CAP´ITULO 8 INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD

8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDADA 2 y = B 2 xA 1 y = B 1 xFigura 8.11 Nodo impropio (asintóticamente estable)Demostración: supongamos que m 1 < m 2 < 0.Sabemos que la solución del sistema 8.16, 8.17 es:donde los vectoresx = C 1 A 1 e m 1t + C 2 A 2 e m 2ty = C 1 B 1 e m 1t + C 2 B 2 e m 2t[ ]A1e m 1tB 1y[A2B 2]son linealmente independientes, por lo tanto B 1arbitrarias.Analicemos los coeficientes C 1 y C 21.) Si C 2 = 0, entoncesx = C 1 A 1 e m 1t ,e m 2tA 1≠ B 2A 2y = C 1 B 1 e m 1tUniversidad de Antioquia, Depto. de Matematicas(8.20)(8.21)y las C son constantes(8.22)en este caso:a). Si C 1 > 0, entonces (8.22) representa una trayectoria que consiste en lasemirrecta A 1 y = B 1 x con pendiente B 1A 1b). Si C 1 < 0, entonces (8.22) representa una trayectoria que consiste de laotra semirrecta opuesta a la anterior.Como m 1 < 0, entonces ambas semirrectas tienden a (0, 0) cuando t → ∞ y297