là 13,5 m
Câu 46: Đáp án C
.
Gọi (S) là mặt cầu có phương trình cần tìm.
Phương trình tổng quát của (S) có dạng
2 2 2
x y z ax by cz d
2 2 2 0 (với
2 2 2
a b c d
0 ).
Vì (S) đi qua các điểm A1;1;0 , B1;0;1 , C 0;1;1 , D 1;2;3
nên ta có hệ phương trình sau
1 1 2a 2b d 0
1 1 2a 2c d 0
1 1 2b 2c d 0
1 4 9 2a 4b 6c d 0
Giải hệ phương trình này tìm được
3
a b c , d 4 (thỏa
2
Vậy phương trình mặt cầu (S) là
Câu 47: Đáp án B
2 2 2
a b c d
0 )
2 2 2
x y x x y z
3 3 3 4 0
Gọi H d H 3 t;3 3 t;2t AH t 2;1 3 t;2t
1
24
3

Vectơ pháp tuyến của mặt phăng (P) là n 1;1; 1
.
Do // P
nên
AH. n 0 t 2 .1 1 3 t .1 2t 1 . 1 0 t 1
Đường thẳng qua A1;2; 1
nhận 1; 2; 1
trình là:
x 1 y 2 z 1
1 2 1
.
Câu 48: Đáp án D
Tam giác MNP có trọng tâm G 3;6; 3
AH làm vectơ chỉ phương nên có phương
Đường thẳng d qua G và vuông góc với (Q) nên có phương trình là
A d Q => tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
x
3
t
y 6 2t
z
3 t
x 3 t x3t
x
1
y 6 2t y 6 2t
y
2
z 3
t
z 3
t
z
1
x 2y z 6 0 3 t 26 2t 3 t
6 0
t
2
A 1;2; 1
Câu 49: Đáp án B
Gọi D x ;0;0
là điểm thuộc trục hoành.
Theo đề ta có
2 2
AD BC AD BC
2 2 2 2 2 2
x 3 4 0 4 0 3
2
x x
6 0
x
0 hoặc x 6.
Vậy D0;0;0 ; D 6;0;0
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 50: Đáp án A
Gọi H,K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống (P) và .
AHK vuông tại H cho ta AH AK d A;
.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi H K P
qua A và nhận AK làm vectơ pháp tuyến.
25

Vì K nên K t,1 2 t,2 2t AK t 1,2 t,2t
1
.
Mà AK
do đó AK. u
0
t 2 1 2t 2 2 2t
0
2 2 1 2
9t 6 0 t K ; ;
3 3 3 3
Mặt phẳng (P) qua
K 2 1 2
; ;
3 3 3 và có vectơ pháp tuyến 5 4 7
n ; ;
3 3 3
có phương trình
là
5 2 4 1 7 2
x y z 0 15x 12y 21z
28 0 .
3 3 3 3 3 3
26

ĐỀ SỐ 4
BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: Tìm số họ nghiệm của phương trình cot sin x
1
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 2: Tìm 0;
A. 0;
để phương trình
4 6 4sin 0 có nghiệm kép.
2
x x
2
B. ;
3 3
3
C. ;
2 2
Câu 3: Tập hợp A gồm n phần tử n 4
5
D. ;
6 6
. Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A
bằng 20 lần số tập hợp con chứa 2 phần tử của A. Tìm số k 1;2;...;
n
con chứa k phần tử của A là lớn nhất.
sao cho số tập hợp
A. 9. B. 8. C. 7. D. 6.
Câu 4: Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham
gia trong đó có hai bạn Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B, mỗi
bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác
suất để cả hai bạn Việt và Nam nằm chung một bảng đấu.
A. 3 .
5
B. 3 .
7
C. 3 .
11
D. 3 .
13
Câu 5: Biết rằng trong khai triển nhị thức Newton của
1 n
x
x
hạng đầu bằng 24. Gọi S là tổng các hệ số của số hạng chứa x k
k 0
trong các tính chất sau?
A. S là một số nguyên tố. B. S là một lũy thừa của 24.
tổng các hệ số của hai số
C. S là một số chính phương. D. S là một số lập phương đúng.
. Hỏi S có tính chất gì
Câu 6: Cho dãy số a n xác định bởi a1 0, an
1
an
4n 3, n
1. Tính giới hạn:
lim
a a a ...
a
n 4n 2 2018
4 n 4 n
a a a ...
a
n 2n 2 2018
2 n 2 n
.
1

A. 2017. B. 2018. C.
3
2019
2 1 .
D.
3
2018
2 1 .
Câu 7: Tính giới hạn của hàm số
n
x nx n 1
lim
x1
x 1 2
n
A. .
2
B.
2
n
.
2
C.
2
n n
.
2
D.
2
n n
.
2
Câu 8: Tìm m để hàm số sau liên tục trên : f x
2
x x khi x
1 1
msin x khi x 1
2
A. m 1.
B. m 2.
C. m 3.
D. m 4.
Câu 9: Cho phương trình msin 2x sin x cos x 0 (m là tham số).
Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là đúng?
A. Trong khoảng
; , phương trình đã cho vô nghiệm.
2 2
B. Trong khoảng
; , phương trình đã cho có nghiệm.
2 2
C. Trong khoảng
; , phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
2 2 D. x 0 là một nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 10: Cho hàm số
bảng theo các bước sau
Bước 1:
Bước 2: f
Bước 3: f
f x
x . Để tính f '0
x
khi x 0
f x
x 0 khi x 0
x khi x 0
f x f 0 x
0 x
' 0 lim lim lim 1.
x0 x 0 x0 x 0
x0
x
f x f 0 x
0 x
' 0 lim lim lim 1.
x0 x 0 x0 x 0
x0
x
Bước 4: f f
Vậy
f ' 0
1.
' 0 ' 0 1.
, bạn Thảo Huyền đã trình bày lời giải trên
2

Sau khi quan sát trên bảng, bạn Duy Lĩnh đã phát hiện ra rằng trong lời giải của bạn Thảo
Huyền có một bước bị sai sót. Vậy sai sót đó từ bước nào?
A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4.
Câu 11: Cho hàm số
tại A,B sao cho
ab
c 2018
.
x 2
y . Tiếp tuyến với đồ thị (C) cắt trục hoành, trục tung lần lượt
2x
3
OAB cân tại gốc O có phương trình là ax by c 0 . Tính giá trị của
A. –1 B. 1 C. 0. D.
Câu 12: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số
y
x 1
x 1
.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2018
2
x
e m2
Câu 13: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y
x 2
e m
khoảng
1
ln ;0
4
đồng biến trên
A. m 1;2 .
B.
m 1 1
;
2 2
m 1 1
2 2
C. m 1;2
D. ; 1;2
Câu 14: Đồ thị hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong
các hàm số dưới đây?
A.
4 2
y x 2x
2.
B.
C.
D.
4 2
y x 2x
2.
4 2
y x 4x
2.
4 2
y x 2x
3.
Câu 15: Cho x,y là hai số không âm thỏa mãn x y 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1:
3
3 2 2
P x x y x
A. 5. B. 7 .
3
C. 17 .
3
D. 115
3 .
3

Câu 16: Một con đường được xây dựng giữa hai thành
phố A và B, hai thành phố này bị ngăn cách bởi một con
sông. Người ta cần xây một cây cầu bắc qua sông và
vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố A cách bờ
sông một khoảng bằng 1 km, thành phố B cách bờ sông
một khoảng bằng 4 km, khoảng cách giữa hai đường
thẳng đi qua A,B và vuông góc với bờ sông là 10 km (hình vẽ). Hãy xác định vị trí xây cầu để
tổng quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là nhỏ nhất.
A. CM 10 km.
B. CM 1 km.
C. CM 2 km.
D. CM 2,5 km.
Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
y
3x
2018
mx
2
5x
6
có hai tiệm cận ngang.
A. m B. m 0
C. m 0
D. m 0
Câu 18: Tính tổng các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng y
x 5
y tại hai điểm A và B sao cho AB 4 2
x m
A. 2 B. 5 C. 7 D. 8
Câu 19: Cho hàm số
x
y
các mệnh đề dưới đây là đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là
2
5x5
xác định, liên tục trên đoạn
x 1
1
y
2
; giá trị lớn nhất là y 1 .
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là y
1
; giá trị lớn nhất là
1
y
2
.
x cắt đồ thị hàm số
1
1; 2
. Mệnh đề nào trong
C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là y 1
và
1
y
2
; giá trị lớn nhất là y 0 .
D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là y 0
; giá trị lớn nhất là
4
1
y
2
.
m
cos x
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y nghịch biến
2
sin x
trên ;
3 2 .

A.
5
m .
B. m 1.
C. m 2.
D. m 0.
4
x x
Câu 21: Cho số thực x thỏa mãn điều kiện 9 9 23 . Tính giá trị của biểu thức
x x
53 3
P .
x x
1 3 3
A.
5
.
B. 1 2
2
C. 3 2
D. 2
x
x
Câu 22: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 10 3 10 3
3 x1
1 x3
.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 23: Cho số thực 0
1
3 3 2 3 1
a a a
a . Tính giá trị của biểu thức: P
8
5 5 2 5 8
a a a
.
A. Pa 1. B. Pa 1. C.
1
P . a 1
D.
Câu 24: Cho ab , 0 và a 1. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
1
P . a 1
log a. b 3 3log
a a
b
A. 3 B. 3
1
a b
a a
b
3
C. log 3 . log
D. 3
Câu 25: Cho hai số thực a và b sao cho với a
mệnh đề sau mệnh đề nào là đúng?
5
1 1
log a. b log
a a
b
3 3
log a. b 3log
a a
b
a và log
5 4
b
3 4
logb . Trong các
4 5 A. a 1; b 1.
B. a 1;0 b 1.
C. 0 a 1; b 1.
D. 0 a1;0 b
1.
Câu 26: Cường độ một trận động đất được cho bởi công thức M log
A log A0
, với A là
biên độ rung chấn tối đa và A 0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ XX, một trận động
đất ở San Francisco có cường độ đo được 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất
khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richter. Hỏi trận động đất ở San Francisco có
biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật Bản?
A. 1000 lần. B. 10 lần. C. 2 lần. D. 100 lần.
Câu 27: Tính đạo hàm của hàm số y x 2 x 1 2018

2
A. y ' x x 1 2018
ln 2018.
B. 2
2018
y x x
1
' 2018 1 .
2018
C. y ' x 2 x 1 ln x 2 x 1 .
D. 2
2018
y x x x
1
Câu 28: Tìm các khoảng chứa giá trị của a để phương trình
x
a
2 3 1 2 3 4 0
có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1x2 log 3.
2
3
' 2018 2 1 1 .
A. ; 3 .
B. 3; .
C. 3; .
D.
x
0; .
2
1
Câu 29: Cho 2x
1 sin xdx
1. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?
a b
0
A. a2b 8. B. ab 5. C. 2a3b 2. D. ab
2.
Câu 30: Cho hàm số
của
f
4
f x thỏa f 1 30; f ' x
liên tục và f
A. 100. B. 50. C. 40. D. 21.
Câu 31: Tính nguyên hàm
ln ln x dx.
x
A. ln x.ln ln x
C.
B.
C. ln x.ln ln x
ln x C.
D.
6 6
6
Câu 32: Cho ln 3 ln 3
0
0 0
ln x.ln ln x ln x C.
4
ln ln x ln x C.
x dx x x f x dx . Tìm hàm số f x .
1
' x dx 70 . Tính giá trị
x
x 3
A. f x x.
B. f x x
2 . C. f x . D. f x
2 3
Câu 33: Tìm tập nghiệm của phương trình 3t 2t 3dt x 2 .
A. S 1;2
B. 1;2;3
x
0
S C. S D. S
1 .
x 3
Câu 34: Cho
2
P : y x 1 và đường thẳng d : mx y 2 0 . Tìm m để diện tích hình
phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất:
A. 1 .
2
B. 3 4
6
C. 1 D. 0

Câu 35: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi
h ' t 3at bt và :
sau t giây. Cho
2
- Ban đầu bể không có nước.
- Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là
- Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là
3
150m .
3
1100m .
Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.
A.
3
8400 m . B.
3
2200 m . C.
ht là thể tích nước bơm được
3
600 m . D.
3
4200 m .
Câu 36: Gọi z1 , z2, z3,
z
4
là 4 nghiệm của phương trình
4 3 2
z z z z
2 2 4 0 . Tính
T
1 1 1 1
:
z z z z
2 2 2 2
1 2 3 4
A. 5 B. 5 .
4
C. 7 .
4
D. 9 .
4
Câu 37: Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất sao cho
z z 1
i
3
A.
1 1 .
2 2 i B. i
C. 1 1 .
2 2 i D. i
Câu 38: Trên mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều
kiện 1 z 2i
2 :
A. Hình tròn tâm I 0;2
và bán kính R 2.
B. Hình tròn tâm I 0;2
và bán kính R 1.
C. Hình tròn tâm 0;2
I 0;2 bán kính R' 1.
I và bán kính R 2 đồng thời trừ đi phần trong của hình tròn tâm
D. Hình tròn tâm I 0;2
và bán kính R 2 đồng thời trừ đi hình tròn tâm 0;2
R' 1.
Câu 39: Trong các số cho dưới đây, số phức nào là số phức thuần ảo?
A. 2 3i 2 3i
B. 2
2i 2
D. 2 3 i
2
3i
C. 2 3i 2 3i
I bán kính
7

Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC), AB a, BC a 3, SA a . Một mặt phẳng qua A vuông góc SC tại
H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.
3
3
a 3 a 3
A. VS . AHK
.
B. VS . AHK
.
20
30
3
3
a 3 a 3
C. VS . AHK
.
D. VS . AHK
.
60
90
Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. Biết hình chóp S.ABC có thể tích bằng
phẳng (SBC):
A.
6a
195
d . B.
65
4a
195
d . C.
195
3
a . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt
4a
195
d . D. d
65
8a
195 .
195
Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB)
vuông góc với đáy (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, SH HC,
SA AB . Gọi là góc
giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Tính giá trị của tan .
A.
1 .
2
B.
2 .
3
C.
1 .
3
D. 2.
Câu 43: Một nhà máy sản xuất nước ngọt cần làm các lon dựng dạng hình trụ với thể tích
đựng được là V. Biết rằng diện tích toàn phần nhỏ nhất thì tiết kiệm chi phí nhất. Tính bán
kính của lon để tiết kiệm chi phí nhất.
V
A. 3 .
2
V
B. 3 .
3
V
C. 3 .
4
V
D. 3 .
Câu 44: Trong không gian, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và B với AB BC 1, AD 2 , cạnh bên SA 1 và SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung
điểm của AD. Tính diện tích S
mc
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.
A. S 2 .
B. S 11 .
C. S 5 .
D. S 3 .
mc
mc
Câu 45: Trong không gian cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB AC 2a. Tính độ dài
đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AC.
A. l a 2. B. l 2a
2. C. l 2. a
D. l a 5.
mc
mc
8

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 1;2;3
và đường thẳng
x 1 y z 3
d : . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường
2 1 2
thẳng d và cắt trục Ox.
A.
C.
x 1 y 2 z 3
.
B.
2 2 3
x 1 y 2 z 3
.
D.
2 2 3
9
x 2 y 2 z 3
.
1 2 3
x 2 y 2 z 3
.
1 2 3
Câu 47: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình lần lượt là
x 2 y 4 1
z
;
2 3 2
d’.
x
4t
y
1 6t
; t . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và
z
1 4t
A. Song song nhau. B. Trùng nhau.
C. Cắt nhau. D. Chéo nhau.
x 1 y 2 z 1
Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1
:
2 1 1
x 2 y 1 z 2
và 2
4 1 1
các điểm sau?
. Đường vuông góc chung của
1
và
2
đi qua điểm nào trong
A. M 3;1; 4
B. N 1; 1; 4
C. P 2;0;1
D. Q 0; 2; 5
Câu 49: Trong không gian Oxyz cho A1; 2;1 ; B0;2;0
. Viết phương trình mặt cầu S
đi qua hai điểm A; B và có tâm nằm trên trục Oz.
A. 2 2 2
S : x 1 y z 5.
B. S x 2 y 2
z
2
: 1 5.
C. S : x 2 y 1 2
z
5 5.
D. 2 2 2
S x y z
: 1 5.
Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba vectơ a 2;3;1 ;
b
c
2;4;3
. Tìm tọa độ vectơ x sao cho
ax
. 3
bx
. 4.
cx . 2
1; 2; 1 ;
A. 4;5;10 . B. 4; 5;10 .
C. 4; 5; 10 .
D.
4;5; 10 .

Đáp án
1-B 2-D 3-A 4-B 5-C 6-C 7-C 8-C 9-B 10-C
11-B 12-C 13-D 14-B 15-B 16-C 17-D 18-C 19-C 20-A
21-A 22-D 23-D 24-B 25-C 26-D 27-D 28-B 29-B 30-A
31-C 32-C 33-A 34-D 35-A 36-D 37-A 38-D 39-B 40-C
41-C 42-A 43-A 44-B 45-B 46-A 47-A 48-A 49-B 50-B
Câu 1: Đáp án B
cot sin x 1 sin x k,
k .
4
Ta có
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi
Do k nên k 0
LỜI GIẢI CHI TIẾT
1 1 1 1
1
k
1 k .
4
4
4
. Suy ra phương trình sin x có 2 họ nghiệm.
4
Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.
Câu 2: Đáp án D
Phương trình đã cho có nghiệm kép khi và chỉ khi
1 5
' 0 sin ;
2 6 6
Câu 3: Đáp án A
(do 0;2
Số tập hợp con chứa k phần tử của tập A là
4 2 n! n!
Cn
20Cn
20
4! 4 ! 2! 2 !
n
n
n 2 n 3 240 n 18.
)
k
C
n
. Ta có
Xét
C
C
C
k k1
18 18
C
k k1
18 18
18! 18!
k! 18 k ! k 1 ! 19 k !
18! 18!
k! 18 k ! k 1 ! 17 k !
19 k
k
17 19
k .
k
1 18 k 2 2
10

Do k nên k 9.
Câu 4: Đáp án B
4
Số phần tử của không gian mẫu là: n C 8
70
Gọi X là biến cố: “cả hai bạn Việt và Nam nằm chung một bảng đấu’
n X
C C
Số kết quả thuận lợi cho biến cố X là:
1 6
Vậy xác suất cần tính P X
Câu 5: Đáp án C
n X 30 3
.
n 70 7
2 2
30
Ta có
x
x
1 n n
k0
C x
k n2k
n
Theo đề ta có
C C 24 1 n 24 n 23.
0 1
n n
Số hạng chứa x mũ nguyên dương thỏa
Do k nên k 1;2;3;...;11
.
n 23
n 2k 0 k .
2 2
Suy ra có 12 số hạng chứa x mũ nguyên dương.
Do đó
S C C C ... C C .
0 1 2 10 11
23 23 23 23 23
Để ý rằng
C C C ... C C 2
0 1 2 22 23 23
23 23 23 23 23
và
C C , C C ,..., C C
22 11
nên 2
0 23 1 22 11 12
23 23 23 23 23 23
S 2 2 .
Vậy S là một số chính phương.
Câu 6: Đáp án C
Ta có: a a k a k k
4 1 3 4 2 4 1 2.3
k k 1 k 2
1
... a 4 1 2 ... k 1 3 k 1 2k 3 k 1
Suy ra:
a 2 3 1 3 1
lim kn
kn kn
lim lim 2k k k 2
n n n n
Do đó:
lim
a 2 2018
n
a4n a 2 ... a 2018
4 n 4 n 1 2 4 2 4 2 ... 4 2
2 2018
an a2n a 2 ... a 2018 1 2 2 2 2 2 ... 2 2
2 n 2 n
Câu 7: Đáp án C
2019
2 1 .
11
3

Ta có:
n
x 1 n x 1
n
x nx n 1
lim
lim
x1 x1
x2 2 x2
2
Câu 8: Đáp án C
lim
x1
lim
x1
x1
... 1
n1 n2
x x x n
x 1
n
1 n
x 1 x 2 1 ... x
1
x 1
n1 n2 n3 n4
x x x x
lim ... 1 ... 1 ... 1
2
1 nn n n
n1 n 2 ... 1 .
2 2
Hàm số xác định và liên tục trên các khoảng
;1
và 1; .
Suy ra hàm số xác định và liên tục trên hàm số xác định và liên tục tại điểm x 1.
Ta có f x 2
x x
lim lim 1 3 .
x1 x1
lim f x
lim msin x msin m f 1
.
x1 x1
2 2
x 1 lim f x lim f x f 1 m 3.
Hàm số liên tục tại điểm
Câu 9: Đáp án B
x1 x1
Xét hàm số f x msin 2x sin x cos x
Rõ ràng
f x là hàm số liên tục trên cho nên
Ta có f 1 0, f 1
0 (với mọi m).
2 2
Suy ra f . f 0, m
.
2 2
12
f x liên tục trong đoạn
;
2 2
Do đó theo định lí trung gian phương trình đã cho có nghiệm x0 ;
2 2
Suy ra A, C sai
Kiểm tra thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, suy ra D sai.
Vậy chỉ có B đúng.

Câu 10: Đáp án C
Sai từ bước 3 bởi vì f
Do f ' 0 f ' 0
Câu 11: Đáp án B
nên '0
f x f 0 x
0
' 0 lim lim 1
x0 x0 x0
x0
f không tồn tại.
Do OAB cân tại O nên tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 45. Suy ra hệ số góc tiếp tuyến
là k 1.
Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có
1
2 1
2
2x0 3
2x0 3
1 x0
1
y ' x0 k 1
2
1 .
2 0
3
1 x0
2
1 x
2
2x0
3
* Với x0 1
y0
1. Do đó tiếp tuyến có phương trình là
y 1. x 1 1
x (loại do không tồn tại OAB ).
* Với x0 2 y0
0. Do đó tiếp tuyến có phương trình là
y 1. x 2 x 2 x y 2 0.
Suy ra a b 1, c 2.
Vậy ab
c 2018 1.
Câu 12: Đáp án C
Tập xác định: D
Ta có
x1 x1
lim 1; lim 1.
x
x 1 x
x 1
Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang y 1; y 1.
Câu 13: Đáp án D
Tập xác định: D
\ m
2
Đạo hàm
y '
2
m
e
x
m
m
2
2
2
Hàm số đồng biến trên khoảng
1
ln ;0
khi và chỉ khi
4
13

1 m 2
2
1 m
m 2
0
y' 0, x ln ;0 1 1
m 1 1
4
2 1 2 2 m
m
2 2.
2 1
4
m 1
m ;1
1 m 2
2
4
m
1
m 1
Câu 14: Đáp án B
Dựa vào đồ thị thấy phía bên phải hướng lên nên hệ số của
Để ý thấy khi x 0 thì y 2 nên ta loại D.
Hàm số đạt cực trị tại x 0 và x 1 nên chỉ có B phù hợp vì
x
y ' 4x 3 4x 4xx 2 1 ; y ' 0 0
x
1
Câu 15: Đáp án B
4
x phải dương nên loại A.
Ta có x y 2 y 2 x 0 0 x 2 . Thay y 2
x và biểu thức P ta được
1 1
P x x x x x x x f x
3 3
3 2 2
3 2
2 1 2 5 5 với x 0;2
2 x
1
Đạo hàm
f ' x x 4x
5 0 .
x
5
Do x 0;2
nên loại x 5.
7 17
f 1 ; f 0 5; f 2 .
3 3
Vậy
7
min P min f x
khi và chỉ khi x 1.
x
0;2
3
Câu 16: Đáp án C
Đặt CM x (với 0 x
10 ) thì DN 10
x
Khi đó
AM
2
x 1 và 2 2
BN BN 10 x 16 x 20x
116 .
Tổng quảng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là AM MN BN
Do MN không đổi nên tổng quảng đường nhỏ nhất khi và chỉ khi
2 2
AM BN x x x
1 20 116 nhỏ nhất.
2 2
Xét hàm số f x x 1 x 20x
116 với 0;10
x .
14

x x10
.
x 1 x 2x
116
Ta có f ' x
2 2
f x x x x x x
' 0 2 2 116 10 2 1
Khi đó
20 116 20 100 1
2 2 2 2
x x x x x x
2 2 2
16x x 20x 100 15x 20x
100 0
10
x ; x
2
3
Do x 0;10
nên ta chọn x 2 .
Ta có f f f
0 11; 2 5 5; 10 2 101.
Suy ra
x
0;10
min f x 5 5 x 2.
Vậy CM 2 km.
Câu 17: Đáp án D
Để hàm số có 2 tiệm cận ngang thì phải tồn tại lim
x
y
lim
x
y
Ta có
2018
3
3x
2018 3
lim y lim lim x
mx 5x
6
5 6 m
m x x
2
x x 2
x
tồn tại khi m 0.
2018
3
3x
2018 3
lim y lim lim x
mx 5x
6
5 6 m
m x x
2
x x 2
x
tồn tại khi m 0.
Khi đó hiển nhiên lim
x
y lim y. Vậy m 0 .
x
Câu 18: Đáp án C
Phương trình hoành độ giao điểm
2
5 1 5 0
x x m x x m x f x
xm
xm
Đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm A,B khi và chỉ khi
f m m
f m
0 m
5
0 2
2 19 0
Gọi ; , ;
A x1 x1 B x2 x
2
với
1,
2
x x là 2 nghiệm của phương trình f x 0
15

2
AB 4 2 x x 4 x x 4x x 16
2 1 1 2 1 2
2 m
7
m 2m 35 0 .
m
5
So với điều kiện ta nhận m 7.
Câu 19: Đáp án C
Tập xác định:
D
x 2x
y' ; ' 0
x 1
\ 1 .
x
0
x
2
2
y
2
1 11 11
y 0 5; y ; y 1 .
2 2 2
Lập bảng biến thiên và dễ dàng suy ra phương án C là đúng.
Câu 20: Đáp án A
m cos
x m cos
x
Ta có y
2 2
sin x 1 cos x
Đặt
1
t cos x, t 0; .
2
Xét hàm số g t 2
m t 1
, t 0;
1 t 2
Hàm số nghịch biến trên ;
3 2
khi và chỉ khi
2
1 1 1
t
g ' t
0, 0; m , t
0; .
2 2t
2
Lại xét hàm số
h t
2
t 1 1
, t
0;
.
2t
2
2
t 1 1
Ta có h' t
0, t
0; .
2
2t
2
Lập bảng biến thiên trên
Câu 21: Đáp án A
Ta có
2
1
0;
2 , ta suy ra 5
m thỏa yêu cầu bài toán.
4
x x x x
3 3 9 9 2 23 2 25.
16

x x
Suy ra 3 3 5
x x
5 3 3 5 5 5
Do đó P
x x
.
13 3 15 2
Câu 22: Đáp án D
Điều kiện: x
1; x 3
3x x1 x3 x1
x1 x3 x1 x3
Ta có 10 3 10 3 10 3 10 3
Do x nên x 2; 1;0
.
x 3 x1 8
0
x 1 x 3 x 1 x 3
x 1 x 3 0 3 x 1.
Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm nguyên.
Câu 23: Đáp án D
1
3 3 2 3 1
a a a
Ta có P
5 5 2 5 8
a a a
a 1 1
8 2 .
a 1 a1
Câu 24: Đáp án B
1 1 1 1
log a. b log
a
a. b loga a loga b log
a a
b .
3 3 3 3
Ta có 3
Câu 25: Đáp án C
5 4
Ta có 0 a 1 và
5 4
a
a
Vậy 0 a1; b
1.
Câu 26: Đáp án D
Ta có M
Tương tự
A
A
A
A
1 1 8
log 10 .
A
Câu 27: Đáp án D
0 0
8
2 6
10 .
A Khi đó 1
6
0
2
10
3 4
4 5
b
1.
3 4
logb
logb
4 5
A 10
100.
A
17

2 2 2
Ta có y ' 2018. x x 1
. x x 1 2018 2x 1 . x x 1
Câu 28: Đáp án B
x x x
Ta có 2 3 2 3 1 2 3
Đặt
t
1
2
3 x
t 0
2018 1 20181
1
2
3
, phương trình đã cho trở thành
1
a
t t t a
t
x
2
4 0 4 1 0 *
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt phương trình (*) có 2nghiệm dương phân biệt
t
t 4
0
t12
t 1
a 0
1 2
a
1.
x1
x1
x 2
3
2
t1
log 3 2 3 3 3 3.
x2
t2
Ta có x1 x2 2
3
Vì t 1
t 2
4
2
3
nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình
Khi đó 1 a 3.1 3 a 2.
Câu 29: Đáp án B
2
2 1
Ta có
2
2x 1sin xdx x x cos x| 1.
0
4 2
0
Suy ra a 4, b
2.
Vajay ab 6 (B sai).
Câu 30: Đáp án A
4
4
Ta có f xdx f x f f f
Vậy
70 ' 4 1 4 30
1
f 4
100.
|
1
* có 2 nghiệm t 3; t 1.
Câu 31: Đáp án C
dx
Đặt t ln x dt .
x
Khi đó
ln ln x dx
x
ln tdt
18

Đặt
dt
u ln t du
t .
dv
dt
v
t
ln ln
x dx ln x .ln ln
x ln x C .
x
Câu 32: Đáp án C
Đặt
1
u ln x3
du dx
x 3
dv dx
v
x
6 6
6
Khi đó ln 3 ln 3
0
0 0
Khi đó ln tdt t ln t t C .
x
x dx x x | dx
x 3
x
x 3
Vậy .
f
x
Câu 33: Đáp án A
x
0
2 3 3 2
x
3
3t 2t 3 dt x 2 t t 3t x 2
0
3 2 3 2 x
1
x x 3x x 2 x 3x
2 0 .
x
2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 1;2 .
Câu 34: Đáp án D
|
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là
x
2
mx 1
0
Ta có
m
4 0,
m
x , x .
2
. Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
1 2
Giả sử x1 x2
x
2 2
2 2
. Khi đó 2 1 1
S mx x dx mx x dx
x1 x1
2 3 x2
2
x 1
x1
x
m x m
2
x x2 x1 1 m
1
2 3 2 3
4
Vậy min S m
0
3
Câu 35: Đáp án A
2
2 m
2
4
m 4.
.
6 3 3
19

5
2 3 1 2
5 25
Ta có 3 at bt dt
at 125 150.
2 bt
0
a
2
b
0
Tương tự ta có 1000a50b
1100.
Vậy từ đó ta tính được a1; b
2.
20
Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là : h' tdt t 3 t 2 |
8400 m
3
0
Câu 36: Đáp án D
20
4 3 2 2 2
z z z z z z z z
2 2 4 0 3 2 2 2 0
Khi đó T 1 1 1 1
9 .
2
1 2 2 2 4
Câu 37: Đáp án A
Gọi z a bi với ab ,
z
1
3
z 3z 2 0
z 2
2
z
2z 2 0 z
1
i
z
1 i
3 2 2
Ta có
0
2 2
z z 1 i a b a 1 b 1 a b 1
0.
2 2 2 2 2 2 1 1 1
z a b a a 1 2a 2a 1 2
a
.
2 2 2
Khi đó
Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi
1
a b
2
2
Vậy số phức z có mô đun nhỏ nhất là
Câu 38: Đáp án D
Gọi z a bi với ab ,
1 1
z i .
2 2
Ta có z i a 2
b
2
1 2 2 1 2 4.
Vậy tập hợp các điểm M là hình tròn tâm I 0;2
và bán kính R 2 đồng thời trừ đi hình
tròn tâm I 0;2
bán kính R' 1 . (Chúng ta thường nhầm lẫn giữa hai đáp án C và D ).
Câu 39: Đáp án B
Ta có
20

i i
2 3 2 3 11
2
2 2i
8i
là số phức thuần ảo.
i i
2 3 2 3 2 2
2 3 i
5
12 i không phải là số phức thuần ảo.
1
3i
13 13
Câu 40: Đáp án C
Ta có
AK
SC AK
AK BC BC SAB
Suy ra AK SBC AK SB .
Vì SAB vuông cân tại A nên K là trung điểm
của SB. Ta có
VS . AHK
SA. SK.
SH SH
.
V SA. SB. SC 2SC
S.
ABC
Ta có
2 2
AC AB BC 2a
.
2 2
SC AC SA a
5.
Khi đó
V
.
Suy ra
V
2
. 1
2 2 .
SH SH SC SA
SC SC SC 5
S AHK
S.
ABC
SH 1
.
2SC
10
3
3
1 1 a 3
a 3
Mặt khác, VS . ABC
SA. . AB. BC . Vậy VS . AHK
.
3 2 6
60
Câu 41: Đáp án C
Ta có AI BC,
SA BC
2
a
Suy ra V a , SABC
SA 4a
3.
4
Mà
a 3
AI
2
3 3
1 1 1
Trong tam giác vuông SAI ta có .
2 2 2
AK AS AI
21

2 2
AS . AI 4a
195
Vậy d AK 2 2
AS AI
.
65
Câu 42: Đáp án A
1 a
Ta có AH AB ; SA AB a;
2 2
2 2 a 5
SH HC BH BC .
2
2
2 2 5a
2
Do AH SA SH nên SA AB .
4
Do đó SA ABCD
nên ,
Trong tam giác vuông SAC có
Câu 43: Đáp án A
Gọi bán kính hình trụ là x 0 cm
SC ABCD SCA
SA 1
tan tan SCA . AC 2
.
Khi đó ta có diện tích của hai đáy thùng là
S
1
2
x
2
Diện tích xung quanh của thùng là
V 2V
2 2 .
S2 xh x x
2 x
2 V
(trong đó h là chiều cao của thùng và từ V x . h h ).
2
x
Vậy diện tích toàn phần của thùng là
2V
S S1 S2
x
x
2
2 .
Để tiết kiệm vật liệu nhất thì S phải bé nhất. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
V V V
S
x
2x
2x
4
2
2
2 2.3
3
.
Do đó S bé nhất khi và chỉ khi x
2
V V
x
3 .
2x
2
Câu 44: Đáp án B
Gọi M, N, F lần lượt là trung điểm của AB, SC, CD.
22

Khi đó ta chứng minh được MNF
ABCD
và MN SCE
Từ MNF
ABCD
MNF
Từ MN SCE
.
và nếu dựng trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE thì
ta suy ra MN là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SCE
Trong mặt phẳng (MNF) gọi I
MN thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.CDE.
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE thì
2 2
R IC CF IF .
Mà
CD CE 2 2
DE 2 1
;
SA IF MF
CF NO và 3
2 2 2 2 2 NO MO
3
IF 3 NO .
2
cho nên
R
11 .
2
Vậy diện tích mặt cầu cần tính là
Câu 45: Đáp án B
Smc
2
4 R 11 .
2 2
Ta có
l BC 2a 2a 2a
2.
Câu 46: Đáp án A
Gọi B
Ox . Khi đó Bb
;0;0
Vì vuông góc với đường thẳng d nên
Ta có 1; 2; 3 , 2;1; 2
AB b u d
AB u .
d
Suy ra AB. u 0 b 1
d
Do đó AB 2; 2; 3
. Chọn vectơ chỉ phương cho đường thẳng là u
Phương trình đường thẳng là
Câu 47: Đáp án A
x 1 y 2 z 3
.
2 2 3
Đường thẳng d qua M 2; 4;1
và có vectơ chỉ phương là u 2;3;2
Đường thẳng d’ qua M ' 0;1; 1
và có vectơ chỉ phương là u ' 4;6;4
2;2;3 .
23

Do u và
u ' cùng phương đồng thời
Câu 48: Đáp án A
Gọi A2a 1; a 2; a 1 ; B 4b 2; b 1; b 2
Suy ra AB 2a 4b 1; a b 3; a b 3
M d'
nên hai đường thẳng đó song song nhau.
1 2
.
Vectơ chỉ phương của
1
và
2
lần lượt có phương trình là u 2;1;1 , u 4;1; 1
1 2
Ta có
AB u
AB. u2
0
.
1
0 .
Giải hệ phương trình ta được a1; b 1 .
Suy ra phương trình đường vuông góc chung là
x
1t
y 1 t
z
2 3t
Lần lượt thay tọa độ các điểm M ta thu được kết quả đúng là A.
Câu 49: Đáp án B
Tâm nằm trên trục Oz nên có tọa độ I0;0;
z
Do mặt cầu (S) đi qua hai điểm A; B nên ta có
1 0 2 0 1 0 0 2 0 0
0
2 2 2 2 2 2
IA IB z z
1 z 2z 1 z z 1
Vậy S x 2 y 2
z 2
2 2
0 0 0 0
: 1 5
Câu 50: Đáp án B
Gọi x x ; x ; x
Khi đó
1 2 3
ax . 3 2x2 3x2 x3 3 x1
4
b. x 4 x1 2x2 x3 4 x2
5.
cx . 2 2x1 4x2 3x3
2
x3
10
Vậy x 4; 5;10 .
0 0
24

ĐỀ SỐ 5
BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: Tìm các họ nghiệm của phương trình
x
k
16 2
x k
16 2
A.
k
x
k
16 2
x
16
k
C.
k
3 3 2 3 2
cos3x cos x sin 3xsin
x
8
x
k
16
x k
16 2
B.
k
x
k
16 2
x
18
k
2
D.
k
Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số
y
5 3cos 2x
1sin 2x
2
A. D \ k2 , k
C. D \ k , k
Câu 3: Cho hàm số
B. D \ k , k
2
D.
f
x
2
D \ k , k
3
0 khi x= k
, k
2
1
khi x bằng những giá trị còn lại
2
2 tan x
Tìm điều kiện của a để hàm số
g x f x f ax tuần hoàn
A. a
B. a
C.
a D. a 0;
Câu 4: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y sin x cos 2x
.
Hỏi mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?
M
A. 2Mm 2 B. M m 2
C. 0
m
D. M m
2
1

Câu 5: Tính giới hạn
n
k
6
lim
x
k
1 3 1 k
2 1 k k
k
3 2
A. 0 B. 1 C. 1
D. 2
Câu 6: Cho hàm số f x x 1 x 2 x 3 ... x 2019
. Tính f '1
A. 0 B. 1 C. 2018! D. 2019!
Câu 7: Giả sử f :
hạn
f kx
lim
x x
f 2x
là hàm đơn điệu sao cho lim 1
x
f x
. Với mọi k 0 , tính giới
A. 1 B. 2 C. 1 2
D.
Câu 8: Trong mặt phẳngOxy , hãy tìm ảnh qua phép tịnh tiến theo vectơ u 2;4
của
đường thẳng : 3x 2y
5 0
A. 3x 2y 19 0 B. 3x 2y 19 0 C. 3x 2y 19 0 D. 3x 2y
29 0
12 4 n
Câu 9: Cho phương trình x 1
4x x 1 1 . Tìm số n nguyên dương bé nhất để phương
trình có nghiệm
A. n 3
B. n 4
C. n 5
D. n 6
3x
1
Câu 10: Cho hàm số y . Tính giá trị của y
x 2
2
4
A. 168 B. 186 C. 861 D. 816
Câu 11: Tìm a để hàm số
A.
1
a B.
4
3
2
y x x x a luôn nghịch biến trên
1
a C.
4
Câu 12: Tìm giá trị của tham số a để hàm số cos 2
1
0 a
D. a
4
f x ax x đồng biến trên
A. a 2
B. 0a 2
C. 0a 2
D. a 2
Câu 13: Tìm giá trị của tham số a để hàm số sau đạt cực tiểu tại
A. a 3
B. 1
2
f x 2 a 3 sin x 2asin 2x 3a
1
a C. 3;1
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
x
3
a D. a

m1 3 m3 2
3
f x x x 3 m
x m
3 2 2
có cực trị và số 2 nằm giữa hai điểm cực trị của hàm số.
A. 1m 7
B. 1m 7
C. 1m 7
D. 1m
7
Câu 15: Cho Hyperbol H
m
mx 4
: y
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x
m
A. H m luôn đi qua hai điểm cố định với mọi m.
B. H m luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
C. H m không đi qua một điểm cố định nào.
D. H m luôn đi qua ba điểm cố định với mọi m.
Câu 16: Gọi m, n, p lần lượt là số tiềm cận của đồ thị các hàm số
Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
2
6 2x 4x 3x
1 11
; ;
2 2
3 8 3 1 4 2
y y y
x x x x
A. m n p B. m p n C. p m n D. n p m
Câu 17: Tìm giá trị của m để m
4 2 2 2
C : y x m 2 x m 1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân
biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành phần phía trên trục hoành có diện tích bằng
96
15 .
A. m 2
B. m 2
C. m 2
D. m 3
Câu 18: Tìm trên đồ thị C
vuông cân tại đỉnh A 2;0
m
2x
: y hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC
x 1
A. B1;1 , C 3;3
B. B2;4 , C 3;3
C. B1;1 , C 2;4
D. B0;0 , C 1;1
Câu 19: Cho xy ,
thỏa mãn điều kiện
2y
2
x và
3
y 2x 3x . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
P x y
2 2
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
Câu 20: Một công ty Container cần thiết kết các thùng đựng hàng hình hộp chữ nhật, không
3
nắp, có đáy hình vuông, thể tích là108m . Tìm tôngr diện tích nhỏ nhất của các mặt xung
quanh và mặt đáy
3

