Disipacion y transporte de energia en materiales con ... - UNAM

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CAPÍTULO 2. MEDIOS DISIPADORES
pensar también en funciones que están extendidas espacialmente, pero varían en el
tiempo de manera uniforme; por ejemplo, un “pulso temporal”.
Utilizando el índice de refracción n(ω), cuyo cuadrado cumple la relación
n 2 (ω) = ɛ(ω)µ(ω)
ɛ 0 µ 0
la velocidad de la luz c = (ɛ 0 µ 0 ) − 1 2 y el número de onda en el vacío k 0 = ω c , la
relación de dispersión puede escribirse como
⃗ k · ⃗ k =
ω 2
c 2 µɛ
µ 0 ɛ 0
= k 2 0n 2
Llamaremos α y β a las partes real e imaginaria de n 2 , respectivamente. Separando
el vector ⃗ k y el índice de refracción en partes real e imaginaria, vemos que la relación
de dispersión es equivalente a dos ecuaciones reales:
k ′2 − k ′′2 = k0(n 2 ′2 − n ′′2 ) = k0α 2 (2.13)
⃗ k′ · ⃗k ′′ = k0n 2 ′ n ′′ = k0β 2 (2.14)
Considerando que los vectores ⃗ k ′ y ⃗ k ′′ forman un ángulo ψ, y que no son ortogonales,
esta relación tiene solución. Multiplicando la ecuación (2.13) por k ′2 , y utilizando
la ecuación (2.14),
0 = k ′4 − k ′′2 k ′2 − k0αk 2 ′2 = k ′4 − k ′2 k0α 2 − k0
4 4 cos 2 (ψ)
obtenemos una ecuación de segundo grado para k ′2 , con solución
β 2
k ′2 = k0
2 α + √ α 2 + β 2 sec 2 (ψ)
2
(2.15)
en donde escogemos el signo más para la raíz para cumplir el requisito de que k ′
sea un real positivo. Sustituyendo esta solución en la ecuación (2.13), obtenemos
el valor de k ′′2 :
k ′′2 = k0
2 −α + √ α 2 + β 2 sec 2 (ψ)
2
el cual también cumple con la condición de que k ′′ sea real y positivo.
(2.16)
Puede parecer que los valores de k ′ y k ′′ pueden crecer arbitrariamente, por la
presencia de la secante; hay que notar, sin embargo, que si el producto escalar de
⃗ k
′
y ⃗ k ′′ se va a cero, necesariamente lo hace β. Este es precisamente el caso de
ortogonalidad, en el que sólo tenemos una ecuación. Veremos más adelante que hay
otras condiciones que nos permiten resolver ese problema.