Disipacion y transporte de energia en materiales con ... - UNAM

1.2. LA VISIÓN MACROSCÓPICA 7
Dado que se busca que este vector tenga un significado relevante para el problema
de la respuesta del material, se puede pedir además que fuera del mismo se anule.
Sustituyendo esta expresión en la ecuación de continuidad para la carga inducida,
se tiene que
0 = ∇ · ⃗J ind + ∂ t (−∇ · ⃗P
( )
) ⇒ 0 = ∇ · ⃗Jind − ∂ tP ⃗
Esto se satisface en particular si ⃗ Jind − ∂ t
⃗ P es el rotacional de alguna función ⃗ M,
por lo que
⃗J ind = ∇ × ⃗ M + ∂ t
⃗ P
Esto nos dice que la corriente inducida se puede expresar como la suma de dos
corrientes; la debida a M es siempre cerrada.
De la ley de Gauss se deduce entonces que
∇ · (ɛ 0
⃗ E) = ρext − ∇ · ⃗P
∇ · (ɛ 0
⃗ E + ⃗ P ) = ρext
A esta función cuya divergencia produce la densidad de carga externa se le llama
campo de desplazamiento y se denota por ⃗ D. Teniendo esto en cuenta, y considerando
la ecuación de Ampère-Maxwell, se obtiene también lo siguiente:
∇ × ⃗ B = µ 0 ( ⃗ J ext + ⃗ J ind + ɛ 0 ∂ t
⃗ E)
= µ 0 ( ⃗ J ext + ∇ × ⃗ M + ∂ t
⃗ P + ɛ0 ∂ t
⃗ E)
= µ 0 ( ⃗ J ext + ∇ × ⃗ M + ∂ t
⃗ D)
ó
)
∇ ×
( ⃗B
µ 0
− ⃗ M
= ⃗ J ext + ∂ t
⃗ D
Esta cantidad cuyo rotacional tiene como fuente las corrientes externas y la variación
temporal del campo de desplazamiento se denota por ⃗ H.
Hasta el momento, lo único que se ha hecho es intercambiar el problema de
calcular las cargas y corrientes inducidas por el de encontrar ⃗ P y ⃗ M. Más aún,
se le ha dado al problema un grado más de indeterminación, pues no es claro que las
cantidades de las que se ha hablado estén únicamente definidas, dado que hay más
de una función vectorial cuya divergencia o rotacional tienen el mismo valor. Puede
parecer entonces que seguir por este camino resulta en una mayor complejidad del
problema; sin embargo, veremos que estas cantidades tienen una utilidad, que
radica en la interpretación que se puede hacer de ellas, la cual mostraremos a
continuación.
Para dar una idea del procedimiento a seguir en el caso más general, en vías de
dar una interpretación física de ⃗ P y ⃗ M, conviene que analicemos primero los casos
estáticos.