Disipacion y transporte de energia en materiales con ... - UNAM

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CAPÍTULO 2. MEDIOS DISIPADORES
⃗E, que induce la distribución macroscópica de dipolos eléctricos, tendrá un factor
Ξ e y ⃗ B, que hace lo análogo para el caso magnético, un factor Ξ m . La isotropía
postulada sólo permite que dichos operadores sean escalares, mientras que la homogeneidad
requiere que sean independientes de la posición. La respuesta a un tiempo
dado será entonces la suma de las contribuciones del campo en todos los tiempos
anteriores. Esto se escribe en su forma más general como
⃗P (⃗r, t) =
⃗M(⃗r, t) =
∫ t
−∞
∫ t
−∞
Ξ e (t, t ′ ) ⃗ E(⃗r, t ′ )dt ′
Ξ m (t, t ′ ) ⃗ B(⃗r, t ′ )dt ′
Tácitamente, al no incluir una dependencia de la respuesta con tiempos posteriores
al considerado, hemos utilizado el principio de causalidad. Si las funciones Ξ
lo cumplen, es decir, Ξ(t, t ′ ) = 0 si t ′ > t, el ĺımite superior de la integral se puede
extender hasta +∞.
Cuando vamos al caso estático, ⃗ E(⃗r) y ⃗ B(⃗r) pueden salir de las integrales, de
modo que, para que el problema esté bien planteado, es necesario que la integral
de Ξ sea independiente de t:
∫ ∞
−∞
Ξ(t, t ′ )dt ′ = Ξ 0
Esto se logra si Ξ(t, t ′ ) es una función de t − t ′ , es decir, si sólo depende del lapso
transcurrido entre el presente y los estados pasados. Escribiendo
Ξ e (t, t ′ ) = ɛ 0 χ e (t − t ′ )
Ξ m (t, t ′ ) = 1 µ 0
χ m (t − t ′ )
obtenemos finalmente que
∫ ∞
⃗P (⃗r, t) = ɛ 0 χ e (t − t ′ ) E(⃗r, ⃗ t ′ )dt ′ (2.1)
−∞
⃗M(⃗r, t) = 1 ∫ ∞
χ m (t − t ′ ) B(⃗r,
µ ⃗ t ′ )dt ′ (2.2)
0
−∞
χ recibe el nombre de susceptibilidad, eléctrica para la relación entre ⃗ P y ⃗ E, y
magnética para la relación entre ⃗ M y ⃗ B.
Este modelo resulta una buena aproximación a un material real homogéneo e
isotrópico cuando los campos electromagnéticos no son muy intensos en comparación
con los campos microscópicos propios del material.