A.
2
S 100m B.
Câu 21: Tìm m để hàm số
2
S 108m C.
m 1
x m
y 0 a
1
log mx m
2
a
2
S 120m D.
S 150m
xác định với mọi x 1
A. m 0
B. m 0
C. m 0
D. m 0
4 3
a b
Câu 22: Cho 0 abc , , 1
thỏa log
ab
3,log
ac 2
. Hãy tính log a 3
c
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
2
Câu 23: x 0 . Rút gọn biểu thức
P
1 1 x
1 2 2
4
1 1 x
1 2 2
4
x
x
2
2
A. 1 2 x
x
1
2
B. 1 2 x
x
1
2
C. 1 2 x
x 1
2
D. 1 2
1
2
Câu 24: Cho ab , 0 thỏa mãn a 2 4b 2 12ab . Xét hai mệnh đề sau:
I .log a 2b 2log 2 log a log b
1
2
3 3 3 3
1
2
II .log a 2b log a log b
3 3 3
Mệnh đề nào là đúng trong các mệnh đề sau?
A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Cả hai sai D. Cả hai đúng
Câu 25: Rút gọn biểu thức
P
1
log
3
a
b
log blog a1 log
a b a
a
b
với 0 ab
, 1
A. 1 B. log a
b C. log b
a D. log
a b
Câu 26: Tìm các giá trị của m để phương trình 2
khoảng 0;1
A.
1
m
B.
4
1
m
C.
4
2 1
2
x
x
4 log x log x m 0 có nghiệm thuộc
1
0 m
D.
4
1
0 m
4
Câu 27: Tính tổng của nghiệm nguyên lớn nhất và nhỏ nhất trong bất phương trình
2
x 4x
log3
1
2x
3
4

A. 6
B. 4
C. 6 D. 4
Câu 28: Trong loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon
14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng
quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cácbon 14 nữa. Lương cacbon 14 của bộ
phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi
Pt
là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng thì từ t
năm trước đây thì
Pt được tính theo công thức Pt 100. 0,5 5750
%
t
Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon
14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65%. Hãy xác định niên đại công trình kiến trúc đó (lấy gần
đúng).
A. 3576 năm B. 3575 năm C. 3574 năm D. 3573 năm
Câu 29: Cho
a 0;
2
tan a
xdx
cot a
dx
. Hãy tính
2 2
1
x
e
e
x1
x
A. I 1
B. I 1
C. I e D. I e
Câu 30: Cho biết với mỗi u 0 phương trình
f u .
3
t ut 8
0có nghiệm dương duy nhất
Hãy tính
7
f
0
2
u du
A. 31
2
Câu 31: Cho hàm số
B. 33
2
C. 35 2
D. 37 2
f x liên tục trên đoạn0;1 . Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
A. xf sin
xdx f sin
xdx
B. sin 2
sin
0 0
xf x dx f x dx
0 0
2
C. xf sin
xdx f sin
xdx
D. sin
sin
0 0
xf x dx
2
f x dx
0 0
Câu 32: Cho số thực a bất kì và giả sử f là môt hàm liên tục. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
a a x
A. f x x adx f tdt dx B.
0 0 0
a a x
f x a x dx
f t dt dx
a a x
0 0 0
C. f x x 2a dx f tdt dx D. 2
0 0 0
f x a x dx
f t dt dx
a a x
0 0 0
5

Câu 33: Thời gian và vận tốc của một vật khi nó đang trược xuống mặt phẳng nghiêng được
xác định bởi công thức
Hãy tìm phương trình vận tốc.
2
dv (giây). Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu chuyển động.
20 3v
A.
C.
3t
20 20
2
e B.
3 3
3t
3t
20 20 20 20
2
2
e hoặc e D.
3 3 3 3
20 20
e
3 3
4
4e
3t
2
3t
2
Câu 34: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
của biểu thức 2018
3S 3S 2 .
2
y x và y
x . Tính giá trị
A. 1 B. 1
C. 0 D.
Câu 35: Cho hình phẳng
2018
3
3
H giới hạn bởi đường cong
P : y 2x 2
. Thể tích của khối tròn xoay nhận được khi cho
a
có dạng V 2018c 2019d
b
Hỏi mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?
A. abcd 0
B. 9a b c d 1
b
d
C. a b 2c 3d 39
D. 8
ac1
Câu 36: Tìm m để số phức 1 1 1
2
z mi mi là số thuần ảo.
C : y x 3x 2 và
H quay quanh trục Ox
A. m 3 B. m 2 C. m 5 D. m 1
Câu 37: Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B, C biểu diễn các số phức
a 2 2 i; b 1
i và c 5ki với k
. Tìm k để ABCD là hình chữ nhật
A. k 5
B. k 6
C. k 7
D. k 8
Câu 38: Cho z 1
13 i; z 2
2 i; z 3
3
4i . Tính
z z z
z z
2
1 2 3 2 3
A. 20 35i B. 20 35i C. 20 35i D. 20 35i
Câu 39: Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn z 5 và z 2 3i 4 . Tính
P
13z
1
z 2
A. P 898 B. 889 C. 998 D. 888
6

Câu 40: Cho lăng trụ đứng ABCD. A' B' C ' D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt
phẳng C ' BD hợp với đáy góc 45. Tính thể tích lăng trụ
3
3
3
2
A. V a B. V a 2 C. a
3
2
V D. V a
4
2
Câu 41: Hình chóp tam giác đều có đường cao bằng h, các mặt bên hợp với đáy một góc 45.
Tính diện tích đáy.
A.
2
S h 3 B.
2
S 3h 3 C.
7
3 3
4
2
S h D.
Câu 42: Cho hình chóp S.
ABC có ABC là tam giác đều cạnh a và SA vuông góc với đáy.
Góc tạo bởi SB và mặt phẳng ABC bằng 60 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC .
A.
a 15
5
B.
a 15
3
C. 3 a
5
S
D. 5 a
3
Câu 43: Cho lăng trụ đứng ABC. A' B' C ' cạnh bên AA ' 2, đáy là tam giác vuông cân ABC
đỉnh A, canh huyền BC a 2 . Tính thể tích của hình trụ tròn xoay có dáy là hai đường tròn
tâm A, bán kính AB và đường tròn tâm A’, bán kính A’B’.
A. V B. V 2 C. V 3 D. V 4
Câu 44: Cho tứ diện S.
ABC có SA AB AC a và AS, AB,
AC vuông góc nhau từng đôi
một. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
A.
S
a
2
2
B.
3
a
S
2
2
C.
3
a
S
4
2
D.
9 3
4
S 3
a
Câu 45: Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông
cạnh 12cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Khi dung tích của cái hộp
đó là
3
4800cm , tính độ dài cạnh của tấm bìa
A. 42 cm B. 36 cm C. 44 cm D. 38 cm
Câu 46: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
A0;1;1 , B1; 2; 3 , C 1;0; 3
. Tìm điểm K thuộc mặt cầu
ABCD lớn nhất
A. D 1;2; 1
B. D 1;0; 3
C. 3;0; 1
S : x y z 2x 2z 2 0 và các điểm
S sao cho thể tích tứ diện
7 4 1
D D. D ; ;
3 3 3
2
h
2

Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho điểm H 4;5;6
. Viết phương trình mặt phẳng P
qua H, cắt các trục tọa độ Ox, Oy,
Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác
ABC
A. 4x 5y 6z 77 0
B. 4x 5y 6z
77 0
C. 4x 5y 6z 77 0
D. 4x 5y 6z
77 0
Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
2 2 2
phẳng : 2x 2y z 17 0 . Viết phương trình mặt phẳng
(S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6
S : x y z 2x 4y 6z 11 0 và mặt
A. 2x 2y z 7 0
B. 2x 2y z 7 0
C. 2x 2y z 7 0
D. 2x 2y z 7 0
song song với và cắt
Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A4;0;0 , B 0;4;0
và măt phẳng
P : 3x 2y z 4 0 . Gọi I là trung điểm của AB. Tìm K sao cho KI vuông góc với
P
đồng thời K cách đều gốc O và
A.
1 1 3
K
; ; B.
4 2 4
P
1 1 3
K
; ; C.
4 2 4
1 1 3
K
; ; D.
4 2 4
K
1 1 3
; ;
4 2 4
Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A0;0;4 , B 2;0;0
và mặt phẳng
: 2 5 0
P x y z . Lập phương trình mặt cầu
S đi qua O, A, B và có khoảng cách từ
tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng P bằng
5
6
A.
B.
C.
D.
2 2 2 2 2 2
x y z x z x y z x y z
2 4 0; 2 20 4 0
2 2 2 2 2 2
x y z x z x y z x y z
2 4 0; 2 20 4 0
2 2 2 2 2 2
x y z x z x y z x y z
2 4 0; 2 20 4 0
2 2 2 2 2 2
x y z x z x y z x y z
2 4 0; 2 20 4 0
Đáp án
1-A 2-C 3-B 4-C 5-D 6-C 7-A 8-B 9-C 10-A
11-D 12-A 13-B 14-C 15-A 16-C 17-A 18-A 19-D 20-B
21-B 22-A 23-B 24-C 25-B 26-A 27-C 28-C 29-B 30-A
8

31-D 32-B 33-A 34-A 35-D 36-A 37-C 38-B 39-A 40-D
41-D 42-A 43-B 44-D 45-C 46-D 47-B 48-B 49-C 50-A
Câu 1: Đáp án A
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có
3 3 2 3 2
cos3x cos x sin 3xsin
x
8
cos3x 3cos x 3sin x sin 3x
2 3 2
cos3 x. sin 3 x .
4 4 8
2 2
2cos 3x 6cos3x cos x 6sin3xsin x 2sin 3x
2 3 2
2 2
x x x x x x
2 cos 3 sin 3 6 cos3 cos sin 3 sin 2 3 2
2
x
k
16 2
cos 4x
k
2
x k
16 2
Câu 2: Đáp án C
Ta có 1
cos2x 1
nên 53cos2x
0
Mặt khác 1 sin 2x
0
2
Hàm số xác định khi và chỉ khi
5 3cos 2x
0 *
1sin 2x
2
sin 2x
1
2
1 sin 2x
0
2
2x k2 x k
, k
2 2
(Để ý rằng bất phương trình (*) luôn đúng)
Tập xác định là D \ k
, k
Câu 3: Đáp án B
Xét hàm số g x f x f ax
9

- Nếu a p
q với *
p
, q thì
T q là chu kì của g x
Vì g x q f x q f ax p còn là chu kì của hàm số f x
- Ta sẽ chứng minh nếu a là số vô tỉ thì g x không tuần hoàn
Để ý rằng g 0 f 0 f 0
1. Nếu
g x đối với x
0
0 nào đó thì
0
1
2
tan
0
0
x và
2
tan ax
0
0
Nhưng x
0
0 nghĩa là
. Điều này có nghĩa là x k và ax
0 0
l với kl ,
giá trị 1 tại điểm duy nhất 0
Câu 4: Đáp án C
1
a . Điều này mâu thuẫn vì a là số vô tỉ. Do đó hàm số k
x . Như vậy f
Ta có
x sẽ không tuần hoàn
y x x x x x x
2 2
sin cos2 sin 1 2sin 2sin sin 1
Đặt t sin x, 1 t 1
2
Ta sẽ đi tìm GTLN và GTNN của hàm số y g t 2t t 1 trên đoạn
1;1
g x nhận
Ta có
2
2 1, 1
t t t
y g t
1
2
1
2
2
2t t 1, t 1
* Xét hàm số
2
1
h t 2t t 1 trên đoạn
1; 2
9 1 1
Max h t t ; Min h t 0 t
8 4 2
Dễ dàng tìm được
* Xét hàm số
2
1 1
t1; t 1;
2 2
k t 2t t 1 trên đoạn
1
;1
2
1
Max k t 2 t 1; Min k t 0 t
2
Cũng dễ dàng tìm được
1 1
t ;1 t
;1
2 2
Qua hai trường hợp trên ta đi đến kết luận
1
Max g t
2 t 1; Min g t
0 t
2
t 1;1 t 1;1
Hay M Max y 2 sin x 1 x k2 ,
k
x
2
10

2
1
x
k
6
m Min y 0 sin x
, k
x
2 5
x k2
6
Câu 5: Đáp án D
6 3 2 3 2
6
3
k 1 2
k 1
3
k 2
k
k k k k 1 k 1
Ta có:
n
3
k 1 2
k 1
3
k 2
k
6 3 2
6 3 2
1 1
1 3
k 2
k
3
k 2
k
k
k n n
n1 n1
2
k n n
1 n
6 3 2
3
Do đó: lim 6lim 6lim
2
n k 1 k 1
k k
n 1 n 1
2
1 3 2 3 2
n
3 2 n
k
2
1 2.
3
Câu 6: Đáp án C
Ta có
x1
lim
1 1 2 3 ... 2019
f x f x x x x
lim
x1 x1
x1 x1
x x x
lim 2 3 ... 2019 1 . 2 . 3 ... 2018 2018!
Vậy
f ' 1
2018!
Câu 7: Đáp án A
11
n n n1
f x f x f x
n
f 2x 2 2 2 f 2x
Ta có lim 1 lim lim ... 1
x x x
n 1 n 2
f x f x
f 2 x f 2 x f x
Giả sử
f x tăng và k 1. Ta thấy tồn tại n sao cho
1
Theo tính đơn điệu của f, ta có 2 n
n
f x f kx f 2
x
Từ đây suy ra
x
f kx
lim 1, k
1
x
f
Cũng suy luận như trên, trong trường hợp 0k
1 ta có
x
f kx f u
lim lim 1
x
f
u
u
f
k
Vậy ta thu được
f kx
lim 1, k
0
x
x
n
2 k
2
n1

Câu 8: Đáp án B
Cách 1:
Gọi M x '; y ' là ảnh của ;
M x y qua T . Ta có
u
M 3 x ' 2 2 y ' 4 5 0 3 x' 2 y ' 19 0
M ' ':3x 2y
19 0
Cách 2:
Lấy M 1;1
. Suy ra ảnh của M qua T là M '
3;5
u
Gọi
' là ảnh của qua T
u
Đường thẳng
' qua ' 3;5
M nhận 3; 2
3 x 3 2 y 5 0 3x 2y
19 0
Cách 3:
Lấy M 1;1 , N1;4
Suy ra ảnh của M, N qua
u
Gọi
' là ảnh của qua T
u
T là M ' 3;5 , N'
1;8
x ' x 2 x x ' 2
y ' y 4 y y ' 4
n làm vecto pháp tuyến nên có phương trình
Đường thẳng
M nhận 2;3
' qua ' 3;5
MN làm vectơ chỉ phương nên có phương
trình
x3 y5
3x 2y19 0
2 3
Câu 9: Đáp án C
Cái hay của bài toán này là đi tìm giá trị bé nhất của n bởi vì nó yêu cầu người làm toán phải
biết “khôn khéo” trong quá trình biện luận để loại bỏ những giá trị không cần thiết và sử dụng
linh hoạt phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.
n
Điều kiện: x 1
0
* x 1 không phải là nghiệm của phương trình (1)
* Với n chẵn thì nếu x
0
là một nghiệm của (1) thì x0
cũng là một nghiệm của (1)
* Với n lẻ thì x 1. Khi đó phương trình (1) xác định và ta chỉ cần xét x 1
Từ x 1 ta có
x
1 2x
và x 8 x 4 1 x 4 x 4 1
1 2x 2 x
4 1
4 2
Nhân vế theo vế của hai bất đẳng thức này ta được:
12

x 4 1 x 8 x 4 1 4x 4 x 4 1 x 12 1 4x 4 x
4 12
Từ (2) ta thấy với n 4 , phương trình (1) vô nghiệm và do x 1 nên với n 4 thì phương
trình (1) cũng vô nghiệm
* Với n 5
12 4 5
Xét hàm số f x x 1 4x x 1 liên tục và xác định trên 1;
Ta có
12 4 5
f 6 6 6 6
1
2 0; f 1 4
1 0
5 5 5 5
Như vậy, phương trình 0
* Với 5
6
f x có nghiệm x0
0;
5
12 4
n lại xét hàm số g x x 1 4x x
n 1 liên tục trên 1;
Lập luận hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được phương trình g x 0 có nghiệm
6
x0
1;
5
Do đó phương trình có nghiệm với mọi n 5 và số tự nhiên bé nhất cần tìm là n 5
Câu 10: Đáp án A
Tập xác định:
Ta có
Suy ra
D
\ 2
7 14 42 4
168
y ' ; y '' ; y ''' ; y
x 2 x 2 x 2 x 2
4
y 3 168
Câu 11: Đáp án D
Trước hết, hàm số xác định với mọi
Đạo hàm
2 3 4 5
2x
1
y ' 1
2
2
x x a
Hàm số nghịch biến trên y' 0, x
Xét hai trường hợp:
Trường hợp:
1
a
4
1
x 0 1 4a 0 a
4
13

Khi đó
1 2, x
2x1 2x1 2
y ' 1 1
2 1 2x
1
1
2 x x
0,
x
4
2
Do đó y ' 0 trên
Trường hợp 2:
Khi đó
1
; . Do đó không thỏa mãn
2
1
a
4
2x 1 2x 1 2x
1
y' 1 1 1 0, x
2
2 x x a
2 1 2x
1
2 x x
4
Trường hợp này cũng không thỏa mãn
Vậy không tồn tại giá trị nào của a để hàm số luôn nghịch biến.
Câu 12: Đáp án A
Ta có
f ' x a 2sin 2x a 2, x
Nếu a 2 0 a 2
thì
Nếu a 2 0 a 2
f ' x 0, x
f ' x 2 1 sin 2x 0, x
thì
f ' x
0 x k
, k
4
4 4
Hàm số f đồng biến trên mỗi đoạn k; k1
, do đó đồng biến trên
Nếu a 2 0 a 2 thì f ' a 2 0 , do đó hàm số f đồng biến trên
4
Câu 13: Đáp án B
2
Ta có
f ' x 2 a 3 cos x 4acos 2x
2
f '' x 2 3 a sin x 8asin 2x
Hàm số
f
x đạt cực tiểu tại
x khi và chỉ khi
3
f ' 0 2
3 a 2a 3 0
a 1
2
3 a
4a
3
0
f '' 0
3
14

Câu 14: Đáp án C
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình
2
f ' x m 1 x m 3 x 3 m 0 có hai nghiệm phân biệt
Đặt x t 2
, phương trình
m 1t 2 3m 7t m 7 0 *
f ' x 0 trở thành
Phương trình có hai nghiệm x1,
x
2
thỏa x1 2
x2
khi và chỉ khi phương trình (*) có hai
nghiệm trái dấu
Câu 15: Đáp án A
Gọi
m 7
0 1 m 7
m 1
x y là điểm cố định H
0;
0
0
0 0 0 0 0
x0
m
m
. Khi đó
mx 4
y x y y m mx 4, m
x0 y0 m x0 y0 4 0, m
x0 y0 0 x0
2
hoặc
x0 y0 4 0 y0
2
Vậy
m
x
y
0
0
2
2
H luôn đi qua hai điểm cố định là 2;2 , 2; 2
Câu 16: Đáp án C
6
2x
Đồ thị hàm số y
3x
8
có 2 tiệm cận (đứng, ngang). Suy ra m 2
Đồ thị hàm số
y
2
4x
3x1
2
3x
1
11
Đồ thị hàm số y
2
4x
x2
Vậy p m n
Câu 17: Đáp án A
có 1 tiệm cận (ngang). Suy ra n 1
có 3 tiệm cận (1ngang, 2 đứng). Suy ra p 3
Phương trình hoành độ giao điểm của C với trục Ox:
x
1
m
4 2 2 2 2 1 0
2
x m
x m x m
cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt m 0*
C m
1
15

m
Khi đó: diện tích hình phẳng giới hạn bởi C với trục hoành phần phía trên trục hoành là:
1 2
4 2 2 2
m
1
20 16 96
S x m 2
x m 1 dx m 2
(thỏa (*))
15 15
Câu 18: Đáp án A
Ta có C
2
: y 2 x 1
, Gọi
2 2
B b;2
, C c;2
b1 c1 với b1
c
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C trên trục Ox
Ta có: AB AC; BAC 90 CAK BAH 90 CAK ACK
BAH
ACK
AH
CK
Và BHA CKA 90 ABH CAK
HB
AK
Hay
2
2 b 2
c 1
b
1
2 c 3
2 c 2
b 1
Vậy B
1;1 , C3;3
Câu 19: Đáp án D
y
0 y 0
y 0
Từ giả thiết bài toán suy ra 2
x
2
2 6
2x
3x
5x
6x
0 0
x
2
5
Ta có 2
x y x 2x 3x 4x 12x 10x
2 2 2 2 4 3 2
Ta có f ' x 4x x 1 x 5
x
0
f ' x
0 x
1
. So điều kiện, chọn x0; x
1
x
5
6 1224
f 0 ; f 1
2;
f
5 625
Vậy max P 2
Câu 20: Đáp án B
16

Gọi xy , 0 lần lượt là chiều dài cạnh đáy và chiều cao của hình hộp
Tổng diện tích xung quanh và diện tích của một mặt đáy của thùng đựng hành là
2
S x 4xy
2
108
Thể tích của thùng đựng hàng là V x y 108
y
2
x
Suy ra
2 108 2 432
S x 4. x x
2
x x
Do S 0 và x 0 nên ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của S trên khoảng 0;
432
Ta có S ' 2 x ; S ' 0 x 6
2
x
864
S'' 2 0, x 3
0;
x
Suy ra
2
S S 6 108. Vậy diện tích nhỏ nhất cần tìm là 108m
Câu 21: Đáp án B
Hàm số xác định
m 1 x m 0 1
m 1 x m 0
mx m 2 0 mx m 2 0 2
loga
mx m 2
0
mx m 2 1 3
Hàm số xác định với mọi x 1 khi và chỉ khi 1 , 2 , 3 đồng thời thỏa mãn với mọi x 1
m 10
g x m 1 x m 0, x 1 m 1
g 1
0
Ta có
m 0
h x
mx m 2 0, x 1 m 0
h1
0
Do đó 1 , 2 đồng thời thỏa mãn với mọi x 1 khi m 0
Khi đó q x mx m m x
Câu 22: Đáp án A
2 1 2 2 . Suy ra (3) đúng. Tóm lại m 0
4 3
1
a b
1
loga log log log 4 .3 3. 2 11
3
a
a
a
c
3
4 3
Ta có a b 3 c
Câu 23: Đáp án B
17

VT
x x 2
x x
2
2x
2x
2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2
x x 2 2x
2x
x x
2
x x
2 2
2 2
x x
x x 2 2
x
2 2 2 2 2 1
2
x x x x
2 2 2
1 2
2 2
2 2 2 2
Câu 24: Đáp án C
2 2
Ta có 2
a 4b 12ab a 2b 16ab
Suy ra
4
x x x
2 2
2log a 2b log 2 log a log b
3 3 3 3
1
log 2 2log 2 log log
2
a b a b
3 3 3 3
Do đó cả hai mệnh đề đều sai
Câu 25: Đáp án B
Ta có
2
3
1
log
1 log 1 log log log
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
P log
2
1 a log a
b 1 log
a
b1
log
a
b
log
ab
1log
a
log
a
b b
Câu 26: Đáp án A
Phương trình đã cho tương ứng với
log x log x m 0 (*)
2
2 2
Đặt t log2
x x 2 t
t
.Do 0 x1 0 2 1 t 0
Phương trình (*) thành t 2 t m 0 t 2 t m (**)
Phương trình đã cho có nghiệm x 0;1
phương trình (**) có nghiệm t
;0
Xét hàm số f t t 2 t, t
;0
1
f ' t 2t 1; f ' t 0 t
2
Ta có
Lập bảng biến thiên và đi đến kết luận
Câu 27: Đáp án C
1
m
4
a
b
18

2 2
x 4x x 4x
2
0 0
x 4x 2x3 2x3
log3 1
2
2
2x 3 x 4x x 2x
9
3 0
2x3
2x3
2x
3 0
2
x
4x0
4 x 0
2
(do 2
Do x nên x 3; 2; 1
x 2x 9 x 1 8 0, x )
Vậy tổng của nghiệm nguyên lớn nhất và bé nhất bằng 4
Câu 28: Đáp án C
Thay giá trị Pt 65 vào công thức ta được
t
100. 0,5 65
5750
100 t 100 log100 log 65 2 log 65
65 5750 65 log 2 log 2
t
5750
2 log
2
Suy ra t 3570 (năm)
Câu 29: Đáp án B
Xét hàm số T x
Ta sẽ tính
T a
Gọi F t,
t
y và y
2
1 t t
tan x
tdt
cot x
dt
2 2
1
t
xác định với mọi x 0;
e
e
t1
t
2
G t lần lượt là nguyên hàm của các hàm số
1
1
t
2
Khi đó T x F tan
x F e G cot
x G e
Suy ra T x F x G x
1 1
' ' tan . ' cot .
2 2
cos x
sin x
tan x
1 1
tan x 0
1 tan 2 x cos 2 x cot x 1 cot 2 x sin
2 x
cot x
Do đó
T x là hàm hằng trên khoảng x 0;
2 . Khi
a thì
4
19

1 1 1
xdx dx dx
T
x
4
1
x
e e
x1
x
e
Câu 30: Đáp án A
Xét hàm số
3
Ta có
2
2 2
1
h t t ut 8
h ' t 3t u 0 với mọi 0
t . Do đó h là hàm đồng biến trên khoảng 0;
Mặt khác h0 8, h2
2u
0 nên tồn tại duy nhất c 0;2
suy cho hc 0
Với mỗi 0 x 2
8
x
x
3
ta có ux
0 . Suy ra x
dương của phương trình
f u x
x
8
u ' x 2x
x
Ta có
2
t
3
3
u x . x 8 0. Do đó x là nghiệm
u x . t 8 0 . Do tính duy nhất của nghiệm ta suy ra
Khi x 2 thì u 0 và khi x 1thì u 7 . Áp dụng công thức đổi biến ta có
7 1 2
2 2 3
31
f udu f u xdx 8 2x dx
2
0 0 0
Câu 31: Đáp án D
Đặt sin
I xf x dx
0
Đổi biến x
tta được
0
sin sin sin
I t f t dt t f t dt f t dt I
Đén đây ta suy ra được kết quả ở (D)
Câu 32: Đáp án B
x
0 0
Đặt F x f tdt
. Ta cần chứng minh
Ta có F ' x f x
0
. Khi đó
a
f x a x dx F x dx
0 0
a a a a
'
f x a x dx a f x dx xf x dx aF a xF x dx
0 0 0 0
a
20

Sử dụng công thức tích phân từng phần, ta có '
Thay vào ta thu được kết quả ở B
Câu 33: Đáp án A
Ta có
a
xF x dx aF a F x dx
0 0
2 2
t dx ln 20 3 v C với C là hằng số
20 3v
3
Vào thời điểm t 0 thì vật có vận tốc bằng 0. Suy ra
2 2
0 ln 20 C C ln 20
3 3
2 2
Khi đó t ln 20 3v
ln 20
3 3
3
ln 20 3v
ln 20 t 2
a
20 3v
20.
3
t
2
e
3
20 20
t
2
v e
20 3v20. e
3 3
20 20
20 3v 20.
e v e
3 3
3
t
2
3 3
t
t
2 2
Để ý rằng phương trình thứ hai không thể đạt v 0 tại t 0 cho nên ta chỉ nhận phương trình
thứ nhất là
20 20
v
3 3
Câu 34: Đáp án A
3
t
2
e
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong
2
x x x
0hoặc x 1
1 1
2 2
Diện tích hình phẳng cần tìm là
Do đó 3S3S2 2018
1
Câu 35: Đáp án D
S x x dx x x dx
0 0
Phương trình hoành độ giao điểm của C và P là
3 3
x 3x 2 2x 2 2x x 3x
Giải phương trình này, ta thu được hai nghiệm là x0; x
2
21
1
3

3
Thể tích vật thể cần tìm là 2 3
Suy ra a 4; b 35; c 0; d 0
2
0
2 2 4
V x x x dx
35
Kiểm tra từng mệnh đề, nhận thấy D sai vì
Câu 36: Đáp án A
Ta có
2
z 3 m 3mi
bd
35 0
7
a c1 4 0 1
z là số thuần ảo
Câu 37: Đáp án C
Ta có ABCD là hình bình hành
2
3 m 0 m 3
CD BA d c a b d a c b d 8 m 3 i
ABCD là hình chữ nhật
AC BD c a d b 3 m 2 i 9 m 4 i
2 2 2
2
3 m 2 9 m 4 m 7
Câu 38: Đáp án B
2 2
2
Ta có
z z z z z z . z . z z z 1 3i 2 i 3 4i 2 i 3 4i 20 35i
1 2 3 2 3 1 2 3 2 3
Câu 39: Đáp án A
Gọi z a bi với ab , và a 0
Theo giả thiết ta có
2 2
a
b
5
a
b
2 2
2 3 16
Giải hệ trên ta thu được
a
2
(thỏa mãn) hoặc
b
1
22
a
13
(loại)
19
b 13
Do đó z2
ivà P 898
Câu 40: Đáp án D
C ' C ABCD , BD OC BD OC ' COC ' 45
Ta có
OCC ' vuông cân tại
a 2
C CC ' OC
2
22

3
2 a 2 a 2
Vậy V a
.
2 2
Câu 41: Đáp án D
Kẻ AM
BC và SH AM , khi đó SHM vuông cân tại H
Suy ra HM HS h, AM 3h
Vậy
S
9 3
4
h
Câu 42: Đáp án A
Kẻ AI
Ta có
2
BC và AH SI
. Khi đó ,
a 3
AI (do ABC đều cạnh a)
2
và
AH SBC d A SBC AH
SB ABC SBA 60 SA AB.tan 60 a 3
SA. AI a 15
SA AI 5
Vậy d ASBC
AH
2 2
Câu 43: Đáp án B
BC
ABC vuông cân tại A AB 1
2
V AB 2 . AA' .1.2 2
Câu 44: Đáp án D
Bán kính mặt cầu
Diện tích mặt cầu
Câu 45: Đáp án
2 2 2
2 a 2 a 3a
R
2
2 4
3a
S 4 R 4 . 3
a
4
2
2 2
23

Đặt cạnh hình vuông là xx , 24 cm
Theo đề ta có x
2
4800 24 .12 x 44 cm
Vậy độ dài cạnh của tấm bìa hình vuông là 44cm
Câu 46: Đáp án D
(S) có tâm I 1;0; 1
, bán kính R 2
1; 3; 4 , AC 1; 1; 4
AB
Gọi
là mặt phẳng chứa 3 điểm A, B, C nhận n AB, AC 8; 8;4
tuyến nên có phương trình:
8 x 1 8 y 2 4 x 3 0 2x 2y z 1 0
d I 2 0 11 2
,
2
2 2 2
2 2 1 3
R S
Ta có V
1
h . S
nên V
ABCD
lớn nhất hD
lớn nhất
3
ABCD D ABC
Gọi DD
1 2là đường kính của (S) vuông góc với mặt phẳng
Vì D là điểm bất kì thuộc (S) nên d D, max d D1, , d D2,
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi D trùng với một trong hai điểm D
1
hoặc D
2
1 2
làm vectơ pháp
DD qua I nhận vectơ pháp tuyến của làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham
x12t
D D : y 2 t , t
z
1 t
số
1 2
Gọi 1 2 ; 2 ; 1
D d d d D D là điểm cần tìm. Khi đó D là nghiệm của phương trình:
0 0 0 1 2
2
1 2d0 4d0 1 d0 2 1 2d0 2 1 d0 2 0 d0
3
2
2
2
Ta có dD
9d
2
0
, .
3
Vì
2 2
9. 2 9.
2
3 3
2
nên D phải ứng với d0
3 3
3
Vậy
7 4 1
D
; ;
là điểm cần tìm
3 3 3
24

Câu 47: Đáp án B
Giả sử P Ox Aa;0;0 , P Oy A0; b;0 , P Oz A0;0;
c
x y z
Khi đó (P) có phương trình 1
a b c
4 5 6
4;5;6 1
a b c
Ta có: H P
4 ;5;6 , 4;5 ;6 0; ; , ;0;
AH a BH b BC b c AC a c
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên
AH. BC 0 5b 6c
0
BH. AC 0 4b
6c
0
Giải hệ phương trình
77
4 5 6 1
a
4
a b c
77
5b 6c 0 b
5
4b 6c
0
77
c
6
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là
x y z
1 4x 5y 6z 77 0
77 77 77
4 5 6
Câu 48: Đáp án B
Do // nên : 2x 2y z D 0D
17
Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;3
, bán kính R 5
Đường tròn có chu vi là 6 nên bán kính của đường tròn này là r 3
Ta có
2 2
d I R r D
2 2 2
2.1 2. 2 3 D
D
7
4 5 12
2 2 1
D
17
Nhận giá trị D 7 . Vậy có phương trình là 2x 2y z 7 0
Câu 49: Đáp án C
Ta có I là trung điểm AB I 2;2;0
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: n 3;2; 1
25

Vì KI P
nên đường thẳng KI qua I nhận 3;2; 1
phương trình
x23t
y
2 2t
z
t
K KI K 2 3 t;2 2 t;
t
Theo đề ta có:
6 9t 4 4t t 4
d K P KO 2 3t 2 2t t
14
n làm vectơ chỉ phương nên có
2 2 2
2 2 2
14t 20t 4 14 t 1 14t 20t 4 14t 28t
14
3
t
4
Vậy
1 1 3
K
; ; thỏa mãn yêu cầu bài toán
4 2 4
Câu 50: Đáp án A
Giả sử S có phương trình là
2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0 . (Điều kiện:
O S d 0
2 2 2
a b c d 0 )
A 0;0;4 S 16 8c d 0 . Mà d 0 nên suy ra c 2
A 2;0;0 S 4 4a d 0 . Mà d 0 nên suy ra a 1
I b , ta có d I;
P
Với 1; ;2
Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm là:
5 b 5 5 b
0
6 6 6 b
5
2 2 2 2 2 2
x y z x z x y z x y z
2 4 0; 2 20 4 0
26

ĐỀ SỐ 6
BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình
4
2
sin 3x 9x 16x
80 0
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 2: Cho hàm số f : 0;
thỏa mãn điều kiện
4 1
f tan 2x tan x x
0;
4
tan x 4 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của f sin
x f cos
x
trên khoảng 0;
2
A. 196 B. 1 C. 169 D. 196
Câu 3: Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng
trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số
điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.
A. 250 B. 91 C. 250
91
D. 250
90
Câu 4: Cho 8 quả cân có khối lượng lần lượt là 1 kg; 2 kg;…; 8 kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả
cân. Tính xác suất để trọng lượng quả cân được chọn không quá 9 kg
A. 1 2
B. 1 4
C. 1 5
D. 1 8
2
Câu 5: Khai triển và rút gọn biểu thức 1 x 21 x ... n1
x
0 1
...
P x a a x a x
2 3
n n
n
n
. Tính hệ số
8
1 7 1
C C n
thu được đa thức
a biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn
A. 79 B. 99 C. 89 D. 97
Câu 6: Tính giới hạn lim cosn
3 n 3 3n 2 n 1 sin n 3 n 3 3n 2 n 1
n
1
3
A. B. 1 C. 3 D. 0
2
1
n

Câu 7: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện x 2 x ax b
a 2b 2018 3a
2 3 ab b 5 a
A. 0 B. 1 C.
lim 4 4 3
0. Tính
x
2018
2 D. 1
Câu 8: Cho biết tập nghiệm của bất phương trình sau đây là hợp của các khoảng rời nhau
1 2 70 5
...
x 1 x 2 x 70 4
Tính tổng độ dài các khoảng nghiệm
A. 70 B. 4 C. 5 D. 1988
3 2
Câu 9: Cho hàm số f x x 2x mx 2018 . Tìm m để f ' x 0, x
0;2
A. m 4
B. m 4
C. m 4
D. m 4
Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy hai đường tròn
C : x y 6x 4y 3 0; C : x y 4
2 2 2 2
1 2
Xác định vectơ tịnh tiến u trong phép tịnh tiến T biến
u
1
C thành C
A. u 2;3
B. u 3;2
C. u 2; 3
D. u 2; 3
2
Câu 11: Tính giá trị của m để hàm số
3 2
y x 3x mx m
nghịch biến trên một đoạn có độ
dài l 1
A.
9
m B.
4
Câu 12: Tính giá trị của để hàm số
1 1 3
y x x x
3 2 4
9
m C. m 1
D. m 1
4
sin cos sin 2 cos 2
3 2 2 luôn đồng biến trên
5
12 12
A. k;
k
k
5
6 6
C. k;
k
k
Câu 13: Cho hàm số
2
5
12 12
B. k2 ; k2
k
5
6 6
D. k2 ; k2
k
x 9
f x
e
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
x
e
A. Hàm số f x đạt cực đại tại x ln9
B. Hàm số f x đạt cực tiểu tại x ln9

C. Hàm số f x đạt cực đại tại x ln3
D. Hàm số f x đạt cực tiểu tại x ln3
Câu 14: Tính giá trị của a để hàm số
9
thuộc 0;
4
asin x cos x 1
y đạt cực trị tại ba điểm phân biệt
acos
x
A.
2 2
a B.
2 2
3x
2
Câu 15: Cho hàm số y
có đồ thị
2
C
x 4x m
2
0 a
C. 2 a 2 D. 0a
2
2
m
.Mệnh đề nào sau đây sai?
A. C m có một tiềm cận ngang và hai tiệm cận đứng nếu m 4
B. C m có một tiềm cận ngang và hai tiệm cận đứng nếu m 4
C. C m luôn có hai tiệm cận đứng với mọi m
D. C m chỉ có một tiệm cận ngang nếu m 4
Câu 16: Cho hàm số
hàm số
f
x
2
x m m
x 1
f x trên đoạn 0;1 bằng 2
. Tìm giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của
A. m 1;2
B. m 1; 2
C. m 1;2
D. m 1; 2
Câu 17: Cho hàm số
2x
1
y
x 1
có đồ thị là C . Gọi dd
1 2
lần lượt là khoảng cách từ một
điểm M tùy ý thuộc C đến hai tiệm cận của C . Tính tích dd
1 2
A. dd
1 2
2 B. dd
1 2
3 C. dd
1 2
4 D. dd
1 2
5
Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f
x
x
13x
x
2
2 1
2
trên khoảng 0;
A. 1 B. 6 C.
Câu 19: Tìm a để đồ thị hàm số
y x ax
6
2
3 2
4 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất
A. a 3
B. a 3
C. a 3
D. a 3
D.
6
6
3

