Cap. 4 Complejidad temporal de algoritmos - Inicio

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30 Estructuras de Datos y AlgoritmosDe donde resulta que:Obteniéndose:La solución general es:2aa 13a 3nT ( n) T ( n) T ( n) c2 33Para evaluar la constante c, se tiene:0 0T(0) c2 33 0La que permite calcular c 3Obteniéndose igual solución que la anterior, determinada en el Ejemplo 4.8.hpnEjemplo 4.11.Con condición inicial: T(0) 0T( n) 2 T( n 1) nLa solución homogénea, resulta: T ( n) c2 nhComo 1 no es solución de la ecuación homogénea, se tendrá que m es cero; además b es uno,por lo tanto el polinomio p debe ser de grado uno. Tenemos entonces la siguiente soluciónparticular:T ( ) ( )pn p1n an bQue al ser reemplazada en la ecuación de recurrencia, permite obtener:Arreglando, para determinar coeficientes:De la cual se pueden plantear:Entonces: T ( n) an b n 2pLa solución general: T( n) c2 n n 2( an b) 2 ( a( n 1) b) n( a) n (2 a b) na12ab00La constante se calcula de: T(0) c2 0 2 0 , obteniéndose igual solución que la anterior,determinada en el Ejemplo 4.9.Ejemplo 4.12.Profesor Leopoldo Silva Bijit 20-01-2010
Complejidad temporal de algoritmos 31Con condición inicial: T(0) 0T( n) 2 T( n 1) 2 nComo b es igual a la raíz de la ecuación homogénea, se tendrá con d=0, m=1, b=2, que lasolución particular resulta:T ( n) p ( n) n b a n 2Reemplazando en la relación de recurrencia, se obtiene:pdm n na n a n n n1n2 2( ( 1)2 ) 2El coeficiente debe cumplir: an a( n 1) 1, resultando a 1.La solución general: ( ) 2 n nT n c n2, evaluada en 0:Como c 0 , la solución es:T0 0(0) c2 02 0nnT( n) n2 ( n2 )En Maple, se obtiene igual solución:> S4:= rsolve( { T(n)-2*T(n-1) =2^n, T(0) = 0}, T(n));S4 := 2 n ( n1 ) 2 n> simplify(S4);2 n n4.21.2.4. Método cuando n es potencia de dos.Ejemplo 4.13.Con condición inicial: T(1) 1T( n) 4 T( n / 2) nNótese que n debe ser 2 o mayor. Para n=2, puede calcularse: T(2) 4 T(1) 2 6 ; por estarazón la condición inicial se da con n=1.Si n es una potencia de dos, se tiene que:recurrencia:n 2 k, entonces reemplazando en la ecuación deT1(2 k ) 4 (2 k T ) 2kProfesor Leopoldo Silva Bijit 20-01-2010
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