Disipacion y transporte de energia en materiales con ... - UNAM

1.3. INTERPRETACIÓN DE ⃗ P Y ⃗ M 9
Al ser ⃗ M nulo fuera del material, podemos, al igual que en el caso eléctrico, tomar
V como un volumen que contenga propiamente al material. Así, utilizando las
propiedades de ⃗ M y la identidad ∇×(f ⃗ F ) = ∇f × ⃗ F +f∇× ⃗ F , podemos manipular
el potencial de manera análoga a la anterior
4π
µ 0
⃗ Aind (⃗r 0 ) =
=
∫
V
∫
V
∇ × M(⃗r) ⃗
‖⃗r − ⃗r 0 ‖ dV
( ) ∫
⃗M
∇ ×
dV −
‖⃗r − ⃗r 0 ‖
V
(
∇
1
‖⃗r − ⃗r 0 ‖
)
× ⃗ MdV
Pero la integral de ∇ × ⃗ F en V se puede intercambiar por la integral de superficie
de ⇋ ɛ ⃗ F sobre su frontera, siendo ⇋ ɛ el tensor de Levi-Civita,
∫
4π
Aind ⃗ (⃗r 0 ) =
µ 0
∂V
⇋
ɛ
M ⃗
∫
‖⃗r − ⃗r 0 ‖ · d⃗a −
V
(
∇
1
‖⃗r − ⃗r 0 ‖
)
× ⃗ MdV
Y, al anularse ⃗ M sobre la frontera de V , obtenemos finalmente el potencial vectorial:
⃗A ind (⃗r 0 ) = µ ∫
0
4π
V
⃗r − ⃗r 0
‖⃗r − ⃗r 0 ‖ 3 × ⃗ MdV
que corresponde a la forma contínua del potencial generado por un dipolo magnético
puntual ⃗ MdV situado en la posición ⃗r.
En ambos casos, lo que hemos mostrado es que ⃗ P y ⃗ M tienen un significado
físico muy concreto, la densidad de momento dipolar eléctrico y magnético, respectivamente.
Esto hace completa la definición que matemáticamente se había dado
para ellos, y les da un carácter único, al menos en el caso estático. Habiendo hecho
esta introducción, veremos lo que sucede cuando hay una dependencia temporal de
los campos.
1.3.2. Caso dinámico
El procedimiento a seguir es similar a lo que recién hemos mostrado; sin embargo,
los cálculos son más pesados y largos, así que, con el fín de no desviarnos del objetivo
principal, los desarrollamos en un anexo y presentamos aquí los resultados.
Hay que recordar que las soluciones a las ecuaciones de Maxwell con fuentes
ρ(⃗r, t) y ⃗ J(⃗r, t) se pueden obtener a través de los potenciales retardados, dados, en