Câu 20: Một công ty đang lập kế hoạch cải tiến sản phẩm và xác định rằng tổng chi phí dành
2
x 6
cho việc cải tiến là C x 2x 4 x 6
số sản phẩm mà công ty cần cải tiến để tổng chi phí là thấp nhất
trong đó x là số sản phẩm được cải tiến. Tìm
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
Câu 21: Tìm tập nghiệm của bất phương trình
2 x x2
x .3 3 0
A. S 3;3
B. S ; 33;
C. S ;3
D. S 3;
Câu 22: Giả sử M, m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1; e 3
. Tính giá trị của Q e 2
M m
2
ln x
y trên đoạn
x
A. Q 1
B. Q 2
C. Q e
D. Q 2e
Câu 23: Cho 0a
1 và b 0. Xét hai mệnh đề sau:
2
2 3 n n n
I ." n ; k a. a . a ... a log
a
k ”.
2
II
loga
logb a
b
. log
2 2
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Cả hai sai D. Cả hai đúng
log37 log711 log11
25
Câu 24: Cho các số thực a, b, c thỏa mãnh a 27,b 49,c 11 . Tính giá trị
log 7 log 11 log 25
2 2 2
3 7 11
của biểu thức T a b c
A. T 496 B. T 649 C. T 469 D. T 694
Câu 25: Tính giá trị của biểu thức :
A. K a b B. K a b C.
n
Câu 26: Cho dãy số x xác định bởi công thức
1 1 1 1 1 1 1 1
6 6 2 2 3 6 6 3
K a b a b a a b b
1
ab
K D.
a
a x x x x x ;b x x x x x . Tính b
a
11 12 13 14 24 63 64 65 66 67
với ab , 0
1
ab
K
a
1
xn
với n 2,3,4... Đặt
log 2010
A. 0 B. 1 C. 2010 D. 2010
n
4

Câu 27: Cho ab , 0 thỏa
2
9 10
a b ab . Hãy chọn đẳng thức đúng
A.
a b log a log
b
log
4 2
B.
3a b log a logb
log
4 2
a
b C. log log a log b
2
D.
3a
b log log a log b
4
Câu 28: Cường độ ánh sáng đi qua một môi trường khác không khí, chẳng hạn như nước,
sương mù,… sẽ giảm dần tùy theo độ dày của môi trường và một hằng số gọi là khả năng
hấp thụ tùy thuộc môi trường theo công thức sau I I0e x
với x là độ dày của môi trường
đó, tính bằng mét. Biết rằng nước biển có 1,4 . Tính cường độ ánh sáng giảm đi từ 2 m
xuống đến 10m
A.
10
8,7947.10 lần B.
Câu 29: Giả sử tích phân
10
8,7497.10 lần C.
2
tan x
tan x k
x
3
e
4
I
dx e
10
8,7794.10 lần D.
. Tính giá trị của k
A. 1
B. 1 C. 0 D.
Câu 30: Tìm nguyên hàm
3 2
x x
3 2
F x của hàm số
f
x
x
x
4 2
A. F x
x C
B.
3 2
x x
3 2
C. F x
x C
D.
Câu 31: Cho hàm số
phân
A.
2
2
I f x dx
1
I B.
3
2
x
1
x1
3 2
x x
F x x C
3 2
3 2
x x
F x x C
3 2
f x liên tục trên và thỏa mãn
2
I C. I
3
10
8,7479.10 lần
1
2
f x 2 f x cos x . Tính tích
D. I 2
Câu 32: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y x 1 ln x ; các đường
thẳng
x x e
2
1,
và trục hoành
5

A.
3 2
8e 9e 13
9
B.
3 2
8e 9e 13
3
C.
3 2
8e 9e 13
3
D.
3 2
8e 9e 13
Câu 33: Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình H giới
hạn bởi các đường y log
2
x; x y 3 0; y 0
9
1
log 2ln 2 1
2
3
A. V e
1
log 2ln 2 1
2
3
C. V e
1
log 2ln 2 1
2
3
B. V e
1
log 2ln 2 1
2
3
D. V e
Câu 34: Cho số thực a ln 2 . Tính giới hạn
L
lim
ln10
xln 2
a
A. L ln 6
B. L ln 2
C. L 6
D. L 2
Câu 35: Vận tốc của một vật chuyển động là
vt
3
e
e
x
x
2
sin t
1
2
(m/s). Tính quãng đường
di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến kết quả hàng phần trăm)
A. 0,37 m B. 0,36 m C. 0,35 m D. 0,34 m
Câu 36: Tìm tập hợp điểm M mà tọa độ phức của nó thỏa mãn điều kiện: z 2i
1
A. Đường tròn tâm I 1;2
bán kính R 1
B. Đường tròn tâm I 1;2 bán kính R 1
C. Đường tròn tâm I 2;1
bán kính R 1
D. Đường tròn tâm I 2; 1
bán kính R 1
Câu 37: Cho hai số phức z1,
z
2. Đặt u z1 z2;
v z1 z2
. Hãy lựa chọn phương án đúng.
A. u z1 z
2
B. u z1 z
2
C. u v u v
D. u z1 z
2
; v z1 z
2
Câu 38: Xét số phức:
i
m
z . Tìm m để
1 m m 2i
1
zz .
2
A. m 0
B. m 1
C. m 1
D.
1
m
2
Câu 39: Cho
1
i
z
1
i
2021
. Tính
M z z z z , k
k k1 k2 k3 *
6

A. M 0
B. M 1
C. M 2021 D. M 2021i
Câu 40: Một hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a, góc
BAD 60, cạnh bên hợp với đáy góc 45 sao cho A’ chiếu xuống mặt phẳng ABCD
trùng với giao điểm O của hai đường chéo mặt đáy. Tính thể tích hình hộp.
3
3
3
3
3a
3
3a
a 3
a
A. V B. V C. V D. V
4
4
4
4
Câu 41: Cho hình chóp S.
ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với
mặt phẳng ABCD và SH a 3 . Tính thể tích khối chóp S.
CDNM theo a:
A. V
3
24
3
a B.
V
5 3
24
3
a C.
V
3
12
3
a D.
Câu 42: Cho hình chóp S.
ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B;
; 2 ; . Góc giữa mặt phẳng
AB BC a AD a SA ABCD
V
5 3
12
SCD và ABCD bằng 45.
Gọi M là trung điểm AD. Tính theo a thể tích V khối chóp S.
MCD và khoảng cách d giữa hai
đường thẳng SM và BD
A.
3
a 2
V
6
a 22
d
11
Câu 43: Cho
B.
3
a 6
V
6
a 22
d
11
C.
3
a 2
V
6
a 22
d
22
D.
a
3
3
a 6
V
6
a 22
d
22
ABC vuông tại A có AB 3, AC 4 . Quay tam giác quanh AB ta được hình
nón tròn xoay có diện tích xung quanh S
1
và quay tam giác quanh AC ta thu được hình nón
S1
xoay có diện tích xung quanh S
2
. Tính tỉ số
S
2
A. 4 3
B. 3 4
C. 4 5
D. 3 5
Câu 44: Cho hình chữ nhật ABCD có canh
AB
4 , AD 1 . Lấy điểm M trên CD sao cho
3
MD 3 . Cho hình vẽ quay quanh AB, tam giác MAB tạo thành vật tròn xoay gồm 2 hình
nón chung đáy. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay này.
A. S 2
B.
2
S C.
3
7
3
S 2 1
3
D.
3
S 1
3

Câu 45: Cho tứ diện đều SABC cạnh a. Tỉ số thể tích của hai hình nón cùng đỉnh S, đáy lần
lượt là hai đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC là:
A. 1 2
B. 1 4
C. 1 3
D. Tỉ số khác
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
: x y z 0,
: x 2y 2z
0 . Viết phương trình mặt cầu
bán kính bằng 3 và tiếp xúc với
tại M biết điểm M Oxz
2 2 2 2 2 2
A. x y z x y z
1 2 3 9; 1 2 3 9
2 2 2 2 2 2
B. x y z x y z
1 2 3 9; 1 2 3 9
2 2 2 2 2 2
C. x y z x y z
1 2 3 9; 1 2 3 9
2 2 2 2 2 2
D. x y z x y z
1 2 3 9; 1 2 3 9
S có tâm thuộc ,
Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;0;0 , B0;3;0
và mặt cầu
S : x 1 2 y 2 2 z 3
2
9. Viết phương trình mặt phẳng ABC biết CS
ACB 45
A. z 3 0 B. x 3 0 C. y 3 0 D. x y z 3
0
Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp tam giác đều S.
ABC với
A 3;0;0 , B0;3;0
và C Oz . Tìm tọa độ của điểm biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 9
A. S3;3;3 , S1; 1; 1
B. S3;3;3 , S 1;1;1
C. S3; 3; 3 , S1; 1; 1
D. S3; 3; 3 , S1;1;1
Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2y 2z
1 0 và hai điểm
A
1;7; 1 , B4;2;0
thẳng AB lên mặt phẳng (P).
A.
x34s
y
3s
z
2 s
. Lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường
B.
x
34s
y 3s
z
2 s
C.
x
34s
y 3s
z
2 s
x
34s
D. y 3s
z
2 s
và
8

Câu 50: Trong không gian Oxyz cho điểm A5;3;1 , B4; 1;3 ,C 6;2;4 , D2;1;7
tập hợp các điểm M sao cho 3MA 2MB MC MD MA MB
. Tìm
A.
B.
C.
D.
2 2 2
8 10 1 1
x y z
3 3 3 9
2 2 2
8 10 1 1
x y z
3 3 3 9
2 2 2
8 10 1 1
x y z
3 3 3 9
2 2 2
8 10 1 1
x y z
3 3 3 9
Đáp án
1-C 2-A 3-C 4-D 5-C 6-A 7-A 8-D 9-D 10-B
11-B 12-A 13-D 14-B 15-C 16-A 17-B 18-C 19-C 20-D
21-A 22-B 23-A 24-C 25-D 26-B 27-B 28-A 29-B 30-A
31-B 32-D 33-A 34-C 35-D 36-C 37-D 38-C 39-A 40-B
41-B 42-A 43-A 44-C 45-A 46-D 47-A 48-A 49-C 50-B
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án C
Điều kiện
2
9x 16x 80 0 x 4
Phương trình đã cho tương đương với
4
3 x 90 x 2 16 x 80 k
k
2 2
3x 9x 16 80 4k 9x 16x 80 3x 4k
4
4k
k
x
x
3
3
2
2 k
9x 16x 80 3x 4k
x
3k
2
2
2 10
9

Yêu cầu bài toán tương đương với
2
2k
10 4k
3k
2 3
2
2k
10
x
4
3k
2
2
2k
10
3k
2
Ta có
2 2
2k 10 4k 6k 8k
30
0
3k2 3 3k2
2
k 3
2
2
2k 10 2k 12k
18
3
x 4
0
3k2
3k2
Vì k nên k 1;2;3
Với k 1 suy ra
Với k 2 suy ra
Với k 3 suy ra
2
2k
10 12
3k
2
2
2k
10 9 9
3k
2 2 2
2
2 10
k
3k
2
4
Kết hợp với điều kiện ta suy ra x4; x
12
Vậy có 2 giá trị nguyên dương cần tìm
Câu 2: Đáp án A
Đặt t tan 2x
Ta có
2 tan 2 1 4 1
t x x
1
tan x t tan x t tan x
2
tan tan 2
2 2 2
2 2
4 1 2 1 4 16 16
Từ đó 2 tan x
tan x 2
2
2
4 4 2
t tan x tan x t t
16 16
f t 2 với t tan 2 x, x 0;
t t
4
Lúc đó
4 2
Khi x 0; 4
thì t tan 2 x 0;
và liên tục trên miền đó nên ta có:
16 16 2 0;
4 2
t t
t
f t
16 16 16 16
sin cos 2 2
sin x sin x cos x cos x
Bắt đầu từ đây ta có: f x f x 4 2 4 2
10

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
1 1 2 8
8 x
0;
4 4 2 2 2
sin x cos x sin x cos x sin 2x
2
1 1 2 4
4 x
0;
2 2
sin x cos x sin x cos x sin 2x
2
Cuối cùng ta thu được
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Câu 3: Đáp án C
1 1 1 1
16 16 4
4 4
2 2
sin x cos x sin x cos x
f sin x f cos x 196 x
0;
2
x
4
Do thi đấu vòng tròn 1lượt nên 2 đột bất kỳ chỉ đấu với nhau đúng 1 trận. Số trận đấu của giải
là
2
C14 91
Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận hòa là 2 nên tổng số điểm của 23 trận hòa là 2.23 46
Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận không hòa là 3 nên tổng số điểm của 68 trận không hòa
là 3.68 204
Vậy số điểm trung bình của 1 trận là
Câu 4: Đáp án D
Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân từ 8 quả cân có
46 204 250
(điểm)
91 91
C cách. Suy ra
3
3
8
n C 8
Gọi A là biến cố: “chọn được 3 quả cân có tổng khối lượng không quá 9kg”
Khi đó A 1;2;3 , 1;2;4 , 1;2;5 , 1;2;6 , 1;3;4 , 1;3;5 , 2;3; 4
Suy ra n A 7
Vậy xác suất cần tìm là P A
Câu 5: Đáp án C
Ta có
3
C
n A 7 1
n
8
n
3
1 7 1
2 7.3! 1
2 3
Cn
Cn
n
nn
1 nn 1n 2
n
8
11

n
3
n 9
2
n
5n 36 0
Suy ra a
8
là hệ số của
Vậy ta thu được
Câu 6: Đáp án A
Đặt
3 3 2
un
n n n
8
8 9
x trong khai triển 81 x 91
x
a 8. C 9. C 89
8 8
8 8 9
3 1
Ta có cos nu cos nu n 1 n cos
nn 1
u
n n n
3 3 2
n1
un
2
u
cos
2 2
1 1 1 1
cos
n
n n u
2 2
n
u
n n n u
n
u
n
2
cos
2
1 un
1
un
1 1
n n n n
2
1
lim cos
n
cos
n
3 2
Suy ra
nu
Biến đổi tương tự, ta cũng tìm được
nu
2
2
3
lim sin
n
sin
n
3 2
3 3 2 3 3 2 1
3
2
Vậy lim cosn n 3n n 1 sin n n 3n n 1
n
Câu 7: Đáp án A
Phân tích
2 2
4 4 4 4 4 1 2 1 2 1
x x ax b x x x x ax b
Ta có 2
x x x
2
4 4 1 2 1 2 1
x x x a x b
2
lim 4 4 3 2 1 lim 0
x
x
2
4x 4x 3 2x
1
Khi đó x 2 x ax b
lim 4 4 3
0
x
2 a 0 a
2
lim 2 a
x 1 b 0
x
1 b 0 b
1
12

Suy ra a b 2018 a
2 3 ab b 5 a
Câu 8: Đáp án D
2 3 0
Đây là một bài toán tương đối khó. Đầu tiên, chúng ta cần để ý đến những biến đổi sau đây:
70
1 2 70 5 5
k
...
x 1 x 2 x 70 4 x k 4
k 1
4 5
k x j k x j x j
jk
5
jk
f
x j 4 4 x j g x
Rõ ràng g x 0 có 70 nghiệm x 1;2;...;70
13
x
với k, j 1,70
Vậy f liên tục trên , f k . f k 1
0 với k 1,69 và f x f
có đủ 70 nghiệm xen kẽ là
1 x 2 x ... x 70 x
1 2 69 70
Tổng độ dài các khoảng nghiệm của bất phương trình
x
lim 0, 70 0 nên cũng
x
f
0
g x là
1 2 ... 70 ... 1 2 ... 70
L x x x x x x
1 2 70 1 2 70
Để ý đa thức f có bậc 70, hệ số cao nhất là 5 và hệ số của
9 1 2 ... 70
Do đó
L 9 1 2 ... 70
1 2 ... 70
1988
5
Câu 9: Đáp án D
Ta có
69
x là:
2 2
f ' x 0, x 0;2 3x 4x m 0, x 0;2 m 3x 4 x, x 0;2
2
Xét hàm số g x 3x 4x
trên khoảng 0;2
Lập bảng biến thiên, ta suy ra m 4
Câu 10: Đáp án B
C và C có tâm lần lượt là I3;2 ; O 0;0
1
Gọi u a;
b
2
là vectơ tịnh tiến
Khi đó T : I O , cho nên
u
3 0 a a
3
2 0 b b
2

Vậy u 3;2
Câu 11: Đáp án B
Tập xác định: D
2
y ' 3x 6x m
có ' 9
3m
Nếu m 3 thì y' 0, x hàm số đồng biến trên (loại)
Nếu m 3 thì ' 0
y có 2 nghiệm phân biệt x , x x x
1 2 1 2
Hàm số nghịch biến trên đoạn x1,
x
2
với độ dài l x1
x2
m
Ta có x1 x
2
2;
x
1x
2
3
Yêu cầu bài toán 2
Câu 12: Đáp án A
9
x1 x2 4x1x
2
1
4
Ta có
y ' x sin cos x sin 2
4
2 3
Hàm số luôn đồng biến trên khi và chỉ khi
2
sin cos sin 2
0
1
5
sin 2 k k
, k
2 12 12
Câu 13: Đáp án D
x
Hàm số được viết lại như sau: 9.
Tập xác định: D
Mặt khác
f x e e
2x
x x
e 9
f ' x
e 9. e 0 x ln3
x
e
'' x x
f x e 9. e 0, x
x
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại
Câu 14: Đáp án B
Tập xác định của hàm số
x ln3
D k
k
2
a 2
sin x sin x 2 a sin x 1
y
2 3
acos
x acos
x
y' ; ''
14

y ' 0 sin x a *
9
Hàm số đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc 0; thì trước hết phương trình (*) phải
4
9 3
có ba nghiệm thuộc 0; ; sin x acó ba nghiệm phân biệt thuộc
4 2 2
3 3 9
2
0; ; ; 0 a
2 2 2 2 4 2
Với
2
a
0;
2
thì y '' 0
( bởi vì
2
a 1 0 với f sin x sin x 2a sin x 1)
' 2
f
Vậy
2
0 a
thỏa mãn yêu cầu bài toán
2
Câu 15: Đáp án C
Ta có lim y 0 y 0
x
là tiệm cận ngang của C
Xét tam thức bậc hai
2
nghiệm x1,
x
2
phân biệt
Do y y C
xx1 xx2
f x x 4x m . Nếu 4 m 0 m 4
lim lim
m
có hai tiềm cận đứng
Câu 16: Đáp án A
Ta có
Suy ra
2
m m1
f ' x
0, x
2
0;1
x 1
f x là hàm đồng biến trên 0;1
Do đó f 0 f x f 1
Khi đó
x
0;1
2 2
hay m m f x m m 1
2
m
1
min f x m m 2
m
2
Câu 17: Đáp án B
C có hai tiệm cận là: x 1 0 và y 2
0
m
thì f
1
2
x có hai
Hàm số được viết lại như sau:
2x
1 3
y 2
x1 x1
15

Do M C
nên
3
M m;2
m 1 (với m 1)
3
Khi đó d1. d2
m 1 . 2 2 3
m 1
Câu 18: Đáp án C
Hàm số được viết lại như sau: f x
2
1
13x
x
(nhân lượng liên hợp)
f
x
'
2
1 3 3
x
x
2
2 2
1 3x x 1
3x
x
0
f ' x 0 1 3x 3x 2 1 x
x
6
2
6
6
Lập bảng biến ta suy ra được giá trị lớn nhất của f x là
Câu 19: Đáp án C
3
y ' 3x 2ax
6
2
x
0
y ' 0
2a
x
3
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất
3
4a
yCD. yCT
0 4
4 0 a 3
27
Câu 20: Đáp án D
Ta có C'
x
2
2 24 70
x
x
5
C' x
0
x
7
x 6
x
2
So điều kiện x 6 , chọn x 7
Vậy để tổng chi phí lớn nhất thì công ty cần cải tiến 7 đơn vị sản phẩm
Câu 21: Đáp án A
Bất phương trình tương đương với
x 2 2
3 x 9 0 x 9 0 3 x 3
16

Vậy S
3;3
Câu 22: Đáp án B
Ta có
y '
2
x
1
y ' 0
x
e
2
2 ln x ln x
3 2
y 1 0; y e ; y e
x
9 4
e e
. Suy ra M
3 2
2
4
Q e M m e
e
2 2
2
Vậy
Câu 23: Đáp án A
* Xét mệnh đề (I):
0
2
log k 1 2log a ... nlog a 1 2 ...
n
a a a
2
1 nn n n
(mệnh đề đúng)
2 2
* Xét mệnh đề (II):
log a log b log a b log log
a
ab
b
2 2 2
a
b
ab (mệnh đề sai)
2
Câu 24: Đáp án C
log37 log711 log11
25
log37 log711 log11
25
Ta có T a b c
log11
25
1
log37 log711 3 2 2
4
và m 0 e
27 49 11 7 11 25 469
Câu 25: Đáp án D
Đặt
1 1
6 6
x a , y b . Khi đó
2 2 3 3 3 3 3 3
K x y x xy y x y x y x y
6 6 1 1
ab
x y a b
a
Câu 26: Đáp án B
Ta có xn
log
2010
n với n 2,3,4,...
17

Khi đó
a x11 x12 x13 x
24
log
2010
11 log
2010
12 log
2010
13 log
2010
14 log
2010
24
2010
log 11.12.13.14.24
63 64 65 66 67 2010
b x x x x x log 63.64.65.66.67
Suy ra b a
log 2.3.5.6.7 log 2010 1
Câu 27: Đáp án B
2010 2010
Ta có
9a
b
b 10ab ab
4
2 2 3a
2
Suy ra ab
2
3a b 3a b log a log b
log log log
4 4 2
Câu 28: Đáp án A
Theo công thức đã cho thì cường độ ánh sáng thay đổi khi đi từ độ sai h
1
đến h2
là
I
I
I . e
h1
1 0
h2
2
I0.
e
e
h2h1
Do đó khi đi từ độ sau 2m xuống độ sau 20 m thì cường độ ánh sáng giảm đi
e
e
8,7947.10
lần
1,4 202 25,2 10
Giá trị này rất lơn chứng tỏ ở độ sâu 20 m dưới mặt nước biển gần như không có ánh sáng
được chiếu tới
Câu 29: Đáp án B
2 2
Ta có
Trong đó
x x x
I tan x tan x e dx e tan xdx e tan xdx J K
3 3 3
4 4 4
x
2
x
J e tan xdx; K e tan xdx
3
3
4 4
Ta sẽ tính tích phân K bằng phương trình tích phân từng phần
Đặt
u
tan x
du 1tan
x
dv e dx x
ve
2
x dx
18

x
x
2
Khi đó tan 1
tan
K e x e x dx
3
4
3
4
3
x
4 x
e e dx J e e J e J
3
4
k
Vậy I e e k 1
Câu 30: Đáp án A
Ta có
3
4
2
1
2
2 2
x x
3 2
2
x x
f x dx dx x x 1
dx x C
x x1 3 2
Câu 31: Đáp án B
2
Xét tích phân
J f x dx
2
Đặt x t dx dt
Đổi cận x t ; x t
2 2 2 2
Khi đó
2 2 2
I f t dt J 3I 2I f x 2 f x dx cos xdx 2
Vậy
2 2 2
2
I
3
Câu 32: Đáp án D
nên
2
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Đó f x 0, x 1; e
2 2
e
e
S f x dx x 1 ln xdx
1 1
Đặt
1
u
ln x
du dx
x
dv
x 1
dx 2
v x x x
3
19

Khi đó
2 2
e e
3 2
2 x 2 x 8e 8e
13
S
1 x ln x 1
dx
3
3 9
Câu 33: Đáp án A
1 1
Ta có x y 3 0 y 3
x
Giao điểm của đồ thị hàm số y log2
x với đường thẳng y 3
x và y 0 lần lượt là
2;1 , 1;0
2 3
2
V
xdx x dx
V V
Khi đó log 3
2 1 2
1 2
2 2
Trong đó V log xdx log e ln xdx log e2ln 2 1
3
2
1 2 2 2
1 1
2
V2
3 x
dx
3
1
log . 2ln 2 1
2
3
Vậy V e
Câu 34: Đáp án C
Đặt
Đặt
I
ln10
a
3
x
e
dx
x
e 2
3 x 3 x 2 x
t e 1 t e 1 3t dt e dx
Đổi cận:
3 a
x a t e x t
1; ln10 3
2 2
2 2
2
3t dt
3 2 3
3
3
t
3
2 3 a 2
a
a
e 1 e 1
e 1
a
Khi đó I 3 tdt t 4 e
2
Vậy
3
lim I .4 6
2
aln2
Câu 35: Đáp án D
Quãng đường mà vật đó di chuyển là:
1,5 1,5
1 sin t
1 1 3 1
S dt t cos
2
t
0,34
2
2
2
(m)
4
0
0
Câu 36: Đáp án C
Hai số phức liên hợp có môđun bằng nhau, ta suy ra
20

z 2 i z 2 i
z 2 i z 2 i z 2 i )
(vì
Từ đó ta có z 2 i 1
Đặt z x iy x,
y
Suy ra
z 2 i 1 x 2 y 1 i 1
x y x y
2 2 2 2
2 1 1 2 1 1
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I 2;1
, bán kính R 1
Câu 37: Đáp án D
Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1,
z
2
Khi đó OM z1 , ON z2
Sử dụng các bất đẳng thức vectơ quen thuộc ta suy ra được các bắt đẳng thức ở D
Câu 38: Đáp án C
Ta có
z
2
m i1 m 2mi
2
i
m
1m 2mi 1m 4m
2 2 2
m
m
m 1 m 2m i 1 m 2m m 1 m i 1
m
2
2
2
2
1 1
2 2 2 2 2
m 1 m 1
i z i
2 2 2 2
1 m 1 m 1 m 1
m
Do đó
2
1 m 1 1 1 1 2
. 1 2 1
2
2 2
z z m m
2 m 1
2 m 1 2
Câu 39: Đáp án A
Ta có
Do đó
1i1i
2
1 2 1
i i i
2
1i 1i 1 i 1i
M z z z z i i i i
Câu 40: Đáp án B
2021 2
1010
i z i i i i
k k 1 k 2 k 3 k k 1 k 2 k 3
2 3 k
k
i 1 i i i i 1 i 1 i 0
21

2 2
a 3 a 3
SABCD
2.
4 2
AA'
O vuông cân
3 3 3
Vậy V a .
a
a
2 3 4
2 3
Câu 41: Đáp án B
Vì SH ABCD
nên
A'
O AO
a
2
1 1
V SH. S SH.
S S S
3 3
S.
CDMN CDMN ABCD BCM AMN
1 5 5 3
a 3 a a
3 8 24
2 3
Câu 42: Đáp án A
Ta có SCD ABCD
CD
CD
SA
CD SAC SC CD
CD
AC
Vì
SC CD,
SC SCD
AC CD,
AC ABCD
Nên
Dễ thấy
SCD , ABCD SCA 45
SAC vuông cân tại A
Suy ra SA AC a 2
3
Lại có
2
1 1 a
S MCD
MC. MD a.
a
2 2 2
2 3
1 1 a a 2
Do đó V VS . MCD
SMCD. SA . .a 2
3 3 2 6
Ta có
BD // MN
MN SMN
BD //
SMN
Khi đó d SM , BD d SM , SMN d D, SMN d A,
SMN
AP MN,
P MN
Kẻ
AH
SP,
H SP
22

Suy ra
AH SMN d A SMN AH
SAP vuông tại A có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11
AH SA AP SA AN AM 2a a
a 2a
4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a 22
d d SM BD AH
11
Do đó ,
Câu 43: Đáp án A
S1
Vì BAC 90 nên BC 5 . Khi đó
S
Câu 44: Đáp án C
Kẻ
2
.4.5 4
.3.5 3
1 2
MN AB MN 1, AM 2, MC , BM
3 3
2 1
S MN. AM MN. BM .1. 2 2
1
3 3
Câu 45: Đáp án A
Gọi D là tâm đường tròn ngoại tiếp
V1
OH a 3 3 1
.
V OA 6 a 3 2
2
Câu 46: Đáp án D
ABC . Kẻ OH AB . Khi đó
Gọi M a;0; bOxz. M
a 2b
. Suy ra M 2 b;0;
b
Gọi I là tâm của (S). Do (S) tiếp xúc với
Phương trình đường thẳng
Điểm I IM nên I 2 b t; 2 t; b 2t
2
IM :
x b
y
z b
1 2 2
tại M nên IM
Mặt khác, I
2b t 2t b 2t 0 t b I b;2 b;3b
9b
d I, R 3 b 1
3
Ta có
Với b 1 suy ra I 1;2;3
và R 3. Do đó phương trình mặt cầu (S) là
x y z
2 2 2
1 2 3 9
23

Với b 1 làm tương tự, ta cũng thu được phương trình mặt cầu (S) là
x y z
2 2 2
1 2 3 9
Câu 47: Đáp án A
(S) có tâm I 1;2;3
và bán kính R 3
Ta có AB 3 2. Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
AB
AB
Theo định lí hàm số sin ta có 2r r 3
R
sin ACB 2sin ACB
Do đó mặt phẳng ABC đi qua tâm I
Ta có AB 3;3;0 , AI 0;3;0 , AB, BI
0;0;9
Mặt phẳng
ABC qua A1; 1;3 có vectơ pháp tuyến n AB, AI 0;0;9
phương trình ABC là z 3
0
nên có
Câu 48: Đáp án A
Do S.
ABC là hình chóp tam giác đều nên ABC là tam giác đều cạnh AB 3 2
Điểm C Oz suy ra C0;0;
c với c 0
Ta có AC 3 2 9 c 2 18 c 3 C 0;0;3
Gọi G là trọng tâm
ABC , suy ra G 1;1;1
Theo giả thiết bài toán, ta có
1 1 18 3
VS
.ABC
SABC. SG 9 . . SG SG 2 3
3 3 4
Đường thẳng SG qua G 1;1;1
và vuông góc với mặt phẳng ABC nên có vectơ chỉ phương
u AB, AC
9;9;9 . Do đó
S SG S 1 t;1 t;1
t
1 1 1
SG :
x y
z
1 1 1
SG t t t t S S
2 2 2
2 3 2 3 2 3;3;3 , 1; 1; 1
Câu 49: Đáp án C
Phương trình tham số của đường
x43t
AB : y 2 5t
z
t
24

Gọi M AB P
tọa độ điểm M ứng với tham số t là nghiệm của phương trình
4 3t 22 5t 2t 1 0 t 1 M 7; 3;1
Gọi I là hình chiếu của B lên (P). Dễ dàng tìm được I 3;0;2
. Hình chiếu d của đường
thẳng AB lên (P) là MI
Vậy phương trình đường thẳng d là
Câu 50: Đáp án B
x
3 4s
y 3s
z
2 s
Giả sử tồn tại điểm I x0; y0;
z
0 thỏa mãn hệ thức 3IA 2IB IC ID 0
Dễ dàng tìm được điểm
Ta có
I 8 10 1
; ;
3 3 3
1
3MA 2MB MC MD MA MB MI MI AB
3
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm
I 8 10 1
; ;
3 3 3 , bán kính 1 1
R AB
3 3
2 2 2
8 10 1 1
Và phương trình mặt cầu là: x y z
3 3 3 9
25

ĐỀ SỐ 7
BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: Tìm các họ nghiệm của phương trình
x
k
2
4 2
x k
10 5
A. x k k
x
k
2
4 2
x k
10 5
C. x k k
2 2 2 2
cos x cos 2x cos 3x cos 4x
2
x k
2
4 2
x k
10 5
B. x k k
x
k
2
4 2
x k
10 5
D. x k k
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
4 6
y sin xcos
x
A. 181
3125
B. 108
3125
C. 108
3155
D. 108
311
Câu 3: Một hộp đựng 15 viên bị khác nhau gòm 4 bo đpr, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số
cách chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu
A. 465 B. 456 C. 654 D. 645
Câu 4: Trong cụm thi để xét tốt nghiệm Trung học phổ thông thí sinh phải thi 4 môn trong đó
có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí sinh tự chọn trong số các môn:
Vật lý, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Trường X có 40 học sinh đăng kí dự thi, trong
đó 10 học sinh chọn môn Vật lý và 20 học sinh chọn môn hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh
bất kỳ của trường X, tính xác suất để 3 học sinh đó luôn có học sinh chọn môn Vật lý và học
sinh chọn môn Hóa học.
A. 120
247
B. 120
427
A. 29 B. 30 C. 31 D. 32
1
C.
1
247
Câu 5: Tìm số các số hạng hữu tỉ trong khai triển
C C C ... C
2 1
1 2 3 2n
496
4n1 4n1 4n1 4n1
4
3 5 n
D.
1
274
biết n thỏa mãn

Câu 6: Tính giới hạn của dãy số
1.1! 2.2! ... nn . !
lim
n
n 1!
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 7: Tính giới hạn của hàm số
lim
x0
3
x 8 x
4
x
A. 1 4
B. 1 3
C. 1 2
D. 0
x 4
Câu 8: Tìm số điểm gián đoạn của hàm số y
4 2
x 10x
9
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
Câu 9: Tính giá trị gần đúng với 3 chữ số thập phân của ln 0,004
A. 1,002 B. 0,002 C. 1,003 D. 0,004
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA x . Giả sử
SA
ABC và góc giữa hai mặt
SBC và SCD bằng 120 . Tìm x
A. a B. 2a C. 2
a
D. 3 a
2
4 2
y x m x m
Câu 11: Xác định m để hàm số
ab , và
c,
với b
c
A. m 0
B.
2 1 5 có hai khoảng đồng biến dạng
1
m C.
2
1
0 m
D. m 0
2
Câu 12: Tìm giá trị của m để hàm số
y
x 2mx 3m
2m
x
2 2
nghịch biến trên khoảng 1;
A. m 2 3 B. m 2 3 C. m 2 3 D. m 2
3
3 2 2
Câu 13: Tìm giá trị m để hàm số
cho y y 2
CD
CT
1
y x mx m 1 x 1 3x
có cực đại, cực tiểu sao
3
A.
1 m 0
m
1
B. 1 m 0 C. m 1
D. 0m
1
Câu 14: Cho hàm số
3 2
y ax bx cx d đạt cực đại tại x 2 với giá trị cực đại là 64;
đạt cực tiểu tại x 3 với giá trị cực tiểu là 61. Khi đó giá trị của a b c d bằng
A. 1 B. 7 C. 17
D. 5
2

Câu 15: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. maxsin ,cos
C. maxsin ,cos
x x cos x khi 0
x B. maxsin x,cos
x
cos x khi 0 x
4
2
x x sin x khi x D. maxsin x,cos
x
cos x khi x
4 4
Câu 16: Cho x, y là hai số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện x 2y xy 0. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
x y
P
4 8y
1x
A. 8 5
B. 5 8
C. 4 5
D. 5 4
Câu 17: Tìm
2x
1
M C : y sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng bằng
x 1
hai lần khoảng các từ điểm M đến tiệm cận ngang.
A. M 2;5 , M 2;1
B. M 2;5 , M 0; 1
C. M 4;3 , M 2;1
D. M 4;3 , M 0; 1
Câu 18: Cho hàm số
2x
1
y có đồ thị C . Gọi I là giao điểm tại hai tiềm cận. Có bao
x 1
nhiêu điểm M thuộc C biết tiếp tuyến của C tại M cắt hai tiệm cận tại A, B tạo thành tam
giác IAB có trung tuyến IN 10 .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 19: Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết
d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa
3
5 26
cos BAI
26
A. y 5x 2; y 5x
3
B. y 5x 2; y 5x
3
C. y 5x 2; y 5x
2
D. y 5x 3; y 5x
2
Câu 20: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ
giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho
thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu
nhập cao nhất, công ty đó phải cho thu mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng?
A. 2.250.000 đồng/tháng B. 2.350.000 đồng/tháng
C. 2.450.000 đồng/tháng D. 3.000.000 đồng/tháng

Câu 21: Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình
log log x1 2m1 0 có ít nhất
2 2
3 3
một nghiệm thuộc đoạn
1;3
3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 22: Cho hàm số
ln x
y . Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
x
A. Có một cực tiểu B. Có một cực đại
C. Không có cực trị D. Có một cực đại và một cực tiểu
a.
Câu 23: Rút gọn biểu thức 0
a
6
3 4
a a
a
A. 3 a B. 4 a C. 6 a D. 12 a
Câu 24: Cho alog32, b log52
. Khi đó log16
60 bằng:
A. a b
a
b
Câu 25: Cho abc , , 1. Xét hai mệnh đề sau:
I .log b log c log a 3
a b c
2 2 2
II b c a
.log log log 24
a b c
B. 1a b
C. 1 a
b D. 1 a
b
1
ab
2 ab
A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Cả hai sai D. Cả hai đúng
Câu 26: Giá trị của biểu thức
4
x 1
P 4 1 1
2
2x
tại 1 2 2
2 2
x
2
A.
2 2
2 2 2
2 2
2 2
B.
2 2
P
2 2
Câu 27: Năm 1992, người ta đã biết số
2 2 2
2 2
p
4
C.
756839
2 1
2 2
P
2 2
2 2 2
2 2
D.
2 2
P
2 2
2 2 2
2 2
là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn
nhất được biết cho đến lúc đó) Hỏi rằng, viết trong hệ thập phân số nguyên tố đó có bao
nhiêu chữ số? (Biết rằng log 2 0,30102 )
A. 227821 B. 227822 C. 227823 D. 227824
Câu 28: Cho x, y, z 0 thỏa mãn điều kiện
Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
z z x x y y
x y y z z x
x y z x y z x y z x y z
log x log y log z

z x y
B. x y y z z x
C.
y x y z x z
x y z y z x
z x y
D. x y z y z x z x y
Câu 29: Giả sử
2 x
3
e dx ae e
ln với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu
x
2 e ae b
1
b
b
thức P sin 2017
cos sin 2018
a a
A. 1 B. 1
C. 1 2
D.
1
2
Câu 30: Cho
1
1 2 3 1
2
8 dx
mx m 3
x
C . Tính giá trị của tích phân
1
e
2
I xln
xdx
A. 1
2 e B. 1
2 e C. 1
4 e D. 1
4 e
Câu 31: Cho hàm số
g x
2
x
dt
với x 1. Tìm tập giá trị T của hàm số
ln t
x
A. T 0;
B. T 1;
C. T ;ln 2
D. T ln 2;
Câu 32: Ở một thành phố nhiệt độ (theo ℉) sau t giờ, tính từ 8 giờ sáng được mô hình hóa
t
bởi hàm 50 14sin 2
T t
1
. Tìm nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian từ 8 giờ sáng
đến 8 giờ tối. (Lấy kết quả gần đúng)
A. 54,54 F B. 45, 45 F C. 45,54 F D. 54, 45
F
Câu 33: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong
y
x , trục tung và đường thẳng y 2 quay quanh trục Oy.
31
32
33
A. V B. V C. V D. V
5
5
5
Câu 34: Trong mặt phẳng Oxy , cho prabol
2
m2
1
34
5
P : y x . Viết phương trình đường thẳng d đi
qua M 1;3
sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và d đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 2x y1 0 B. 2x y1 0 C. x 2y1 0 D. x 2y1 0
Câu 35: Cho hàm số
f x liên tục trên đoạn 0;2a . Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
5

2a
2a
A. 2
f x dx f x f a x dx
0 0
2a
2a
B. 2
f x dx f x f a x dx
0 0
2a
a
C. 2
f x dx f x f a x dx
0 0
2a
a
D. 2
f x dx f x f a x dx
0 0
Câu 36: Hai số phức z và
1
có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là A, B. Khi đó
z
A. OAB vuông tại O B. O, A, B thẳng hàng
C. OAB đều D. OAB cân tại O
Câu 37: Số phức z thỏa mãn
P z 1
z i
z
2i
z 2
là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A. 5 B.
5
2
C. 2 5 D. 3 5
Câu 38: Cho số phức
z
1
3i
2
. Tính giá trị của biểu thức
2016 2017 2018 2019
2 3 4 2018
2
2 3 4
1 1 1 1
P z z z z
z z z z
A. P 2019 B. P 2019 C. P 1
D. P 1
Câu 39: Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn iz 3 z 2
i
A.
1 2
z i B.
5 5
1 2
z i C.
5 5
1 2
z i D.
5 5
1 2
z i
5 5
Câu 40: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A' B' C ' có góc giữa hai mặt phẳng A'
BC và
ABC bằng 60; cạnh AB
a . Tính thể tích khối đa diện ABCC ' B '
A.
3
3
4 a B. 3
3
4 a C. 3
3a D.
3 3 3
4 a
6

