Disipacion y transporte de energia en materiales con ... - UNAM

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CAPÍTULO 2. MEDIOS DISIPADORES
2.3. El transporte de la energía electromagnética
2.3.1. El balance de energía en el vacío
Dada una distribución microscópica de carga 2 ϱ(⃗r, t) y de corriente ⃗j(⃗r, t) en
un volumen V en el vacío, el trabajo dw realizado por un campo electromagnético
sobre un elemento de carga ρdV de ésta es
dw = ⃗ f · d⃗r = (ϱdV ⃗e) · ⃗vdt
dado que el campo magnético “no trabaja”. Teniendo en cuenta que ⃗j = ϱ⃗v, obtenemos
que la potencia total transferida por el campo eléctrico hacia la distribución
de cargas y corrientes es
∫
dw
dt = ⃗e · ⃗jdV (2.8)
V
sustituyendo el valor de ⃗j dado por la ecuación de Ampère-Maxwell, la densidad de
potencia ⃗e · ⃗j también se puede escribir
(
⃗e · ⃗j = ⃗e · ∇ × ⃗ )
b
− ɛ 0 ∂ t ⃗e
(2.9)
µ 0
y dada la identidad ∇ · (⃗e × ⃗ b) = ⃗ b · ∇ × ⃗e − ⃗e · ∇ × ⃗ b, y el valor de ∇ × ⃗e dado por
la ley de Faraday,
⃗e · ⃗j = ⃗ (
b
· ∇ × ⃗e − ∇ · ⃗e × ⃗ )
b
− ⃗e · ɛ 0 ∂ t ⃗e
µ 0 µ 0
= − ⃗ b
µ 0
· ∂ t
⃗ b − ⃗e · ɛ0 ∂ t ⃗e − ∇ ·
( µ
−1
0
= −∂ b2 + ɛ 0 e 2
t
2
(
⃗e × ⃗ )
b
µ 0
) (
− ∇ · ⃗e × ⃗ )
b
µ 0
La cantidad dentro de la derivada temporal es la densidad volumétrica de energía
electromagnética u em . Por otro lado, el trabajo es la integral de la densidad de
energía mecánica u mec ; con estas dos observaciones, la ecuación (2.8) se puede leer
así:
(
∂ t (u mec + u em ) = −∇ · ⃗e × ⃗ )
b
µ 0
La cantidad ⃗s = ⃗e × ⃗ b/µ 0 , conocida como el vector de Poynting, es la densidad de
flujo de energía. Este resultado nos dice que el cambio en la energía almacenada en
2 Esta deducción está motivada por la de David Griffiths [5, 346]