Cap. 4 Complejidad temporal de algoritmos - Inicio

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14 Estructuras de Datos y Algoritmos4.15. Sobre el costo O(1).Las personas que conocen los detalles internos de un procesador saben que una suma demoramenos que una multiplicación o división; esto si los números son enteros. En el caso deflotantes los costos son aún mayores que para enteros.Veamos esto con más detalle. Si consideramos números de n bits, y un sumador organizado detal manera que sume primero los bits menos significativos, luego la reserva de salida de éstosmás los dos bits siguientes; y así sucesivamente. Si se considera O(1) el costo de la suma de unbit, entonces la suma de dos enteros de n bits será O(n). Esta estructura de un sumador conpropagación ondulada de la reserva puede mejorarse con circuitos adicionales para generarreservas adelantadas.Un algoritmo primitivo para efectuar multiplicaciones es mediante la suma repetitiva de uno delos operandos.Por ejemplo el producto de dos números de 4 bits:0101*1100------0000000001010101-------0111100Esto implica efectuar n sumas si los operandos son de n bits. Lo cual implica un costo O(n 2 )para la multiplicación, considerando que cada suma es de costo O(n). Razón por la cual sesuelen diseñar unidades de multiplicación, en hardware, con mejores algoritmos.En un ambiente de microcontroladores o microprocesadores que no tengan implementada laoperación multiplicación o división, pero que si tengan en su repertorio de acciones: sumas,restas y desplazamientos a la izquierda y derecha en un bit, se consideran esas instrucciones decosto O(1); nótese que en el ambiente anterior, la suma era O(n).Consideremos, en este último contexto, dos algoritmos para multiplicar:4.17.1. Algoritmos de multiplicación./* retorna m*n */unsigned int multipliquelineal(unsigned int m, unsigned int n){ unsigned int r=0;while ( n>0 ){ r+=m; n--; }return(r);}Profesor Leopoldo Silva Bijit 20-01-2010
Complejidad temporal de algoritmos 15El bloque se repite n veces, y está constituido por un test de condición, una suma y unincremento. Todas operaciones que pueden traducirse a instrucciones de máquina, y seconsideran de costo O(1). Entonces esta multiplicación es de costo O(n) o lineal./* retorna m*n */unsigned int multipliquelog(unsigned int m, unsigned int n){ unsigned int r=0;}while ( n>0 ){ if(n&1) r+=m;m*=2; n/=2;}return(r);En cada ciclo del while se divide por dos el valor de n.La multiplicación por dos, equivale a un corrimiento a la izquierda en una posición; la divisiónpor dos equivale a un corrimiento a la derecha en una posición; el test del bit menossignificativo se realiza con una operación and; acumular el producto parcial en la local r, seefectúa con una suma. Todas estas operaciones, en este ambiente se consideran de costoconstante: O(1).El algoritmo puede describirse según:T(n) = T(n/2) + O(1) con T(1) = O(1).Resultado obtenido antes, como solución de una ecuación de recurrencia, con costo logarítmico:O(log 2 n); concluyendo que la segunda rutina, es mucho mejor que la primera. Debe notarse queen este ejemplo se emplea el valor de uno de los operandos como el tamaño de la entrada.Dependiendo de lo que consideremos como costo unitario, un algoritmo puede tener costos muydiferentes.4.17.2. Algoritmos de división.Consideremos un algoritmo primitivo de división, basado en restas sucesivas.//Retorna cuociente q y resto r. n = q*d + r. El resto r se pasa por referencia.unsigned int dividelineal(unsigned int n, unsigned int d, unsigned int *r){ unsigned int q=0;}while (n>=d) { n-=d; q++; }*r= n; //escribe el restoreturn(q);En su peor caso, con denominador unitario, y n el máximo representable, se tiene costo: O(n).Profesor Leopoldo Silva Bijit 20-01-2010
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