Câu 41: Cho hình chóp tứ giác đều S.
ABCD, cạnh đáy AB 2a
, góc
ASB
0
2 0 90 . Gọi V là thể tích của khối chóp. Kết quả nào sau đây sai?
A. V
C. V
3
4 sin 2
a
.
B. V
3 sin
3
4a
2
. cos 1
D. V
3
a
.
3 sin
3
4 cos 2
3
4a
1
. 2
2
3 sin
Câu 42: Cho hình hộp ABCD. A' B' C' D ' có đáy ABCD là hình thoi canh a, BCD 120 và
7a
AA'
. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của AC
2
và BD. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD. A' B' C ' D '
A. V
3
12a
B.
V
3
3a
C.
V
3
9a
D.
3
V 6a
Câu 43: Cho lăng trụ tam giác ABC.
A1 B1C 1
có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, góc tạo bởi
cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 . Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên ABC trùng
với trung điểm cạnh BC. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
A.
a 3
R B.
9
2a
3
R C.
3
a 3
R D.
3
A'.
ABC
a 3
R
6
Câu 44: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2AD
2. Quay hình chữ nhật ABCD lần lượt
quanh AD và AB ta được hai hình trụ tròn xoay có thể tích lần lượt là V1,
V
2. Hệ thức nào sau
đây là đúng?
A. V1 V2
B. V2 2V1
C. V1 2V2
D. 2V1 3V2
Câu 45: Cho
ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R có BAC 75 , ACB 60 .
Kẻ BH vuông góc với AC. Quay
Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay này.
ABC quanh AC thì BHC tạo thành hình nón tròn xoay.
2
2
2
R 3
R 3
A. Sxq
3 1
B. Sxq
3
1
2
2
2
2
R 3
R 3
C. Sxq
3 1
D. Sxq
3
1
4
Câu 46: Cho hình lập phương ABCD.
EFGH với AE BF CG HD . Gọi M , N, P,
Q lần
lượt là trung điểm bốn cạnh BF, FE, DH,
DC . Hỏi mệnh đề nào đúng?
A. MNPQ là một tứ diện B. MNPQ là một hình chữ nhật
7
2
4
2
2

C. MNPQ là một hình thoi D. MNPQ là một hình vuông
Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
2 2 2 2
S : x y z 4x 2y 2z m 2m
5 0 và mặt phẳng : x 2y
2z 3 0
m để giao tuyến giữa và S là một đường tròn
A. m 4; 2;2;4
B. m 2
hoặc m 4
C. m 4
hoặc m 2
D. m 4
hoặc m 2
. Tìm
Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A2;0;0 , B0;4;0 , C 0;0;6 , D 2;4;6
.
Xét các mệnh đề sau:
(I). Tập hợp các điểm M sao cho MA MB MC MD là một mặt phẳng
(II). Tập hợp các điểm M sao cho MA MB MC MD 4
bán kính R 1
là một mặt cầu tâm 1;2;3
I và
A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Không có D. Cả (I) cả (II)
Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
x
1t
d : y 3 3t
z
3 2t
và mặt phẳng
: x 2y 2z
1 0. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho khoảng cách từ M đến
bằng 3
A. M 1;3;3 , M 0;6;5
B. M 10; 24; 15 , M 0;6;5
C. M 10; 24; 15 , M 8;30;21
D. M
8;30;21 , M 1;3;3
Câu 50: Trong không gian Oxyz có 6 mặt phẳng sau
1 : 2x y z 4 0
2 : xz3 0
1 : 3x y 7 0
2 : 2x 3z 5 0
1 : x my 2z
3 0
2
: 2x y z 6 0
8

d d d lần lượt là giao tuyến của các cặp mặt phẳng và ;
và ;
Gọi
1, 2,
3
và 2 . Tìm m để d1,
d
2
và d
3
đồng quy.
1
2 1
A. m 2
B. m 2
C. m 1
D. m 1
2 1
9

Đáp án
1-A 2-B 3-D 4-A 5-C 6-A 7-B 8-A 9-D 10-A
11-B 12-C 13-A 14-C 15-B 16-A 17-C 18-D 19-C 20-A
21-C 22-B 23-D 24-D 25-A 26-A 27-D 28-C 29-B 30-C
31-D 32-C 33-B 34-A 35-C 36-B 37-C 38-D 39-A 40-B
41-A 42-B 43-C 44-C 45-D 46-B 47-D 48-D 49-C 50-D
Câu 1: Đáp án A
Phương trình đã cho tương đương với:
LỜI GIẢI CHI TIẾT
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos6x 1
cos8x
2
2 2 2 2
cos2x cos4x cos6x cos8x
0
x x x x
cos 2 cos 4 cos 6 cos8 0
2cos3x cos x 2cos7x cos x 0
2cos x cos3x cos 7x 0 4cos x cos 2x cos5x
0
x k
cos 0 2
x k
x
2
cos 2x 0 2x k
x k k
2 4 2
cos5x
0
5x k
x k
2
10 5
Câu 2: Đáp án B
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số không âm ta có:
1 1 1 1 1
2 2 3 3 3
2 2 2 2 2
y 108 sin x . sin x . cos x . cos x . cos x
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
sin x sin x cos x cos x cos x
2 2 3 3 3 108
108.
5 3125
Dấu “=” xảy ra
1 2 1 2 1 1cos 2 1 1 cos 2 1
sin cos . x x
x x . cos 2x
2 3 2 2 3 2 5
10

Vậy
1
max y x là những họ nghiệm của phương trình lượng giác
5
Câu 3: Đáp án D
Cách 1:
+ Trường hợp 1: chọn 4 bi đỏ hoặc trắng có
4
C9 126 cách
1
cos 2x
5
+ Trường hợp 2: chọn 4 bi đỏ và vàng hoặc 4 bi vàng có
+ Trường hợp 3: chọn 3 bi trắng và vàng có C 4 C 4 C
4
Vậy có 126 209 310 645 cách
Cách 2:
+ Loại 1: chọn tùy ý trong 15 viên bi có
C
4 4
10
C4 209
11 5 6
310
cách
cách
4
C15 1365cách
+ Loại 2: chọn đủ cả 3 màu có 720 cách gồm các trường hợp sau:
- Chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng và 1 bi vàng có 180 cách
- Chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng và 1 bi vàng có 240 cách
- Chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng và 2 bi vàng có 300 cách
Vậy có 1365 720 645 cách
Câu 4: Đáp án A
3
Số phần tử của không gian mẫu là n C 40
Gọi A là biến cố: “3 học sinh được chọn luôn có học sinh chọn môn Vật lý và học sinh chọn
môn Hóa học”.
n A C C C C C C C
Số phần tử của biến cố A là
1 2 2 1 1 1 1
Vậy xác suất cần tìm là
P A
n A C C C C C C C
n
Câu 5: Đáp án C
1 2 2 1 1 1 1
10 20 10 20 20 10 10
3
C40
10 20 10 20 20 10 10
120
247
n n n
4n1 4n1 4n1 4n1 4n1
1 x C C x C x C x ...
C x
Ta có 4 1 0 1 2 2 3 3 4 1 4 1
Chọn
x 1 2 C C x C x C x ...
C x
4n 1 0 1 2 2 3 3 4n 1 4n
1
4n1 4n1 4n1 4n1 4n1
2 C C C C ...
C
0 1 2 3 2n
4n1 4n1 4n1 4n1 4n1
Suy ra
2 C C C C ...
C
4n
0 1 2 3 2n
4n1 4n1 4n1 4n1 4n1
Hay
4n
496
2 2 4n 496 n
124
11

124 k 124 124k
k
4 4 k 2 4
124 C124
k0 k0
124 124k
k
Khi đó C
3 5 3 5 3 5
Trong khai triển có số hạng hữu tỉ khi và chỉ khi
124 k 2
k 4 k 4t
k
4 0 t 31
0 k 124 0 k 124
0 k 124
Có 32 giá trị của t suy ra có 32 giá trị của k
Vậy trong khai triển trên có 32 số hạng hữu tỉ
Câu 6: Đáp án A
k, ta có k. k! k 1 ! k!
Ta có
u
n
Vậy lim u 1
n
Câu 7: Đáp án B
n
2! 1! 3! 2! ... n1 ! n! 1
1
n
n
1 ! 1 !
Ta có
3 3
x 8 x 4 x 8 2 x 4 2
lim lim lim
x0 x x0 x x0
x
1 1 1 1 1
lim
lim
x 0 3
3
8 2 8 4
x 0 x
x 42
12 4 3
x 2
Câu 8: Đáp án A
Số điểm gián đoạn của hàm số trên chính là số nghiệm của phương trình
x
10x
9 0
4 2
Do phương trình
Câu 9: Đáp án D
x
10x
9 0 có 4 nghiệm phân biệt nên hàm số có 4 điểm gián đoạn
4 2
f x x f x f ' x . x
Áp dụng công thức
Với 0
0 0 0
f x ln x; x 1; x
0,004 ta có
1
ln 1,004 ln 1 0,004
ln1 .0,004 0,004
1
Câu 10: Đáp án A
Gọi O là tâm hình vuông và H là hình chiếu của O lên SC
Ta có OHD 60( DHB là góc giữa hai mặt phẳng
SCD và SBC )
Diện tích của
SOC là
12

xa
Do đó x a
Câu 11: Đáp án B
2 xa 2
OH.
SC OH
x a
2
2
2 2 a
và
a 2 1
OH .
2 3
Yêu cầu bài toán phương trình y x x 2
m
1
m
2
Câu 12: Đáp án C
Tập xác định: D
\ 2m
x
2 2
x 4mx m f
y '
x 2m x 2m
Đặt t x 1
2 2
. Khi đó bất phương trình 0
' 2 2 2 1
0 có ba nghiệm phân biệt
f x trở thành
2 2
g t t m t m m
2 1 2 4 1
0
Hàm số nghịch biến trên 1; khi và chỉ khi
2m
1
y' 0, x1;
g t
0, t
0 *
' 0
m
0
' 0 m
0
*
m 2 3
S
0 4m 2 0
2
P 0
m 4m1 0
Vậy m 2
3
Câu 13: Đáp án A
y x mx m
2 2
' 2 1
Dễ thấy rằng hàm số có hai điểm cực trị x m 1; x m 1 với mọi m.
y y 2 y m 1 y m 1 2 2m 2m
2 2
Ta có
3
CD
Câu 14: Đáp án C
CT
1 m 0
m
1
Ta có 64 8a 4b 2 c d; 61 27a 9b 3c d
13

Từ
2
y ' 3ax 2bx c
ta thu được hai phương trình
0 12a 4 b c;0 27a 6b c
Giải hệ gồm 4 phương trình trên ta thu được a 2; b 3; c 36; d 20
hay a b c d 17
Câu 15: Đáp án B
sin x cos x khi x và cos x sin x khi 0 x
4 4
Vậy max sin ,cos
Câu 16: Đáp án A
Ta có
x x cos x khi 0 x
2
y x y
2 2
x 2 y 2 x
2
P 2
2
4 8y 1 x 4 8y 4 4x 8 4 x 2y
Dấu “=” xảy ra x 2y
Đặt t x 2 y, t 8 . Khi đó
2
t
8
4t
2
t
P
8 4t
Xét hàm số f t , t 8;
f t
Suy ra
Vậy
2
4t
8t
0, t
8
2
8
4t
f t đồng biến trên 8; nên f t f 8
8
max P x 4; y 2
5
Câu 17: Đáp án C
2m
1 M m;
C
m 1
với m 1
Tiệm cận đứng x 1 và tiệm cận ngang y 2
Yêu cầu bài toán
Câu 18: Đáp án D
8
5
2a
1
a
4 M 4;3
a 1 3 2
a 2 a 2 M 2;1
14

2m
1
m 1
Gọi M m;
C
3 2m
1
y x m d
2
m 1
m 1
. Tiếp tuyến với C tại M có dạng:
d cắt tiệm cận đứng tại
2m
4
A1;
m 1
và d cắt tiệm cận ngang tại B 2m
1;2
Suy ra trung điểm của AB là
Từ giả thiết bài toán ta có
2m
1 N m;
M
m 1
2 2m
1
IN 10 m 1 2
10 m 0;2; 2;4
m 1
2
2
Vậy có 4 điểm M cần tìm
Câu 19: Đáp án C
3x
2
0
0
x0
1
0
Gọi M x ; C x 1
Tiếp tuyến d với C tại M có phương trình:
3x
2 5
x 1 1
0
y x x
0 0
2 0
x
Do d cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A, B và
IAB có
5 26
cos BAI nên
26
BAI
5
Lại có BAI là hệ số góc của tiếp tuyến d mà y x
5
' 0
0
x 1
2
0
nên
0
5
x 1
2
2 0
x
5 1 1
x
0
0
x0
2
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán y 5x 2; y 5x
2
Câu 20: Đáp án A
Giả sử giá thuê mỗi căn hộ là 2000000 10000x (đồng/tháng). Khi đó, theo đề bài số căn hộ
bị bỏ trống là 2x và số căn hộ được thuê là 50 2x . Do đó số tiền công ty thu được mỗi
tháng là
2000000 100000 50 2 20000020 25
S x x x x
15

Để công ty thu được nhiều lợi nhuận nhất, ta cần tìm x 0;25
sao cho hàm số
20 25
f x x x đạt giá trị lớn nhất
5
f ' x 5 2 x; f ' x 0 x
2
Ta có
Lập bảng biến thiên ta thu được
Khi đó, giá thuê cho mỗi căn hộ là
2025 5
max f x
x
4 2
x
0;25
5
2000000 100000. 2250000 (đồng/tháng)
2
Câu 21: Đáp án C
Đặt
t
log x 1 . Do
2
3
1 x 3
3
nên 1t
2
Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3
Phương trình
Phương trình
1 2 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;2
2
t t m
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;2
2
t t 2 2m
Xét hàm số f t t 2 t 2, t 1;2
là hàm đồng biến trên 1;2
f ' t 2t 1 0, t 1;2 f t
f 1 f t f 2 0 m 2
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 22: Đáp án B
Tập xác định: D 0;
3
1
ln x
y ' 0 x e
x
2
Lập bảng biến thiên và suy ra hàm số
Câu 23: Đáp án D
ln x
y có một cực đại
x
Ta có
6 12 6 12 2 12 8
a. a a . a a
a. a a . a a
3 4 12 4 12 3 12 7
12
a
Câu 24: Đáp án D
16

Ta có
2
log
2
2
2 .3.5
6 4
2 2
log 60 1 1 1 1 a
b
log 60 1 1
log 16 log 2 2 a b 2 ab
Câu 25: Đáp án A
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
3
I .log b log c log a 3 log b.log c.log a 3 (mệnh đề đúng)
a b c a b c
2 2 2 3 2 2 2 3
II b c a b c a
.log log log 3 log .log .log 3 8 6 (mệnh đề sai)
a b c a b c
Câu 26: Đáp án A
2 2 2
4 8 4 4 4
x 1 x 2x 1 x 1
x 1
x 1
Ta có 1 1 1 1
2
4 2
2 2
2x 4x 2x 2x 2x
Do x 0 nên
P
P
2
x 1 1
2
2 2
. Thay 2 2
x
x
1 2
2 2 2
2 2
2 1 2 2 2 2
2 2 2
. 2
1 2 2
2 2 2 2
2
2 2
Câu 27: Đáp án D
756839
Ta có p
p
vào P ta được
2
1 2 log 1 756839.log 2 227823,68
Câu 28: Đáp án C
Đặt
p110 10 p1
20
227823,68 227823 227824
1
x y z x y z x y z x y z
log x log x log x t
Suy ra log x tx y z z y log x txy y z x
Từ đó ta có
log
log y ty z x y x y txy z x y
Từ (1), (2) và (3) suy ra
x log y y log x 2 txyz 1
y log z z log y 2 txyz 2
z log x x log z 2 txyz 3
x log y y log x y log z z log y z log x x log z
log x y log z y log z x x y z y z x
y x y z x z y x y z x z
17
2

Câu 29: Đáp án B
Ta có
2 x 2 x
2
x
1 1
e dx d 2 e
ln 2 ln 2 ln 2
x
2e
2e
x
2 1
e e e
e
3 3
2 e 2e e ae e
ln ln ln
1
2 e 2e 1
ae b
Suy ra a 2; b 1 hay P sin 2017
cos 2018
1
2 2
Câu 30: Đáp án C
1
Do
1 2 3 1
mx m
8 dx 3
x C
nên
2
1 2 1
3 1 3
2
x C m
mx m
8
3 3x
1
e
2 2
Khi đó I x ln xdx e
1
Câu 31: Đáp án D
1
1
4
1 1 x 1
x x
'
Ta có g ' x 2x 0, x 1 g x
đồng biến trên 1;
2
ln ln ln
Suy ra tập giá trị của hàm số
Do
1
ln t
g x là T g 1
;
g
là hàm số nghịch biến nên g x x 2 x
Do đó g
Để tính g 1
đặt
t
v
e , ta được g x
1
khi x
2
ln x
2ln x
ln x
v
e
dv
v
Khi đó
2ln x
2ln x dv 2
g x e x
v
ln x
ln 2
Chứng minh tương tự, ta thu được g x x ln 2
Theo định lí kẹp, ta suy ra g 1 ln 2
Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T ln 2;
Câu 32: Đáp án C
18

Nhiệt độ trung bình từ 8h sáng cho đến 20h là tổng nhiệt độ chia cho khoảng thời gian, cho
nên được tính bằng:
20
1
14
50 14sin t
dt 50 45,54
F
20 8
2
8
Câu 33: Đáp án B
2 2
2 4
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V x dy y dy
Câu 34: Đáp án A
0 0
2 2
Giả sử d cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; , ;
Phương trình đường thẳng :
d y a b x ab
19
32
5
A a a B b b với b
a
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng d. Ta có:
b b b
2
S a b x ab x dx x a x b dx x a x b dx
a a a
1 a
b
1
3 2 6
Do M 1;3
b
3 2
x x abx b a
d nên a b ab 3
a
3
2
3
2
3
2 1 1 1
2
S b a a b 4ab ab 3 4ab
36 36 36
Suy ra
3 3
1 2 8 128 8 2
ab 1 8
S
36 36 9 3
8 2
min S ab 1 0 ab 1 a b 2
3
Vậy ta lập được phương trình đường thẳng d : y 2x 1 2x y 1 0
Câu 35: Đáp án C
Đặt t 2a x . Khi đó
2a a 2a a
0
2
f x dx f x dx f x dx f x dx a t dt
0 0 0 0
Câu 36: Đáp án B
a a a
f xdx f 2a xdx f x f 2a xdx
0 0 0
a

Ta có OA x;
y
1 1 x yi x y
z x yi x y x y x y
x y
OB ;
x y x y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
Rõ ràng OA và OB cùng phương nên ba điểm O, A, B thẳng hàng
Câu 37: Đáp án C
Đặt z a bi với ab ,
Khi đó
2 2
2 2
z 2i
a b 2
i a b i a bi
z 2 a 2 bi a2
b
a a 2 b b 2 a 2 b 2 ab
2 2 2 2
i
a 2 b a 2 b
z
2i
là số ảo khi và chỉ khi
z 2
Ta có
2 bb
2
i
a a
2
0
2
2 2 2
a2 b a 2
b 0
P z 1 z i a 1 bi a b 1 i
2 2
a 1 b a b
1
2 2
2 2 2 2
a b a a b b
2 1 2 1
2 a b 2a 1 1 a b 2b
1
1 2b 1
2a
20
2 2
a b a b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2a b a b a b 2
Suy ra ab
4
2
Do đó
P 2 2 2 a b 20 P 2 5
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab
2
Vậy max P 2 5 đạt được khi z2
2i
Câu 38: Đáp án D
2 2 1
2

1 3 i
2 1 3 2 1 3
2
Ta có z z i x 2
hay
z z 1 0 z 1
z
2 1
Khi đó
z
2
1 1
z 2 1
2
z z
2
3
3
z z z
3
z
1 1 1
3 2
z z z
1 1
z
2 1
z z
4 2
4 2
2016 2017 2018 2019 2018
Như vậy
P 1 1 2 1 2 1
Câu 39: Đáp án A
Giả sử z a bi với ab ,
2 2 2
2
Khi đó
iz 3 z 2 i b 3 a a 2 b 1 a 2b
1
2
2 2 2 2 2 2 1 5
Suy ra
z a b 2b 1 b 5b 4b 1 9b
5 5 5
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy số phức z cần tìm là
Câu 40: Đáp án B
1 2
a , b
5 5
1 2
z i
5 5
Gọi H là trung điểm
a 3
BC AH . Góc giữa ABC và A'
BC là AHA' 60
2
Suy ra
3a
1 3
AA' AH.tan 60 VABCC ' B'
AH. BC. BB ' a
2 3 4
Câu 41: Đáp án A
Diện tích đáy S 4a
2
2 1 2 1
cot 1 cot 1 2
2 2
sin
sin
. Do đó (C) và (D) đúng
3 2 3
4a
1
sin 4a
cos 2
Từ câu (D) suy ra V . Do đó (B) đúng
2
3 sin 3 sin
21
3

Vậy (A) là kết quả sai
Câu 42: Đáp án B
Gọi O AC BD
Từ giả thuyết suy ra A'
O ABCD
Ta có
S
ABCD
2
a 3
BC. CD.sin120
2
Vì BCD 120 nên ABC 60
Suy ra
ABC đều
2 2
2 2 49a
a
AC a A' O A' A AO 2 3a
4 4
Vậy V
ABCD . A ' B ' C ' D '
3
Câu 43: Đáp án C
a
3
Gọi G là tâm của
ABC . Qua G kẻ đường thẳng d / / A'
H cắt AA ' tại E.
Gọi F là trung điểm của AA’. Trong mặt phẳng AA'
H kẻ đường trung trực của AA’ cắt d
tại I. Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Ta có
1 a
AEI 60 , EF AA'
6 6
a
IF EF.tan 60
6
3
2 2 a 3
R AF FI
Câu 44: Đáp án C
Quay quanh
AD V
3
2
:
1
AB . AD 4
A'
ABC và bán kính R
IA
22

Quay quanh
AB V
2
:
2
AD . AB 2
Do đó V1 2V2
Câu 45: Đáp án D
R
ABC có BC 2Rsin 75 6 2
2
R 6
BHC có BH BC sin 60 3 1
4
2
3
Sxq
BH. BC R 3 1
4
Câu 46: Đáp án B
2
Đặt hình lập phương vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O A; Ox, Oy,
Oz hướng theo
AB, AD,
AE . Gọi a 0 là cạnh hình lập phương. Khi đó
a a a a
M a;0; , N ;0; a , P0; a; , M ; a;0
2 2 2 2
a a a a a a
Ta có MN ;0; , QP ;0; , MQ ; a;
2 2 2 2 2 2
Suy ra
a 2 a 6
MN QPMN MQ 0, MN , MQ
2 2
Vậy MNPQ là hình chữ nhật
Câu 47: Đáp án D
(S) có tâm I 2;1; 1
và bán kính
Giao tuyến của và (S) là đường tròn
m
4
d I
R m 1 3
m
2
Câu 48: Đáp án D
* Xét mệnh đề (I):
2
R m m m
Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó
2 1 1
MA MB MC MD 2MI 2MJ MI MJ
Do đó tập hợp các điểm M là mặt phẳng trung trực của IJ
Vậy mệnh đề này đúng.
23

* Xét mệnh đề (II):
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD
Khi đó MA MB MC MD 4
4MG
4 MG 1
Do đó tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G 1;2;3
và bán kính R 1
Vậy mệnh đề này đúng
Câu 49: Đáp án C
M d M 1 t;3 3 t;3 2t
Ta có:
d M
t 9 t 9
1 t 2 3 3t 2 3 2t
1
3 3
2 2
1 2 2
2
Suy ra M 10; 24; 15 , M
8;30;21
Câu 50: Đáp án D
Gọi I d1 d2. Khi đó tọa độ điểm I (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình
2x y z 4 0
x
z 3 0
I
3x y 7 0
2y 3z 5 0
d1,
d
2
và d
3
đồng quy
2;1;1
2 m 2 3 0
I d3
m 1
4
1 1 6 0
24

ĐỀ SỐ 8
BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x,
y
A. a b
c
d
B. a c
b
d
sin cos cos sin
4 4 4 4
asin x bcos y a cos x bsin
y
2 2 2 4
c x d y c x d y
C. a d
b
c
Câu 2: Tìm các họ nghiệm của phương trình 14sin xsin 3x
2
2
x k
14 7
2
x k
10 5
A.
k
2
x
k
14 7
2
x k
10 5
C.
k
2 1
2
x
k
14 7
2
x k
10 5
B.
k
2
x k
14 7
2
x k
10 5
D.
k
D. b c
a
d
Câu 3: Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền
kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất
chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn
nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên
A. 114 B. 124 C. 134 D. 144
Câu 4: Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc
lập với nhau chọn ngẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để một toa có 3 hành khách; một toa có 1
hành khách và hai toa không có hành khách.
A. 3
11
B. 3
16
Câu 5: Tìm số nguyên dương n sao cho
C. 3
13
1 2 2 3 3 4 2 n 2 n 1
2n1 2n1 2n1 2n1 2n1
D. 3
17
C 2.2. C 3.2 . C 4.2 . C ... 2n 1 2 . C 2019
A. 1009 B. 1010 C. 1011 D. 1012
Câu 6: Tính giới hạn
n
a a a
lim 1 ...
2
1 ...
2
n
b b b
(với a 1, b 1)
1

A. 1 a
B. 1 b
C. 1 a
1
b
1
a
1
b
Câu 7: Xác định một hàm số f
(i).
f x có tập xác định là D \ 4
(ii). lim f x ; lim f x
3 và f x
x4
x
x thỏa mãn các điều kiện sau
lim 3
x
D. 1 b
1
a
A. f x
3x
2
x 4
2
B. f x
2
3x
1
x 4
C. f x
3
x
2
x 4
2
D. f x
x
3x
x 4
2
2
Câu 8: Cho hàm số
f
x
2
2x
7x6 khi x 2
x 2
1
x
m khi x 2
2 x
Tìm m để hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 2
A. m 1
B. m 0
C.
Câu 9: Cho hàm số
A.
2
x x x
Câu 10: Cho
x 1
y . Tính tỉ số
x
B.
1
x x x
y
x
theo x
C.
3
m D.
4
1
x x x
D.
3
m
4
x
2
1
1x
ABC có hai đỉnh B, C cố định còn đỉnh A chạy trên một đường tròn OR ; .
Tìm quỹ tích trọng tâm G của
A. Đường tròn
B. Đường tròn
C. Đường tròn
1
O'; R
3
2
O'; R
3
4
O'; R
3
ABC
là ảnh của đường tròn ;
là ảnh của đường tròn ;
là ảnh của đường tròn ;
D. Đường tròn O';3R là ảnh của đường tròn ;
Câu 11: Đây là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
OR qua phép vị tự tâm I tỉ số 1
k
3
OR qua phép vị tự tâm I tỉ số 2
k
3
OR qua phép vị tự tâm I tỉ số 4
k
3
OR qua phép vị tự tâm I tỉ số k 3
A.
B.
3 2
y x 3x
1
3 2
y x 3x
1
2

C.
D.
3 2
y x x x
3 1
3 2
y x x x
3 1
Câu 12: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số
3 2
y x x x
3 9 2018
A. ; 3 , 3;1
B. ; 3 , 1;
C. 1; , 3;1
D. ;1 , 1;
Câu 13: Cho hàm số y cos 2x sin 2x tan x 2017 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm hằng trên khoảng
;
2 2
B. Hàm nghịch biến trên khoảng
;
2 2
C. Hàm đồng biến trên khoảng
;
2 2
D. Hàm đồng biến trên khoảng 0;
2
Câu 14: Hàm số
y x x x x
4 3 2
3 4 24 48 3 đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. x0 1
B. x0 2
C. x0 2
D. x0 1
Câu 15: Tìm các giá trị của m để hàm số y x m 3 3 xđể hàm số cực tiểu tại điểm
x 0
A. m 1
B. m 1
C. m 0
D. m
Câu 16: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x
2
A.
C.
x
max f 2
x
2;3
3
min f x
x
2;3
5
x
max f 2
x
2;3
min f x
0
x
2;3
B.
D.
3
max f x
x
2;3
5
min f x
0
x
2;3
x 1
trên đoạn
x 1
x
max f 2
x
2;3
3
min f x
x
2;3
5
1;2
Câu 17: Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số
4 2 2
y x 2mx m m
có 3 điểm cực trị lập
thành một tam giác có một góc bằng 120
3

A. m 3
3
B. m 3
3 C.
Câu 18: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số
y
x 1
x
2
1
m D. m
3
3
4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 19: Tìm m để hàm số
3 2
y mx x 2x 8m
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
3
1
3
A.
1 1
m B.
6 2
1 1
m
6 2
m
0
C.
1 1
m D.
6 2
1 1
m
6 2
m
0
Câu 20: Một trang chữ của một quyển sách toán cần diện tích 384
cm; lề phải, lề trái 2cm. Tính kích thước tối ưu cho trang giấy.
A. 50 cm và 40 cm B. 40 cm và 30 cm
C. 30 cm và 20 cm D. 20 cm và 10 cm
Câu 21: Tìm giá trị của m để hàm số y log 2 2
3
m x
2
cm . Lề trên, lề dưới là 3
xác định trên khoảng
2;2
A. m 2
B. m 2
C. 0m
2 D. m 1
Câu 22: Cho 0 abc
, , 1 thỏa log b 3 và log c a
2 . Tính 3 2
log a
a b
a
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
c
Câu 23: Tính giá trị của biểu thức
5 5 5
P log 5
log
5
... 5
2018
A.
2018
P 5
B.
2018
P 5
C. P 2018 D. P 2018
Câu 24: Cho log475 a;log845
b. Tính log 135 theo a, b
3 25
A.
2 15b
2a
3 4a3b
B.
3 15b
2a
2 4a3b
Câu 25: Tính tổng các nghiệm của phương trình
A. 0 B. 9 C. 8 D. 7
4
C.
2 15a
2b
3 4a3b
1
log 1 log 1 log 1 log 1
2
2
2 4 2
3
4 2
4
x x
1
x x
2
x x x x
2
2
3
A. 0 B. 1 C. 1
D. 3
Câu 26: Tìm số giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình
x x
log 3 1 6 1 log 7 10
2 2
D.
3 15a
2b
2 4a3b

Câu 27: Cho ab 1 và x 0 . Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng?
A. Đồ thị hàm số
y
x
a nằm phía trên đồ thị hàm số
y
b
x
B. Đồ thị hàm số
y
x
a nằm phía dưới đồ thị hàm số
y
b
x
C. Đồ thị hàm số
y
x
a cắt đồ thị hàm số
y
b
x
D. Đồ thị hàm số
y
x
a nằm phía trên đồ thị hàm số
y
x
b khi 1
x và ở phía dưới đồ thị
hàm số
y
x
b khi 0x
1
Câu 28: Giả sử một hàm chỉ mức sản xuất của một hang DVD trong một ngày là
y
b
x
trong
đó m là số lượng nhân viên và n là số lượng lao động chính. Mỗi ngày hang phải sản xuất
được 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu khách hàng. Biết rằng tiền lương cho nhân viên là 16
USD và của một lao động chính là 27 USD. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất chi phí trong một ngày
của hang sản xuất này
A. 1000 USD B. 1440 USD C. 1500 USD D. 1550 USD
Câu 29: Giả sử tích phân
2
tan x
tan x k
x dx e
3
e
4
. Tính giá trị của k
A. 1
B. 1 C. 0 D.
Câu 30: Tìm nguyên hàm
3 2
x x
3 2
F x
của hàm số
f
x
x
x
4 2
A. F x
x C
B.
3 2
x x
3 2
C. F x
x C
D.
Câu 31: Cho hàm số
2
phân I f x dx
A.
2
1
I B.
3
2
x
1
x1
3 2
x x
F x x C
3 2
3 2
x x
F x x C
3 2
f x liên tục trên và thỏa mãn
2
I C. I
3
1
2
f x 2 f x cos x . Tính tích
D. I 2
Câu 32: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y x 1 ln x ; các đường
thẳng
x x e
2
1,
và trục hoành
5

A.
3 2
8e
9e
13
9
B.
3 2
8e
9e
13
3
C.
3 2
8e
9e
13
3
D.
3 2
8e
9e
13
Câu 33: Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình H
hạn bởi các đường y log
2
x; x y 3 0; y 0
9
giới
1
log 2ln 2 1
2
3
A. V e
1
log 2ln 2 1
2
3
C. V e
1
log 2ln 2 1
2
3
B. V e
1
log 2ln 2 1
2
3
D. V e
Câu 34: Cho số thực a ln 2 . Tính giới hạn
L
lim
ln10
aln 2
a
3
x
e
dx
x
e 2
A. L ln 6
B. L ln 2
C. L 6
D. L 2
Câu 35: Vận tốc của một chuyển động là
vt
sin t
1
2
(m/s).Tính quãng đường di
chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến kết quả hàng phần trăm)
A. 0,37 m B. 0,36 m C. 0,35 m D. 0,34 m
Câu 36: Cho hai số phức z
1
và z
2
.Xét các cặp số phức sau:
(I). z1 z2
và z1
z2
(II). zz
1 2
và zz
1 2
(III). zz
1 2và zz
1 2
Cặp số nào liên hợp?
A. Cả (I), (II) và (III) B. Chỉ (I) và (II) C. Chỉ (II) và (III) D. Chỉ (I) và (III)
Câu 37: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
z 4i z 4i
10
A. Một đường tròn B. Một elip C. Một hypebol D. Một parabol
Câu 38: Tìm mô đun của số phức w b ci
biết số phức
phương trình z 2 8bz 64c
0
z
1
12
3i 2
i
1
6
6
3i 1i
là nghiệm của
A. 3 29 B. 2 29 C. 29 D.
29
2
6

Câu 39: Tìm mô đun của số phức
w
3
z z1
2
z 1
biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện
z z 1i z z 2 3i 4
i
A.
170
10
B.
171
10
C.
172
10
D.
173
10
Câu 40: Cho hình chóp S.
ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, với
a a 3
SA , SB
2 2
và BAD 60 và mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H, K lần lượt là trung
điểm của AB, BC. Tính thể tích V của tứ diện K.
SDC
3
3
3
3
a
a
a
a
A. V B. V C. V D. V
4
16
8
32
Câu 41: Cho hình lăng trụ ABC. A' B' C '; đáy ABC có AC a 3, BC 3 a, ACB 30 .
Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 60 và mặt phẳng A'
BC vuông góc với ABC .
Điểm H trên cạnh BC sao cho BC 3BH
và mặt phẳng '
ABC .Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A' B' C '
A AH vuông góc với mặt phẳng
3
3
3
4a
19a
9a
A. V B. V C. V D. V
9
4
4
Câu 42: Một hình trụ tròn xoay bán kính đáy bằng R, trục O' O R 6 . Một đoạn thẳng
AB R 2 với A O
và B
O'
. Tính góc giữa AB và trục hình trụ.
A. 30 B. 45 C. 60 D. 75
Câu 43: Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng
a.
A.
S
xq
2
a
B. S
3
xq
2
a 2
C. S
3
xq
2
a 3
D. S
3
xq
3
4a
19
2
a
6
Câu 44: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông. Xét hình cầu nhận hai đáy của
hình trụ là hai hình tròn nhỏ đối xứng nhau qua tâm hình câu. Gọi V1,
V
2
lần lượt là thể tích
V1
của hình trụ và hình cầu. Tính tỉ số
V
2
3
7

A. 3 2
2
B. 3 2
4
C. 1 2
Câu 45: Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 5, người ta cắt
4 góc bìa 4 tứ giác bằng nhau và gập lại phần còn lại của tấm bìa để
được một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (xem hình vẽ
D. 3 2
8
bên). Cho chiều cao khối chóp tứ giác đều này bằng
trị của x
5
2
. Tính giá
A. x 1
B. x 2
C. x 3
D. x 4
Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x y 2z
12 0 và hai điểm
A1;1;3 , B 2;1;4
. Tìm tập hợp tất cả các điểm CP
nhỏ nhất
A.
xt
8
y
9
8
z
t
9
B.
x
t
8
y
9
8
z
t
9
C.
sao cho tam giác ABC có diện tích
x2t
8
y
9
8
z
t
9
D.
x
2t
8
y
9
8
z
t
9
Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho hình vuông ABCD có đỉnh C 1; 1; 2
và đường chéo
1 1 1
BD :
x
y
z . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D biết điểm B có hoành độ dương
4 1 1
A. A1;2;3 , B 5;2; 2 , D 7; 1;1
B. A1;2;3 , B 3;0;0 , D 7; 1;1
C. A1;2;3 , B 5;2; 2 , D 9;3; 3
D. A1;2;3 , B 3;0;0 , D 1;1; 1
Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
A1;2;7 , B1;5;2 , C 3;2;4
. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho
giá trị lớn nhất
x 1 y 4
z
d : và các điểm
2 1 2
2 2 2
MA MB MC đạt
A. M 1;4;0 B. M 1;3; 2
C. M 1;3; 2
D. M
5;6;4
8

5 5
Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1; 2; , B 4;2; . Tìm tọa độ điểm M
2 2 trên mặt phẳng Oxy
sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất
A.
M
5 ;0;0
2
B.
M
5 ;0;0
2
C.
M
1 ;0;0
2
D.
M
1 ;0;0
2
Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2x 2z
2 0 . Tìm điểm
A thuộc mặt cầu sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng P : 2x 2y z 6 0 lớn nhất
A. A1;1; 6
B.
7 4 1
A
; ;
3 3 3
C. A 3;0;0 D. A 0;3;0
Đáp án
1-A 2-C 3-D 4-B 5-A 6-B 7-A 8-C 9-C 10-A
11-A 12-B 13-A 14-A 15-B 16-C 17-D 18-D 19-B 20-C
21-A 22-D 23-C 24-B 25-A 26-D 27-A 28-B 29-B 30-A
31-B 32-D 33-A 34-C 35-D 36-A 37-B 38-C 39-A 40-D
41-C 42-A 43-C 44-D 45-B 46-B 47-D 48-C 49-A 50-B
Câu 1: Đáp án A
LỜI GIẢI CHI TIẾT
f x;
y af bf với
Đặt 1 2
sin cos cos sin
asin x bcos y a cos x bsin
y
a 4 x 4 4 4
b y
1
;
a x
f
b y
2 2 2
2 2
Ta có c d csin 2 x cos 2 x d sin 2 y cos
2 y
Do đó OR
;
2 2 2 2
c d f csin x d cos y c cos x d sin y
f
4 4
sin x
cos x
1
2 2 2 2
csin x d cos y c cos x d sin y
2 2
2 2 sin x
2 2 cos x
csin x d cos y c cos x d sin y
1
2 2 2 2
csin x d cos y c cos x d sin y
1
d
f 1
c
9

Tương tự f2
1
c d
Câu 2: Đáp án C
a
b
f x;
y af bf
c d
. Vậy 1 2
Nhận xét cos x 0 không phải là nghiệm của phương trình. Do đó, nhân cả hai vế của
phương trình cho cos x 0ta được
cos x 4cos xsin x sin 3x cos x
2
2 1
3
2sin3x 4cos x 3cos x cos x
2sin3x cos3x cos x sin6x cos x
2
x
k
14 7
sin 6x sin x
k
2 2
x k
10 5
Câu 3: Đáp án D
Xem lô đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền,1 vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền
Bước 1: nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách có 2! 2 cách chọn nền
cho mỗi người. Suy ra có 4.2 8 cách chọn nền
Bước 2 nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lại cho 3 nền có 3 cách và mỗi cách có 3! 6
cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 3.6 18
cách chọn nền
Vậy có 8.18 144 cách chọn nền cho mỗi người
Câu 4: Đáp án B
Mỗi hành khách có 4 cách chọn 1 toa để lên tàu nên số cách 4 hành khách chọn toa để lên tàu
là
4
4 256 cách. Suy ra n 256
Gọi A là biến cố: “một toa có 3 hành khách; một toa có 1 hành khách và hai toa không có
hành khách”.
Chon 3 hành khách từ 4 hành khách và xếp 3 hành khách vừa chọn lên 1 trong 4 toa tàu có
C .4 16 cách
3
4
Xếp hành khách còn lại lên 1 trong 3 toa tàu còn lại có 3 cách
Suy ra n A 16.3 48
Vậy xác suất của biến cố cần tìm là
Câu 5: Đáp án A
48 3
P A
256 16
10

