CAP´ITULO 8 INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD

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CAPÍTULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD, JAIME ESCOBAR A.De la continuidad de dθdθ, de (8.27) y de (8.28) se concluye que > 0dt dtcuando a 2 > 0 y b 1 < 0.Similarmente, si a 2 < 0 y b 1 > 0 entonces dθdt < 0.En conclusión θ(t) es una una función siempre creciente para todo t osiempre decreciente para todo t, luego no entra al orígen.Por (8.25) y (8.26): x y y cambian de signo infinitas veces cuando t → ∞,es decir, todas las trayectorias giran en espiral alrededor del orígen en sentidocontrario a las agujas del reloj si a 2 > 0 y en sentido horario si a 2 < 0. Luegoel punto crítico es un foco asintóticamente estable (Ver figura 8.13).Si a > 0: el análisis es el mismo, salvo que las trayectorias tienden a (0, 0)cuando t → −∞ y el punto crítico es inestable.CASO D: si las races m 1 y m 2 son reales e iguales, el punto crítico (0, 0)es un nodo.Demostración: supongamos que m 1 = m 2 = m < 0.Dos casos:i). a 1 = b 2 ≠ 0 y a 2 = b 1 = 0ii). Todas las demás posibilidades que conducen a una raz doble.i). Si a 1 = b 2 = a ≠ 0 entonces la ecuación característica (8.19) seconvierte en m 2 − 2am + a 2 = 0 y por tanto m = a con multiplicidad dos yel sistema de E.D. queda convertido en el sistema desacoplado siguientedxdt = ax,Es claro que su solución general esdydt = ay.x = C 1 e mt , y = C 2 e mt (8.29)donde C 1 y C 2 son constantes arbitrarias, eliminando el parámetro t, obtenemosxy = C 1o sea que y = C 1xC 2 C 2Las trayectorias definidas por (8.29) son semirrectas de todas las pendientesposibles y como m < 0, entonces estas trayectorias tienden y entranUniversidad de Antioquia, Depto. de Matematicas302
8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDADyxFigura 8.14 Nodo propio o nodo estrella (asintóticamente estable)a (0, 0) cuando t → ∞, de donde (0, 0) es un nodo (llamado también nodopropio o nodo estrella) asintóticamente estable (ver figura 8.14).Si m > 0, tenemos la misma situación, excepto que las trayectorias entrana (0, 0) cuando t → −∞, las flechas son al contrario, entonces es un nodo(nodo propio o nodo estrella) inestable.ii). Para races repetidas sabemos de (??) [ en la página ?? que para el valorApropio m esta asociado el vector propio y el vector propio generalizado[ ]B]A1de rango dos , por lo tanto la solución general es:B 1donde C 1 y C 2 son constantes arbitrarias.x = C 1 A e mt + C 2 (A 1 + At) e mt (8.30)y = C 1 B e mt + C 2 (B 1 + Bt) e mt (8.31)Cuando C 2 = 0, entonces x = C 1 A e mt ; y = C 1 B e mt .Sabemos que estas soluciones representan dos semirrectas de la rectaAy = Bx con pendiente B y como m < 0, ambas trayectorias tienden aA(0, 0) cuando t → ∞. Como y = B , entonces ambas trayectorias entran ax AUniversidad de Antioquia, Depto. de Matematicas(0, 0) con pendiente B A . 303
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