CAP´ITULO 8 INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD

CAPÍTULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD, JAIME ESCOBAR A.Por el Teorema A.7 (de Picard), si t 0 es cualquier número y (x 0 , y 0 )es un punto cualquiera del plano XY , entonces existe una única solución:x = x(t) (8.3)y = y(t) (8.4)tal que x(t 0 ) = x 0 y y(t 0 ) = y 0Si x(t) y y(t) no son ambas constantes, entonces (8.3) y (8.4) son lasecuaciones parámetricas de una curva en el plano XY , a este plano lo llamaremosel plano de fase y la curva solución la llamaremos una trayectoriadel sistema, la familia de trayectorias representadas en el plano de fase lallamaremos el retrato de faseNota: si (8.3) y (8.4) es solución de (8.1) y (8.2), entoncestambién es solución de (8.1) y (8.2) para cualquier c.x = x(t + c) (8.5)y = y(t + c) (8.6)Por tanto cada trayectoria viene representada por muchas soluciones quedifieren entre si por una translación del parámetro. También cualquier trayectoriaque pase por el punto (x 0 , y 0 ), debe corresponder a una solución de laforma (8.5) y (8.6), es decir, por cada punto del plano de fase pasa una solatrayectoria, o sea, que las trayectorias no se intersectan.Nota:i). La dirección de t creciente a lo largo de la trayectoria dada es la mismapara todas las soluciones que representan a esa trayectoria. Una trayectoriaes por tanto una curva dirigida y en las figuras utilizamos flechas para indicarla dirección de t creciente sobre las trayectorias.ii). Para el punto (x 0 , y 0 ) tal queUniversidad de Antioquia, Depto. de Matematicasdydt = F (x 0, y 0 ) = 0,ydxdt = G(x 0, y 0 ) = 0282