Xét khai triển
2 1 0 1 2 2 3 3 4 4 2 1 2 1
1 n
x C C x C x C x C x ... C n
x
n
2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1
Lấy đạo hàm cả hai vế ta được
2 1 2 . 3 4 ... 2 1
n x C x C x C x C n x C
2 n 1 2 2 3 3 4 2 n 2 n 1
2n1 2n1 2n1 2n1 2n1
Thay x 2 vào ta được
2n 1 C 2.2. C 3.2 C 4.2 C ... 2n 1 2 n C n
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2n1 2n1 2n1 2n1 2n1
Kết hợp với giả thiết bài toán ta được: 2n1 2019 n
1009
Vậy n 1009
là giá trị cần tìm
Câu 6: Đáp án B
n
Ta có 1 a a ...
a
2 1
1 b b ...
b
2 n 1
a
1
a
n1
b
1b
n1
n
1 a a ... a 1b 1
a
Khi đó
n .
1 b b ... b 1 a 1b
Do a 1, b 1 nên
2 n1
2 n1
2
n
1 a a ... a 1
b
Vậy
2
n
1 b b ... b 1
a
Câu 7: Đáp án A
n1 n1
lim a 0,lim b 0
Lần lượt kiểm tra từng hàm số ta thấy chỉ có hàm số
f
x
3x
2
x 4
2
thỏa mãn cả hai điều
kiện
Câu 8: Đáp án C
Ta có
2
2x 7x6 2 x 2x3
lim f x
lim lim lim 2x
3
1
x2 x2
x2 x2 x2 x2
1
x 1
lim f x
lim m _ m f 2
2
x 4
x2 x2
Hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 2 khi và chỉ khi
1 3
lim f x lim f x f 2
m 1
4 m 4
x2 x2
Câu 9: Đáp án C
11

Ta có
x x 1 x 1
y f x x f x
x x x 1
x x x x x x
Câu 10: Đáp án A
Gọi I là trung điểm BC. Khi đó IG IA G V A
Mà A O;
R
1
1
3 I
;
3
nên quỹ tích trọng tâm G của ABC là đường tròn
đường tròn OR ; , qua phép vị tự tâm I tỉ số
Câu 11: Đáp án A
Tập xác định D
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên
Khoảng đồng biến là
1
k
3
2 x
0
y ' 2x 6 x; y ' 0
x
2
0;2 và các khoảng nghịch biến là ;0 ; 2;
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x 0; y CT
1; đạt cực tiểu tại x2, y CD
3
- Giới hạn lim y ; lim y
x
x
Chỉ có hàm số ở đáp án (A) mới thỏa mã các yếu tố đơn điệu, cực trị, giới hạn
Câu 12: Đáp án B
Tập xác định D
y x x
2
' 3 6 9
x
3
y ' 0
x
1
1
O'; Rlà ảnh của
3
Lập bảng biến thiên và suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ; 3 , 1;
Câu 13: Đáp án A
sin 2x
Ta có y ' 2sin 2x 2cos 2x tan x
2
cos x
2sin 2x 2cos2x tan x 2tan x
2sin 2x 2 1
cos 2x tan x
2
2sin 2x 4cos x tan x
12

2sin 2x 2sin 2x
0
Do đó hàm số đã cho là hàm hằng trên khoảng
;
2 2
Câu 14: Đáp án A
2
y ' 12 x 1 x 4
y ' 0 x 1; x 2
Lập bảng biến thiên và suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm x0 1
Câu 15: Đáp án B
y ' 3 x m 2
; y '' 6x m
Hàm số đạt cực tiểu tại
Câu 16: Đáp án C
Vậy
Ta có f ' x
x
f ' x 0 x 1
1
x
2 2
' 0 0
2
y
3m
3 0
x 0 m 1
y '' 0 0 6m
0
1 x 1
f 1 0; f 1 2; f 2
x2;3
x
x2;3
3
5
x
max f 2 khi x 1;
min f 0 khi x 1
Câu 17: Đáp án D
Ta có y x 3 mx y xx 2 m
' 4 4 ; ' 0 4 0
2
Đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị phương trình xx
m
phân biệt m
0 . Khi đó phương trình y ' 0 có ba nghiệm là:
x
0
x
m
x
m
Gọi A0; m
2 m , B m; m , C m;
m
là các điểm cực trị
Ta có AB m; m
2 , AC m;
m
2
4 0 có ba nghiệm
13

Vì A Ox , B và C là hai điểm đối xứng nhau qua Oy nên ABC
cân tại A. Như vậy
góc 120 chính là A
Ta có
AB AC m m
cos A
AB AC
1 . 1
4
1
2 2
4
m m 2
4 3
3m m 0 3m 1 0 m
3
Câu 18: Đáp án D
lim
y
x2
có hai tiệm cận đứng là x
2; x 2
lim y
x2
1
3
lim y 1
x
có hai tiệm cận ngang là y 1; y 1
lim y 1
x
Câu 19: Đáp án B
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là:
3 2
mx x x m
2 8 0
2
m 2 mx 2m 1 x 4m
0
x
2
2
f x mx 2m 1
x 4m
0
Yêu cầu bài toán phương trình f x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2
m
0 1 1
m
g2
12m 2 0
m
0
Câu 20: Đáp án C
2
12m
4m
1 0 6 2
Gọi xy , 0 là khích thước hai trang chữ, Khi đó, hai kích thước của trang giấy là x 6 và
y 4
Theo đề
384
xy 384 y
x
Diện tích của trang giấy
384 2304
S x 6 y 4 x 6
4 4x
408
x x
14

Lập bảng biến thiên dễ dàng suy ra
min S 600 x 24 . Suy ra y 16
x
0;
Do đó x 6 30
cm và y 4 20cm là kích thước tối ưu cho trang giấy
Câu 21: Đáp án A
Hàm số xác định
2 2
m x 0 m x m
Để hàm số xác định trên khoảng 2;2
thì phải có
m 2 2 m m 2
Câu 22: Đáp án D
Ta có a b c b c
3 2 1 1
loga 3 2loga loga
2 2.3 . 2 8
2 2
Câu 23: Đáp án C
Ta có
1
5 5 5 2018
... 5 5
2018
Khi đó
1
log ... 5 5
5
5 5 5
2018
5 2018
2018
Vậy
5 5 5
P log 5
log
5
... 5 2018
2018
Câu 24: Đáp án B
Sử dụng công thức đổi cơ số
3 3
log 3
log 3 135 3log
25
25135 1 3log5
3 1
3 1
2 2 log2
5
1 1
2 2
2
Ta có a log 75 log 75 2log 5 log 3
4 2 2 2
Suy ra 2log
25log 23 2a (2)
1 1
3 3
Lại có b log 45 log 45 log 5 2log 3
8 2 2 2
Suy ra log25 2log23 3b (3)
4a 3b 6b 2a
Giải hệ gồm (2) và (3) ta được log25 ;log23
3 3
Thay vào (1) ta thu được
3 15b
2a
P
2 4a3b
15

Câu 25: Đáp án A
Ta có
2 2 4 2 4 2
x x x x x x x x
log 1 log 1 log 1 log 1
2 2 2 2
2 2 4 2 4 2
x x x x x x x x
log 1 1 log 1 log 1
2 2 2
4 2 4 2 4 2
x x x x x x
log 1 log 1 log 1
2 2 2
4 2 4 2 4 2
log
2
x x 1 0 x x 1 1 x x 0 x 0; x 1
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 0
Câu 26: Đáp án D
Điều kiện
1
x 10
3
Bất phương trình đã cho tương đương với:
3x1 6 3x1 6
log2 log2
7 10 x 7 10 x
2 2
3x 1 2 10 x 8 3x 1 4 3x 1 10 x 4 10 x 64
x x x x x x
2
4 3 1 10 23 16 3 1 10 23
2 369
49x 418x 369 0 1 x 7,5
49
Mà x nên x 1;2;3;4;5;6;7
Vậy có 7 giá trị nguyên của x
Câu 27: Đáp án A
Do ab 1 và x 0 nên
y
b
x
a
x
x
b . Vậy đồ thị hàm số
y
x
a ở phía trên đồ thị hàm số
Câu 28: Đáp án B
Gọi C là chi phí mỗi ngày. Khi đó C 16m 27n
(USD)
Do hàm sản xuất phải đạt chỉ tiêu 40 sản phẩm trong mỗi ngày nên
40
m
2 1 3
3 3
2 3
40 40
2
m b m n n
Biểu thức biểu diễn mối liên hệ giữa số lượng nhân viên và chi phí kinh doanh là
16

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
27.40
C16m
2
m
3
3 3
27.40 27.40
C 16m 8m 8m
1440
2 2
m
m
Vậy C 1400 (USD) khi và chỉ khi
xấp xỉ 18 người)
Câu 29: Đáp án B
27.40
8m
2
m
40
n
2
m
3
2 2
Ta có
Trong đó
x x x
I tan x tan x e dx e tan xdx e tan xdx J K
3 3 3
4 4 4
2
tan . x
x
J x e dx; K e tan xdx
3
3
4 4
Ta sẽ tính tích phân K bằng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
u
tan x
du 1tan
x
dv e dx x
ve
2
x dx
x
x
2
Khi đó tan 1
tan
K e x e x dx
3
4
3
4
3
x
4 x
e e dx J e e J e J
3
4
k
Vậy I e e k 1
Câu 30: Đáp án A
Ta có
3
4
2
1
2
2 2
x x
3 2
2
x x
f x dx dx x x 1dx x C
x x1 3 2
Câu 31: Đáp án B
3
m
60
(có 60 nhân viên và lao động
n
18
17

2
Xét tích phân
J f x dx
2
Đặt x t dx dt
Đổi cận x t ; x t
2 2 2 2
Khi đó
2 2 2
I f t dt J 3I J 2I f x 2 f x dx J cos xdx 2
Vậy
2 2 2
2
I
3
Câu 32: Đáp án D
f x 0, x 1; e
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Do
2
2 2
e
e
nên
S f x dx x 1 ln xdx
1 1
Đặt
1
u
ln x
du dx
x
dv
x 1
dx 2
v x x x
3
Khi đó
2 2
e e
3 2
x x e e
2 2 8 9 13
S
1 x ln x 1
dx
3
3 9
Câu 33: Đáp án A
1 1
Ta có x y 3 0 y 3
x
Giao điểm của đồ thị hàm số y log2
x với các đường thẳng y 3
x và y 0 lần lượt là
2;1 , 1;0
2 3
2
V
xdx x dx
V V
Khi đó log 3
2 1 2
1 2
2 2
Trong đó V log xdx log e ln xdx log e2ln 2 1
1 2 2 2
1 1
18

3
2
V2
3 x
dx
3
2
1
log 2ln 2 1
2
3
Vậy V e
Câu 34: Đáp án C
Đặt
I
a
ln10
a
3
x
e
dx
x
e 2
Đặt
3 x 3 x 2 x
t e 2 t e 1 3t dt e dx
Đổi cận
3 a
x a t e x t
1; ln10 3
2 2
2 2
2
3t dt
3 2 3
3
3
t
3
2 3 a 2
a
a
e 1 e 1
e 1
a
Khi đó I 3 tdt t 4 e
2
Vậy
3
lim Ia
.4 6
2
xln2
Câu 35: Đáp án D
Quãng đường mà vật đó di chuyển là
1,5 1,5
1 sin t
1 1 3 1
S dt t cos
2
t
0,34
2
2
2
(m)
4
0
0
Câu 36: Đáp án A
Ta có
z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1. z2 z1.
z2
z z
z . z
1 2 1 2
Câu 37: Đáp án B
Đặt z x yi
với xy ,
Từ giả thiết bài toán ta có
x yi 4i x yi 4i 10 x y 4 i x y 4 i 10
2 2 2
2
x y 4 x y 4 10
Gọi F 0; 4 , F 0;4
1
. Khi đó MF1MF
2
10
19

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là elip nhận FF
1 2
8 làm tiêu cự, trục lớn bằng 10. Elip này
có phương trình là
Câu 38: Đáp án C
Ta có
Do đó
2 2
x y
1
9 25
3
2 3
i i i
1 3 1 3 3 3.3 3 3 8
3
2 3
i i i
1 3 1 3 3 3.3 3 3 8
2
1i
2i
12
6
1
3i 1i
4
8 . 2i
1 3i 2 i 8 . 2 i 8 2 i
x 8
6 2 3
1 2i
8 16i
i
Theo giả thiết ta có
2
8 16i 8b 8 16i 64c
0
2
1 i b 1 2i c 0 2b 4 i b c 3 0
2b 4 0 b 2
b c 3 0 c
5
Vậy 2 2
w 2 5 29
Câu 39: Đáp án A
Gọi z a bi với ab ,
z z 1i z z 2 3i 4 i trở thành:
Khi đó phương trình
2a 1 i 2b 2 3i 4 i 2a 4b 2a 6b i 4 i
Do đó:
1
a
2a4b4 2 1 1
z i
2a
6b 1 1 2 2
b
2
3
z z1 1
Ta có: w z
2 2
z 1 z 1
. Thay 1 1
z i vào ta được:
2 2
1 1 1 1 1 1 13 1
w i i i
2
2 2 1 1 2 2 1
1
10 10
i 1 i
2 2
2
20

Suy ra
2 2
13 1 170
w
10 10 10
Câu 40: Đáp án D
Từ giả thiết ta có
ASB
vuông tại
a a 3
AB a; SA ; SB
2 2
AB
S SH SAH
đều.
2
Gọi M là trung điểm của AH thì SM AB
Do SAB ABCD
nên SM ABCD
3
1 a
Vậy V SM.
SKCD
3 32
Câu 41: Đáp án C
Áp dụng định lí côsin cho
AH
Do
a
A'
BC ABC
A'
AH ABC
A' H A' BC A'
AH
A' H ABC A' AH 60
Do
AA'
H vuông tại H nên
A' H d A' ABC AH.tan 60 a 3
Vậy
AHC ta dễ dàng tính được
1 9a
V SABC. d A' ABC .3 a. a 3.sin30 . a 3
2 4
Câu 42: Đáp án A
3
Kẻ đường sinh
BB. ' Khi đó B' B O' O R 6
Ta có
AB R 2 3
tan
tan AB ' B 30
BB ' R 6 3
Câu 43: Đáp án C
Kẻ SO ABC,
SH BC OH BC
Ta có
2 2 a 3 a 3
OA AH .
3 3 2 3
21

a a
Sxq
. OA. SA . a
3 3
Câu 44: Đáp án D
2
3 3
Ta có
V
V
1
2
a
. a
2
3
4 a
2
3 2
Câu 45: Đáp án B
2
3 2
8
Gọi M là trung điểm một cạnh đáy. Khi đó
2 2
5 x
x 1 5
25 10x
5 2x
2 4 2 2
Theo đề
2 2
h SO SM OM
5 5 5
h 5 2x 5 2x 1 x 2
2 2 2
Câu 46: Đáp án B
Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có: y 2x 2z
12
Ta có AB 1;0;1 , AC a 1;2a 2b 13; v 3
Suy ra AB, AC 2a 2b 13; b a 2;13 2a 2b
1 1
2 2
nên tọa độ điểm C a;2a 2 b;
b
Do đó S AB, AC
2a 2b 13 b a 2 13 2a 2b
ABC
Đặt t a b thì
2 2 2 2 2
ABC
4S 2t 13 t 2 13 2t 9t 100t
342
2 2 2
2
50 578 578
30t
3 9 9
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
t
50
9
17 2
Do đó min S
ABC
khi
6
8 50
Suy ra C a; ; a
9 9
t
50
9
. Vì thế
b
a
50
9
22

x
t
8
9
8
z
t
9
Vậy tập hợp các điểm C là đường thẳng có phương trình y t
Câu 47: Đáp án D
Gọi I là tâm của hình vuông thì I chính là hình chiếu của C lên BD
nên CI 4t 2;2 t; t 1
Ta có: I 1 4 t;1 t; 1 t
1
Vì CI BD nên CI. uBD
0 44t 2 2 t
t 1 0 t
2
Do đó:
1 1 3 2
I 1; ; ,
CI
2 2 2
I là trung điểm AC A1;2;3
Tọa độ điểm B 1 4 t;1 t; 1 t
Ta có IB
IC nên
với
1
t
4
1 1 9
t
2 4t t t t t 0
2 2 2
t
1
2 2
2 2
0
Tọa độ điểm B 3;0;0
. Suy ra D 1;1; 1
Câu 48: Đáp án C
M d M 2t 1; t 4;2t
2 2 2 2
MA MB MC t t t
2
9 18 12 21 9 1 21
Dấu “=” xảy ra khi t 1
2 2 2
Vậy max MA MB MC
Câu 49: Đáp án A
khi M 1;3; 2
Gọi I là trung điểm
5 5
AB I ;0; ; AB 5
2 2
M thuộc mặt cầu
2 2
2
5 5 25
S : x y z
2 2 4
23

z
0
2 2
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 5 2 5 25
x y z
2 2 4
Hạ MH AB;
HK Oxy
AB / / Oxy HK d AB,
Oxy không đổi mà MH HK nên S ABM
nhỏ nhất MH
nhỏ nhất M nằm trên đường thẳng là hình chiếu vuông góc của AB lên mặt phẳng
Oxy
Mặt khác S tiếp xúc với mặt phẳng Oxy nên M
Vậy
M
5 ;0;0
2
Câu 50: Đáp án B
Cách 1:
2 2
2
Ta có S : x 1 y z
1
4 có tâm 1;0; 1
P : 2x 2y z 6 0
I , bán kính R 2
có vecto pháp tuyến là n 2; 2;1
Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I 1;0; 1
và vuông góc với P . Suy ra d có phương trình
là
x
12t
y 2t
z
1 t
Tọa độ giao điểm A của d với mặt cầu S có phương trình là:
2 2 2 2 2
2 7 4 1 1 4 5
t t t 4 t . Suy ra A1 ; ; , A2 ; ;
3 3 3 3 3 3 3
13 1
3 3
Dễ dàng tính được d A1, P d A2,
P
Vậy tọa độ điểm A cần tìm là
Cách 2:
7 4 1
A
; ;
3 3 3
2 2
2
Giả sử điểm Ax y z S x y z
0 0 0
,
d A P
; ; 1 1 4
0 0 0 0 0 0
2x 2y z 6
3
24

x y z x y z
2
0
1 2
0 0
1 7 2
0
1 2
0 0
1 7
3 3 3
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2
x y z x y z
2 2
2
0
1 2
0
0
1 9
0
1
0
0
1 9.4 6
13
d A P
3
Suy ra ,
Dấu “=” xảy ra khi
2
x y z
2 2
0
0
0
1 1 4
x0 1 y0 z0
1
2 2 1
Giải hệ phương trình này ta tìm được x
0
7 , y 4 1
0
, z
0
3 3 3
13
d A P khi
3
Vậy max ,
7 4 1
A
; ;
3 3 3
25

ĐỀ SỐ 9
BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: Tìm nghiệm x của phương trình
thỏa mãn điều kiện
3 2 2
2 sin x sin x sin x 1 3 2sin x cos x
1
sin x .
2
A. x k
, k . B. x k
, k . C. x k
, k . D. x.
2
6
Câu 2: Tìm m để phương trình
x ;
2 2 .
A.
7
m 5 . B.
2
2 2
msin x m 2 sin 2x mcos x 5 có hai nghiệm
7
m . C. 7 m
5 . D.
2
2
7
m .
2
Câu 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, ,4 ,5 ,6 lập thành số tự nhiên chẵn có 5 chữ số phân biệt nhỏ
hơn 25000. Tính số các số lập được.
A. 360. B. 370. C. 380. D. 400.
Câu 4: Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các số 0, 1,
2, 3, ,4 ,5 ,6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn đồng
thời chữ số hàng đơn vị bằng tổng các chữ số hàng chục, trăm và nghìn.
A. 1 2 . B. 1 8 . C. 1 40 . D. 2 3 .
Câu 5: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện sau
5
C C A
4
n4 7 3
Cn
1
An
1
15
4 3 2
n1 n1 n2
k k
(Ở đây A , C lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử).
n
n
A. n 7
B. n 8
C. n 9
D. n 10
n
Câu 6: Cho dãy số u xác định bởi
un
1
, n1.
n n n n 2n n n 3n 3n
1
4 3 4 3 2 4 3 2 4 3 2
1

Hãy tính tổng S u1 u2...
u 4 .
2018 1
A. 2016. B. 2017. C. 2018. D. 2019.
Câu 7: Tính giới hạn lim x
2 3000 3 x
3 3000
x
.
A. 0. B. 6. C. . D. .
Câu 8: Cho hàm số
x1 khi x
2sin
x
f x
khi
x 0 .
x
x
2 khi x 0
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số gián đoạn tại điểm x .
B. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 0; x .
C. Hàm số gián đoạn tại điểm x 0 .
D. Hàm số không có điểm gián đoạn.
Câu 9: Cho hàm số
f
x
1
ln
3
x 3
. Tìm tập nghiệm của bất phương trình
f
x
6 sin
2
0 2
x 2
t dt
1
; 2 ;4
2
A. S
1
; 2 ;6
2
C. S
.
. B. 1
S
2
; 2 ;5
.
. D. 1
S
2
; 2 ;3
.
Câu 10: Cho tứ diện S.
ABC có M, N lần lượt là điểm chia SA và SC theo cùng tỉ số k. Mặt
phẳng qua MN cắt ABC theo giao tuyến cắt BC tại P và cắt AB tại Q. Tính tỉ số QB
QA
để MNPQ là hình bình hành.
A. k. B. 2k . C. 1 2 k . D. 3 2 k .
Câu 11: Đồ thị hàm số
ax 4
y
3x
b
đi qua điểm
9 1 13
A1; , B ; . Hỏi mệnh đề nào sau
10 2 17
đây là đúng ?
2

A. ab 11. B. ab 2. C. ab 35. D.
Câu 12: Đồ thị hàm số nào sau đây luôn nằm dưới trục hoành
A.
y x x
4 2
3 1. B.
3 2
y x x x
2 1.
a 1
b 2
.
C.
y x x
4 2
2 2. D.
Câu 13: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
y 3 .
y x x
4 2
4 1.
y
2m1 x1
x
m
có tiệm cận ngang là
A. m 3 . B. m 2 . C. m 1.
Câu 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của m làm cho hàm số
1
đồng biến trên .
3
3 2 2
y x mx mx m 5m
A. 4 . B. 1. C. 0. D. 1.
Câu 15: Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?
A. Hàm số y f x
đạt cực đại tại điểm x x0
B. Đồ thị của một hàm đa thức y f x
luôn cắt trục tung.
D. m.
khi và chỉ khi f x 0 0 và
C. Đồ thị của hàm bậc ba luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm.
2x
2
D. Đồ thị hàm số y đi qua điểm
x 1
Câu 16: Tìm giá trị của m để hàm số
y
M 2
2;
3 .
x
m
x
2
1
đồng biến trong khoảng 0; .
A. m 0 . B. m 1. C. m 1. D. m 2.
f " x 0.
3 2
Câu 17: Đồ thị hàm số y f x x ax bx c có hai điểm cực đại là 2;16
B 2; 16 . Tính ab c.
A. 12 . B. 0. C. 6 . D. 3 .
Câu 18: Cho biết hàm số f x
2
ax b
x 1
2 3
n
1. Tính giá trị của 2 n2017
a b 44 , n
.
0
A và
đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng
A. 1. B. 0. C. 1. D. 2018.
3

Câu 19: Giả sử M,
m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
9 24 68 trên đoạn
1;4 . Khi đó giá trị m M bằng:
3 2
y x x x
A. 7
17 . B. 8
17 . C. 9
10
. D.
17 17 .
Câu 20: Một nông dân muốn rào lại bãi cỏ hình chữ nhật dọc một con sông, cạnh dọc sông
không cần phải rào. Ông có 1000m lưới sắt để rào. Tính diện tích bãi cỏ lớn nhất mô tả ở trên
có thể rào được.
A. 125 m 2 . B. 1250 m 2 . C. 12500 m 2 . D. 125000 m 2 .
x
5.2 8
Câu 21: Gọi a là nghiệm duy nhất của phương trình log2
3 x
x
. Tính giá trị của
2 2
biểu thức
P
log
a .
2 4a
A. P 4 . B. P 8 . C. P 2 . D. P 1.
Câu 22: Cho a, b, n 0 và a 1, ab 1.
loga
n
Tính giá trị của biểu thức T loga
b.
log n
ab
A. T 4 . B. T 3. C. T 2 . D. T 1.
Câu 23: Cho 0 x, y, z 1 và thỏa mãn xyz 1. Tính giá trị của biểu thức
x y z
S log z
log
x
log
y log
x
z log
y
x log
z
y
.
y z x
y z x
A. S 7 . B. S 8. C. S 9 . D. S 3.
Câu 24: Tìm số nghiệm của phương trình 2log cot x log cos
x
3 2
trong đoạn
;2
3
.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.
x2
x
a.9 a 1 3 a 1 0 .
A. a 1. B. a 1. C. a 1. D. a 1.
Câu 26: Cho xy , là các số thực dương thỏa mãn
1
xy 4, x , y 1. Tìm giá trị lớn nhất của
2
biểu thức
3 3
P log 1
x log 1
y 1
.
2 2
4

A.
27
. B. 0. C.
4
Câu 27: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
5
4
. D. 9 .
27
A. ln x 1 x e . B. ln a ln b a b 0 .
C.
2017
log x 0 0 x 1. D. log
1
a log
1
b a b 0 .
2018 2018
Câu 28: Chu kì bán rã của Cacbon 14 C là khoảng 5730 năm. Người ta tìm một mẫu đồ cổ
một lượng Cacbon và xác định nó đã mất 25% lượng Cacbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ
đó có tuổi là bao nhiêu? (lấy gần đúng).
A. 2376 năm. B. 2377 năm. C. 2378 năm. D. 2379 năm.
Câu 29: Giả sử
Tính tích phân
3
1
F x là một họ nguyên hàm của hàm số
sin 2x
dx .
x
f
sin x
x
x
trên khoảng
A. F3 F1
. B. F6 F2
. C. F4 F2
. D. F6 F4
0; .
.
Câu 30: Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động nhanh dần đều, 8 giây sau nó đạt
đến vận tốc 6 m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ
cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. Biết rằng
B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A.
A. 48 m/s. B. 36 m/s. C. 24 m/s. D. 12 m/s.
Câu 31: Cho hàm số
sin
2
x
g x t sin tdt xác định với mọi 0
x
2 2
2 2
A. 2x
sin x
. B. 2x
sin x
sin
2
4
x
x
2 2
2 2
C. x sin x
. D. x sin x
2
4
x
x
2
Câu 32: Tính giá trị của a để đẳng thức cos
a
0
.
x . Tính g x
sin x
.
4
x
sin x
.
4
x
x a dx sin
a xảy ra.
A. a . B. a . C. a 3
. D. a 2
.
n
Câu 33: Tìm tập S tất cả các số nguyên dương n thỏa điều kiện ln dx e 2
.
x
e
1

A. S 1
. B. S 2
. C. 1;2
S . D. S .
2
Câu 34: Xét hình chắn phía parabol P : y x , phía trên đường thẳng đi qua điểm A 1;4
và hệ số góc k. Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất.
A. k 2. B. k 1. C. k 1. D. k 0 .
Câu 35: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền
2
P : y x 6x
5
Ox : y 0
khi quay quanh
trục Oy.
A. 24 . B. 36 . C. 48 . D. 64 .
Câu 36: Gọi D là tập hợp các số phức z mà z i
là đúng?
A. D là hình tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1.
B. D là hình tròn tâm tại điểm 1;0 , bán kính bằng 1.
C. D là hình tròn tâm tại điểm 0;1 , bán kính bằng 1.
D. D là hình tròn tâm tại điểm 1;1 , bán kính bằng 1.
5 5
Câu 37: Đặt z 1 i 1
i
1 1. Mệnh đề nào trong các mệnh sau
. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng?
A. z là số ảo. B. z x yi với xy , 0.
C. z là số thực. D. z z .
Câu 38: Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức
2 3 20
z 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i .
A. 1. B. 2. C.
2
Câu 39: Tìm m để phương trình
z z thỏa mãn z1 z2 10 .
1,
2
A. 2
20
2 . D.
10
2 .
2z 2 m 1 z 2m
1 0 có 2 nghiệm phân biệt
m . B. m2;3 2 5. C. 2;3 2 5
m . D. m 3 2 5 .
Câu 40: Cho hình chóp S.
ABCD có đáy ABCD là hình thoi với cạnh a 3, BAD 120 và
cạnh bên SA ABCD
. Biết số đo của góc giữa hai mặt phẳng
60 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BD và SC.
SBC và ABCD bằng
6

a 29
A. d . B.
26
3a
39
d . C.
26
3a
39
d . D.
13
a 16
d .
6
Câu 41: Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên và bằng a. Tính diện tích S
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A.
2
3
a
S . B.
2
2
a
S . C.
2
S
2
2
a . D.
S
2
a .
Câu 42: Một hình trụ có bán kính đáy R 2 và thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính
diện tích xung quanh của hình trụ.
A. S . B. S 2
. C. S 3
. D. S 4
.
Câu 43: Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua đỉnh là một tam giác vuông cân. Mệnh đề
nào trong các mệnh đề sau là sai?
A. Đường cao bằng bán kính đáy. B. Đường sinh hợp với đáy góc 45.
C. Đường sinh hợp với trục góc 45. D. Hai đường sinh tùy ý thì vuông góc nhau.
Câu 44: Cho tứ diện ABCD có DA ABC , DA 1 và ABC là tam giác đều cạnh bằng 1.
Trên ba cạnh DA, DB, DC lấy 3 điểm M, N, P mà
Tính thể tích khối tứ diện MNPD.
A.
3
V . B.
12
DM 1 1 3
, DN ,
DP .
DA 2 DB 3 DC 4
2
V . C.
12
3
V . D.
96
2
V .
96
Câu 45: Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm 240cm , người ta làm các thùng
đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
* Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
* Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt
xung quanh của một thùng.
Kí hiệu V
1
là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V
2
là tổng thể tích của hai thùng gò
V1
được theo cách 2. Tính tỉ số
V .
2
7

V1
1
A.
V 2
. B. V1
1
V . C. V1
2
V . D. V1
2
V .
2
2
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm M 0; 1;1
và có
vectơ chỉ phương u 1;2;0
. Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và có vectơ pháp
2
2
tuyến là n a; b;
c
với
2 2 2
a b c 0 . Cho biết kết quả nào sau đây đúng?
A. a 2b. B. a 3b. C. a 3b. D. a 2b.
Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M 3;1;1 , N 4;8; 3 , P 2;9; 7
8
và mặt
phẳng Q : x 2y z 6 0 . Đường thẳng d qua G vuông góc với Q . Tìm giao điểm K
của mặt phẳng Q và đường thẳng d. Biết G là trọng tâm
MNP .
A. K 1;2;1
. B. K 1; 2; 1
. C. K 1; 2; 1
. D. 1;2; 1
Câu 48: Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu
tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ.
2 2 2
A. x y z
3 3 3 27 . B.
2 2 2
C. x y z
3 3 3 9 . D.
K .
S đi qua điểm 1;4; 1
2 2 2
x y z x y z
M và
3 3 3 9 0 .
2 2 2
x y z x y z
6 6 6 18 0 .
Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 1 0 và điểm 1; 1;2
A .
Gọi là đường thẳng đi qua A và vuông góc với P . Tính bán kính của mặt cầu S có
tâm thuộc đường thẳng , đi qua A và tiếp xúc với P .

A.
3
R . B.
2
3
R . C.
3
3
R . D.
4
Câu 50: Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của hai mặt cầu sau
2 2 2
S1 : x y z 4x 8y 2z
4 0 .
2 2 2
S2 : x y z 2x 4y 4z
5 0
3
R .
5
A. Ngoài nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.
9

Đáp án
1-A 2-C 3-A 4-C 5-D 6-B 7-C 8-A 9-D 10-A
11-C 12-C 13-B 14-B 15-A 16-A 17-A 18-C 19-B 20-D
21-B 22-D 23-C 24-A 25-B 26-A 27-D 28-C 29-B 30-C
31-A 32-D 33-C 34-B 35-D 36-D 37-C 38-A 39-B 40-B
41-C 42-D 43-D 44-C 45-C 46-D 47-D 48-C 49-A 50-B
Câu 1: Đáp án A
Phương trình đã cho tương đương với
Do điều kiện
Câu 2: Đáp án C
LỜI GIẢI CHI TIẾT
1
sin x nên sin x 0 x k
, k .
2
Phương trình đã cho tương đương với
sin x 0
x x . sin x
2
3 2
2sin sin 0 1
m 5sin 2 x 2m 2sin x cos x m 5cos 2 x 0 *
.
• Nếu m 5 thì phương trình (*) thành 6sin xcos x 0 .
Do cos x
0, x ; nên sin x 0 x 0 ;
2 2 2 2 .
• Nếu m 5 thì cos x 0. Chia cả hai vế của (*) cho
2
m 5 tan x 2 m 2 tan x m 5 0
2
cos x ta được
Đặt t tan x.
t thì phương trình có một giá trị duy nhất x ;
2 2
x ;
2 2 .
7
Khi đó
6m 21 0 m .
2
mà t tan x nên có hai giá trị
Vậy 7 m
5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
Câu 3: Đáp án A
10

Gọi số cần lập là A a1a2a3a 4a5
với 1a1
2.
+ Trường hợp 1: a1 1.
Có 4 cách chọn a
5
và
+ Trường hợp 2: a1 2, a2
lẻ.
Có 2 cách chọn a
2
, 3 cách chọn a
5
và
+ Trường hợp 3: a1 2, a2
chẵn.
Có 2 cách chọn a
2
, 2 cách chọn a
5
và
Vậy có 240 72 48 360 số,
Câu 4: Đáp án C
3
A
5
cách chọn các chữ số còn lại nên có
4. A 240 số.
2
A
4
cách chọn các chữ số còn lại nên có
2
A
4
cách chọn các chữ số còn lại nên có
3
5
2.3. A 72 số.
2
4
2.2. A 48 số.
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau đôi một được chọn từ các chữ số 0; 1; 2; 3;4;5;6 là
abcd .
a có 6 cách chọn; các số còn lại có
Do đó n 720
.
3
A
6
cách chọn. Suy ra số phần tử của S là
3
6
2
4
6. A 720
Gọi A là biến cố: “số được chọn là số chẵn đồng thời chữ số hàng đơn vị bằng tổng các chữ
số hàng chục, trăm và nghìn”.
Số được chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài nếu
* Trường hợp 1: Số có dạng abc 4 với 4
0;2;4;6 d4;6
d
d a b c d a b c .
a b c suy ra tập ; ;
abc là 0;1;3 . Vì a,b,c
đôi một khác nhau nên có 2 cách chọn a; 2 cách chọn b; 1 cách chọn c. Do đó số các số thuộc
dạng này là 2.2.1 4 .
* Trường hợp 2: Số có dạng abc 6 với 6
các tập 0;1;5 , 0;2;4 , 1;2;3 .
+ Nếu ; ;
trường hợp trên)
+ Nếu ; ;
abc là tập
a b c suy ra tập ; ;
0;1;5 hoặc
abc là tập 1;2;3 thì có P
3
3! = 6 số.
Do đó số các số thuộc dạng này là 4 4 6 14 .
Qua hai trường hợp trên, ta suy ra n A 14 4 18 .
abc có thể là một trong
0;2;4 thì mỗi trường hợp có 4 số (tương tự
11

Vậy xác suất cần tìm là P A
Câu 5: Đáp án D
Điều kiện: n1 4 n 5
Hệ điều kiện ban đầu tương đương:
n A
n
18 1
720 40
n n n n n n n
1 2 3 4 1 2 3 5
4.3.2.1 3.2.1 4
1 1 2 3 7
n
1 nn
1
5.4.3.2.1 15
n nn n n
2
n 9n
22 0
n 5n 50 0 n 10
n
5
2
Vậy n 10
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 6: Đáp án B
Ta có
u n
4 3 4 3 2 4 3 2 4 3 2
1
n n n n 2n n n 3n 3n
1
4 4 4 4
n n n n n n n n
1
1 1 1 1
1
4 4 1 1 4 4 1
n n n n n n
1 n1
.
4 4
n
2n
3
4 4
n n 1 n n 1 n 1 n n 1
n
n
Khi đó
4 4
n n n
1 , 1
S u u u
4 4 4 4
4 4 4 4
1 2
.... 4 2 1 3 2 ... 2018 2018 1
2018 1
4 4
2018 1 2017
Câu 7: Đáp án C
Ta có lim x 2 3000 3 x
3 3000
x
Câu 8: Đáp án A
12

Tại điểm
Ta có
x hàm số không xác định nên hàm số gián đoạn.
2sin
x
lim f x
lim 2
x
x0 x0
lim f x lim x 2 2 f 0 .
x0 x0
Do lim lim 0
f x f x f nên hàm số liên tục tại điểm x 0 .
x0 x0
Vậy hàm số chỉ gián đoạn tại điểm
Câu 9: Đáp án D
1
Điều kiện
3
3
x
0 x 3
x .
1
f x
ln ln1 3ln 3 x 3ln 3
x
3
3
x
Ta có
1 3
f x
3 3 x
3 3x
x
2 t t
sin dt dt t sin t sin 0 sin 0 3
6 6 1 cos 3 3
2
2
0 0
Khi đó
2 t
sin dt 3 3 2x
1
2
6
2
0 x
0
f x 3x x2 x3 x2
1 .
x 2
3
3; 2
x
x x x 3; x 2 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Câu 10: Đáp án A
0
1
S ; 2 ;3 .
2
Để MNPQ là hình bình hành thì MN // PQ và MQ//
NP .
QB MS
Khi đó MQ// SB k
QA MA
Câu 11: Đáp án C
Do đồ thị hàm số
ax 4
y
3x
b đi qua hai điểm A 9 1 13
1; , ;
10 B 2 17
nên
13

9 a 4
10 3
b
1 a
5
a 4 .
13 2 b
7
17
3
b
2
Suy ra ab 35.
Câu 12: Đáp án C
* Hàm số bậc ba bất kì luôn nhận được mọi giá trị từ đến nên ta có thể loại ngay
hàm này, tức là đáp án (B) sai.
* Trong ba đáp án còn lại, ta loại ngay đáp án (A) vì hàm bậc bốn có hệ số cao nhất
nên hàm này có thể nhận giá trị .
* Trong hai đáp án (C) và (D) ta cần làm sáng tỏ:
4 2 2
2
C y x 2x 2 x 1 1 0, x
4 4 2 1 5 2 2 2
D y x x x . Cho x 0 thì y 10
nên đáp án này cũng bị loại.
Câu 13: Đáp án B
Do lim y2m 1
nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y 2m 1.
x
Khi đó 2m1 3 m 2.
Câu 14: Đáp án B
Hàm số đồng biến trên
y
x 2mx m 0, x m m 0 1 m 0.
2 2
Suy ra giá trị nhỏ nhất của m là 1.
Câu 15: Đáp án A
Hàm số
số. Nhưng
0
y f x thỏa mãn f x và
0
0
f " x
0
0 thì x
0
x x là điểm cực đại của hàm số thì chưa chắc
y f x x đạt cực đại tại 0
Lấy ví dụ
4
Câu 16: Đáp án A
* Tập xác định: D .
*
y
mx
1
.
2 2
x 1 x 1
x nhưng
14
4
x là 1
x là điểm cực đại của hàm
f " x 0.
0
f " 0 0 .

