CAP´ITULO 8 INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD

8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD: METODO DE LIAPUNOVDefinición 8.5 Supongamos que E(x, y) es continua y tiene primeras derivadasparciales continuas en una región que contiene al origen.Si E(0, 0) = 0 yi. Si E(x, y) > 0 con (x, y) ≠ (0, 0), decimos que E es definida positiva.ii. Si E(x, y) < 0 con (x, y) ≠ (0, 0), decimos que E es definida negativa.iii. Si E(x, y) ≥ 0 con (x, y) ≠ (0, 0), decimos que E es semidefinida positiva.iv. Si E(x, y) ≤ 0 con (x, y) ≠ (0, 0), decimos que E es semidefinida negativa.Nota:E(x, y) = ax 2m + by 2n con a > 0, b > 0 y m, n enteros positivos, esdefinida positiva.E(x, y) es definida negativa si y solo si −E(x, y) es definida positiva.E(x, y) = ax 2m + by 2n con a < 0 y b < 0 y m, n enteros positivos, esdefinida negativa.x 2m es semidefinida positiva, ya que x 2m = 0 para todo (0, y) y x 2m > 0para todo (x, y) ≠ (0, 0).Similarmente se demuestra que y 2n , (x − y) 2m son semidefinidas positivas.Si E(x, y) es definida positiva, entonces z = E(x, y) es la ecuaciónde una superficie que podría parecerse a un paraboloíde abierto haciaarriba y tangente al plano XY en el orígen (ver figura 8.18).Definición 8.6 (función de Liapunov) Decimos que E(x, y) es una funciónde Liapunov para el sistema (8.32), siE(x, y) es continua, con primeras derivadas parciales continuas en unaregión que contiene al orígen.E(x, y) es definida positiva.Existe la derivada de E a lo largo de las trayectorias u rbitas del sistema(8.32), es decir, que exista la siguiente derivada,Universidad de Antioquia, Depto. de Matematicas∂E∂x F + ∂E∂y G = dEdt (x, y) = E′ (x, y) (8.34)309