Disipacion y transporte de energia en materiales con ... - UNAM

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CAPÍTULO 2. MEDIOS DISIPADORES
con lo cual el campo magnético es
⃗B = ⃗ k × E ⃗ 0 e i(⃗ k·⃗r−ω 0t) + [ ⃗ k × E ⃗ 0 e i(⃗ k·⃗r−ω 0t) ] ∗
2ω
[
0
= Re e ⃗ ]
i(⃗ k·⃗r−ω 0t) k
× E
ω ⃗ 0
0
Por último, utilizamos la relación µ(ω)Ĥ = ̂B, y el hecho de que µ también
cumple la propiedad (2.5) para calcular H, ⃗
⃗H =
[
1 e i(⃗ k·⃗r−ω 0t)
⃗ k × E0 ⃗ + ( ei(⃗ k·⃗r−ω 0t) ) ∗ ]
(
2ω 0 µ(ω 0 )
µ(−ω 0 )
k × E ⃗ 0 ) ∗
=
[
]
e i(⃗ k·⃗r−ω 0t) ⃗ k
Re
× E
µ(ω 0 ) ω ⃗ 0
0
En resumen, tenemos
[
⃗E(⃗r, ]
t) = Re ⃗E0 e i(⃗ k·⃗r−ωt)
⃗B(⃗r, t) = Re
[ ⃗k
ω × ⃗ E 0 e i(⃗ k·⃗r−ωt)
]
⃗D(⃗r, t) = Re
[ɛ(ω) E ⃗ ]
0 e i(⃗ k·⃗r−ωt)
[ ]
⃗k
⃗H(⃗r, t) = Re
ωµ(ω) × E ⃗ 0 e i(⃗ k·⃗r−ωt)
(2.17)
Podemos notar un efecto interesante que las partes imaginarias de las funciones de
respuesta tienen sobre estas soluciones a las ecuaciones de Maxwell. Si escribimos
sus argumentos η ɛ = arc cos( ɛ′
|ɛ| ) y η µ = arc cos( µ′
|µ|
), ɛ y µ se expresan en forma
polar como ɛ = |ɛ| e iηɛ , µ = |µ| e iηµ . Con esto, los campos auxiliares se pueden
expresar como
⃗D(⃗r, t) = |ɛ| Re[ E ⃗ 0 e i(⃗ k·⃗r−ωt+η ɛ) ] = |ɛ| E ⃗ (
⃗r, t − η )
ɛ
(2.18)
[
ω
⃗k
|µ| H(⃗r, ⃗ t) = Re
ω × E ⃗ 0 e i(⃗ k·⃗r−ωt−η µ)]
= B ⃗ (
⃗r, t + η )
µ
(2.19)
w
en donde vemos que el módulo juega el papel de un factor de proporcionalidad, lo
que recuerda el caso estático en el que ⃗ D = ɛ ⃗ E y ⃗ B = µ ⃗ H. En el caso en el que ɛ
es real, η ɛ = sgn(ɛ) y sólo hay dos opciones: o bien ⃗ D va en fase con ⃗ E (ɛ > 0), o
bien hay un desfase de π entre ⃗ D y ⃗ E (ɛ < 0). Lo mismo se aplica para µ, ⃗ B y ⃗ H.
Si las partes imaginarias no son cero, el desfase ya no podrá valer ni 0 ni π.
Conforme ɛ ′′ (µ ′′ ) crece, este tiende hacia π/2, independientemente del signo de ɛ ′
(µ ′ ).