* Hàm số đồng biến trong khoảng 0; khi và chỉ khi
y 0, x 0; mx 1 0, x 0; .
- Nếu m 0 thì 1 0 luôn đúng.
- Nếu m 0 thì
- Nếu m 0 thì
Tóm lại, m 0 .
Câu 17: Đáp án A
1
mx
1 0 x
m (loại).
1
mx
1 0 x
m . Khi đó 1 0 m 0.
m
Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại là A, B nên
f 2 0 12 4a b 0 .
Do A thuộc đồ thị hàm số nên 16 8 4a 2b c .
Giải hệ gồm ba phương trình trên ta thu được a c 0; b 12
.
Suy ra a b c 12.
Câu 18: Đáp án C
Tập xác định:
Ta có
D .
ax
b
4,
2
4, x
f x x x
1
max f x
4
x
0 : 0
4
0
x f x ax b
4
2
x0
1
2 2
4 x ax 4 b 0, x
a 16b 64 0
2
2
4x0 ax0
4 b 0
a 16b 64 0
2
a b
Đối với
16 64 0 1
2
f x làm tương tự, ta đi đến a 4b
4 0 2
min 1
x
Giải hệ gồm (1) và (2) ta được a 4, b 3 .
n n 2017 n n 1 2017 là số lẻ
2
Do
Câu 19: Đáp án B
Xét hàm số 3 9 2 24 68, 1;4
f x x x x x .
f 2 0 12 4a b 0 và
2 3
n
n nên 2 n2017
a b 44 1.
15

2 x
2
f x 3x 18x
24 0 .
x
4
f 1 102; f 2 48; f 4 52
.
Ta có
Do đó
f x . Suy ra
102 48
48 f x 102
.
Vậy m48, M 102
hay
Câu 20: Đáp án D
m
M
8
17
Gọi x là chiều rộng bãi cỏ thì chiều dài bãi cỏ sẽ là 1000 2x .
Khi đó diện tích bãi cỏ là:
2
Ta có S x 1000 4x 0 x 250 .
2
Vậy max 250 125000
Câu 21: Đáp án B
S S m .
8
Điều kiện: x log2
. 5
Phương trình đã cho tương đương với
.
S x 1000 2x 1000x 2x .
x
x
2 4
5.2 8
3x 2x x
2 5.2 16.2 16 0
4 x 2 .
x
2 2 x
2 0
5
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất a 2.
Thay vào biểu thức P ta thu được P 8 .
Câu 22: Đáp án D
loga
ab
Ta có T log
a
n. loga b loga ab loga b loga
a 1.
log n
Câu 23: Đáp án C
0, 1
a a ta có
a
log xyz 0 log x log y log z 0 .
a a a a
Đặt m log x, n log y, p log z m n p 0 .
a a a
Theo tính chất của lôgarit, ta viết lại biểu thức S như sau:
m n n p p m p m n
S
p m n m n n p p m .
16

Ta có
m n n p p m mn m n np n p pm p m
p m n mnp
m n n p p m
mnp
p m n p n p p m m m n p m n m n n p
m n n p p m m n n p p m
3 3 3
mn m n np n p pm p m m n p 3mnp 6mnp
m nn p p m
6
9
mn p np m pm n mnp mnp
m n n p p m m n n p p m .
Vậy S 9
Câu 24: Đáp án A
Điều kiện:
cos x 0
.
cot x 0
Đặt 2log cot log cos
x x t .
3 2
Ta có
t
cot
2
3 ,cos
t 2
2 cot
t 2
3 ,cos
t
4
x x x x .
Mặt khác,
cos
k
nên
1
cos
2
2
cot ,
2
t
t 4 t t t t 4
3 3 12 4 4 1 1
t
1 4 3
x
Đặt t 3 0. Bất phương trình đã cho trở thành
17
t
Để ý rằng t 1
là một nghiệm của phương trình (1). Ta sẽ chứng minh t 1
là
nghiệm duy nhất của phương trình (1). Thật vậy, vế trái của (1) là một hàm đồng biến theo t
và vế phải là hàm hằng nên t 1
là nghiệm duy nhất.
Với
1
cos x x k2 , k .
2 3
So điều kiện, chọn x k2 , k .
3
Mà x
;2 3
nên chỉ có
Câu 25: Đáp án B
x .
3

2
at a t a a
9 1 1 0
t
2
9t
1
.
9t1
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi
a max f t với f t
2
t
0;
9t
1
.
t 9t1
Ta có
2
9t
2
f t
0, t 0 f t
2
2
t 9t1
Suy ra
f t f 0 1.
là hàm nghịch biến trên 0; .
9t
1
Do đó 1, t
0
2
t 9t1
Câu 26: Đáp án A
nên các giá trị của a cần tìm là a 1.
4
Thay y vào biểu thức P và biến đổi ta thu được
x
2
P 9 log 27log x 27 .
2 2
Do y 1 nên x 4 . Suy ra 1 4
2 x . Đặt t log2
x, khi đó 1 t 2.
Xét hàm số 9 2 27 27, 1;2
f t t t t .
3
f t 18t 27; f t 0 t .
2
Ta có
3 27
f 1 63; f 2
9;
f
.
2
4
Vậy
27
max P x 2 2, y 2 .
4
Câu 27: Đáp án D
Mệnh đề D sai bởi vì y log
1
x là hàm nghịch biến trong khoảng 0; nên
2018
log a log b 0 a b .
1 1
2018 2018
Câu 28: Đáp án C
Giả sử tại thời điểm ban đầu mẫu đồ cổ có chứa khối lươgnj Cacbon là m
0
và tại thời điểm t
(tính từ thời điểm ban đầu), khối lượng đó là
mt thì ta có
18

ln 2
ln 2
t
t
5730
5730
0 0 0
m t m . e 75% m m t 2378 (năm).
Câu 29: Đáp án B
Đặt t 2x dt 2dx .
Đổi cận: x 1 t 2; x 3 t 6 .
sin x
sin u
F x
dx F u
du
x
u
3 3 3 6
sin 2x sin 2x sin 2x sin u
dx 2 dx dx du F 6
F 2
.
x 2x x u
1 1 1 2
Câu 30: Đáp án C
Gọi gia tốc trong chuyển động nhanh dần đều của chất điểm A là a thì vận tốc của A là
A
v t at . Tại thời điểm 8
3
v a a m s .
4
2
t ta có
A 8 .8 6 /
Quãng đường A chuyển động được trong 8 giây đầu là
8
0
8
2
S 3 3
1
24
4 t dt 8
t m .
Thời gian A chuyển động đều cho đến lúc gặp B là 12 giây.
Quãng đường A đi được trong chuyển động đều là S2 6.12 72m.
Quãng đường A đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp B là
S S1 S2 24 72 96m .
0
Gọi gia tốc của B là b thì vận tốc của B là
B
v t bt .
Quãng đường B đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp A là 96 m.
Ta có
8 2
8
bt
2
S btdt 32b 96 b 3 m / s .
2
0 0
Vận tốc của B tại thời điểm gặp A là
Câu 31: Đáp án A
Đặt sin
v 8 3.8 24 m/s .
B
2
f t t t . Theo định nghĩa tích phân ta có
Khi đó
x
19
g x F x F x .
F
f x sin x
g x 2xF x 2xf x 2x sin x
Câu 32: Đáp án D
2 2 2 2
4
2 x 2 x 2 x
.

a
4
x a 2 dx x a 2 d x a 2 x a 2 a a 2 a
2
cos cos sin sin sin
0 0
Với 2
a
a ta có sin 2 2 sin 2
Câu 33: Đáp án C
.
e e e
n
e
I ln dx ln n ln xdx x ln n ln
1 xdx
x
1 1 1
e
e 1 ln n xln x x e 1 ln n 1
Với n 1
ta có I 1
e 2.
Với 2
n ta có
Câu 34: Đáp án B
1
I eln 2 ln 2 1 e 1 ln 2 1 e 11 e 2 .
Đường thẳng d đi qua A 1;4
với hệ số góc k có phương trình
y k x 1
4
Phương trình hoành độ giao điểm (P) và d là:
x 2 k x 1 4 x 2 kx k 4 0 .
k 4 k 4 k 4k 16 k 2 12 0, k .
2 2
Ta có 2
Suy ra phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt và giả sử rằng hai nghiệm đó x1 x
2.
x2
1
S
k x x dx k k
6
x1
2 2
1 4 ... 4 16
Vậy min S 4 3 khi và chỉ khi k 2.
Câu 35: Đáp án D
Vẽ đồ thị hàm số
2
y x 6x 5.
1
2 12 4 3
2
3
6 k
P có tọa độ đỉnh là B 3; 4
, cắt trục hoành tại 1;0 , 5;0
20
3
0
A C .
AB có phương trình x y 4 3; BC có phương trình x y 4
3.
0 0
2 2
V y 4 3 dy y 4 3 dy 64 .
Oy
Câu 36: Đáp án D
4 4

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Từ
điểm 1;1 (là điểm biểu diễn số phức 1 i ) và bán kính R 1.
Câu 37: Đáp án C
5 5
k k k k k
5 5
k0 k0
5 5
Ta có 1 . ; 1 1
1 1
z 1 i 1
suy ra M nằm trên hình tròn tâm tại
i C i i C i . Suy ra trong biểu thức
5 5
i i chỉ chứa 0 ; 2 ;
4
Câu 38: Đáp án A
Ta có
5 5
i i i nên 1 1
i i .
2
i
i i
21 21
1 i 1 1 1
1 1 1
z
1i 1
i i
Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 1.
Câu 39: Đáp án B
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt z1, z
2
0.
Trường hợp 1: 0 .
10
10 10
2 2 1
i.
Ta có:
z z 10 z z 2 z z 10
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
z z 2z z 2 z z 10 1 m 2m 1 2m
1 10
1 2 1 2 1 2
Giải tìm được m 32 5
Trường hợp 2: 0 .
2 2
Ta có: 2
z1 z2 10 1 m m 6m 1 10 m 2 .
Vậy m 3
2 5, m 2 là giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 40: Đáp án B
Gọi O AC BD .
BD
AC
BD
SC
Ta có BD
SAC
tại O.
Kẻ OI SC OI là đoạn vuông góc chung của BD và SC.
Lại có ICO
∽ ACS
nên suy ra
3 39
OI
a .
26
3 39
Vậy d
a .
26
21

Câu 41: Đáp án C
Gọi O là tâm hình vuông của mặt đáy. Khi đó O cũng là tâm của mặt cầu.
Ta có
2
2 2 2 a 2 a
R SO a
2
.
2
2
S 4 R 2 a
2 2
.
Câu 42: Đáp án D
Ta có S 2 Rl 2 . 2. 2 4 .
Câu 43: Đáp án D
Sai vì thiết diện qua trục là tam giác vuông cân nghĩa là hai đường sinh tạo thành một mặt
phẳng chứa SO mới vuông góc với nhau, còn hai đường sinh bất kì thì chưa chắc vuông góc.
Câu 44: Đáp án C
1 3 3
Ta có V
ABCD
. .1 .
3 4 12
VDMNP
DM DN DP 1 1 3 1
1 3 3
. . . . . Do đó V
DMNP
. .
V DA DB DC 2 3 4 8
8 12 96
DABC
Câu 45: Đáp án C
R
Ban đầu bán kính đáy là R, sau khi cắt và gò ta được 2 khối trụ có bán kính đáy là . Đường 2
cao của các khối trụ không thay đổi.
2
Ta có:
2 2
R
R h
V1 Sd. h . R . h; V2 2 Sd1. h 2 . h .
2
2
V1
Khi đó:
V
2
2
Câu 46: Đáp án D
Đường thẳng d đi qua M 0; 1;1
và có vectơ chỉ phương là 1;2;0
Do
d P nên u. n 0 a 2b 0 a 2b .
Câu 47: Đáp án D
MNP có trọng tâm 3;6; 3
G .
Đường thẳng d qua G và vuông góc với Q có phương trình là:
u .
22

x
3
t
y 6 2 t ; t
z
3 t
.
K d Q tọa độ điểm K ứng với tham số t là nghiệm của phương trình:
3 t 2 6 2t 3 t 6 0 t 2 K 1;2; 1
.
Câu 48: Đáp án C
Phương trình mặt cầu ở đáp án (C) có tâm I 3;3; 3
và bán kính R 3 nên
R xI yI z
I
.
Do đó S tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ.
Hơn nữa M thỏa mãn phương trình
Câu 49: Đáp án A
S nên
M S .
Do vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương 1; 1;1
u n .
p
Phương trình đường thẳng qua 1; 1;2
Gọi tâm 1 , 1 , 2
A là:
I I t t t . Lúc đó
x
1t
y 1 t.
z
2 t
Vậy
2
3
3t
1
R IA d I, P 3t t
3 2
3
R .
2
Câu 50: Đáp án B
S có tâm
1
S có tâm
2
II
1 2
46 .
I
1
2; 4;1 và bán kính R
1
5 .
I
2
1;2;2 và bán kính R
2
2 .
Để ý rằng
1
2
1 2
1
2
R R I I R R cho nên S và
1
S cắt nhau.
2
23

ĐỀ SỐ 10
BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: Tìm số nghiệm của phương trình cos x
1 .
x 5
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 2: Tìm các họ nghiệm của phương trình
6
3 3
sin .sin 3 cos cos3 1
x x x x
.
8
tan x
.tan
x
6 3
A. x k k
. B. x k k
6
6
.
C. x k2 k
. D. x k2
k
6
.
Câu 3: Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau và 3
viên bi vàng có bán kính khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu.
A. 42913. B. 42912. C. 429000. D. 42910.
Câu 4: Cho tập X 1,2,3,4,5
. Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ
số đôi một khác nhau thuộc tập X. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5.
A. 12
12
. B.
25 23
Câu 5: Tìm
21
21
. C. . D.
25 23 .
*
1 2 3 n n 2n n
n sao cho
n n n n
C 3C 7 C ... 2 1 C 3 2 6480 .
A. n 4 . B. n 5. C. n 6 . D. n 7 .
Câu 6: Cho dãy số
Tìm lim 2018 3
n
n u .
u
u
1
2
u xác định bởi 2 .... 1
n
n
u u n u
2
n n 1
1 2 n1
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 7: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
.
A.
lim
x
x x x
3
x 1
15 3
. B.
4
x 3
lim 0
3 .
x x 5
1

C.
8
x x 1
lim 0
3 . D.
x x 1
2
x x
lim 0.
x
x
x
Câu 8: Cho hàm số
2
x n x
khi 1
f x
2mx 3 khi x 1
m
3 khi x 1
liên tục tại điểm x 1.
2018 m
1
Tính mn
n
2019
:
A. 0. B. 1. C. 1. D. 2.
Câu 9: Tính đạo hàm cấp n
1
n của hàm số sin
y ax b .
A.
n
n
y a sin a x b n . B.
2
n
n
y a sin ax b n .
2
n
n n
C. y a sin ax b n . D.
2
n
n n
y a sin a x b n .
2
Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có đỉnh A 3; 7
, trực tâm H 3; 1
tròn ngoại tiếp I 2;0
. Xác định tung độ đỉnh C.
A. y 1. B. y 3 . C. y 3
. D. y 1.
C
C
C
C
, tâm đường
Câu 11: Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số
3 2
y 2x 9x 12x 4 .
Giá trị của m để phương trình
3 2
2 x 9x 12
x m có 6 nghiệm phân
biệt là:
A. 0m 1
B. 4m
5
C. 0m 4
D. 1m
5
Câu 12: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số
2
2
y x 4 x .
A. 2; 2 , 2; 2
. B. 2; 2 , 2;2
.
C. 2; 2 , 2;2
. D. 2; 2 , 2;2
Câu 13: Tìm giá trị của m để hàm số
khoảng 0; .
.
y 4x 3 m 3 x 2 mx 4m 3 m 2
đồng biến trên
A. m 0 . B. m 0 . C. m 0 . D. m 0.

Câu 14: Tìm giá trị của m theo a,b để hàm số
2 2
y asin x bcos x mx a 2b luôn đồng biến trên .
A.
2 2
m a b . B.
2 2
m a b . C.
2 2
m a b . D.
2 2
m a b .
Câu 15: Đồ thị hàm số
3 2
là ; , ;
x1 y1 x2 y
2
. Tính
1 2
2 1
f x x 9x 24x 4 có điểm cực tiểu và điểm cực đại lần lượt
x y x y .
A. 56 . B. 56. C. 136. D. 136.
Câu 16: Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số
thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
A.
m
1
m
51
2
. B.
m
1
51. C.
m
2
4 2
y x 2mx m 1
có ba điểm cực trị tạo
m
1
m
51
2
. D.
m
1
51.
m
2
Câu 17: Gọi M,
m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
6 6
1sin xcos
x
y . Tính giá trị của
4 4
5M 6m 12017
.
1 sin x cos x
A. 0. B. 2017. C. 1. D. 1.
Câu 18: Thể tích V của 1kg nước ở nhiệt độ T 0 T 30
được cho bởi công thức
V 999,87 0,06426T 0,0085043T 2 0,0000679
T 3 cm 3 .
Ở nhiệt độ nào nước có khối lượng riêng lớn nhất?
A. T 3,9665
C . B. T 4,9665C . C. T 5,9665C . D. 6,9665
T C .
Câu 19: Cho hàm số
2
y x x x 1 . Mệnh đề trong các mệnh đề sau là đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
2x
3
x 3
Câu 20: Cho hàm số y C
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc
(C). Biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại J và K sao cho đường tròn ngoại
tiếp tam giác IJK có diện tích lớn nhất.
3

A. M 1;1 , M 3;3
. B.
3
1;1 , 0;
2
C. M M . D.
Câu 21: Cho hàm số
Hãy tính tổng
x
4
f x .
x
4 2
S 1 2 2018
f ...
2019 f 2017 f 2019
.
M 3 5
0; , 4;
2 M 2
.
5
M 3;3 , M 4; .
2
A. 2018. B. 2019. C. 1009. D. 4037.
Câu 22: Xét các mệnh đề sau:
(I). “a là cạnh huyền của một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là b,c khi và chỉ
log a b log a b 2 ”.
khi
c
(II). “Nếu 0 x
2
Lựa chọn phương án đúng.
c
thì
log 1 cos x log 1 cos x 2 ”.
sin x
sin x
A. Chỉ có (I) đúng. B. Chỉ có (II) đúng. C. (I) và (II) đều sai. D. (I) và (II) đều đúng.
Câu 23: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
x 4x6 2 2
2 1 1
2 x 2 4 x 6 x 2 4 x
6
a a a với 0a 1.
A. S . B.
Câu 24: Cho log 4
a
S . C. S 0;1
. D. 1;1
u và loga
3 v . Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?
2
A. log 12 2
2
a
u v . B. log 12 2
Câu 25: Cho hàm số y
x .
x
a
u v . C.
. TÍnh đạo hàm y’ của hàm số.
2 2 2
log
a
12 uv . D.
x1
A. y x . x
ln
B. x 1
y . x x ln
x 1
x 1
C. y . x x ln
D. y . x x
ln
Câu 26: Tìm giá trị của m để bất phương trình
2 2 2
sin x cos x sin x
2 3 m .3 có nghiệm.
S .
2
log
a
12
A. m 4. B. m 4. C. m 1. D. m 1.
4
Câu 27: Cho biểu thức log log log 3 0 , 1
sau đây là đúng nhất?
a a b
u
2
2
v .
M a b a b b a b . Mệnh đề nào
4

M
M 1
M
A. 2 log
M
16 . B. 2 log
1
. C. 2 log
M
15 . D. M 4
16
M
Câu 28: Để đo độ phóng xạ của một chất phóng xạ , người ta dùng một máy đếm xung.
Khi chất này phóng xạ ra các hạt
, các hạt này đập vào máy và khi đó, trong máy xuất
hiện một xung điện và bộ đếm tăng thêm 1 đơn vị. Ban đầu máy đếm được 960 xung trong
vòng một phút nhưng sau đó 3 giờ chỉ còn 120 xung trong một phút (với cùng điều kiện). Hỏi
chu kì bán rã của chất này là bao nhiêu giờ?
A. 0,5 giờ. B. 1 giờ. C. 1,5 giờ. D. 2 giờ.
Câu 29: Tính tích phân
A.
I
I
a
2
2
1
a
. B.
2
0
x
dx theo a.
a
x
I
2
1
a
. C.
2
Câu 30: Tính tích phân hai nghiệm của phương trình
5
2 a
I . D.
4
x
1
e
1
ln t 1 dt .
t 2
1
A. 1. B.
2
e . C. 2e . D. 4
2
e .
Câu 31: Từ đẳng thức
hay không ?
1
t
3 2
4cos 2sin
5
A. Không tìm được hàm số y f x .
6
y f x x .
5
B. Tìm được hàm số
C. Tìm được hàm số y f x
6
u v C f t dt
5
x .
D. Tìm được hàm số y f x khác với kết quả ở (B), (C).
Câu 32: Cho hàm số
, ;
f x f a b x x a b .
Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
b
y f x liên tục trên đoạn ;
b
có tìm được hàm số
2 a
I .
4
y f x
ab và thỏa mãn điều kiện
A. xf xdx a b f xdx . B.
a
a
b
a
xf x dx a b f x dx .
b
a

a
b
2
b
C. xf xdx f xdx . D.
a
a
Câu 33: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
A. 2
1 3
. B. 2
1 3
. C. 3
1 2
b
a
a
b
xf x dx
2
f x dx.
y x 1 , x sin xy và 0
y 1.
. D. 3
1 2
Câu 34: Một ống hình trụ rỗng đường kính a được đặt xuyên qua tâm hình cầu bán kính a.
Tìm thể tích phần còn lại của hình cầu.
3 3
A.
2 a
3
2 3
. B. 3a . C.
3 a
3
. D. 2a .
Câu 35: Gọi
ht (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng
1 3
ht t 8
và lúc đầu bồn cầu không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước
5
được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A. 1,66 cm. B. 2,66 cm. C. 3,66 cm. D. 4,66 cm.
Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn
z
1
3i
3
1
i
. Tìm mô đun của số phức z iz .
A. 8. B. 8 . C. 8 2. D. 16.
Câu 37: Cho số phức z a bi thỏa z 2iz 3
3i . Tính giá trị của biểu thức
2016 2017
P a b .
b
a
.
A. 0. B. 2. C.
Câu 38: Cho số phức
A. z 1.
z
3
3 3
2017
5
4032 2017
z . Hỏi khẳng định nào sau đây đúng.
B. z có thể nhận giá trị là số thực hoặc thuần ảo.
C. Phần thực của z không lớn hơn 1.
D. Đáp án B và C đều đúng.
D.
3 3
2017
5
4032 2017
Câu 39: Cho z1,
z
2
là các số phức thỏa mãn điều kiện
Tính P z1z 2
.
6
z1 2i 2 iz11
z2 2i 2 iz2
1
.
z1z2
1

A. 5 . B. 7 . C. 15 . D. 17 .
Câu 40: Cho tứ diện S.ABC. Trên cạnh SC lấy điểm M sao cho MS 2MC . Gọi N là trung
điểm cạnh SB. Tính tỉ số thể tích hai tứ diện SAMN và SACB.
A. 1 3 . B. 1 2 . C. 1 6 . D. 2 3 .
Câu 41: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy 2a, cạnh bên hợp với cạnh đáy góc
45. Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
A.
2
4a . B.
2
3a . C.
2
2a . D.
2
a .
Câu 42: Cho lăng trụ
ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; cạnh bên trùng với
đáy một góc sao cho A’ có hình chiếu xuống mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của
ABC . Tính thể tích khối lăng trụ.
A.
3
a
tan . B.
4
3
a
cot . C.
4
3
a
tan . D.
12
3
a
cot .
12
Câu 43: Một hình nón tròn xoay có bán kính bằng chiều cao và bằng 1. Gọi O là tâm của
đường tròn đáy. Xét thiết diện qua đỉnh S hình nón là tam giác đều SAB. Tính khoảng cách
từ O đến mặt phẳng SAB .
A. 3 . B.
3
3
. C. 2 3. D.
2 3
3 .
Câu 44: Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB 3, BC 4
. Hai mặt
bên SAB và SAC cùng vuông góc với ABC và SC hợp với ABC góc 45. Tính thể
tích hình cầu ngoại tiếp S.ABC.
A. V
5
2
. B. V
3
25
2
3
. C. V
125
3
3
. D. V
125
2
.
3
Câu 45: Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai
bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của
một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu 0x 2 .
Tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình nón.
7

A.
2 3
27
3
R . B.
2
27 R
3
. C. 3
2 3
R D.
9
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
điểm 2;1;0 , 2;3;2
thẳng d.
4 3
27
3
R .
x 1
y z
d : và hai
2 1 2
A B . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường
2 2 2
A. x 1 y 1 z 2
17
B. 2 2 2
x y z
1 17
2 2 2
C. x 3 y 1 z 2
17
D. x y z
2 2 2
5 2 4 17
Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song
với mặt phẳng Q : 4x 3y 12z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
S : x y z 2x 4y 6z 2 0 .
A. 4x 3y 12z 78 0;4x 3y 12z
26 0
B. 4x 3y 12z 78 0;4x 3y 12z
26 0
C. 4x 3y 12z 78 0;4x 3y 12z
26 0
D. 4x 3y 12z 78 0;4x 3y 12z
26 0
Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1;2;3
và đường thẳng
2 2 3
:
x
y
z
2 1 1
d
1
và
2
1 1 1
d :
x
y
z .
1 2 1
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
A.
C.
x 1 2 3
y z
1 3 5
x 1 y 2 z 3
1 3 5
B.
D.
x 1 2 3
y
z
1 3 5
x 1 2 3
y
z
1 3 5
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1;1;1
và đường thẳng
x 1 y z 1
d : . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt d sao cho khoảng
2 2 1
cách từ gốc tọa độ đến là nhỏ nhất.
A.
x 1 2 1
y
z
1 3 9
1 2 1
B.
x
y
z
1 3 9
8

C.
x 1 2 1
y
z
1 3 9
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x 1 y 1 z 1 9 và đường thẳng
D.
x 1 2 1
y z
1 3 9
3 3 2
d :
x
y
z .
1 1 2
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn
có bán kính nhỏ nhất.
A. x y z 4
0
B. x y z 4
0
C. x y z 4
0
D. x y z 4
0
Đáp án
1-B 2-A 3-D 4-A 5-A 6-D 7-D 8-D 9-B 10-C
11-B 12-C 13-B 14-C 15-B 16-A 17-D 18-A 19-A 20-A
21-C 22-D 23-A 24-A 25-C 26-A 27-A 28-B 29-A 30-B
31-C 32-D 33-B 34-A 35-B 36-C 37-B 38-D 39-B 40-A
41-A 42-A 43-B 44-D 45-A 46-A 47-D 48-C 49-B 50-A
Câu 1: Đáp án B
Ta có
x
0
cos x 1
x .
x 5 cos
x
5
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Số nghiệm phương trình cos x
1 là số giao điểm của đồ thị hai hàm số y cos x và
x 5
x
y .
5
x
Để ý rằng đường thẳng y cắt đồ thị hàm số y cos x tại hai điểm (trừ điểm x 0 ) nên
5
phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Hãy xem hình vẽ dưới đây:
9

Câu 2: Đáp án A
.
6
Điều kiện: x k
k
Ta có tan x .tan x tan x .cot x
1.
6 3 6 6
Phương trình đã cho tương đương với
sin x.sin 3x cos x.cos3x
8
3 3 1
1 cos 2x cos 2x cos 4x 1 cos 2x cos 2x cos 4x
1
. .
2 2 2 2 8
2cos 2x cos 2 x.cos 4x 1 2cos 2 x. 1 cos 4x
1
2 2
3 1 1
x
k
6
cos 2x cos 2x
k
8 2
x k
6
.
6
Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta chọn x k
k
Câu 3: Đáp án D
Số cách chọn 9 viên tùy ý là
9
C
18
.
Những trường hợp không có đủ ba viên bi khác màu là:
* Không có bi đỏ: Khả năng này không xảy ra vì tổng các viên bi xanh và vàng là 8.
* Không có bi xanh: Có
* Không có bi vàng: Có
9
C
13
cách.
9
C
15
cách.
Mặt khác trong các cách chọn không có bi xanh, không có bi vàng thì
bi đỏ được tính hai lần.
Vậy số cách chọn 9 viên bi có đủ cả ba màu là:
9
C
10
cách chọn 9 viên
10

C C C C
cách.
9 9 9 9
10 18 13 15
42910
Câu 4: Đáp án A
Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập X là: 5.4.3 60 .
Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2 24 và số các số có mặt chữ số 5 là
60 24 36 .
Gọi A là biến cố hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5; B là biến cố hai số được viết
lên bảng đều không có mặt chữ số 5.
Rõ ràng A và B xung khắc. Do đó áp dụng quy tắc cộng xác suất ta có:
C . C C . C 13
P A B P A PB
.
C . C C . C 25
Vậy xác suất cần tìm là P P A B
Câu 5: Đáp án A
Ta có
0 1 2 2 3 3
1 1 1 1
36 36 24 24
1 1 1 1
60 60 60 60
13 12
1 1 . 25 25
n n n
n n n n n
1 x C C . x C . x C . x ... C . x .
n
n n
n n n n
Lấy đạo hàm hai vế, ta được 1 1 2 3 2 1
n 1 x C 2 C . x 3 C . x ... nC . x
Lấy tích phân hai vế, ta được:
.
2 2 2 2 2
n 1 1 2 3 2 1
1
n n
n
2
n
3
n
...
n
1 1 1 1 1
.
n x dx C dx C xdx C x dx nC x dx
Tính toán các tích phân trên, ta được:
Theo đề ta có:
C 3C 7 C ... 2 1 C 3 2
1 2 3
n n n n
n n n n
n n 2n n 2n n
3 2 3 2 6480 3 3 6480 0
.
Giải phương trình mũ này ta tìm được n 4 .
Vậy n 4 là nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 6: Đáp án D
1
Ta có u2
.
3
Với n 3 ta có
u 2 u ... n 1 u nu n n 1
u nu n u
2 3
1 2 n 1 n n n n
3
3
n
n n n1 3
n1
11
3 2
u n 1 n1 n
nu nu n 1
u 1
u n n n n 1

Từ (1) suy ra
u u u u n n n n
u u u u
n n
n n n n
2 2 2
n n n1 3 1 2 2 1 3 12
. ... . ... . . ...
2
2 n1 n2 2 1 3 1 4 1
u n
n
2
4
n 1
.
Vậy 3
lim n2018 u n
4 .
Câu 7: Đáp án D
Bởi vì
1
2 1
x x
3
lim lim
x
x
x
x
x
1 1
3
x x
Câu 8: Đáp án D
Ta có
x1 x1
.
lim f x lim 2 mx 3 2 m 3 .
2
lim f x lim f x n 1 n .
x1 x1
Hàm số liên tục tại điểm x 1 khi và chỉ khi:
2019
2018 m
1
Vậy m n
2 .
n
Câu 9: Đáp án B
y a sin
ax b
2
y a ax b
2
" sin 2. 2
………………
Chứng minh rằng bằng quy nạp ta thu được
Câu 10: Đáp án C
m
5
2m 3 1 n m 2 .
n
6
n
n
y a sin
ax b n
12
2 .
Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua điểm I. Rõ ràng tứ giác AHCB’ là hình bình hành, cho nên
BC
AH , tức là C T B
Do
AH
B là đường tròn ngoại tiếp ABC nên

B T C
AH
Dễ dàng lập được phương trình của các đường tròn
2
x y x y
2 2 2
2 74; 2 6 74.
và lần lượt như sau
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
2 2
x y x
2 2
y
2 74 2 65
.
2 6 74
3
x
y
Do đó yC
3 .
Câu 11: Đáp án B
f x 2x 12x 9x
4
Đặt
3 2
Ta có f x
f x , x 0
.
f x , x 0
Do f x là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Như
vậy đồ thị của nó gồm hai phần:
• Phần bên phải trục tung của đồ thị hàm số y f x
.
• Đối xứng phần đồ thị trên qua trục tung.
Ta có
3 2
2 x 9x 12
x m
3 2
2 x 9x 12 x 4 m 4
Phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt
Đường thẳng y m 4
0 m 4 1 4 m
5
Câu 12: Đáp án C
* Tập xác định D 2;2
.
4
2x
* y , x2;2
2
4 x
* y 0 x 2.
2
.
cắt đồ thị hàm số f
x tại 6 điểm phân biệt
* Lập bảng biến thiên và suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng 2; 2 , 2;2
.
Câu 13: Đáp án B
* Tập xác định: D
13

y x m x m .
2
* Đạo hàm 12 2 3
Cách 1
Hàm số đồng biến trên khoảng
0; khi và chỉ khi y 0, x 0;
khi và chỉ khi
phương trình y 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc phương trình y 0 có nghiệm
x x thỏa x1 x2 0 .
1,
2
2
m 3 0
0
2
3
m
m
3
0
0
m
3
m 3
m 0
S 0 0
.
m 3
6
P 0
m
m0
0
12
Vậy m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2
Chịu khó quan sát, chúng ta sẽ thấy phương trình y 0 luôn có nghiệm
1 m
x , x .
2 6
Hàm số đồng b iến trên khoảng
0; khi và chỉ khi y 0, x 0;
khi và chỉ khi
phương trình y 0 có nghiệm kép hoặc phương trình y 0 có nghiệm x1,
x
2
thỏa
x
1
x2 0
khi và chỉ khi
0
m
3
1 m 0
0 m 3 m 0
2 6 .
m 3
m 1
0
6 2
Vậy m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 3
Hàm số đồng biến trên khoảng
2
12x 2 m 3 x m 0, x
0;
2
2 1 12 6 , 0;
m x x x x
0; khi và chỉ khi y 0, x 0;
.
14

m 6 x, x 0; m Max 6x
0 .
x
Vậy m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 14: Đáp án C
* y a cos x bsin
x m .
0;
* Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
y 0, x asin x bcos x m, x m min f x .
với f x asin x b cos x .
* Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Vậy
f x a b a b f x a b
2 2
m a b .
Câu 15: Đáp án B
*
2
2 2 2 2 2 2
.
f x 3x 18x
24 .
x
2
0
.
x
4
* f x
* Lập bảng biến thiên và suy ra x ; y 4;20 , x ; y 2;24
Suy ra x1 y2 x2 y1 56 .
Câu 16: Đáp án A
Tập xác định: D
.
Đạo hàm y 4x 3 4mx 4xx 2 m
x
0
y 0
.
2
x
m
1 1 2 2
x
.
Hàm số có 3 cực trị phương trình y 0 có 3 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua
các nghiệm đó m
0 .
Cách 1
Giả sử 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
2 2
0; 1 , ; 1 , ; 1
A m B m m m C m m m .
Vì A Oy và B, C đối xứng nhau qua Oy nên ABC cân tại A.
15

Theo đề:
1
.
2
2 4
S
ABC
yB yA xC xB
m m; AB AC m m, BC 2 m
4
AB. AC.
BC m m 2 m
3
R 1 1 m 2m
1 0.
2
4S 4m m
ABC
m
1
2
m
10
m 1m m 1
0
2
1
5 .
m m1 0 m
2
So với điều kiện m 0 ta suy ra
Cách 2
m
1
51.
m
2
Vì A Oy và B, C đối xứng nhau qua Oy nên tâm đường tròn ngoại tiếp I của ABC thuộc
Oy. Giả sử I0;
t .
Theo giả thiết ta có
1 2m t 1
IA IC 1
.
2
m m 2m 1 t 2
1
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
1 2m t 1 t 2m
1 2m t 1
.
t 2 2m
Trường hợp 1: Nếu t 2m
thì
2
2 4 2
m m m m m m m
2 1 2 1 2 0 . Loại vì m 0.
Trường hợp 2: Nếu t 2 2m
thì
m
0
2 2 2 2
1 2 0 1
m
2 4 2
m m m m m m m m
1 5
2
So với điều kiện m 0 ta suy ra
Câu 17: Đáp án D
m
1
m
51
2
.
16

Sử dụng công thức lượng giác để biến đổi hàm số về dạng:
y
3
4
1
2
2
2 sin 2
2
2 sin 2
x
.
x
Đặt
t x t
2
sin 2 ,0 1.
3
2 t
4 3t
8
, 0;1 .
1
1
t
2t
8
2
Xét hàm số f t t
Ta có
8
f t
0, t 0;1 f t
2
2t
8
đồng biến trên 0;1 .
5
.
6
Do đó M f 0 1, m f 1
2017 2017
Vậy M m
5 6 1 5 5 1 1 .
Câu 18: Đáp án A
Xét hàm số
2 3
V T 999,87 0,06426T 0,0085043T 0,0000679T
với 0;30
4 2
0,06426 0,0170086 2,037.10
V T T T .
T
2,9665
VT
0
T
79,5317
T .
. Do T 0;30
nên loại nghiệm T 79,5317 .
Lập bảng biến thiên và suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất tại T 3,9665 .
Câu 19: Đáp án A
Tập xác định: D
Ta có:
x 1 2
y x x x
2
x x x 1
2
lim lim
2
1 lim
x x x
.
Do đó đồ thị của hàm số có một tiệm cận ngang là
Câu 20: Đáp án A
2
y .
2
2x
3
1
0
Ta có: M x ; C, x 2, yx
0 0 0 2
x0 2
x0
2
.
Phương trình tiếp tuyến với C tại M:
1
2x
3
: y x x .
2
17
0
2 0
x 2
x0
0

2x
2
x0
2
0
Tọa độ giao điểm J, K của và hai tiệm cận là: J 2; , K 2x
2;2
xJ xK 2 2x0 2 yJ yK
2x0
3
Ta có x0
xM,
y
2 2 2 x 2
=> M là trung điểm JK.
Mặt khác I 2;2
và IJK vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp IJK có diện tích:
2
2 2 2x0
3 2 1
S IM
x0 2 2 x0 2
2
2
x0 2
x0
2
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x
Câu 21: Đáp án C
thì f a f b 1
Nếu a b 1
Áp dụng kết quả này ta có
.
1 x
2
x0
2
x
2 0
0 2
0
0
M
0
1
M 1;1
.
3 M 3;3
1 2018 2 2017 1009 1010
S
f f
f f ...
f f
2019 2019
2019 2019
2019 2019
11 ... 1 1009 .
1009
Câu 22: Đáp án D
* Xét mệnh đề I a b a b
: log log 2
c
c
2 2 2
logc a b a b 2 a b c (luôn đúng)
* Xét mệnh đề II x x
Câu 23: Đáp án A
: log 1 cos log 1 cos 2
sin x
sin x
log 1 cos 2 1 cos sin (luôn đúng).
2 2 2
sin x
x x x
2
x
Chia cả hai vế của bất phương trình cho 2 4x6
a
1 0 ta được:
.
2 2
x 4x6 2
x 4 x
6
2a
1
a
2
2
1a
1a
1.
Đặt
t t
a tan với 0 0 t .
2 2 4 2
18

2a
Khi đó sin t
2
1 a 1
a
và
1
a
2
2
2
cos t .
Bất phương trình đã cho tương đương với 2
2
x 2 2 x sin cos 2
t t
2
1 *
Bất phương trình (*) luôn đúng vì 2
Vậy S .
Câu 24: Đáp án A
2 2
2
Ta có log 12 log 4.3
sin t
a
a
u v .
Câu 25: Đáp án C
x2 2 2
.
x x x 1
Ta có y . x . x . x xln
Câu 26: Đáp án A
Chia cả hai vế của bất phương trình cho
Xét hàm số
Hàm số
Ta có
2 2
sin x
sin x
2 1
3.
3 9
f
f
x
m
.
2 2
sin x
sin x
2 1
3.
3 9
x là hàm nghịch biến.
.
sin t và cos
t 2
2
sin
3 x 0 ta được:
1 1 0 0
2 2 1 2 1
0 sin x 1 3. f x 3.
Vậy bất phương trình có nghiệm khi m 4.
Câu 27: Đáp án A
x
2 2 2
3 9 3 9 hay f x
cos t.
1 4.
4
2
Ta có M
a a b a a b b
b
a a b a a b
log 2log 3log log log 3
a b 1
loga
3 log 3 2
2
a
a b
.
a
Câu 28: Đáp án B
Gọi N1
là số hạt được phóng ra trong khoảng thời gian t 1
kể từ thời điểm ban đầu.
Ta có 1 k t
N1 N01 N 1
1
N01 e
với N
01
là số hạt phóng xạ ban đầu.
Sau 3 giờ, số nguyên tử còn lại trong chất phóng xạ là
N N e .
. 3k
02 01
19

