Disipacion y transporte de energia en materiales con ... - UNAM

3.1. N 1 REAL, N 2 REAL 39
Como vimos, la atenuación en el medio 2 sólo puede ir en dirección de la normal.
La relación de dispersión (2.14) nos dice que ⃗ k 2 ′ y ⃗ k 2 ′′ son ortogonales. Si k 2 ′′ ≠ 0
entonces Θ 2 = π/2, y, por las condiciones de continuidad de la proyección de ⃗ k ′
(3.1), k 2 ′ = k 1 ′ sen(Θ 1 ); esto, junto con la relación de dispersión (2.13), nos diría
que, en particular en incidencia normal, k 2 ′′2 < 0. Así, la única posibilidad es que
k 2 ′′ = 0, como era de esperarse.
Con esto, la relación de dispersión para cada medio queda como
k ′ i = k 0 |n i |
sustituyendo en las condiciones de continuidad (3.1), y dividiendo entre k 0 tenemos
que
|n 1 | sen(Θ 1 ) = |n 2 | sen(Θ 2 )
La convención que hemos tomado para el ángulo de incidencia, y la condición
de continuidad de S z restringen el ángulo de refracción a tener un valor entre −π/2
y π/2; además, las relaciones (2.21) nos dicen, en este caso en el que el índice de
refracción es real, que
sen(θ i ) = sgn(µ i ) sen(Θ i )
Con lo cual, el ángulo de refracción en términos del ángulo de incidencia nos queda
como
sgn(µ 1 ) |n 1 | sen(θ 1 ) = sgn(µ 2 ) |n 2 | sen(θ 2 )
Esta relación, del ángulo de refracción y de incidencia involucrando sólo las propiedades
del medio y no las de la onda, es la Ley de Snell. En términos de las
propiedades relativas entre ambos medios, la podemos escribir como
sen(θ 1 ) = sgn(˜µ) |ñ| sen(θ 2 ) (3.4)
Dado el ángulo de incidencia siempre es positivo, el ángulo de refracción tendrá el
signo de la permeabilidad relativa. Ahora, si despejamos el ángulo de refracción:
( ) sen(θ1 )
θ 2 = arc sen
sgn(˜µ) |ñ|
vemos que, cuando |ñ| ≥ 1, θ 2 está bien definido, pues el argumento del arcoseno
siempre es menor que uno. Si, por el contrario, |ñ| < 1 entonces habrá un ángulo
de incidencia, dado por θ c = arc sen(|ñ|) (el ángulo crítico) para el cual el rayo
transmitido va en dirección de la interfaz. Dado que el seno es creciente, para todos
los ángulos mayores a θ c , el ángulo de refracción no está bien definido (formalmente,
es un ángulo complejo). Este es el fenómeno de la reflexión total, en el cual el rayo
transmitido desaparece.
Índice de refracción, nuevamente
En este caso es claro que, si a n i le damos el signo de µ i , la ley de Snell (3.5)
queda naturalmente escrita como
sen(θ 1 ) = ñ sen(θ 2 ) (3.5)