CAP´ITULO 8 INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD

8.5. LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALESLuego (0, 0) es un punto crítico asintóticamente estable del sistema linealasociado y por el Teorema 8.7 también lo es del sistema no lineal. Esto reflejael hecho físico: que si un péndulo se perturba ligeramente el movimientoresultante se extinguirá con el tiempo.Ejemplo 11. Hallar los puntos críticos, determinar de que tipo son y suestabilidad, para el siguiente sistemaLa matriz Jacobiana es[ ∂F∂x∂G∂x∂F(x, y)∂G(x, y)x ′ = −2xy = F (x, y)y ′ = −x + y + xy − y 3 = G(x, y)] [ ](x, y)∂y −2y −2x(x, y) =−1 + y 1 + x − 3y 2 ∂yPara hallar los puntos críticos resolvemos el sistema0 = −2xy = F (x, y)0 = −x + y + xy − y 3 = G(x, y)luego xy = 0, sustituimos en la segunda ecuación y nos da y = 0, y = 1, y =−1, por tanto los puntos críticos son (0, 0), (0, 1), (0, −1). Analicemos cadapunto por separado1. Para (0, 0) tenemos que la matriz Jacobiana en (0, 0) es[ ∂F∂x∂G∂x∂F(0, 0)∂G(0, 0)] [ ] [ ](0, 0)∂y a1 b (0, 0) = 1 0 0=a∂y 2 b 2 −1 1y su determinante es cero.El sistema lineal asociado esx ′ = a 1 x + b 1 y = 0y ′ = a 2 x + b 2 y = −x + yUniversidad de Antioquia, Depto. de Matematicaslos puntos críticos de este sistema son de la forma (x, x) para todox real, por tanto son no aislados, es decir no clasificable; su ecuacióncaracterística esλ 2 − λ = 0327