Kể từ thời điểm này, trong khoảng thời gian t2
thì số hạt
N N N N e .
2 02 01 02 1 k t 2
tạo thành là
Cho t1 t2 1 phút thì theo giả thiết, ta có N1 960, N2
120 . Khi đó
N
N
1
2
3k 120 3k 1 3k
e e 8 e k ln 2 .
960
k
Vậy T 1 (giờ) là chu kỳ bán rã của chất phóng xạ.
ln 2
Câu 29: Đáp án A
Đặt
2
x asin
t dx 2asin t costdt
.
a
Đổi cận: x 0 t 0; x t
2 4
Khi đó
4 2
4
asin
t
2 a
I a t tdt a t
2
.2 .sin .cos 2 sin
2
0
a1
sin t
.
4
0
Câu 30: Đáp án B
x
Ta có 1 ln 1 ln
x
1
ln t 2
1
ln t 1 1 1
dt t d t
t 2 2 2 2
.
1 1 1
e e e
x
2
x
1
1 ln x
1
2 ln x 0
1 ln x
1
1
2 2
ln x 2
x
2
e
1
Do đó tích hai nghiệm của phương trình là
2
e .
Câu 31: Đáp án C
Từ đẳng thức đã cho, lấy đạo hàm hai vế ta được:
5
.
x
Do đó f x 6
Câu 32: Đáp án D
Đặt t a b x dx dt
Đổi cận: x a t b;
x b t a .
5
f
6
t
.
t
.
20

a b
Khi đó :
xf x dx xf a b x dx a b t f t dt a b t f t dt
a a b a
b b b b
a b f t dt tf t dt a b f x dx xf x dx
b
Do đó
a
a a a a
a
b
xf x dx f x dx
2
.
Câu 33: Đáp án B
Ta có
x sin y 1;1 x 1 0 .
Mà 0 y 1
nên 2
1
Vậy sin
1
0
b
a
y x 1 x y 1.
2 1
S y y dy .
3
Câu 34: Đáp án A
Ta xem hình cầu được sinh bởi khi quay hình tròn
2 2 2
C : x y a quanh Oy và hình trụ
a
sinh bởi phần mặt phẳng của hai đường thẳng x0;
x quay quanh Oy.
2
Ta có
2 2 2 2 2
y a x y a x .
Thể tích cần tìm là:
a
a
a
2 2 2 2 2 2 4
2 2 3 3
3
2
V 4
x a x dx 2
a x d a x a x a
3 2
a
a
2 2
Câu 35: Đáp án B
Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây:
6 4
3 12
h h t dt
t cm
20 5
6 83
2,66
Câu 36: Đáp án C
Ta có
0 0
1
3i
3
z 4 4i z 4 4i z iz 8 8i
.
1
i
6
a
2
Vậy
z iz
2 2
8 8 8 2
Câu 37: Đáp án B
21

Ta có 2 2 2
Suy ra
z a bi iz ai b z iz a b b a i .
a2b3
a b P
b
2a
3
Câu 38: Đáp án D
2016 2017
1 1 1 2
.
Ta có
3 3
z 0
3
z z z z z z .
z 1
Do đó khẳng định A là sai.
Nhận thấy z 1,
z i thỏa mãn phương trình nên B đúng.
Rõ ràng từ z 0, z 1 thì phần thực của z không lớn hơn 1 nên khẳng định C cũng đúng.
Câu 39: Đáp án B
Đặt z1 a bi,
z2
c di với a, b, c,
d .
Ta có
2 2 2 2 2 2
P z1 z2 a c b d a b c d 2ac 2bd
.
Theo đề ta có
z
1 2i 2 iz11
a b 2 2 1 b a
z2 2i 2 iz2
1 c d 2 2 1 d c
z
2 2
1z2
1
a c b d 1
2 2 2 2
2 2 2 2
Suy ra
2 2
a
b
2
2 2 2 2
2 2
a b c d
c
d 2
2ac
2bd
3
2 2 2 2
a b c d 2ac 2bd
1
2 2 2 2
P a b c d ac bd
2 2 7 .
Câu 40: Đáp án A
VS . AMN
SA SM SN 2 1 1
Ta có . . 1. . .
V SA SC SB 3 2 3
S.
ACB
Câu 41: Đáp án A
Kẻ SI
AB . Khi đó SAI là tam giác vuông cân nên SI AI a .
1
2
Vậy Sxq
4. .2 a. a 4a
.
2
Câu 42: Đáp án A
4
.
22

Đường cao của lăng trụ
2 a 3 a 3
h . .tan .tan
.
3 2 3
2 3
a 3 a 3 a
V . tan
tan.
4 3 4
Câu 43: Đáp án B
OSA vuông cân OA OS
1.
SAB đều suy ra AB 2 .
Kẻ
1 2
OI AB OI AB .
2 2
Kẻ
3
OH SI OH d .
3
Câu 44: Đáp án D
Ta có AC 5
SAB ABC
SA SAB SAC
SAC ABC SA ABC
SCA 45 SA SC 5 .
Do đó V
3
4 SC
4
5 2 125
2
3 2 3 2
.
3
3
Câu 45: Đáp án A
1 2
Thể tích cái phễu là V r h .
3
Ta có chu vi đáy là 2 r Rx .
Suy ra
2 2
Rx 2 2 2 R x R 2 2
r , h R r R 4
x .
2
2 4 2
3 2 2 2
1 R x 4
x
.
2
3 24
2
Do đó V r h 0 x 2
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có
R
V x x
48
3
3
3 2 2
2 2
. . . 4
2
23

3 3
3R
2 4 2 2 2 3R
2 16 2 2
. x . 4
2 x x x
2
2.48
3 2.48
3
3
2
3
2 2 2
R
4 3
. x x . R
2 2
1 3R
16 1 3 16 2 3
8 48
3
8 48
9 27
Dấu bằng có khi và chỉ khi
2
2 2
4
x
3
2 2
x
2 16 2 2
3
x x
3
Vậy
maxV
2 3
27
Câu 46: Đáp án A
3
R khi và chỉ khi
Tâm I d I 1 2 t; t; 2 t
I 1; 1;2
1 .
R IA 17
2 2
IA IB t
Vậy phương trình mặt cầu
Câu 47: Đáp án D
Q có vectơ pháp tuyến là 4;3; 12
2 2
x .
3
S là x y z
n .
S có tâm I 1;2;3
và bán kính R 4 .
P // Q nên P : 4x 3y 12z d 0
P tiếp xúc với ,
2 2 2
1 1 2 17 .
(với d 1).
S d I P R
4.1 3.2 12.3
d
d
26
4 d 26 52 .
16 9 44
d
78
Vậy P có phương trình 4x 3y 12z 78 0; 4x 3y 12z
26 0 .
Câu 48: Đáp án C
d
2
có phương trình tham số là
d có vectơ chỉ phương 2; 1;1
1
x
1t
y 1 2t
.
z
1 t
u . Gọi B d d2
, khi đó
B d2 B 1 t;1 2 t; 1 t AB t;2t 1; t 4 .
24

Theo giả thiết d d AB u t AB
1
. 0 1 1; 3; 5 .
Vậy phương trình đường thẳng là
Câu 49: Đáp án B
x 1 y 2 z 3
1 3 5
.
Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) qua A và chứa d. Khi đó
P : 3x 2y z 4 0 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên P . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
x
3t
y
2t
6 4 2
H ; ;
z t
.
7 7 7
3x 2y z 4 0
Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên , khi ấy ;
d O;
nhỏ nhất K H H .
Đường thẳng qua hai điểm A và H nên có phương trình là
x 1 y 2 z 1
. (Rõ ràng cắt d).
1 3 9
Câu 50: Đáp án A
Mặt cầu S có tâm I 1;1;1
và bán kính R 3.
d O OK OH .
Gọi K là hình chiếu của I lên P,
H là hình chiếu của I lên d và r là bán kính đường tròn
tức giao tuyến của P với S .
Khi đó ta có
2 2 2 2
r R IK R IH .
Dấu “=” xảy ra K H . Từ đó suy ra để
nhỏ nhất thì P phải vuông góc với IH.
x3
t
z
2 2t
Phương trình tham số của d là y 3 t H 3 t;3 t;2 2t
Do IH d nên ta có IH. u 0 t 1 H 2;2;0
.
d
P cắt S theo một đường tròn có bán kính
.
25

P qua H 2;2;0
và nhận 1;1; 1
x y z 4 0.
IH làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình
26

ĐỀ SỐ 11
BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
3
Câu 1: Cho góc thỏa mãn điều kiện
và tan 2 . Tính giá trị của biểu thức
2
M sin sin sin 2
2 2 .
A.
2 5
15 . B. 1
. C. 1 5
5
5
. D. 1 5
5
Câu 2: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
5
y sin x 3 cos x
. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là sai?
M
A. M m 0. B. Mm 3 . C. M m 2 3. D. 1
m .
.
Câu 3: Tìm hệ số của x trong khai triển
n4
n 3n
3
1 4 8
Px
x x
với x 0 . Biết n là số
nguyên dương thỏa mãn điều kiện
A 3C C A 2n
.
2 n 2 3 2
n n n1 n1
A. 28. B. 78. C. 218. D. 80.
Câu 4: Tìm số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa
hai chữ số 1 và 3.
A. 7330. B. 7300. C. 7400. D. 7440.
Câu 5: Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thứ vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất
để ít nhất có một lá thư bỏ đúng phong bì của nó.
A. 2 3 . B. 2 5 . C. 2 7 . D. 2 9 .
n
Câu 6: Cho dãy số x xác định bởi:
x1
0
. Hãy tìm lim x
2 2
3n 2 xn
1
2n 1 xn
n 4
n
.
, n
1
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 7: Tính giới hạn lim 3x 3x 3x 3x
x
.
1

A. . B. 0. C. 1 . D. 3.
2
2
Câu 8: Cho hàm số
1 1
2
y x e
1 x . Tính vi phân của y.
x
A. dy e x 2
x
dx . B. 1
dy e x dx .
x
C. dy e x 1 2
x
dx . D. 1 2
dy e x dx .
Câu 9: Cho hàm số
2
f
x
x 2a b khi x 1
ax bx 2 khi x 1
2018 2019
trị của biểu thức
P a b a b 1 3a 2b
.
có đạo hàm tại điểm x0 1. Tính giá
A. 0. B. 1. C. 1. D. 5.
2 2
Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C x y
: 1 2 4. Viết phương
trình đường tròn ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép
vị tự tâm O tỉ số 2
k và phép tịnh tiến theo vectơ 1;2
v .
2 2
A. x 3 y 6
16 . B. x
y
2 2
3 6 4 .
2 2
C. x1 y 2
16 . D. x
y
2 2
1 2 4 .
Câu 11: Hình vẽ sau đây thể hiện sự tương giao giữa đồ thị C của hàm số
y x x
4 2
3 1 và đường thẳng y m 1
.
Dựa vào hình vẽ trên, hãy xác định m để phương trình
4 2
x x m
3 0 có 3 nghiệm phân biệt.
A. m 0. B. 0m
1. C. 0m
1. D. m 1.
Câu 12: Xét chiều biến thiên của hàm số
y
x
2
8x24
.
2
x 4
2

A. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 2 , 2;1 , 4;
và đồng biến trên mỗi
khoảng 1;2 , 2;4 .
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 2 , 2;1 , 4;
và nghịch biến trên mỗi
khoảng 1;2 , 2;4 .
C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 2 , 2;1
và nghịch biến trên mỗi khoảng
1;2 , 2;4 , 4; .
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 2 , 2;1
và đồng biến trên mỗi khoảng
1;2 , 2;4 , 4; .
Câu 13: Tìm giá trị của m để hàm số y x msin
x cos x m
A.
2 2
m . B.
2 2
Câu 14: Cho hàm số
đúng?
luôn đồng biến trên .
2
0 m
. C.
2
A. Hàm số f x chỉ có một cực tiểu;
B. Hàm số f x chỉ có một cực đại;
3
f x có đạo hàm là 2018
C. Hàm số f x có một cực đại và một cực tiểu;
D. Hàm số f x không có cực trị.
2
m 0 . D. 2 m 2.
2
f x x 1 x 8 . Mệnh đề nào sau đây
Câu 15: Tìm giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số
4 2
y x 2mx
4
nằm trên các trục tọa độ.
A. m ;0 2
B. m ;0 2
C. ;0 2
m D. m 2
Câu 16: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
6 2
41 3
trên đoạn
1;1
f x x x
. Tính giá trị của
M
m .
M
A. 2
m . B. M 3
m 2
. C. M 4
m 3
. D. M
m 3 .
3

Câu 17: Tìm giá trị của m để đường thẳng d : y 2x m cắt đồ thị C của hàm số
x 1
y tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 0 AOB 90 .
x 1
A. m 4 . B. m 5 . C. m 5 . D. m 5 .
Câu 18: Tìm m để đồ thị hàm số
y
3
x 2018
4
2
x x m
có hai tiệm cận song song với Oy.
A. m 2 hoặc m 2 . B. m 2 hoặc m 2 .
C. m 4 hoặc m 4 . D. m 1 hoặc m 1.
Câu 19: Cho hàm số
2
x x1
y có đồ thị
x 1
C và điểm M x ; y
C
0 0
. Biết rằng điểm M
thuộc nhánh bên phải tiệm cận đứng của C . Tìm x
0
để điểm M ở gần điểm I 1; 1
nhất.
1
1
1
1
x . B. x0 1. C. x
4
0
1 . D. x
4
0
1 .
4
2
2
2
2
A.
0
1
4
Câu 20: Một chất điểm chuyển động theo quy luật
vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
1
s t t
6
2 3
. Tính thời điểm t (giây) tại đó
A. t 0,5 . B. t 1. C. t 2. D. t 2,5 .
Câu 21: Cho , 0
xy thỏa mãn log x log y log x y
. Tính tỉ số x y .
9 6
x
A. 2
y . B. x 1
y 2
. C. x 51
. D.
y 2
Câu 22: Tìm số bộ số x; y;
z thỏa mãn các điều kiện sau:
x
y
51
.
2
2 x 3 y 5 z 10; 2 x 3 y 5 z 30; xyz 1
A. 1. B. 5. C. 6. D. 7.
Câu 23: Tìm giá trị của m để hàm số log log 2 2 2 3
A. m 2 . B.
y
2 3 m x m x m
xác định trên .
7
m . C.
3
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số y log 3x
1
.
2x
7
2 m
. D. m 2.
3
A.
y
1
3x1 ln 2x
. B.
y
3
3x1 ln 2x
.
4

x3x 1 ln 2x
2
3x ln 2x C. y
3x 1 ln 3x
1
. D.
2
3 1 2
ln 2
2
3x ln 2x 3x 1 ln 3x
1
y
.
x x x
Câu 25: Cho a, b, c,
d là bốn số dương tạo thành một cấp số nhân với công bội q 1. Xét
dãy số log a,log b,log c,log
d . Mệnh đề nào là đúng?
A. Dãy là cấp số nhân.
B. Dãy không phải là cấp số nhân, cấp số cộng.
C. Dãy là cấp số cọng.
D. Dãy là dãy giảm.
Câu 26: Cho a log
2
3; b log3 5; c log
7
2 . Tính theo abc , , giá trị của log140
63.
2ac
1
log 63
abc 2c
1
. B. 2ac
1
log140
63
abc 2c
1
.
A.
140
2ac
1
log 63
abc 2c
1
. D. 2abc
1
log140
63
abc 2c
1
.
C.
140
Câu 27: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các
loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng
M t 75 20ln 1 t , t 0 (đơn
nhớ trung bình của mỗi học sinh được tính theo công thức
vị %).
Hỏi sau khoảng bao lâu thì học sinh nhớ được danh sách đó là dưới 10%?
A. 24 tháng. B. 20 tháng. C. 2 năm 1 tháng. D. 2 năm.
Câu 28: Cho số thực abc , , thỏa mãn 1 a b c. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. b c a
log log log log log log 0 .
a a b b c c
B. b c a
log log log log log log 3.
a a b b c c
C. b c a
log log log log log log 3 .
a a b b c c
log log b log log c log log a 3 .
D.
3
a a b b c c
Câu 29: Cho hàm số
f
x
2 x1 , x0
k x x
2
1 , 0
. Tìm k để f
1
x dx 1.
A. k 1. B. k 2. C. k 3. D. k 4 .
1
Câu 30: Cho hàm số
g x
3x
2
t 1
dt . Tính đạo hàm g x
2
t 1
2x
.
5

A. gx
C. g x
2
9x
1
2
9x
1
. B. gx
.
2
4x
1
2
4x
1
2 2
9x
1 4x
1
2 2
9x
1 4x
1
. D. 39x
2 1 24x
2 1
g x .
2 2
9x
1 4x
1
Câu 31: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
2
2
C x y y và C x y y
1
: 4 0
2
: 2 0 .
A. 11. B. 10. C. 9. D. 8.
2 2
x y
Câu 32: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho elip E : 1 quay quanh trục Ox.
a
2 b
2
A.
4
3 ab
2
. B. 2
4
3 ab.
C. 3 2
4 ab . D. 3 2
4 ab.
Câu 33: Cho
A.
a
b
e
3
I x xdx
1
ln
a
3e
1
. Mệnh đề nào là đúng?
b
1
2
. B. a b 20 . C. ab 60 . D. ab
12 .
Câu 34: Cho hàm số
2
f x có dạng
f x biết f 0
1 và fx
6
2
4x
4x
3
2x
1
F x ax bx ln 2x 1
c . Tính tỉ lệ a: b:
c.
. Biết nguyên hàm của
A. a: b: c 1: 2:1. B. a: b: c 1:1:1. C. a: b: c 2: 2:1. D. a: b: c 1: 2: 2 .
Câu 35: Một vật chuyển động với vận tốc vt (m/s) có gia tốc
3
vt
(m/s 2 ). Vận tốc
t 1
ban đầu của vật là 6 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
A. 10 m/s. B. 11 m/s. C. 12 m/s. D. 13 m/s.
Câu 36: Cho hai số phức z1,
z
2
thỏa mãn z1 z2 1; z1 z2
3 . Tính z1 z2
.
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 37: Cho số phức 3
của số phức z đến gốc tọa độ là nhỏ nhất.
z a a i với a . Tìm a để khoảng cách từ điểm biểu diễn
A. 2 3 . B. 3 2 . C. 3
2 . D. 2
3 .
Câu 38: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa z z i z z 2z .
A. Đườn tròn đơn vị.

B. Tia phân giác của góc phần tư thứ nhất (bao gồm cả gốc tọa độ).
C. Đường thẳng có phương trình y x
1
D. Đường elip có phương trình
2
x
4
2
y 1.
Câu 39: Cho hai số phức z1,
z
2
thỏa mãn z1 3, z2 4, z1 z2
37 . Tìm các số phức
z
z
z
1
.
A.
2
3 3 3
z i. B.
8 8
3 3 3
z i. C.
8 8
3 3 3
z i. D.
4 4
3 3 3
z i.
4 4
Câu 40: Cho lăng trụ tam giác ABC.
ABC
có đáy ABC là tam giác vuông tại A với
AB a, AC a 3. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm
G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng ABC bằng 60 . Gọi V là thể tích
V
khối lăng trụ ABC.
ABC
. Tính 3 V 1.
a
3
A. 1. B. a. C. a 2 . D. a 3 .
Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với
mặt đáy và SA AB a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
A.
a 2
2
. B. a. C.
a 5
2
. D.
a 3
2
.
Câu 42: Một hình chữ nhật ABCD có AB
a và BAC với 0
90. Cho hình chữ
nhật đó quay quanh cạnh AB, tam giác ABC tạo thành một hình nón có diện tích xung quanh
là S. Mệnh đề nào là sai?
A.
a
2 tan
S . B.
cos
2 2
C. S a sin 1 tan
. D.
2
a
sin
S .
2
cos
S a 2 tan.
Câu 43: Cho hình trụ trục OO , đường tròn đáy C và C . Xét hình nón đỉnh O’, đáy
C có đường sinh hợp với đáy góc 0 90
hình lăng trụ và hình nón bằng 3 . Tính giá trị .
. Cho biết tỉ số diện tích xung quanh của
A. 30 . B. 45. C. 60 . D. Kết quả khác.
7

Câu 44: Cho hình nón tròn xoay đáy là đường tròn C tâm O, bán kính R
3
2
, đường cao
3
SO . Xét hình cầu tâm I, nhận O làm đường tròn nhỏ và nhận tất cả đường sinh của
2
hình nón làm tiếp tuyến. Tính thể tích hình cầu.
A. V
2
4
5
. B. V . C. V . D. V .
3
3
3
3
Câu 45: Một hợp đựng Chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc
mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của
hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy
chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi x x0
là
giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích
chocolate nguyên chất có giá trị là V
0
. Tìm V
0
.
A. 48 đvtt. B. 16 đvtt. C. 64 đvtt. D. 64 3 đvtt.
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
S : x y z 4x 4y 4z
0
và điểm 4;4;0
Viết phương trình mặt phẳng
A .
OAB , biết điểm B S
và tam giác OAB đều.
A. x y z 0, x y z 0 . B. x y z 0, x y z 0 .
C. x y z 0, x y z 0 . D. x y z 0, x y z 0 .
Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A1;0;5 , B 2;2;6
và đường thẳng
x y 2 z 4
: 1 2 1
và mặt phẳng : 2x y z 3 0
sao cho
A.
3 13
M
1; ;
2 2
6
MB và ABM 60.
2
. B. M 0;0;3
. C. 1;1;6
. Tìm điểm M nằm trên mặt phẳng
M . D. 1
M
;2;6
2
.
8

x 3
2t
z
3 t
Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : y 1 t t
mặt phẳng có phương trình : x 2y z 5 0 . Gọi A là giao điểm của và . Tìm
điểm B , C
sao cho BA 2BC
6 và ABC 60.
B 5 5
3; 1;3 , C ;0;
2 2
A.
B 5 5
3; 1;3 , C ;0;
2 2
B.
B 5 5
3; 1;3 , C ;0;
2 2
C.
B 5 5
3; 1;3 , C ;0;
2 2
D.
hoặc 1 11
1;0;4 , ;0;
2 2
B C
.
hoặc 1 11
1;1;5 , ;0;
2 2
B C
.
hoặc 1 11
7; 3;1 , ;0;
2 2
B C
.
hoặc 1 11
3;2;6 , ;0;
2 2
B C
.
Câu 49: Trong không gian tọa độ cho đường thẳng
và
x 3 y 2 z 1
d : và mặt phẳng
2 1 1
P : x y z 2 0 . Gọi M là giao điểm của d và P . Viết phương trình đường thẳng
nằm trong mặt phẳng P , vuông góc với d đồng thời thỏa mãn khoảng cách từ M tới
bằng 42 .
A.
B.
C.
D.
x 5 y 2 z 5 3 4 5
;
x y z
.
2 3 1 2 3 1
x 5 y 2 z 5 3 4 5
;
x y z
.
2 3 1 2 3 1
x 5 y 2 z 5 3 4 5
;
x y z
.
2 3 1 2 3 1
x 5 y 2 z 5 3 4 5
;
x y z
.
2 3 1 2 3 1
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có AB là đáy lớn,
CD là đáy nhỏ và A3; 1; 2 , B 1;5;1 , C 2;3;3
A. D 4; 3;0
. B.
. Tìm tọa độ điểm D của hình thang cân.
164 51 48
D
; ;
49 49 49 . C. 1 1 1
D
; ;
2 3 4
. D. 4;3;0
D .
9

Đáp án
1-C 2-D 3-B 4-D 5-A 6-B 7-C 8-C 9-D 10-A
11-A 12-B 13-A 14-A 15-B 16-D 17-C 18-B 19-B 20-C
21-C 22-C 23-B 24-C 25-C 26-B 27-C 28-A 29-C 30-D
31-C 32-A 33-B 34-B 35-D 36-D 37-C 38-B 39-A 40-B
41-D 42-D 43-C 44-C 45-A 46-B 47-A 48-B 49-D 50-B
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án C
1
2
Ta có 1 tan 1 4 5
2
cos . Vì
nên cos 0
32
1
Suy ra cos .
5
2 5
2
Khi đó M sin sin sin 2 sin cos cos 2
2 2
2 2 2 1 1 1
5
sin cos 2cos 1 cos cos
.
5 5 5
Câu 2: Đáp án D
Ta có
5 4 4
sin sin sin 3 cos
x x y x x .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
1
2
1 cos x1 cos x1 cos x 2 2cos x1 cos x1
cos x
1 2 2cos x1 cos x1
cos x
32
2
3 27
x x x
3 1 cos 1 cos 1 cos 0
3
3
x x x 2
1 cos 3 1 cos 1 cos
0
4 4
3 1 cos x sin x 0 sin x 3 cos x 3
M max y 3 cos x 1 x k2 ,
k
Ta lại có
4
y sin x 3 cos x
.
Tương tự như trên, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
10

1
2
1 cos x1 cos x1 cos x 2 2cos x1 cos x1
cos x
32
27
x x x
3 1 cos 1 cos 1 cos 0
x x x 2
1 cos 3 1 cos 1 cos
0
4
sin x 3 cos x 3
m min y 3 cos x 1 x k2 ,
k .
M
Do đó 1. Vì vậy, mệnh đề D sai.
m
Câu 3: Đáp án B
2 n2 3 2
n n n1 n1
A 3C C A 2 n *
Điều kiện: n , n 2.
Với điều kiện trên, (*) tương đương với:
3 1
nn 1 nn 1 nn 1n 1 nn 1
2n
6 6
3 1 2
n 1 n 1
n 1 2 n 8
2 6
P x 1 2 x 3 x C 3 x
1
2x
k
Khi đó :
4
4k
k 4k
3 i i 2
C4
. 3 . x Ck
2 x .
k0 i0
3
4
4k
4
1
3 4k
3 2
4
k 0
Hệ số của số hạng x ứng với 4 k i 1 2k
3i
2 .
3 2
k
Vì ik , và ik
4 nên ta suy ra : k 4; i 2 hoặc k 2; i 0 .
Như vậy hệ số của x trong khai triển là:
Câu 4: Đáp án D
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Số phải tìm chứa bộ 123.
Lấy 4 chữ số 0;4;5;6;7;8;9
: có
i
11
k
4 0 2 2 2 2 0 0
4 4 4 2
C . 3 . C .2 C . 3 . C .2 78.
4
A
7
cách

Cài bộ 123 vào vị trí đầu, hoặc cuối, hoặc giữa hai chữ số liền nhau trong 4 chữ số vừa lấy:
có 5 cách.
Suy ra có
4
5A7
5.840 4200 số gồm 7 chữ số khác nhau trong đó chứa bộ 123
Trong các số trên, có
4A 4.120 480 số có chữ số 0 đứng đầu.
3
6
Suy ra có
5A
4A
3720 số phải tìm trong đó có mặt bộ 123
4 3
7 6
Trường hợp 2: Số phải tìm có mặt bộ 321 (lập luận tương tự)
Có 3720 số gồm 7 chữ số khác nhau, có mặt 321
Tóm lại, có 3720.2 7440 số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền 2
chữ số 1 và 3.
Câu 5: Đáp án A
Xét các dãy số
x x x , trong đó , ,
1, 2,
3
tức là lá thư i đã bỏ đúng địa chỉ).
x1 x2 x
3
là một hoán vị của ba số 1,2,3 (ở đây xi
Gọi là tập hợp tất cả các khả năng bỏ 3 lá thư vào 3 phong bì. Khi đó 3! 6 .
Gọi A là biến cố: “Có ít nhât 1 lá thư bỏ đúng phong bì”. Các khả năng thuận lợi của A là
1, 2,3 ; 1,3, 2 ; 3, 2,1 ; 2,1,3 . Do vậy 4 .
Từ đó P A
Câu 6: Đáp án B
A
4 2
.
6 3
3 n 2 x 2 n 1 x n 4 , n
1
2 2
Ta có:
n1
n
2 2
3 n 2 x 2 n 1 x 2 n 1 3 n 2 , n
1
n1
2 2
n1
n
3 n 2 x 1 2 n 1 x 1 , n
1
n
A
i,
Đặt
y
n
Suy ra
2
2 n 1
xn
1. Khi đó yn
1
. yn.
3 n 2
n
n
n1
2 1 2 2 2 1
y . ... y . y
3 n 2 3 n 1 3 3 n 2
n1 1 1
hay lim yn
0.
Vậy lim xn
1 .
Câu 7: Đáp án C
Ta có lim 3x 3x 3x 3x
x
12

1
1
3x
3x 3x
1
lim
lim
.
x
x
1 1 2
3x 3x 3x 3x
1 1
2
3x
9x
Câu 8: Đáp án C
y 2xe x 1 e e x 2x 1 e x 1 .
x 2 x x 2
x
Ta có 2
x
Vậy 1 2
dy e x dx .
Câu 9: Đáp án D
Do f có đạo hàm tại điểm x0 1 nên f liên tục tại điểm x0 1.
Khi đó
2
lim f x lim f x f 1 lim ax bx c lim x 2a b f 1
x1 x1 x1 x1
Với a 1, hàm số
a b 2 2a b 1 a 1.
f x trở thành f x 2
f x có đạo hàm tại điểm x0 1 khi và chỉ khi
2
x 2 b khi x 1
.
x bx 2 khi x 1
f x f 1 f x f 1 x bx 2 b 3 x 2 b b
3
lim lim lim lim
.
x 1 x 1 x 1 x 1
x
1 x
1 x
1 x
1
x1 x1
lim x b 1 lim1 b 2 1 b 1
Suy ra ab 0.
Vậy P 5.
Câu 10: Đáp án A
x 2x
V : M x; y M x; y OM 2OM
O;2
.
y
2y
*
x" x
1
.
y" y
2
* T : M x ; y M " x"; y"
v
Do đó phép đồng dạng F : M x; y M x;
y
có tọa độ thỏa mãn hệ thức
x
x 1
x
2 2
y
y 2
y
2 2
13

2 2
x
1 y
2
2 2
1 2
4 3 6 16
.
2 2
Do M x;
y C
nên x
y
2 2
Vậy ảnh của (C) qua F là đường tròn có phương trình x
y
Câu 11: Đáp án A
*
4 2 4 2
x x m x x m
3 0 3 1 1.
3 6 16 .
* Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y m 1.
* Dựa vào đồ thị, phương trình có 3 nghiệm phân biệt m11 m 0.
Câu 12: Đáp án B
* Tập xác định: D \ 2;2
.
*
y
2
x 4
2
8x
40x
32
.
*
x
1
y 0
.
x
4
* Lập bảng biến thiên và suy ra chiều biến thiên của hàm số là đồng biến trên mỗi khoảng
; 2 , 2;1 , 4;
và nghịch biến trên mỗi khoảng 1;2 , 2;4 .
Câu 13: Đáp án A
y
1 m cos x sin x 1 2msin
x
4 .
*
* Đặt t sin
x
4
với t 1;1
, ta có f t 1 2
* Để hàm số đồng biến trên thì
0, t 1;1
f t
mt .
f
1 0 1 2m
0
f 1 0
1 2m
0
2
m
2 2 2
m .
2 2 2
m
2
Câu 14: Đáp án A
* Tập xác định: D .
14

x
1
0
x
2
* f x
* Dấu của f x
. (Lưu ý x 2 là nghiệm bội).
là dấu của x 1. Nhận thấy đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua
1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x 1.
Câu 15: Đáp án B
x
0
y 4x 4mx 4 x x m ; y 0
x
m
3 2
Ta có:
* Nếu 0
* Nếu 0
m thì
C chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên trục tung.
m
m thì
m
15
2
C có 3 điểm cực trị. Một điểm cực tiểu nằm trên trục tung và hai điểm
2 2
cực đại có tọa độ m; m 4 , m; m 4
hoành. Do đó
m
2
. Hai điểm cực đại này chỉ có thể nằm trên trục
4 0 m 2 . Nhưng do m 0 nên chọn m 2 .
Vậy m ;0 2
là những giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 16: Đáp án D
Đặt
t
2
x . Do 1;1
Khi đó
3 2
x nên 0;1
t .
g t 3t 12t 12t
4 .
2
g t 9t 24t
12 .
t
2
gt
0
2
t
3
Ta có g g g
Suy ra
. (Loại t 2).
0 4; 2
4 ; 1 1.
3
9
4
M 4,
m .
9
M
Vậy 3
m .
Câu 17: Đáp án C
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:
x 1
x 1
2 x m
.
2
x 1
f x 2x m 3
x m 1 0
.

Ta có
2
m m
f
2 7 0, m
.
1 2 0
=> d luôn cắt C tại hai điểm phân biệt A, B.
Gọi x1,
x
2
lần lượt là hoành độ các điểm A, B. Khi đó
AOB nhọn
OA OB AB
2. OAOB .
2 2 2
2 2
cos AOB 0 OA OB AB .
2 2 5
2 2 2
2 2
1 1 2 2 2 1
x x m x x m x x .
Sử dụng định lí Viet và giải bất phương trình theo m ta thu được m 5 .
Câu 18: Đáp án B
Xét tam thức bậc hai
2
f
x có
2
m
4
f x x mx 1 .
Khi m 2 hoặc m 2 thì
cho có hai tiệm cận đứng x x1,
x x2
song song với Oy.
Câu 19: Đáp án B
f x có hai nghiệm phân biệt x1,
x
2. Do đó đồ thị hàm số đã
1
M C M x0;
x0
x0
1
với x0 1.
2
2
2 1
2 1
IM x0 x0 x0
2
x0 1
x0
1
1 1 2 1 2 2 2 2 .
IM ngắn nhất x
2 1 1
2 1 x 1
2
0 2 0 4
x0
1
(do x0 1 vì M nằm trên nhánh phải của đồ thị C ).
Câu 20: Đáp án C
1
, 0; .
6
Xét hàm số s t 2 t 3 t
Vận tốc của chuyển động là
Ta có v 2 t; v 0 t 2 .
1
v s
t t
2
2
2 .
Lập bảng biến thiên và suy ra
8
max v t 2 .
t
0;
3
16

Câu 21: Đáp án C
t t t
log x log y log x y t x 9 , y 6 , x y 4 .
Đặt
9 6 4
Khi đó
t
3 5 1
2t
t
t t t 3 3 2 2
9 6 4 1 0
.
t
2 2
3 5 1 0
2
2
Hơn nữa
t
x 9 3 5 1
t .
y 6 2 2
Câu 22: Đáp án C
t
Xét các bộ số x; y; z log a;log b;log
c
trong đó abc , , là hoán vị của 2;3;5 . Với
2 3 5
các bộ số này thì điều kiện thứ ba của bài toán luôn được thỏa mãn.
x y z log 3 5
Ta lại thấy 2 a log b log c
2 3 5 2 3 5 a b c 2 3 5 10 .
x y z log 3 5
Và 2 x log b log c
2 .3 .5 2 .3 .5 abc 2.3.5 30 .
Do đó các bộ xác định như trên luôn thỏa mãn các điều kiện đã cho. Do đó số các hoán vị của
2;3;5 là 3! 6 .
Câu 23: Đáp án B
Hàm số đã cho xác định trên .
2
log
3 m 2 x 2 m 3 x m
0, x
2
2 2 3 1 0, *
f x m x m x m x
* Nếu 2
* Nếu 2
m thì
m thì *
Câu 24: Đáp án C
Ta có y log 3x
1
Suy ra
1
f x 2x 1 0 x .
2
a m 2
0 7
m .
3m
7 0 3
ln 3x
1
2x
.
ln 2x
ln 3x 1
.ln 2x ln 3x 1 ln 2x
y
ln 2x
2
17

3 2
ln 2x ln 3x1
3 1 2
3x ln 2x 3x 1 ln 3x
1
x
x
2 2
ln 2x x 3x 1 ln 2x
Câu 25: Đáp án C
Xét cấp số nhân
2 3
a, aq, aq , aq .
Suy ra có dãy số log a,log a log q,log a 2log q,log a 3log q .
Đây là cấp số cộng với công sai d log q 0 .
Câu 26: Đáp án B
Áp dụng công thức đổi cơ số ta có:
log 63 log 7 2log 3
2 2 2
log140
63 *
log2 140 1 log2 5 log2
7
1 1 log3
5
Mặt khác log2 7 ;log
2
5 log3 5.log
2
3 ab .
log 2 c log 2
7 3
1
2 a
2 1
Thay vào (*) ta được: log140
63 c
ac
.
1
2 ab
abc 2c
1
c
Câu 27: Đáp án C
Theo công thức tính tỉ lệ % đã cho thì cần tìm nghiệm t của bất phương trình;
75 20ln 1 t 10 ln 1 t 3,25 t 24,79 (tháng).
Vậy sau khoảng 25 tháng (tức 2 năm 1 tháng) thì học sinh nhớ được danh sách đó là dưới
10%.
Câu 28: Đáp án A
Để ý rằng 1a b nên log b 1. Khi đó nếu xét cùng các cơ số a và b thì
Do 1 a c
b b
log log log log 0 .
a a b a
a
nên log a 1 0 log log a log log
a
Từ đó suy ra
.
c c c b c
b c a b c a
log log log log log log log log .log .log log 1 0.
a a b b c c b a b c b
Câu 29: Đáp án C
1 0 1
2 2k
Ta có f xdx 2 x 1 dx k 1 x dx
1 1 k 3.
1 1 0
18
3
.

