Disipacion y transporte de energia en materiales con ... - UNAM

32
CAPÍTULO 2. MEDIOS DISIPADORES
En vista de la igualdad ⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) = ⃗ b(⃗a · ⃗c) − ⃗c(⃗a ·⃗b),
⃗E 0 ×
( ⃗k
µω × ⃗ E 0
) ∗
=
( ⃗k
µω
) ∗
| ⃗ E 2 0| − ⃗ E ∗ 0
(
⃗E 0 ·
( ⃗k
µω
) ∗ )
y como ⃗ k · ⃗E 0 = 0 por la condición de ausencia de cargas externas, el segundo
sumando es nulo, y
〈 ⃗ S〉 = |E2 0|
2|µ 2 |ω e−2⃗ k ′′·⃗r Re[µ ∗ ⃗ k] =
|E 2 0|
2|µ 2 |ω e−2⃗ k ′′·⃗r (µ ′ ⃗ k ′ + µ ′′ ⃗ k ′′ ) (2.21)
En el vacío, la dirección del vector de Poynting y el vector de onda siempre coinciden
para ondas planas del tipo cos( ⃗ k ′ · ⃗r − ωt). Como |E2 0 | e−2k′′·⃗r
2|µ 2 |ω
es siempre una
cantidad positiva, lo que este resultado nos dice es que, en un medio sin disipación
magnética, coinciden en dirección, pero el sentido lo determina el signo de µ. Si hay
disipación magnética, entonces la dirección de 〈S〉 y ⃗ k ′ sólo coincide si ⃗ k ′ y ⃗ k ′′ son
paralelos, pues el vector de Poynting tiene una componente en la dirección de la
atenuación (lo cual es natural, pues hay un flujo de energía en esa dirección debido
a la disipación).
Si existe disipación, la proyección de 〈 ⃗ S〉 sobre ⃗ k ′′ , no puede ser negativa, pues
esto nos diría que el medio proporciona energía a la onda; en consecuencia, tiene
que cumplirse siempre que 〈 ⃗ S〉 · ⃗k ′′ ≥ 0. Esto a su vez hace que la proyección del
vector de onda sobre el vector de atenuación no pueda ser cualquiera. Tomemos,
por ejemplo, el caso en el que el tamaño de la componente de µ ′⃗ k ′ sobre µ ′′⃗ k ′′ es
mayor a la magnitud del último; en ese caso, µ ′⃗ k ′ · µ ′′⃗ k ′′ no puede ser negativo,
pues 〈 ⃗ S〉 tendría proyección negativa con ⃗ k ′′ .
µ ′ ⃗ k
′
〈 S〉
.
⃗
µ ′′ ⃗ k
′′
µ ′ ⃗ k
′
〈 S〉 ⃗
.
µ ′′ ⃗ k
′′
Figura 2.2: Si la proyección de µ ′ ⃗ k ′ sobre µ ′′ ⃗ k ′′ es positiva (izquierda), el vector de
Poynting tiene proyección escalar positiva con ⃗ k ′′ . En el caso contrario (derecha), la
proyección puede ser negativa, lo cual no es termodinámicamente aceptable.
Dicho en otras palabras, la proyección escalar de ⃗ k ′ sobre ⃗ k ′′ debe tener -al
menos en este caso- el signo de µ ′ . Por otro lado, la proyección ⃗ k ′ · ⃗k ′′ es, por la
relación de dispersión (2.14), igual a k 2 0n ′ n ′′ . Como n ′ y n ′′ son propiedades del
medio, la proyección tiene que ser la misma (incluido el signo) para cualquier onda.