Disipacion y transporte de energia en materiales con ... - UNAM

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CAPÍTULO 2. MEDIOS DISIPADORES
de manera que, si definimos
ɛ(ω) := ɛ 0 (1 + ̂χ e (ω))
µ 0
µ(ω) :=
1 − ̂χ m (ω) ,
las relaciones entre los campos auxiliares ⃗ D y ⃗ H y los reales ⃗ E y ⃗ B se traducen en
̂D(⃗r; ω) =
ɛ(ω)Ê(⃗r; ω)
µ(ω)Ĥ(⃗r; ω) = ̂B(⃗r; ω)
Es importante recalcar que la interpretación física de ⃗ P y ⃗ M nos permitió establecer
un modelo lineal de respuesta electromagnética, válido para cualquier frecuencia.
Éste tuvo como consecuencia, a su vez, que ̂χ e (ω) y ̂χ m (ω) sean transformadas
de Fourier (complejas, en general) de funciones temporales reales. A continuación
deduciremos algunas propiedades que se siguen de este hecho y algunas otras consideraciones
físicas.
Por ser χ(t) una función real, la definición de la transformada, y la paridad de las
funciones seno y coseno, ̂χ(ω) tiene la siguiente propiedad con respecto al cambio
de signo del argumento:
̂χ(−ω) = ̂χ ∗ (ω) (2.5)
Es claro que ɛ(ω) también es transformada de Fourier de una función temporal real
(a saber, ɛ 0 (δ(t) + χ(t))), lo que le hereda esta misma propiedad. Lo que no es tan
claro es que exista una función temporal real tal que su transformada sea µ(ω). No
obstante, también cumple la propiedad (2.5):
µ(−ω) =
µ 0
1 − ̂χ(−ω) = µ 0
1 − ̂χ ∗ (ω) = µ 0
(1 − ̂χ(ω)) ∗ = µ ∗ (ω)
Las funciones respuesta deben recuperar, por un lado, el caso estático –en el
cual ɛ y µ son constantes reales– en el ĺımite de bajas frecuencias. Esto pasa si la
parte imaginaria de susceptibilidad cumple que
ω→0̂χ′′ lím (ω) = 0
Por otro lado, la inercia de las cargas que componen a un material le impide responder
generando cargas y corrientes inducidas cuando las frecuencias del campo
externo son suficientemente altas, es decir, para que la susceptibilidad sea físicamente
realista, debe cumplir que
|ω|→∞̂χ(ω) lím = 0
Esta propiedad, junto con el principio de causalidad, nos permitirá establecer una
conexión entre las partes real e imaginaria de la susceptibilidad. Para ello, consideremos
la siguiente integral en el plano complejo:
∫
χ(ω)
dω
ω − ω 0
C