Câu 30: Đáp án D
Đặt
f t
t
t
2
2
1
1
.
Gọi F là một nguyên hàm của f. Theo định nghĩa tích phân ta có
3x
3 2
g x F t F x F x .
2x
Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp ta được
2 2
x x
3 9 1 2 4 1
gx 3F3x 2F2x 3 f 3x 2 f 2x
x x
Câu 31: Đáp án C
2 2
9 1 4 1
2
2
Phương trình tung độ giao điểm giữa C x y y và C x y y
3
2 2 y 0
y 4y 2y y .
y 3
S 2y y y 4y
dy 9 .
2 2
Vậy
0
1
: 4
Câu 32: Đáp án A
Ta có thể xem khối tròn xoay này là do hình giới hạn bởi bốn đường
b
x a x a y y a x
a
2
: 2
là:
2 2
, , 0, quay quanh trục Ox tạo nên.
a 2 2 3
b 2 2 b 2 x 4
V a x dx a x ab
2 2
a
a
3
3
.
a
Vậy
Câu 33: Đáp án B
1
du dx
u ln x x
Đặt
3 .
4
dv x dx x
v
4
Khi đó
4
e e
4 e 4
3 4
x 1 e 1 3e
1
I ln x x dx x
4 4
.
4 14 16
Suy ra a3, b 16 hay ab 20 .
Câu 34: Đáp án B
1
1
1
.
Ta có
2
4x
4x3 2 2
2 1 ln 1
.
f x dx x dx x x x C
2x1 2x1
19

Do
2
f 0
1 nên c 1. Suy ra
f x x x ln 2x
1 1.
Vậy a: b: c 1:1:1 .
Câu 35: Đáp án D
Ta có
3
v t vtdt dt 3ln t 1
C
t 1
.
Do vận tốc ban đầu là 6 m/s nên vt 3ln t 1 6
.
Vận tốc của vật sau 10 giây là v6 3ln11 6 13 m / s
Câu 36: Đáp án D
Đặt z1 x1 iy1,
z2 x2 iy2
.
.
Từ giả thiết ta suy ra
2 2 2 2
x1 y1 x2 y2
1
2
2 2
x1 y1 x2 y2
1.
x1 x2 y1 y2
3
Suy ra
2 2 2 2 2
z z x x y y x x y y 4 x y x y 3 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
Vậy z1z2 1.
Câu 37: Đáp án C
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó
2
2 2 3 9 3
OM z a a 3 2a
.
2
2 2
Dấu “=” xảy ra
Câu 38: Đáp án B
3
a .
2
Đặt z x yi với xy , . Suy ra z z 2x
.
2x 2x x
0
z z i z z 2z 2x i 2x
2x 2iy
.
2x
2y
y
x
Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z là tia phân giác của góc phần tư thứ nhất (bao gồm
cả gốc tọa độ).
Câu 39: Đáp án A
z x iy , z x iy . Từ giả thiết ta có
Đặt
1 1 1 2 2 2
20

2 2
2 2 2 2
x1 y1 9
x1 y1 x2 y2
2 2
x1x2 y1 y2
6
x2 y2
16
2
2
2 2 2 2 2 2
x 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 108
1
x2 y1 y2
37
x y x y x y x y x x y y
z z z z z 6 6 3i
3 3 3
i.
16 8 8
1 1 2 1 2
Vậy z
2
z2 z2z2 z2
Câu 40: Đáp án B
Gọi M là trung điểm BC.
2 2a
Từ giả thiết ta có BC 2 a, AG AI , AAG
60 .
3 3
Suy ra
2a
3
AG
AG tan 60 .
3
1 1 2a
3 3
Ta có V SABC. AG AB. AC. AG . a. a 3. a .
2 2 3
V
Vậy 3 V 1
a.
3
a
Câu 41: Đáp án D
Ta có
SA ABC
AC ABC
SA ABC
AB BC
SA AC .
SB
BC .
Tâm I của mặt cầu là trung điểm của cạnh huyền SC.
2 2 2 2 2 2 2 2
SC SA AC SA AB BC a a a a 3
Bán kính: R SI .
2 2 2 2 2
Câu 42: Đáp án D
a
ABC có BC a.tan ;
AC .
cos
2 2
a tan a sin
2 2
S
BC. AC a
sin 2
1 tan
cos
cos
.
Do đó (A), (B), (C) đúng cho nên (D) sai.
Câu 43: Đáp án C
21

Gọi V1,
V
2
lần lượt là thể tích hình trụ và hình nón. Khi đó
V1
2 Rh 2 Rasin
2sin 3
V
Ra Ra
. Vì 0
90 nên 60.
2
Câu 44: Đáp án C
Gọi ST là đường sinh hình nón.
Ta có
3
tan IST OTI IST 30 .
3
OIT có
3
OT
R 2 1.
cos30
3
2
4 3 4
Vậy V R .
3 3
Câu 45: Đáp án A
2 2 3 2
V 6 x 12 2x x 2x x 6 2x x 12x 36 2x 24x 72x
.
Ta có
3 2
Xét hàm số f x 2x 24x 72x
trên 0;6
2 x
6
f x 6x 48x 72; f x 0
x
2
Khi đó f
x f
max 2 64 đvtt. Đến đây nhiều bạn vội vã khoanh C mà không đắn đo gì.
0;6
Tuy nhiên, nếu vội vã như vậy là bạn đã sai, bởi đề bài yêu cầu tìm thể tích Chocolate nguyên
chất mà không phải là thể tích hộp do đó ta cần. Tức là
1 3
1 thể tích hộp, tức là
4 4
3 .64 48 (đvtt).
4
Câu 46: Đáp án B
Cách 1:
B S và OAB đều nên ta có hệ phương trình sau:
2 2 2
xB yB zB 4xB 4yB 4zB
0
2 2
OA
OB
2 2
OA AB
22

2 2 2
xB yB zB 4 xB yB zB xB yB zB
8
2 2 2
2 2 2
32 xB yB zB xB yB zB
32
2 2 2 2 2
32 4 x 4
2 xB yB zB 8 xB yB
0
B
yB z
B
x 4
B
yB zB
8 zB
2 2 2
2
2
xB yB zB 32 xB yB 2xB yB zB
32
xB yB 4
xB yB
4
xB
0 xB
4
yB
4 hay yB
0
zB
4
zB
4
Trường hợp 1: OA 4;4;0 , OB 0;4;4 OA, OB 16; 16;16
Phương trình mp OAB : x y z 0
Trường hợp 2: OA 4;4;0 , OB 4;0;4 OA, OB 16; 16; 16
Phương trình mp OAB : x y z 0.
Cách 2
S có tâm I 2;2;2
, bán kính 2 3
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp
Khoảng cách ;
2 2 2
d I P R r .
3
P đi qua O có phương trình dạng:
P đi qua A, suy ra b
d I;
P
a.
23
R . Nhận thấy O và A đều thuộc
OA 4 2
r .
3 3
ax by cz a b c
2 2 2
0; 0 .
2 2 abc 2 2c
2
a b c 2a c
2
4 4
2 2
2a
c 3
2 2 2 2 2
3 3 3
c
12 8 4
2 2 2 2 2
c a c c a c a
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm: x y z 0, x y z 0 .
Câu 47: Đáp án A
Ta thấy A , A
và B.
.
S .

Áp dụng định lý hàm số Cosin cho tam giác MAB ta có:
2 2 2 3 6 1 9
MA BA BM 2 BA. BM.cos60 6 2 6. . .
2 2 2 2
Suy ra
MA
3 2
2
. Từ đây ta nhận thấy
2 2 2
AB MA MB nên tam giác MAB vuông tại M
và có MAB 30.
Mặt khác:
2 2 1 1
sin , , 30 MAB .
6. 6 2
Từ đó suy ra M chính là hình chiếu của B lên mặt phẳng .
x 2 y 2 z 6
2 1 1
Khi đó MB : M 2m 2; m 2; m
6
Vì M thuộc mặt phẳng nên
1 3 13
22m 2 m 2 m 6
3 0 m M 1; ;
2 2 2 .
Vậy
3 13
M
1; ;
2 2 .
Câu 48: Đáp án B
Góc giữa và
Ta có B 3 2 t; 1 t;3
t
là 30 . Điểm 1;0;4
A .
và 6
AB nên B3; 1;3 hoặc 1;1;5
Vì BA 2BC
6 và ABC 60 nên tam giác ABC vuông tại C.
24
.
B .
Suy ra : BAC 30, do đó C là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng .
Từ đó ta tìm được hai điểm C tương ứng với hai điểm B ở trên là:
5 5
C
;0;
2 2 hoặc 1 11
C
;0;
2 2 .
Câu 49: Đáp án D
x32t
Ta có phương trình tham số của d là: y
2 t với t .
z
1 t
Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình:
3 2t 2 t 1 t 2 0 t 1 M 1; 3;0 .

Lại có VTPT của
Vì nằm trong
P là n 1;1;1
, VTCP của d là 2;1; 1
p
u .
P và vuông góc với d nên VTCP u u , n 2; 3;1
d
d p
Gọi N x; y;
z là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đó
MN x 1; y 3; z .
Ta có MN vuông góc với u
nên ta có hệ phương trình: 2x 3y z11 0
Lại có N P
và MN 42 ta có hệ:
Giải hệ ta tìm được hai nghiệm
- Nếu N 5; 2; 5
ta có phương trình
- Nếu N 3; 4;5
ta có phương trình
Câu 50: Đáp án B
Vì ABCD là hình thang cân nên AD BC
3 .
x y z 2 0
2x 3y z 11 0
2 2 2
x 1 y 3
z 42
x; y;
z là 5; 2; 5 , 3; 4;5
Gọi là đường thẳng qua C và song song với AB.
Gọi S là mặt cầu tâm A bán kính 3
.
x 5 y 2 z 5
: .
2 3 1
x 3 y 4 z 5
: .
2 3 1
R . Điểm D cần tìm là giao điểm của và
Đường thẳng có vectơ chỉ phương AB 2;6;3
nên có phương trình:
2 2 2
Phương trình mặt cầu S x y z
: 3 1 2 9 .
Tọa độ điểm D là nghiệm của phương trình
+ Với 1
+ Với
t
1
2 2 2 2
2t 1 6t 4 3t 5 9 49t 82t
33 0
33 . t
49
t thì 4; 3;0
33
t thì
49
D : không thỏa vì AB CD
7 .
164 51 48
D
; ;
(thỏa mãn).
49 49 49
.
S .
x
22t
y 3 6t
.
z
3 3t
25

ĐỀ SỐ 12
BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
3
Câu 1: Cho góc thỏa mãn
và sin2cos
1. Tính A 2tan cot .
2
A. 6. B. 1 .
6
Câu 2: Tìm các nghiệm x 0; của phương trình sau
2
A.
5
x . B.
18
Câu 3: Cho khai triển nhị thức:
C. 2. D. 1 .
2
2 x 2 3
4sin
3 sin 2x 1 2cos x
2 2 4
5
7
x ; .
18 18
hạng có tỉ số lũy thừa của a và b bằng
3
2 3 2
a b b
b
3 2
a a
3n
C.
1
biết rằng
2
7
x . D. x
18
với a 0, b 0. Hãy xác định hệ số của số
0 1 1 2 1 3 3 2n
10923
3 C2n C2n C2n C2n ...
C2n
2 4 2n
1 5
A. 161280. B. 280161. C. 280116. D. 116280.
Câu 4: Cho tập hợp A gồm n phần tử n 4
. Tìm n biết rằng trong số các phần tử của A có
đúng 16n tập con có số phần tử là lẻ.
A. n 8.
B. n 9.
C. n 10.
D. n 16.
Câu 5: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm
nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu
nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại.
A. 2 .
11
B. 3 .
11
C. 4 .
11
D. 2 .
3
Câu 6: Tính giới hạn
A. 2 .
3
2 2 2
lim1 1 ... 1
2.3 3.4
n1n2
B. 0 C. 1 .
3
1
D. .

2
Câu 7: Tính giới hạn lim xx
x 1
x
A. 1 .
2
B.
1
.
C. D.
2
Câu 8: Cho hàm số
A.
B.
C.
D.
3
x
y sin 3x
. Tính đạo hàm y’.
3 4
4 4 .
2 3
y ' x sin 3x x cos 3x
4 3 .
2 3
y ' x sin 3x x cos 3x
4 4 .
3 2
y ' x sin 3x x cos 3x
4 4 .
2 3
y ' x cos 3x x sin 3x
Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;2) và đường tròn (C) có tâm I, bán kính R. Gọi
M
2 2
C
và
N C ' : x y 2x
4 0 sao cho MN IA . Gọi y , y lần lượt là tung độ
các điểm M, N. Hỏi mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
yM
A. yM
yN
4. B. yMyN
0. C. yM
yN
4. D. 1
y
Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a, AD b, AA'
c . Tính khoảng
cách từ điểm A đến đường thẳng BD’
M
N
N
A.
a b
c
2 2
a b c
2 2 2
B.
b c
a
2 2
a b c
2 2 2
C.
c a
b
2 2
a b c
2 2 2
Câu 11: Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số
3 2
y ax bx c
Phương án nào sau đây là đúng?
A. a 2; b 3; c 4.
B. a 1; b 3; c 4.
C. a 1; b 3; c 4.
D.
ab bc ca
a b c
2 2 2
2

D. a 1; b 3; c 4.
Câu 12: Tìm giá trị của m để hàm số
định của nó.
2
mx 2x
1
y
luôn đồng biến trên từng khoảng xác
x 1
A. 0m
1 B. 0m
1 C. 0m
1 D. 0m
1
Câu 13: Cho hàm số
đúng?
A. Hàm số f x chỉ có cực đại;
B. Hàm số f x chỉ có cực tiểu;
9 8 6 5 4 2
x x x x x x
f x
x 2017 . Mệnh đề nào sau đây
9 8 6 5 4 2
C. Hàm số f x chỉ có cực đại và cực tiểu;
D. Hàm số f x không có cực trị.
3 3 3
Câu 14: Tìm điều kiện của a,b để hàm số
y x a x b x có cực trị.
A. ab 0
B.
a
0
b
0
C.
a
0
b
0
D. ab 0
Câu 15: Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số
về hai phía đối với đường tròn
y x x
3 2
3 2 có điểm cực đại và cực tiểu nằm
2 2 2
C x y m my m
m
: 2 x 4 5 1 0.
5
A. 1m
B.
3
5
1 m C. 3 m
1 D.
3
5
3
3
m 1
5
Câu 16: Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
;
3 3. Tính Mm.
f x 5cos x cos5x
A. 6 3. B. 8. C. 12 3. D. 3 3.
Câu 17: Một đường dây điện nối một nhà máy điện từ A đến một hòn đảo tại C. Khoảng
cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới
nước mất 5000 USD, còn đặt dưới đất là 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để
khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C ít tốn kém nhất?
A. 11 .
4 km B. 13 .
4 km C. 15 .
4 km D. 17 .
4 km

2
x x
Câu 18: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y
x 1
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 19: Cho hàm số
3 2 2
y x 2mx m x 1 m
có đồ thị (C m ). Tìm giá trị nguyên của m để
(C m ) tiếp xúc với trục hoành.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C : y x 3x
4 và
Câu 20: Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị
3 2
tiếp xúc với đường thẳng y 2x 2.
A.
C.
y x x
2
2 6 4.
B.
y x x
2
2 6 4.
D.
y x x
2
2 6 4.
y x x
2
2 6 4.
Câu 21: Cho hai hàm số
f
e
x
e
2
x
x
và gx
e
x
e
2
x
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. f x là hàm số lẻ trên . B. g x là hàm số lẻ trên .
C. f ' x g x
D. g ' x f x
Câu 22: Cho log
23 a,log 25
b. Hãy tính log3
125
b
A. .
3a
B. 3 b
.
a
Câu 23: Cho log12 6 a,log12
7 b. Hãy tính log2
7
C. 2 a
.
b
D. 2 b
.
a
a
A. .
a 1
a
B. .
1 b
Câu 24: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình
x
4
a
C. .
1 b
2 3
log xlog x 3 2
1 1
1 x 1 1 x 1
b
D. .
1 a
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 25: Tìm miền xác định của hàm số
2 log x
ln 8 3 4
2 log x
y
A. D 100;
B. D 0;
C. D 1000;
D. D 10;
Câu 26: Tìm m để phương trình
3log 2x x 2m 4m log x mx 2m
0
2 2 2 2
27 1
3

có hai nghiệm x1,
x
2
sao cho
x
2 2
1
x2 1
.
A.
1 m 0
2 1 .
m
5 2
B.
1 m 0
2 1 .
m
5 2
C.
1 m 0
2 1 .
m
5 2
D.
1 m 0
2 1 .
m
5 2
Câu 27: Cho
1
x, y, z, t ;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
1 1 1 1
P log
x y log
y z log
z t logt
x
4 4 4 4
A. 4. B. 8. C. 16. D. 64.
Câu 28: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý, với
lãi suất 1,65% một quý. Hỏi bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ
số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi).
A. 15 quý. B. 16 quý. C. 17 quý. D. 18 quý.
b
Câu 29: Giả sử S a
ln 1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
c
các trục tọa độ. Hỏi mệnh đề nào là đúng?
x 1
y với
x 2
A. ab c 8 B. a b
C. a b c 1 D. a 2b 9 0
Câu 30: Giả sử rằng
m n p .
x mcos3x
1
x 2 sin 3xdx sin 3x C . Tính giá trị của
n p
A. 14 B. 2.
C. 9 D. 10
Câu 31: Cho f là một hàm số. Tìm số thực a 0 sao chox
0,
x
a
f t
dt 62
2
t
A. 7. B. 8. C. 9. D. 10.
Câu 32: Cho
f x là hàm liên tục và a 0 . Giả sử rằng với mọi x 0;
a
ta có f x 0
và f x f a x 1. Hãy tính
a
A. a. B. .
2
a
dx
I theo a.
f
0 1
x
C. 2a D.
a
2 .
x
Câu 33: Hàm số
2 x
e
f x t ln tdt
x
e
5

A. Đạt cực tiểu tại x 0 và đạt cực đại tại x ln 2.
B. Đạt cực tiểu tại x ln 2 và đạt cực đại tại x 0.
C. Đạt cực tiểu tại x 0 và đạt cực đại tại x ln 2.
D. Đạt cực tiểu tại x ln 2 và đạt cực đại tại x 0.
Câu 34: Hình phẳng S giới hạn bởi ba đường y x, y 2 x, x 0 . Khi quay S quanh Ox,
Oy tương ứng ta được hai vật thể tròn xoay có thể tích là V , V . Hãy lựa chọn phương án
đúng?
A. V y
.
B. Vx
12.
3
C. V
x
20
Vy
.
D. V
3
Câu 35: Một khu rừng có trữ lượng gỗ
x
x
y
8
Vy
.
3
5 3
4.10 m . Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu
rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ? (Lấy số
gần đúng).
A.
C.
5 3
4,8666.10 m .
B.
5 3
4,6666.10 m .
D.
Câu 36: Cho n , n 3
5 3
4,7666.10 m .
5 3
4,5666.10 m .
thỏa mãn phương trình n
n
thực và phần ảo của số phức z 1
i
n
.
log 3 log 9 3. Tổng phần
4 4
A. 3. B. 2. C. 1 D. 0
2
Câu 37: Cho phương trình
z1
phương trình có hai nghiệm z1,
z
2
thỏa mãn
z
dương.
A. a 0.
B. 2.
Câu 38: Gọi
1, 2, 3,
4
S z z z z
8z 4 a 1 z 4a
1 0 với a là tham số. Tìm a để
2
là số ảo, trong đó z
2
là số phức có phần ảo
a C. a 0;2 .
D. a
z z z z là các nghiệm của phương trình z 2 z 2 z
2018 2018 2018 2018
1 2 3 4
0;1;2 .
1 2 2 0. Hãy tính
A. S 2.
B. S 2.
C. S 1.
D. S 1.
Câu 39: Cho ba số phức a,b,c phân biệt, khác 0 và thỏa mãn a b c . Biết một nghiệm
của phương trình
2
az bz c
0 có môđun bằng 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
6

A. b
2
4 ac.
B.
2
b ac.
C.
b
2
2 ac.
D. b
2
3 ac.
Câu 40: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A
sao cho BC AC ' 5a
và AC 4a
. Tính thể tích hình lăng trụ.
3
A. V 9 a . B. V
3
36 a . C.
V
3
18 a . D. Kết quả khác.
Câu 41: Một hộp đựng quả bóng tennis được thiết kế có dạng hình trụ sao cho đáy hộp là
đường tròn bằng với đường tròn lớn của quả bóng và chứa đúng 5 quả bóng (khi đậy nắp hộp
thì nắp hộp tiếp xúc với quả bóng trên cùng). Cho biết chiều cao của hộp là 25 cm. Tính diện
tích một quả bóng tennis.
A.
S
2
25 cm B.
S
2
C.
25
cm
S
2
D.
50
cm
S 100
cm
Câu 42: Thiết diện qua trục của một hình nón tròn xoay là tam giác đều, cạnh a. Tính tỉ số
thể tích của hình cầu ngoại tiếp và hình cầu nội tiếp hình nón.
A. 2. B. 2. C. 4. D. 8.
Câu 43: Cho hình chữ nhật ABCD cạnh AB 4, AD 2 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB
và CD. Cho hình chữ nhật quay quanh MN ta thu được hình trụ tròn xoay. Tính thể tích của
hình trụ tròn xoay.
A. V 4 .
B. V 8 .
C. V 16 .
D. V 32 .
Câu 44: Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc
60 . Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay có đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
A.
S
xq
2
a
. B. S
3
xq
2
2
a
. C.
3
Sxq
a
2 . D.
Sxq
2
2 a .
Câu 45: Cho hình lập phương (L) và hình trụ (T) có thể tích lần lượt là V
1
và V
2
. Cho biết
chiều cao của (T) bằng đường kính đáy và bằng cạnh của (L). Hãy chọn phương án đúng.
A. V V .
B. V V .
1 2 1 2
C. V . 1
V 2
D. Không so sánh được.
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
phẳng : x y 2z
8 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. cắt (S) theo một đường tròn.
B. tiếp xúc với (S).
S : x y z 4y 2z
4 0 và mặt
2
7

C. quâ tâm I của (S).
D. và (S) không có điểm chung.
Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ sao cho
A O0;0;0 , B a;0;0 , D 0; a;0 , A' 0;0;
a
. Xét các mệnh đề sau:
(I). x y z a 0 là phương trình mặt phẳng (A’BD).
(II). x y z 2a
0 là phương trình mặt phẳng (CB’D).
Hãy chọn mệnh đề đúng.
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho
ABC có A1;1;0 , B 0;2;1
và trọng tâm
G 0;2; 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng
(ABC).
A.
x
1
t
y 3 t
z
4
B.
x
1
t
y 3 t
z
4
C.
x
1
t
y 3 t
z
4 t
D.
x
1
t
y 3 t
z
4
Câu 49: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tập hợp các điểm M sao cho AMB 90
với A2; 1; 3 , B0; 3;5
A. x 1 2 y 2 2 z
1
2
18. B. x y z
2 2 2
1 2 1 18.
C. x 1 2 y 2 2 z
1
2
3.
D. x y z
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
2 2 2
1 2 1 3.
x 1 y 1 z 2
d : và
1 1 2
mặt phẳng P : x 2y z 6 0 . Mặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P) theo giao tuyến là đường
thẳng cách gốc tọa độ O một khoảng ngắn nhất. Viết phương trình mặt phẳng (Q).
A. x y z 4 0
B. x y z 4
0
C. x y z 4 0
D. x y z 4
0
Đáp án
1-B 2-A 3-D 4-A 5-B 6-C 7-B 8-A 9-D 10-A
8

11-D 12-B 13-D 14-D 15-C 16-A 17-B 18-C 19-C 20-A
21-D 22-B 23-D 24-A 25-A 26-C 27-B 28-D 29-A 30-A
31-C 32-B 33-A 34-D 35-A 36-D 37-C 38-C 39-B 40-A
41-B 42-C 43-B 44-B 45-B 46-D 47-D 48-D 49-A 50-C
Câu 1: Đáp án B
Vì
3
nên sin
0,cos
0.
2
LỜI GIẢI CHI TIẾT
sin
2cos
1
1 2cos
cos 1
2 2
sin cos 1
Ta có 2 2
5cos 4cos 0 cos
5
Suy ra
Vậy
2 4
2 3 3 4
sin 1 cos ;tan ;cot
5 4 3
3 4 1
A 2tan cot 2. .
4 3 6
Câu 2: Đáp án A
Ta có
2 x 2 3
4sin
3 sin 2x 1 2cos x
2 2 4
3
2 1 cos2
x 3 cos 2x 11 cos2x
2
2 2cos x 3 cos 2x 2 sin 2x sin 2x 3 cos 2x 2cos x
1 3
sin 2x cos 2x cos x sin 2x cos x
2 2 3 3
5 2
2x x k2
x k
3 2
18 3
k
5
2x x k2
x k2
3 2
6
Vì x
0;
2 nên ta chọn được nghiệm 5
x .
18
Câu 3: Đáp án D
9

Xét
3 3
C C
2k1 2n1
2k
2k1
2n
2n1
và
Điều kiện bài toán tương đương với:
1 1
C C
2k1 2n1
2k
2k1
2n
2n1
3 1 3 2n1 1 2 4 2n
10923
C2n1 C2n 1
... C2n 1 C2n1 C2n 1
...
C2n
1
2n1 2n1 5
2n1 2n1
2 2 1 2 0 10923
. C2n
1
.
2n1 2 2n1 2 5
Giải phương trình này hết sức đơn giản ta tìm được n 7.
Ta có:
3
21
2 3 2 21
a b b
b
3 2
a a
k 0
k
21
k k
k k 8 21 5 21
3 3 3 3
C a b b a
Hệ số của số hạng có tỉ số lũy thừa của a và b bằng
Vậy hệ số của bài toán thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Câu 4: Đáp án A
1 2 3
n n n
10
1
nên:
2
14
C21 116280.
k 5k
35
3 35 1
k 14
k 8k
56
2
3 3
C , C , C ,... lần lượt là số các tập con của A gồm 1;3;5… phần tử. Ta luôn có
C C C ... C 2 C C C ... 2
0 1 2 n n 1 2 3 n1
n n n n n n n
Từ giả thiết ta có phương trình:
n1 n5
2 16n 2 n *
Vì n4,
n nên ta xét n 5 thấy không thỏa (*), do đó ta xét n6,
n
5
Xét hàm số f x 2 x
x liên tục trên nửa khoảng
6; , x
x5
Ta có f ' x 2 ln 2 1 0, x 6 f x
liên tục và đồng biến trên nửa khoảng
x và f
8 0 x 8 là nghiệm duy nhất của phương trình
Vậy n 8 thỏa mãn đề bài.
Câu 5: Đáp án B
Số cách chọn 3 hộp sữa từ 12 hộp là:
Số cách chọn 3 hộp có cả 3 loại là
3
C12 220
1 1 1
C5C4C3 60
Xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại là 60
3 .
220 11
Câu 6: Đáp án C
x 5
2 0, 6,
6; ,
x x x .

Đặt
x n
2 2 2
1 1 ... 1
2.3 3.4
n1n2
2 k k
3
Từ 1 , k 1,...,
n ta có
k 1 k 2 k 1 k 2
x
n
nn
3
n
n n n
1.4 2.5 3.6 3
...
2.3 3.4 4.5 1 2 3 1
1
Vậy lim xn
.
3
Câu 7: Đáp án B
1 1
lim x x x 1 lim x
x x 1 lim x x x 1
x x
2
Ta có
x x 2
x
2
Câu 8: Đáp án A
1
1
1
2
2 1
2 x 1
lim x 1 1 lim x
.
x
2
x
x
1 2
1 1
2
x
3
'
3
'
x x 2 3
' sin 3 sin 3 sin 3 cos 3
y x x x x x x
3 4 3
4
4 4
Câu 9: Đáp án D
Do MN IA nên N T M
IA
M C N C 1 là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến T
IA
Do
T I A nên
IA
C x y
'
1
2 2
: 1 2 9.
1
N C C tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình
2 4 0 1 5
x y
2 2
x y x x xN
2 2
1 2 9 y 0 yN
Suy ra x 1
5, y 4
M
Vậy D sai.
Câu 10: Đáp án A
Do
M
AB AD ' nên ABD'
vuông tại A.
11

Trong
ABD'
kẻ đường cao AH thì AH d A, BD '
Trong ADD ' ta có AD ' AD DD ' b c
BD ' AB AD a b c
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
AB. AD ' a b c
Xét ABD'
ta được AH. BD ' AB. AD ' AH
BD ' a b c
2 2 2
.
Vậy d A, BD '
Câu 11: Đáp án D
AH
a b
c
2 2
a b c
2 2 2
Vì đồ thị hàm số đi qua các điểm (0;-4),(l;0),(-l;-2) nên
Câu 12: Đáp án B
Tập xác định:
D
1
c 4 a
1
a b c 0 b
3
a b c 2
c
4
mx
y '
2
2mx
1
x 1
2
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y' 0, x 1
Xét m 0, ta có
1
y' 0, x 1
(thỏa).
x
1 2
Xét m 0
Yêu cầu bài toán
Kết luận: 0 m
1.
Câu 13: Đáp án D
Tập xác định: D
2
' m m 0 0m
1
0 m 1.
m
0
m
0
f x x 8 x 7 x 5 x 4 x 3 x x x 7 x 4 x 2 x
' 1 1 1
3 7 4 2
x 1 x x x x
10 5
x x
1
1 1
2 2
x x 1 x x 1
12

Vậy hàm số
2
5 1
3
x
2 4
0, x
2
1
3
x
2
4
f
Câu 14: Đáp án D
Tập xác định: D
x không có cực trị.
y ' 3x a 2 3x b 2 3x 2 3x 2 6a b x 3a 2 b
2
Hàm số có cực trị y ' 0 có hai nghiệm phân biệt
2 2 2
' 9 a b 3.3 a b 0 ab 0.
Câu 15: Đáp án C
Hàm số xác định và liên tục trên .
Ta có:
2 2 x
0
y ' 3x 6 x ; y ' 0 3x 6x
0
x
2
Tọa độ các điểm cực trị: A0;2 , B2; 2
.
Cách 1
Đồ thị hàm số có điểm cực trị nằm về hai phía đối với đường tròn (C m ) khi và chỉ khi
m m 2 m m m
2
4 8 5 1 4 4 4 8 5 1 0
2 2 2
5m 8m 3 5m 4m 7 0 5m 8m
3 0
(vì
2
5 4 7 0,
m m m
)
3
m 1.
5
Cách 2
Đường tròn C : x m 2 y 2m
2
1 có tâm ;2
Ta có:
đường tròn
m
2 2 36 6
IB 5m 4m 8 5m 1
R
5
5 5
m
2
13
I m m , bán kính R 1.
C . Do đó điểm A nằm ở phía trong đường tròn C
IA 1 R 5m 8m 4 1 5m 8m 3 0 m 1.
5
2 2 3
m
điểm B nằm ở phía ngoài
, tức là:

Câu 16: Đáp án A
f ' x 5sin x 5sin 5x 10cos3xsin 2 x.
x
k
sin 2x
0 2
f ' x
0 , k
cos3x
0
x k
6 3
.
Do x
;
3 3
nên x
;0;
6 6
Ta có
f f 2, f f 3 3, f 0
4.
3 3 6 6
Suy ra M 3 3, m 2 . Vậy Mm 6 3.
Câu 17: Đáp án B
Gọi x là khoảng cách từ S đến B. Khi đó khoảng cách từ S đến A là x x
mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là:
2
5000 1 30004
f x x x
2
5000x 5x 3 1x
f ' x
3000 1000
2 2
1x
1x
3
f ' x
0 x .
4
5000 3
f ' x
0, x f ''
0.
4
Do đó
2
1
x 3
13 3
min f x
x .
4 4
x
0;
Vậy để chi phí ít tốn kém nhất thì S phải cách A là 13 .
4 km
Câu 18: Đáp án C
Tập xác định: D ; 1 0;
{1}.
4 0 4 . Chi phí
Ta có
lim
y
x1
x 1
lim y
x1
là tiệm cận đứng.
lim y1
y 1 là tiệm cận ngang.
x
14

lim y 1
y 1 là tiệm cận ngang.
x
Do đó đồ thị hàm số đã cho có 3 tiệm cận.
Câu 19: Đáp án C
(C m ) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
3 2 2
x mx m x m
3 2 2
2 1 0
x 2mx m x 1 m 0
2 2
m
3x 4mx m 0 x
m,
x 3
3
m 3;1;
2
Do m nên m 3; m
1
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 20: Đáp án A
(C) có hai điểm cực trị là A0;4 , B 2;0
Gọi P : y ax 2 bx c a
0
Ta có A B P
là parabol cần tìm.
c 4 b 2a
2
,
.
4a 2b c 0 c
4
P : y ax 2 a 1 x 4
2
Khi đó
(P) tiếp xúc với đường thẳng y 2x 2 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
2
ax 2 a 1 x 4 2x
2
a 2 b 6.
2ax
2 a 1 2
P : y 2x 6x
4 .
Vậy parabol
2
Câu 21: Đáp án D
x x
e
x x và e
f x f x
2
Do đó
f
x là hàm số chẵn. Suy ra A sai.
Chứng minh tương tự
Mặt khác, f x g x
Vậy chỉ có D đúng.
Câu 22: Đáp án B
g x là hàm số lẻ. Suy ra B sai.
' . Suy ra C sai.
15

log2
5 3b
Ta có log3125 3log35 3 .
log 3 a
Câu 23: Đáp án D
2
a
Ta có a log12 6 1; b log12
7 1 . Suy ra 0
1 a . Do đó (A) sai.
a
Rõ ràng b a 0 1.
Do đó (C) sai.
1
b
log12
7 b
Mặt khác log2
7 .
log 2 1 a
12
Vậy (D) là phương án đúng.
Câu 24: Đáp án A
Điều kiện: x 0
Phương trình đã cho tương đương với
2 3
log x log x 3 2 3
x x log x log x 3 log x log x
x
1
log x 0
1
x
x x
x
x
10
log x 2
1
x
100
2
log log 3log 2 0 log 1 .
Vậy phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm nguyên.
Câu 25: Đáp án A
Hàm số xác định khi và chỉ khi
x
0
x 0
2log x 3 2log
x
8 4
2 log x 3
8 4 2 log x
0
x
0 x
0
2 2
9 9 log 4 2 log
x x
9 2 log x 42 log x
x0 x0
x 100.
log x2 x100
Vậy miền xác định của hàm số đã cho là: D 100;
Câu 26: Đáp án C
2log x 2log
x
8 4
3 2
16

Ta có:
3log 2x x 2m 4m log x mx 2m
0
2 2 2 2
27 1
2 2 2 2
x x m m x mx m
log 2 2 4 log 2
3 3
2 2
x mx m
2 0
2x x 2m 4m x mx 2m
2 2 2 2
2 2
x mx m
2 2
x mx 2m
0
2 0
2 2 x1
m
x m 1
x 2m 2m
0
x2
1m
Phương trình đã cho có hai nghiệm x1,
x
2
thỏa mãn
2
2
m m m m 2
m
2 .2 2 0 4 0
2 2
2
1 m m. 1 m
2m 0 2m m 1 0
2 2
2
2m 1 m
1
5m
2m0
m
0
1 m 0
1
1 m
2 1 .
2 m
2
5 2
m
0 m
5
Câu 27: Đáp án B
Dễ dàng có được
2 2 2 2
x x y y z z t t
3
17
x
2 2
1
x2 1
1 1 1 1
; ; ; 1
4 4 4 4
Dấu “=” xảy ra trong các bất đẳng thức này khi và chỉ khi
1
x y z t
2
1
Vì x, y, z, t ;1 nên theo tính chất của lôgarit với cơ số dương và bé hơn 1 nên từ (1) ta
4
có:
1 1 1 1
y y z z t t x z
4 4 4 4
2 2 2 2
log
x
log
x
;log
y
log
y
;log
z
log
z
;logt logt
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức này, ta được:
1 1 1 1
log
x y log
y z log
z t logt z 2log x
y log
y
z log
z
t logt
x
4 4 4 4
Dễ thấy log
x
y;log y
z;log z
t;log
t
x luôn dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
(2)

log log log log 4 4
x
y
y
z
z
t
t
x log
x
ylog y
z log
z
t log
t
x 3
Mà
log
x
z log
xt
log
x
y log
y
z logz t logt x logx y logt
x 1 4
log y log z
Từ (2). (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.
Câu 28: Đáp án D
x
Người gửi 15 triệu đồng sau n quý sẽ nhận được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 15. 1,0165
n .
Để có ít nhất 20 triệu ta phải có
15. 0,165 20
Vậy người đó cần gửi tiền liên tục 18 quý.
Câu 29: Đáp án A
n
x
n log 0,0165 log 20 log15
20
log
n 15 17,58.
log 1,0165
Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có tọa độ
1;0 . Khi đó
0 0 0
x1 x1 3
S dx dx 1
dx
x 2
x 2
x 2
1 1 1
0 3
x 3ln x 2 | 3ln 1
1
2
Suy ra a b 3, c 2
Vậy ab c
8.
Câu 30: Đáp án A
Đặt
du
dx
u
x2
cos3x
.
dv sin 3xdx v
3
x
2 cos3x
1
Khi đó x 2sin3xdx sin3 x C.
3 9
Suy ra m 2, n 3, p 9
Vậy m n p 14.
Câu 31: Đáp án C
18

Gọi
Ft là một nguyên hàm của
f t
Theo định nghĩa tích phân ta có:
Cho x a ta thu được a 3 a
9.
Câu 32: Đáp án B
Đặt x a t dx dt .
Ta có
t
2
x 0, F x F a 6 2 x
0
a
a
dt dt f t
I
1 f a t
1
1
a
01
f t
0
f t
dt
Suy ra
2 I I I dt a.
a
0
Vậy
a
I
2
Câu 33: Đáp án A
Gọi F(t) là một nguyên hàm của hàm số tln
t trên 0; .
Ta có 2x
x
f x F e F e
2 2 4 2 2 2
Suy ra f x e x F e x e x F e x xe x xe x xe x e
x
Vậy
' 2 ' 4 4 1 .
f ' x 0 x 0, x ln 2.
Kết luận: f đạt cực tiểu tại x 0 và đạt cực đại tại x ln 2
Câu 34: Đáp án D
Ta có
Vy
Do đó V
1 2
r h (do r h 1)
2
2. 3 3
1 2 2 2 1
Vx
hR r Rr r .1 4 2.1 2
3 3
x
8
Vy
.
3
Câu 35: Đáp án A
Gọi trữ lượng gỗ ban đầu là V 0 , tốc độ sinh trưởng hằng năm của rừng là i phần trăm.
Ta có:
- Sau 1 năm, trữ lượng gỗ là V V iV V i
;
1 0 0 0 1
19

- Sau 2 năm, trữ lượng gỗ là 2
…
- Sau 5 năm, trữ lượng gỗ là 5
5 3
Thay V0 4.10 m ; i 4% 0,04
V V iV V 1 i V 1 i ;
2 1 1 1 0
V V 1 i .
5 0
ta được: V 5
Câu 36: Đáp án D
Ta có n n n n
log 3 log 9 3 log 3 9 3
4 4 4
2 n
7
n 6n 91 0
n
13
7 2
z 1 i 1 i 1 i 88 i.
Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 0.
Câu 37: Đáp án C
Từ giả thiết suy ra z1,
z
2
không phải là số thực. Khi đó
3
a 2 a a 2 a
' 0 4 1 8 4 1 0 4 6 1 0 *
Suy ra
z
z
1
2
5
4.10 1 0,04 4,8666.10
20
m
5 5 3
2 2 2 2
a 1 a 6a 1 i a 1 a 6a 1
i
z ; z z
4 4
là số ảo
1 2 1
a
1
6 1
0 2 0 .
a
2
2
2 2 2 0
z 1
là số ảo a a a
a a
Thay vào điều kiện (*) thấy thỏa mãn.
Câu 38: Đáp án C
Phương trình đã cho tương đương với
2018 2018 2018 2018 2
Ta có
2 2
z 1
i z i
2
z
2z 2 0 z
1 i
1009
1009 2 1009 1009
S z1 z2 z3 z4 i i 2i 2i
1009 1009 1009 1009
i i
2 2 2 2.
Câu 39: Đáp án B
Giả sử z1,
z
2
là các nghiệm của phương trình
0 với z1 1.
2
az bz c
c c 1 c 1
Theo định lí Viet ta có: z1z2 z2 z2
. 1.
a a z a z
1 1

Bởi vì
b
2
z1 z2 ; a b z1 z2
1.
a
1 1
z1 z2 z1 z2 1 z1 z2 1 z1 z2 z1z2
b ac.
z1 z2
Suy ra 2 2
Câu 40: Đáp án A
Đường cao của hình lăng trụ là
2 2
CC ' 25a 16a 3a
1
Do đó V 3 a. .3 a.4a 18a
2
Câu 41: Đáp án B
Đường kính quả bóng tennis là
3
25
2R 5.
5
5
2
2
2
Diện tích quả bóng S 4 R 4 . 25
cm
Câu 42: Đáp án C
Ta có
V
V
1
2
a
3
2
a
3
6
Câu 43: Đáp án B
2
2
4.
Ta có: V MA 2 . MN .4.2 8
Câu 44: Đáp án B
Kẻ SO ABC
2
thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Do ABC đều cạnh a nên ta có
2 a 3
.
AO 3 2 2a
3
SA
cos60
1 3
2
Vậy
S
xq
2
a 3 2a 3 2
a
. OA. SA . . .
3 3 3
Câu 45: Đáp án B
Do (T) nội tiếp trong (L) nên V1 V2
Câu 46: Đáp án D
21

(S) có tâm I 0; 2;1
và bán kính R 3.
2 2 8 4 6
d , R
3.
6 3
Ta có I
Vậy không cắt mặt cầu (S).
Câu 47: Đáp án D
Thay các tọa độ A' 0;0; a, B a;0;0 , D 0; a ;0
vào phương trình ở (I) thấy thỏa. Cho nên
(I) đúng.
Tương tự như vậy ta chứng minh được (III) đúng.
Câu 48: Đáp án D
Do G là trọng tâm ABC nên C 1;3; 4
Ta có AB 1;1;1 , AC 2;2; 4
Đường thẳng qua G nhận u AB; AC 6; 6;0
Câu 49: Đáp án A
Tập hợp các điểm M là mặt cầu đường kính AB.
Tâm I là trung điểm AB I 1; 2;1
nên có phương trình là
x
1
t
y 3 t
z
4
Bán kính R IA 3 2
2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu nói trên là x y z
Câu 50: Đáp án C
1 2 1 18 .
Gọi H,I lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên (P) và .
Ta có d ,
O OI OH . Dấu “=” xảy ra I H .
Đường thẳng OH qua O 0;0;0
nhận 1;2;1
x
t
là y
2t
z
t
Mặt phẳng (P) có phương trình: x 2y z 6 0 .
Từ hai phương trình trên suy ra t 1 H1;2;1
n làm vectơ chỉ phương nên có phương trình
.
22

Khi đó (Q) là mặt phẳng chứa d và đi qua H.
Ta có M 1;1;2
d, vectơ chỉ phương của d là u 1;1; 2 , HM 0; 1;1
.
Suy ra vectơ pháp tuyến của (Q) là n u; HM 1; 1; 1
Hơn nữa (Q) qua điểm 1;1;2
M nên (Q) có phương trình là: x y z 4
0
23