CAP´ITULO 8 INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD

8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD: METODO DE LIAPUNOVLuego la energía total: E(x, y) = 1 2 my2 + 1 2 kx2 la cual es definida positiva,como∂E∂x F + ∂E(∂y G = kxy + my − k m x − C )m y = −Cy 2 ≤ 0Luego, E(x, y) es una función Liapunov para el sistema y por tanto (0, 0) esestable.Se sabe que si C > 0 el punto crítico (0, 0) es asintóticamente estable, perola función Liapunov no detecta este hecho.Ejemplo 5. (Resorte no lineal). Este es un ejemplo de una masa m = 1sujeta a un resorte no lineal, en el cual la fuerza restauradora es una funciónde la distancia de la masa al origen, sea −f(x) una función no lineal querepresenta la fuerza restauradora tal que f(0) = 0 y xf(x) > 0 si x ≠ 0; nohay fricción. La E.D. de su movimiento esd 2 xdt + f(x) = 02Analizar la estabilidad de su punto crítico.Solución: el sistema autónomo equivalente esx ′ = yy ′ = −f(x)Su único punto crítico es (0, 0). La energía cinética es 1 2 x′2 = 1 2 y2 y la energíapotencial esy la energía total esF (x) =∫ x0f(x) dxE(x, y) = F (x) + y22Como x, f(x) tienen el mismo signo entonces F (x) ≥ 0 y por tanto E(x, y)es definida positiva. AdemásUniversidad de Antioquia, Depto. de MatematicasE ′ (x, y) = F ′ (x)x ′ + yy ′ = f(x)y + y(−f(x)) = 0es decir, es semidefinida negativa y por el teorema el punto crítico (0, 0) esestable. Igual que sucede con un resorte lineal, se puede demostrar que este313